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Wachstumsfunktionen in der Anwendung von Ueli
       am Do. 08. April 2021 00:00:50 - 288 mal gelesen - 4 Kommentare
Einleitung Die berühmteste Gleichung dürfte zur Zeit diejenige für das exponentielle Wachstum sein. Ob wir wollen oder nicht, Tag für Tag sehen wir die Kurven der Corona Neuinfektionen. Es soll hier aber nicht zentral um die Krankheit gehen, sondern um verschiedenen Anwendungen der Wachstumsgleichungen und deren Darstellungen. Daher habe ich Beispiele aus verschiedenen Gebieten betrachtet, ...
Stern Die Taylorentwicklung mit linearer Algebra verstehen von Vercassivelaunos
       am Mi. 01. Juli 2020 18:12:01 - 589 mal gelesen - 1 Kommentare
Die Grundidee der Ableitung einer Funktion $f$ ist, dass die Ableitung eine lineare Näherung von $f$ darstellen soll. In der Analysis 1 tut sie dies für gewöhnlich in Form der Tangentensteigung. Die Ableitung ist die Steigung einer (affin) linearen Funktion, deren Graph sich an den von $f$ anschmiegt. In der Analysis 2 wird das Konzept der linearen Näherung auf mehrere Dimensionen ausgeweitet ...
Stern Ein schöner Grenzwert von Wauzi
       am Do. 08. Februar 2018 16:04:56 - 1207 mal gelesen - 5 Kommentare
Grenzwertbetrachtungen mit der Zahl e \ \ \boxon\big\Die Folge (1+1/n)^n mit ihrem Grenzwert e ist vielen noch von der Schule bekannt. Und es war bereits Euler, der die naheliegende Verallgemeinerung bewies: lim(n-> \inf,(1+1/q(n))^q\(n\))=e wobei mit n auch die Folge q(n) gegen unendlich geht. Für feste natürliche Zahlen m folgt hieraus lim(n-> \inf,(1+m/n)^n)=e^m wi ...
Partialbruchzerlegung von 1/(1+x^N) von cis
       am Fr. 05. Februar 2016 08:19:01 - 552 mal gelesen - 0 Kommentare
\ \ Etwa für das Integral int(1/(1+x^N),x) lässt sich die heranziehen; diese ist Gegenstand des folgenden Artikels. \ > ...
Einige höhere trigonometrische Identitäten von cis
       am So. 18. Oktober 2015 15:31:53 - 1118 mal gelesen - 2 Kommentare
In diesem Artikel werden verschiedene Darstellungen hergeleitet für • Winkelfunktionen für positiv-ganzzahlige Vielfache \boldsymbol{\sin(nx),~ \cos(nx)} • Potenzen der Winkelfunktionen \boldsymbol{\sin^n(x),~ \cos^n(x)} • Trigonometrische Summen vom Typ \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\cos(a_k t)} bzw. \boldsymbol{\sum\limits_{k=0}^n\sin(a_k t)} sowie d ...
Die Lemniskate von shadowking
       am Di. 21. Juli 2015 22:12:16 - 2626 mal gelesen - 5 Kommentare
\color{blue}\textsl{\huge{\bf{}}} Dieser Artikel gilt einer faszinierenden algebraischen Kurve vierten Grades, die in verschiedenen Bereichen auftaucht und forschungsgeschichtlich von Bedeutung ist. Ihr Name leitet sich von lateinisch „lemniscus“ ab, was „Schleife“ bedeutet. Sie symbolisiert die Unendlichkeit, weshalb das mathematische Symbol für „Unendlich“ (∞) eine ...
Der Logarithmus - Einführung, Verwendung von cis
       am Do. 07. August 2014 02:00:10 - 3753 mal gelesen - 39 Kommentare
Bei der google-Suche nach "Logarithmenregeln" o.ä. wurde ich nicht glücklich. So waren oft ungünstige Symbole gewählt, davon einmal abgesehen, wurden die Rechengesetze sehr oft nur teilweise oder gar nicht hergeleitet bzw. bewiesen. Bei Grundaufgaben wie Bruchrechnung, Potenzrechnung, Wurzelrechnung, scheint insbesondere der Umgang mit dem Logarithmus vielen Neuanwendern Schwierigkei ...
Quasi-arithmetische Mittel und ihre Hintereinanderausführung von rocolo
       am Fr. 05. Juli 2013 17:17:45 - 1294 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel ist eine sehr wichtige und bekannte Ungleichung aus der Analysis, die vielfältig Anwendung findet. In diesem Artikel werden wir uns zunächst damit beschäftigen wie man allgemeinere Mittel definieren kann und kommen dadurch auf den Begriff des quasi-arithmetischen Mittels. Im zweiten Teil wird es um Ungleichungen zwischen quasi-arith ...
