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Wachstumsfunktionen in der Anwendung von Ueli
       am Do. 08. April 2021 00:00:50 - 177 mal gelesen - 4 Kommentare
Einleitung Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, ...
Stern Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen von Vercassivelaunos
       am Mi. 01. Juli 2020 18:12:01 - 547 mal gelesen - 1 Kommentare
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet ...
Stern Ein schöner Grenzwert von Wauzi
       am Do. 08. Februar 2018 16:04:56 - 1196 mal gelesen - 5 Kommentare
Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e \ \ \boxon\big\Die Folge (1+1/n)^n mit ihrem Grenzwert e ist vielen noch von der Schule bekannt. Und es war bereits Euler, der die naheliegende Verallgemeinerung bewies: lim(n-> \inf,(1+1/q(n))^q\(n\))=e wobei mit n auch die Folge q(n) gegen unendlich geht. Für feste natürliche Zahlen m folgt hieraus lim(n-> \inf,(1+m/n)^n)=e^m wi ...
Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N) von cis
       am Fr. 05. Februar 2016 08:19:01 - 546 mal gelesen - 0 Kommentare
\ \ Etwa für das Integral int(1/(1+x^N),x) lässt sich die heranziehen; diese ist Gegenstand des folgenden Artikels. \ > ...
Einige höhere trigonometrische Identitäten von cis
       am So. 18. Oktober 2015 15:31:53 - 1111 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel werden verschiedene Darstellungen hergeleitet für • Winkelfunktionen für positiv-ganzzahlige Vielfache \boldsymbol{\sin(nx),~ \cos(nx)} • Potenzen der Winkelfunktionen \boldsymbol{\sin^n(x),~ \cos^n(x)} • Trigonometrische Summen vom Typ \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\cos(a_k t)} bzw. \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\sin(a_k t)} sowie d ...
Die Lemniskate von shadowking
       am Di. 21. Juli 2015 22:12:16 - 2577 mal gelesen - 5 Kommentare
\color{blue}\textsl{\huge{\bf{}}} Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine ...
Der Logarithmus - Einführung, Verwendung von cis
       am Do. 07. August 2014 02:00:10 - 3711 mal gelesen - 39 Kommentare
Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen. Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkei ...
Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung von rocolo
       am Fr. 05. Juli 2013 17:17:45 - 1286 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist eine sehr wichtige und bekannte Ungleichung aus der Analysis, die vielfältig Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns zunächst damit beschäftigen wie man allgemeinere Mittel definieren kann und kommen dadurch auf den Begriff des quasi-arithmetischen Mittels. Im zweiten Teil wird es um Ungleichungen zwischen quasi-arith ...
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion von shadowking
       am Mo. 18. März 2013 15:07:46 - 2511 mal gelesen - 3 Kommentare
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Alles beginnt mit der Fourierreihe einer Rechteckpulsfunktion: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi}{4} im Bereich ]0,\pi[ . Bild 1: Fouriersumme der Rechteckfunktion bis zum 23. Summanden. Im Grenzfall unendlich vieler Summanden erhält man den Rechteckpuls. ...
Brachistochrone revisited von shadowking
       am So. 24. Juni 2012 12:00:40 - 1562 mal gelesen - 0 Kommentare
Als ich mir zuletzt das Brachistochronenproblem wieder durch den Kopf gehen ließ, ist mir ein schnellerer und unkomplizierterer Weg eingefallen, das Endergebnis zu erhalten. Insbesondere kann auf den Apparat der Variationsrechnung ganz verzichtet werden, wenn man das Snellius'sche Gesetz als Resultat eines Minimalprinzips auffaßt.> ...
Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten von DanielW
       am Do. 19. Mai 2011 12:53:53 - 9052 mal gelesen - 9 Kommentare
Obwohl ich erst relativ kurze Zeit auf dem Matheplaneten aktiv bin, fiel mir auf, dass Hilfesuchende bei einem ganz bestimmten Thema die Suchfunktion scheuen wie der Teufel das Weihwasser. Daher soll mein zweiter (es sollte ursprünglich der erste werden) Artikel von dem engumrissenen und häufig nachgefragten Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenität v ...
Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen von trunx
       am Fr. 28. Januar 2011 08:45:44 - 3303 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Bernoulli-Zahlen B i sind zunächst einmal definiert als die Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung von: \ f(x)=x/(e^x -1)=sum(B_i\.x^i,i=0,\inf) wobei f(x) die erzeugende Funktion ist. Sie lassen sich am einfachsten rekursiv mittels \ sum((n;k)| B_k ,k=0,n-1)=0 berechnen, wobei B o =1 ist. Hier hat W. Hecht gezeigt, wie man Summen von Potenzen ohne Rekursion berechnen kann, wa ...
Ein interessantes Beispiel zu Rotationskörpern von mathema
       am So. 19. Dezember 2010 10:10:00 - 1336 mal gelesen - 4 Kommentare
\ \ \ \big\ Rotationskörper und uneigentliche Integrale: \ \ Das folgende einfache Beispiel für die Berechnung eines Rotationskörpers finde ich auch beim (n+1)-ten Draufschauen immer noch schön: Wiederholt werden darin 1. die Berechnung uneigentlicher Integrale (erster Art) und deren Konvergenz, 2. die Berechnung von Rotationskörpern. Zudem ist das Beispiel absolut ...
Stern Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4) von mathema
       am Fr. 17. Dezember 2010 13:09:50 - 3180 mal gelesen - 4 Kommentare
Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der Betrachtung der Fourierreihen ab. Hier wird ein anderer Zugang gewählt. Die Zeta-Funktion sei ...
Analysis I - §5 Reihen von FlorianM
       am So. 13. Dezember 2009 13:06:00 - 6494 mal gelesen - 4 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §5 Reihen Wir geben in diesem Kapitel nun eine Art Anwendung des Folgenbegriffs, indem wir Reihen untersuchen. Reihen sind nichts anderes als Folgen der Partialsummen. Um diesen Artikel zu verstehen, solltet ihr also wissen, was man unter einer Folge versteht. Des Weiteren werden wir vor allem Konvergenzkriterien für Reihen anführen, b ...
Die Kardioide als Hüllkurve von Hans-Juergen
       am Do. 03. September 2009 15:33:29 - 2301 mal gelesen - 5 Kommentare
Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im Internet.) > ...
Funktionaltransformationen von Ueli
       am Do. 30. Juli 2009 19:24:31 - 10044 mal gelesen - 5 Kommentare
Teil 1: Motivation zur Fouriertransformation Gegen das mathematische Ende des Elektrotechnik-Studiums wird man zu den gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung diese Transformationen anwenden zu können. Sie sind sozusagen das Schweizer Sackmesser des Elektroingenieurs. Diese Artikel zielen in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Die Transformationen wurden in Artikeln ...
Fourier-Polynome aufstellen von ganzir
       am Di. 07. Juli 2009 12:33:15 - 9368 mal gelesen - 12 Kommentare
Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Fourier-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten, die sich mit dieser Thematik zu befassen haben, bereits einige Schwierigkeiten die mathematis ...
Analysis I - §4 Folgen von FlorianM
       am Di. 24. Februar 2009 23:15:02 - 17120 mal gelesen - 11 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §4 Folgen Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft be ...
Polynome von trunx
       am So. 02. November 2008 18:33:30 - 2089 mal gelesen - 6 Kommentare
Ich möchte in diesem Artikel als verallgemeinerte Zahlen betrachten. Eine natürliche Zahl n stellen wir p-adisch wie folgt dar: n = a k p k + a k-1 p k-1 + ... + a 1 p + a 0 = a k a k-1 ... a 1 a 0 |p dabei nehmen die Koeffizienten a i Werte zwischen 0 und p-1 an. Da solche Zahlen meist im Positionssystem dargestellt sind, also nur als Folge dieser Koeffizienten, ist ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
      von matroid am Di. 13. April 2021 20:55:36
Der Autor hat mir eine pdf-Version des Artikels übersendet. Diese habe ich hier wunschgemäß hochgeladen. Vielen Danke @DanielW Gruß Matroid> ...
Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
      von matroid am Di. 13. April 2021 20:54:21
Der Autor hat mir eine pdf-Version des Artikels übersendet. Diese habe ich hier wunschgemäß hochgeladen. Vielen Danke @DanielW Gruß Matroid> ...
Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
      von Gerhardus am Sa. 10. April 2021 12:32:31
Bzgl. der gegenwärtigen Pandemie finde ich den Wikipedia-Artikel über das SIR-Modell recht gut verständlich. Die Anzahl Infizierten I(t) wächst proportional zu I(t) und proportional zu den Infizierbaren S/N (S sind alle nicht immunen, nicht infizierten Personen und N die Gesamtbevölkerung). Das entspricht ungefähr der Diff.gleichung y′(t)=k⋅y(t)⋅(G−y(t)), wo G den Wachstumsrau ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von Bernhard am Fr. 09. April 2021 23:19:09
Hallo Buh! \quoteonDie Verifizierung dieser Aussagen erfolgte mittels der Last-Minute-Methode, welchselbige auch erfolgreich durch All-In bestätigt werden konnte. \quoteoff Ich kann Herrn Prof. Twoltes* Schlüsse nur bestätigen und sogar um eine Beobachtung erweitern, die sie noch mehr untermauert. Es gibt sogar ganz analog einen "Zeitknall". Und zwar bei einem abrupten Übergang von der m ...
Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
      von Ueli am Do. 08. April 2021 22:41:14
@traveller Für die Darstellung habe ich mich an der Definition in den Medien orientiert, damit man den Bezug einfach herstellen kann. Ich höre immer wieder: Die Reproduktionszahl bezeichnet die Anzahl Personen, die eine infizierte Person ansteckt. Nun kann man eine diskrete Gleichung herleiten, z.B. alle 5 Tage verdreifachen sich die Zahl der Ansteckungen. Dann wird oft der Übergang zur kontin ...
Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
      von Diophant am Do. 08. April 2021 19:20:29
Hallo Ueli, ein schöner Artikel mit interessanten und vor allem aktuellen Beispielen zur Anwendung von Wachstumsmodellen. Vielen Dank dafür! Eine Sache würde mich interessieren: beim Bevölkerungswachstum schlägst du ja das Modell des (fremd-)vergifteten Wachstums vor (und eben nicht das vielleicht sogar auf den ersten Blick naheliegendere Modell des Wachstums mit Selbstvergiftung). W ...
Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
      von traveller am Do. 08. April 2021 09:39:59
Hallo, Das scheint mir nicht zu passen: \quoteon Für die Anfangsphase der Epidemie habe ich folgenden Ausdruck gefunden: \(I(t)=R^{t/T}\) \quoteoff Die zweite Differentialgleichung im SIR-Modell ist $$\begin{align} I'(t) &= \beta\cdot S(t)-\frac{1}{D}\cdot I(t) \\ &= \left(\beta-\frac{1}{D}\right)\cdot I(t) \\ &= \frac{\beta\cdot D-1}{D}\cdot I(t) \\ &= \frac{R-1} ...
Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
      von Kezer am Di. 06. April 2021 21:23:35
@Triceratops: Danke für die Buchempfehlung! Ich besuche im kommenden Semester voraussichtlich eine Vorlesung zur étalen Kohomologie, da werde ich sicher ein wenig in Tammes Buch stöbern. :-)> ...
Re: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
      von easymathematics am Di. 06. April 2021 13:01:16
Hallo, vielen Dank für Deinen Hinweis. Ich weiß, dass es noch weitere Kandidaten gibt, die ähnliche Leistungen vollbracht haben. Diese möchte ich auf keinen Fall unter den Teppich kehren oder so was. :) Ich werde mir über "Milü" einen genauen Überblick verschaffen und werde sehen, was meine Zeit zulässt. :)> ...
Re: Nachtrag zum Pi-Tag: Der Fehler von Archimedes
      von MontyPythagoras am Di. 06. April 2021 11:03:43
Hallo easymathematics, Vielen Dank für die interessante Darstellung. In diesem Kulturkreis neigen wir traditionell dazu, die Leistungen der alten Griechen besonders zu wertschätzen und Leistungen anderer Hochkulturen links liegen zu lassen, besonders der chinesischen, persischen und indischen. Dabei hat der chinesische Mathematiker und Astronom Zu Chongzhi $\pi$ berechnet, bzw. die berüh ...