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion von shadowking
       am Mo. 18. März 2013 15:07:46 - 2516 mal gelesen - 3 Kommentare
Eine rekursive Formel für die geradzahligen Werte der Riemannschen Zetafunktion Alles beginnt mit der Fourierreihe einer Rechteckpulsfunktion: \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\sin((2k+1)x)}{2k+1}=\frac{\pi}{4} im Bereich ]0,\pi[ . Bild 1: Fouriersumme der Rechteckfunktion bis zum 23. Summanden. Im Grenzfall unendlich vieler Summanden erhält man den Rechteckpuls. ...
Brachistochrone revisited von shadowking
       am So. 24. Juni 2012 12:00:40 - 1573 mal gelesen - 0 Kommentare
Als ich mir zuletzt das Brachistochronenproblem wieder durch den Kopf gehen ließ, ist mir ein schnellerer und unkomplizierterer Weg eingefallen, das Endergebnis zu erhalten. Insbesondere kann auf den Apparat der Variationsrechnung ganz verzichtet werden, wenn man das Snellius'sche Gesetz als Resultat eines Minimalprinzips auffaßt.> ...
Lineare Differentialgleichungen n. Ordnung mit konstanten Koeffizienten von DanielW
       am Do. 19. Mai 2011 12:53:53 - 9067 mal gelesen - 9 Kommentare
Obwohl ich erst relativ kurze Zeit auf dem Matheplaneten aktiv bin, fiel mir auf, dass Hilfesuchende bei einem ganz bestimmten Thema die Suchfunktion scheuen wie der Teufel das Weihwasser. Daher soll mein zweiter (es sollte ursprünglich der erste werden) Artikel von dem engumrissenen und häufig nachgefragten Thema "Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten und Inhomogenität v ...
Direkte Berechnung von Bernoulli-Zahlen von trunx
       am Fr. 28. Januar 2011 08:45:44 - 3368 mal gelesen - 2 Kommentare
Die Bernoulli-Zahlen B i sind zunächst einmal definiert als die Koeffizienten in der Taylor-Entwicklung von: \ f(x)=x/(e^x -1)=sum(B_i\.x^i,i=0,\inf) wobei f(x) die erzeugende Funktion ist. Sie lassen sich am einfachsten rekursiv mittels \ sum((n;k)| B_k ,k=0,n-1)=0 berechnen, wobei B o =1 ist. Hier hat W. Hecht gezeigt, wie man Summen von Potenzen ohne Rekursion berechnen kann, wa ...
Ein interessantes Beispiel zu Rotationskörpern von mathema
       am So. 19. Dezember 2010 10:10:00 - 1336 mal gelesen - 4 Kommentare
\ \ \ \big\ Rotationskörper und uneigentliche Integrale: \ \ Das folgende einfache Beispiel für die Berechnung eines Rotationskörpers finde ich auch beim (n+1)-ten Draufschauen immer noch schön: Wiederholt werden darin 1. die Berechnung uneigentlicher Integrale (erster Art) und deren Konvergenz, 2. die Berechnung von Rotationskörpern. Zudem ist das Beispiel absolut ...
Stern Elementare Herleitungen für die Werte von zeta(2) und zeta(4) von mathema
       am Fr. 17. Dezember 2010 13:09:50 - 3211 mal gelesen - 4 Kommentare
Von der weitreichenden Bedeutung der Zeta-Funktion für die Funktionen- und Zahlentheorie und der Riemannschen Vermutung handelt dieser Beitrag nicht. Er zeigt nur eine einfache Berechnung zweier Werte. Diese Ergebnisse fallen typischerweise in der klassischen Analysis-Vorlesung als Resultate bei der Betrachtung der Fourierreihen ab. Hier wird ein anderer Zugang gewählt. Die Zeta-Funktion sei ...
Analysis I - §5 Reihen von FlorianM
       am So. 13. Dezember 2009 13:06:00 - 6528 mal gelesen - 4 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §5 Reihen Wir geben in diesem Kapitel nun eine Art Anwendung des Folgenbegriffs, indem wir Reihen untersuchen. Reihen sind nichts anderes als Folgen der Partialsummen. Um diesen Artikel zu verstehen, solltet ihr also wissen, was man unter einer Folge versteht. Des Weiteren werden wir vor allem Konvergenzkriterien für Reihen anführen, b ...
Die Kardioide als Hüllkurve von Hans-Juergen
       am Do. 03. September 2009 15:33:29 - 2310 mal gelesen - 5 Kommentare
Bei einer früheren Gelegenheit [1] beschäftigte ich mit den Einhüllenden von Kurvenscharen. Hier folgt ein weiteres Beispiel, das wahrscheinlich schon längst bekannt ist, mir aber bisher noch nicht auffiel. (Ich habe auch nicht danach gesucht, weder in Büchern noch im Internet.) > ...
Funktionaltransformationen von Ueli
       am Do. 30. Juli 2009 19:24:31 - 10053 mal gelesen - 5 Kommentare
Teil 1: Motivation zur Fouriertransformation Gegen das mathematische Ende des Elektrotechnik-Studiums wird man zu den gelangen. Es ist ein wichtiges Ziel der Ausbildung diese Transformationen anwenden zu können. Sie sind sozusagen das Schweizer Sackmesser des Elektroingenieurs. Diese Artikel zielen in erster Linie auf die praktische Anwendung ab. Die Transformationen wurden in Artikeln ...
Fourier-Polynome aufstellen von ganzir
       am Di. 07. Juli 2009 12:33:15 - 9528 mal gelesen - 12 Kommentare
Zahlreiche Studenten der Naturwissenschaften müssen sich mit dem Aufstellen von Fourier-Polynomen auseinandersetzen. Während für Mathematik- und Physikstudenten die formale Sprache der Mathematik meist keine große Hürde mehr darstellt, haben viele Biologie- und Chemie-Studenten oder andere Studenten, die sich mit dieser Thematik zu befassen haben, bereits einige Schwierigkeiten die mathematis ...
Analysis I - §4 Folgen von FlorianM
       am Di. 24. Februar 2009 23:15:02 - 17145 mal gelesen - 11 Kommentare
da_bounce und FlorianM schreiben: §4 Folgen Nachdem der letzte Teil Nummer 3 sehr abstrakt war, wird es jetzt wieder etwas anschaulicher werden. In diesem Artikel tauchen wir eigentlich erst richtig in die Analysis I ein. Wir werden hier das erste Mal Kontakt mit dem Unendlichen und den Grenzwertbegriffen von Folgen haben. Folgen werden euch im ersten Semester sehr oft be ...
Polynome von trunx
       am So. 02. November 2008 18:33:30 - 2096 mal gelesen - 6 Kommentare
Ich möchte in diesem Artikel als verallgemeinerte Zahlen betrachten. Eine natürliche Zahl n stellen wir p-adisch wie folgt dar: n = a k p k + a k-1 p k-1 + ... + a 1 p + a 0 = a k a k-1 ... a 1 a 0 |p dabei nehmen die Koeffizienten a i Werte zwischen 0 und p-1 an. Da solche Zahlen meist im Positionssystem dargestellt sind, also nur als Folge dieser Koeffizienten, ist ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Matrizen sind Homomorphismen zwischen direkten Summen
      von nzimme10 am Di. 01. Juni 2021 09:43:36
Hallo Martin, vielen Dank für diesen interessanten Artikel. Zugegeben, so habe ich zwar noch nie darüber nachgedacht, aber das beantwortet tatsächlich einige Fragen, von denen ich bisher gar nicht so recht wusste, dass ich sie mir gestellt habe. 🙃 Liebe Grüße, Nico> ...
Re: Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle
      von Kezer am Mi. 26. Mai 2021 20:19:38
Ein Beispiel aus der algebraischen Geometrie (Vakil, November 18, 2017, S. 323): Satz. Sei $\pi : X \to Y$ ein Morphismus irreduzibler $k$-Varietäten mit $\dim{X} = m$ und $\dim{Y} = n$. Dann existiert eine nicht-leere offene Menge $U \subseteq Y$, sodass für alle $q \in U$ die Faser $\pi^{-1}(q)$ reine Dimension $m-n$ hat oder leer ist. Bemerkung. Die leere Menge hat reine Dimension $ ...