Re: Die Entstehung und Natur von Wasserwellengruppen
      von easymathematics am Mo. 05. April 2021 21:08:13
Danke für diesen tollen Artikel. :)> ...
Re: Der logische Zusammenhang zwischen dem Sinussatz und dem Kosinussatz
      von easymathematics am Mo. 05. April 2021 20:50:07
Hallo Wario, vielen Dank für Deinen Hinweis. Daran habe ich nicht gedacht. Ich werde Deine Ergänzungen berücksichtigen und ausbessern! Danke dafür. :)> ...
Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
      von Triceratops am Mo. 05. April 2021 15:39:31
@Kezer: Ein paar einfache Anwendungen von Spektralfolgen in der algebraischen Geometrie findet man im Buch "Introduction to Étale Cohomology" von G. Tamme. Zum Beispiel ist Theorem 3.4.4. die Spektralfolge "Cech-Kohomologie => Garbenkohomologie", die in vielen Anwendungen auch entartet und damit eine einfache Berechnung der Garbenkohomologie liefert. Und Theorem 3.7.5. ist die vielfach im Buch v ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von Diophant am Mo. 05. April 2021 10:56:59
@Menno: 'Longitudinal' ist wie der Hamster fliegt . ;-) Klaro? Gruß, Diophant> ...
Re: Ein Garten aus Pfeilen: Spektralfolgen
      von Kezer am Mo. 05. April 2021 10:28:43
Das ist echt ein wunderbarer Artikel! Es ist bemerkenswert, dass Leray vor allem in PDEs und Physik interessiert war. Glück gehabt, dass er gefangen genommen wurde und deswegen mehr Zeit in algebraische Topologie investiert hat... Ich finde es schade, dass in diesem Artikel kein Beispiel zur algebraischen Geometrie auftaucht, aber dieser Text ist definitiv ein guter Start bei dem Studium v ...
Re: Betrügt uns die Zahnpastaindustrie?
      von easymathematics am So. 04. April 2021 23:24:42
Nimmt man das Trapez und das Dreieck zu Grunde ergeben sich tatsächlich Ellipsen als Schnittflächen. :)> ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von Menno am Sa. 03. April 2021 22:31:14
Oh Man matroid, (Spock übernehmen Sie dringend mit der Lizenz zur Physik ) eh das weiß doch jeder: Wellen verschaukeln sich quer (so von der Ausbreitungsrichtung gesehen; guck mal bei Querdenker: Denken ist gut, quer dazu ist äääh besser??) oder längs, also wenn du da stehst, kommt von hinten 'ne Welle, aber nicht hoch, nur in den Rücken (also wie mitt'n Schlauch, wo wenn du mal z ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von matroid am Sa. 03. April 2021 20:04:21
Der Sinn eines Kommentars ist ja nicht, dass man ihn nicht schreibt. Darum erlaube ich mir die Anmerkung, dass ich diese Ergebnisse für außergewöhnlich ansehe. BTW, was bedeutet noch mal Longitudinal? Top Team @Gerno 👍🏻 Grüße von Matroid > ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von Leonardo_ver_Wuenschmi am Sa. 03. April 2021 19:50:58
Verehrter Herr Diophant, ich bedaure, Sie korrigieren zu müssen: Weder der Herr ChriMo noch KaVal sind Reversianer, und Herr Twolte samt seinem zugegebenermaßen exquisiten Team © ist zwar auch auf der Rückseite des MP (Gigant der Innovationen) bekannt, nicht aber dort heimisch. So bleibt zu hoffen, dass die Twoltesche Entdeckung genutzt werden kann, um den Zug der Zeit effektiv vor dem Za ...
Re: Gerno Twolte löst das Rätsel der Zeit
      von Diophant am Sa. 03. April 2021 10:54:02
Hallo Buh, vielen Dank für diese neuen und bahnbrechenden Erkenntnisse des Twolte-Teams. ;-) Aber gab es nicht schon früher Reversianer, die da das eine oder andere Hausmittelchen dagegen entwickelt hatten? So schrieb zum Beispiel ein gewisser C.M.: Palmström legt des Nachts sein Chronometer, um sein lästig Ticken nicht zu hören, in ein Glas mit Opium oder Äther. Morgens i ...
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