Re: Hüllenoperatoren
      von carlox am Di. 18. Mai 2021 21:21:26
Hallo allerseits, vielleicht könnte man als Beispiel noch indukiv definierten Mengen bringen. Durch Regeln werden immer "größere" Mengen erzeugt und alle diese vereinigt. Dies geht auch über eine Hüllenoperation. siehe Skript Prof. Kindler: https://drive.google.com/file/d/1bu6-qU9fcD8ArEa6CUBO_GHYw1CWTI5S/view mfg cx > ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Mi. 12. Mai 2021 23:25:00
Hallo AnnaKath! Welche Abruch- bzw. Siegesbedingung hast Du genommen? Die, die ich im Artikel oben beschrieben habe (4 Steine auf gleichfarbigen Feldern der Schlußlinie) oder die ich meinem letzten Kommentar als Alternative vorgestellt habe (alle Steine in der Hälfte des Gegners und min 4)? Als mögliche Zusatzregel ist mir auch noch etwas eingefallen: Beim Mühlespiel darf man, wenn ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am So. 09. Mai 2021 21:05:01
Hallo Bernhard, wir haben das Spiel nun implementiert und ein paar Tausend Testpartien gespielt. Einfachste "KI"s erzeugen manchmal unterhaltsame (aber nicht notwendig gute...) Partien. Hier ein Beispiel: \showon \sourceon output Bernhard's game (V1.00 by Em & AK) started. Move d1d2 made. Move e7e6 made. Move g2f2 made. Move a7a6 made. Move c2d3 made. Move b8c8 made. Move a2b2 made ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Di. 04. Mai 2021 20:16:09
Hallo AnnaKath! Ich würde vorschlagen: Weniger als 8 Steine und derjenige, der die geringere Zahl besitzt, hat keine Möglichkeit mehr, einen gegnerischen durch Springen zu "erobern" (Weil sie schon aneinander vorbeigezogen sind oder also ein keiner direkt nebendran steht). Dann könnte man das Spiel bereits abschließen. Ich frage mich jetzt allerdings auch, ob man das dann überhaupt als S ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am Di. 04. Mai 2021 11:39:52
Huhu Bernhard, Danke für die Klarstellung (und - juhu - wir passen dann mal unsere Implementierung an...). Unsere bereits gespielten (bzw. vom Computer gespielten) Partien lassen zwar erahnen, dass das Spiel vermutlich sehr rasch "ungewinnbar" gegen einen (auch sehr einfachen) Computer-Algorithmus wird, aber es hat jedenfalls ein paar interessante Konstellationen. Ein paar weitere Fragen s ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Mo. 03. Mai 2021 23:06:24
Hallo AnnaKath! Du fragst: \quoteonSollen durch diese Regel nur Sprungzüge innerhalb der ersten (bzw. 8.) Reihe verboten sein oder sind alle Sprungzüge verboten, die ihren Ausgang von einem Stein auf der ersten (bzw. 8.) Reihe haben? \quoteoff Ich hatte gedacht, daß alle Sprünge innerhalb der ersten Reihe verboten sind, da man damit dem Gegner in seine letzte Reihe einen Stein auf ein ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von AnnaKath am So. 02. Mai 2021 17:43:44
Hallo Bernhard, wir haben beschlossen, Dein Spiel einmal zu implementieren und ein wenig damit herum zu experimentieren. Es erscheint und eine ganz interessante Idee und wir können vielleicht einige neue Dinge für andere Zwecke ausprobieren... Um eine Klarstellung der Regeln möchte ich Dich dazu bitten: Du schreibst: "In der ersten Reihe ist das Springen noch verboten. Sonst könnte z.B ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Sa. 01. Mai 2021 12:37:24
Hallo Ronald! Das mit einem Satz fürs Damespiel zu versuchen, hatte ich oben ebenfalls empfohlen. Jeweils 4 Spielsteine jeder Farbe bleiben dann noch übrig, um sie auszutauschen, wenn beim Überspringen einer die Farbe wecheln muß. Mit Spieleprogrammierung habe ich überhaupt nichts am Hut, und sonst habe ich mir halt immer wieder mal nützliche Tools für den Alltag mit dem AutoHotkey er ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Delastelle am Sa. 01. Mai 2021 00:31:02
Hallo Bernhard! Das Spiel scheint mit einem reduzierten Satz Damesteine spielbar zu sein. Für Dame aus Schokolade hätte das den Vorteil, dass jede Seite erst mal 4 Steine essen dürfte. (Kleiner Scherz) Ein Regelwerk bei Zillions of Games zu Implementieren stelle ich mir schwierig vor. Ich kenne bisher keine gute Anleitung zum Schreiben von Skripten bei Zillions. Eventuell finden sich ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Kitaktus am Fr. 30. April 2021 15:10:44
Hallo Bernhard, man müsste die Regeln erst mal verinnerlichen und es ein paar Mal spielen. Wenn Du möchtest, dass Menschen es ausprobieren, sind zu viele Regelvarianten kontraproduktiv. Was Prof. Althöfer vorschlagen würde: "Zillions of Games" installieren, eine Regeldatei schreiben und das Programm spielen lassen. [Oder wer kann: Selbst programmieren.] - Wie lang dauert eine Partie im ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Bernhard am Fr. 30. April 2021 08:49:45
Hallo Ronald! Probiert habe ich es schon einmal. Da ich aber alleine wohne, habe ich - gerade jetzt zu Corona-Zeiten - große Schwierigkeiten Gelegenheiten und Personen dazu zu finden. Außerdem habe ich dabei gemerkt, daß es für mich sehr schwehr ist, das einfach mal ohne Vorbehalte zu spielen. Bei jedem Zug kommen dann solche Gedanken wie "was wäre, wenn du die Regel jetzt anders formuli ...
Re: Steinchen wechsel dich - ein neues Brettspiel
      von Delastelle am Fr. 30. April 2021 03:10:21
Hallo Bernhard! Ich selbst experimentiere wenig mit neuen Brettspielen herum. Mir fällt Prof.Althöfer (arbeitet in Jena) ein, der selbst viele Spiele erfunden hat. Hattest Du probiert, ob das Spiel gut funktioniert? Eventuell mit anderen getestet? Keine zu einfache Gewinnstrategie, kein einfaches Remis (gibt es Remis?). Viele Grüße Ronald> ...
Re: Fixpunkte in der Kategorientheorie
      von Triceratops am Mo. 26. April 2021 21:44:32
In Beispiel F steht, dass $X \times Y$ mit der Norm $||(x,y)|| = \frac{1}{2} (||x|| + ||y||)$ ein kategorielles Produkt ist; das ist aber nicht der Fall, das kategorielle Produkt wäre mit der Sup-Norm. Man definiert hier die Norm gerade so, dass die Operation $\star$ isometrisch wird. Der Beweis bleibt unverändert. Wählt man die Norm $||(x,y)||_p := \left(\frac{1}{2} (||x||^p + ||y||^p)\right)^ ...
Re: Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett
      von Delastelle am Di. 20. April 2021 21:12:25
Hallo Asrael und die Anderen! Mit den neusten Entwicklungen bezüglich Schach und Go Programmierung kenne ich mich nicht so aus. Aber Suchbaumtechniken könnten helfen Lösungen zu finden. Ein Nachteil: bei 8 Zügen (Bewegungen) und 40 Drückfeldern hat ein Zug schon 320 Varianten. Ich denke aktuell nach, wie lange eine Einmauerung des Blauen in der rechten Bretthälfte durch teilweises Dr ...
Re: Auf der Suche nach einer guten Strategie für das Spiel Isola auf dem 6x8 Brett
      von Asrael am Di. 20. April 2021 11:07:14
Minimax-Algorithmus wäre der nächste Schritt! Bei Spielen wie Go und Hex, die hohen Verzweigungsfaktor haben, wurden auch Monte-Carlo-Rollouts (zuende Spielen mit Zufallszügen) zur Zugevaluation angewandt, die dann zu Monte-Carlo-Trees mit ucb wurden und noch später von google deepmind mit neuronalen Netzen ausgestattet wurden (um durch KI sowohl eine Vorwahl von günstigen Zügen zu bekommen ...
Re: Lineare Algebra, Bra-Ket-Notation und die Quantenmechanik
      von matroid am Di. 13. April 2021 20:55:36
Von einem Leser, dem dieser Artikel sehr gut weitergeholfen hat, habe ich eine pdf-Version des Artikels erhalten. Diese habe ich hier wunschgemäß hochgeladen. Vielen Dank Gruß Matroid> ...
Re: Transformationsverhalten (und etwas mehr) für Physiker
      von matroid am Di. 13. April 2021 20:54:21
Von einem Leser, dem dieser Artikel sehr gut weitergeholfen hat, habe ich eine pdf-Version des Artikels erhalten. Diese habe ich hier wunschgemäß hochgeladen. Vielen Danke Gruß Matroid> ...
Re: Wachstumsfunktionen in der Anwendung
      von Gerhardus am Sa. 10. April 2021 12:32:31
Bzgl. der gegenwärtigen Pandemie finde ich den Wikipedia-Artikel über das SIR-Modell recht gut verständlich. Die Anzahl Infizierten I(t) wächst proportional zu I(t) und proportional zu den Infizierbaren S/N (S sind alle nicht immunen, nicht infizierten Personen und N die Gesamtbevölkerung). Das entspricht ungefähr der Diff.gleichung y′(t)=k⋅y(t)⋅(G−y(t)), wo G den Wachstumsrau ...
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