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  Gefunden in Artikeln:
Ein schwieriges Problem auf der IMO von trunx
       am So. 08. Dezember 2019 08:36:17 - 809 mal gelesen - 24 Kommentare
Auf der Wikipediaseite "Internationale Mathematik-Olympiade" werden die zwei schwersten Probleme genannt, die je auf einer IMO gestellt worden sind. Beide Aufgaben konnten nur von 11 Schülern gelöst werden, einmal (1986) bei insgesamt 210, das zweite Mal (1988) bei insgesamt 268 Teilnehmern. W ...
Galois-Verbindungen von Triceratops
       am Do. 21. November 2019 22:39:52 - 346 mal gelesen - 4 Kommentare
Galois-VerbindungenAusgehend von einer einfachen Beobachtung zwischen der Bildmenge und der Urbildmenge gelangen wir zum Begriff einer Galois-Verbindung. Dieser wird in diesem Artikel untersucht. Wir beweisen einfache Eigenschaften von Galois-Verbindungen und geben ein paar einfache Anwendungen an. ...
4-reguläre planare Einheits-Dreieck-Graphen von Slash
       am Mo. 18. November 2019 21:17:18 - 231 mal gelesen - 2 Kommentare
Wie man 4-reguläre planare Graphen nur aus kongruenten gleichseitigen Dreiecken konstruiertLassen sich kongruente gleichseitige Dreiecke in der Ebene ohne Überschneidungen derart aneinanderlegen, dass sich immer genau zwei Ecken berühren ohne dabei größere Dreiecke zu bilden? Und wenn ja, wie v ...
Die Koch-Schneeflocke von Triceratops
       am Sa. 07. September 2019 20:09:14 - 627 mal gelesen - 10 Kommentare
Die Koch-SchneeflockeIn diesem kurzen Artikel werden die Flächeninhalte der Koch-Kurve und der Koch-Schneeflocke berechnet, ohne Grenzwerte oder unendliche Reihen zu benutzen. > ...
Hauptsünden und Tugenden von Simplexlehrern von Goswin
       am Mo. 02. September 2019 20:49:09 - 379 mal gelesen - 7 Kommentare
Gemeint ist, in kleinlich ernsthafter Genauigkeit: "Drei meiner Meinung nach schwerwiegende und fast überall beobachtete didaktische Fehlverhalten von Schullehrern der zwölften Klasse und darüber beim Unterrichten des Wahlfachs Lineare Optimierung". Der verkürzte Artikelname ist also ganz unmög ...
Muster im Alltag von trunx
       am Do. 29. August 2019 08:06:43 - 657 mal gelesen - 5 Kommentare
Der Eine oder die Andere kennt möglicherweise den folgenden Gesprächsverlauf aus eigener Erfahrung. A: Was machst du beruflich/ studierst du/ ist dein Hobby? B: Mathematik A: Rechnen ist nicht so meins. B: Kann ich verstehen, aber Mathematik ist deutlich mehr als Rechnen. A: Inwiefern? B: ...
Schriftlich Wurzelziehen (quadratisch und kubisch) von trunx
       am Mo. 05. August 2019 11:08:44 - 375 mal gelesen - 4 Kommentare
In der Schule lernen wir in der Regel nur die schriftliche Berechnung der 4 Grundrechenoperationen. Hier in diesem Artikel wird das schriftliche Radizieren beispielhaft für das quadratische bzw. kubische Wurzelziehen erläutert. Grundlage dafür ist wahlweise die erste binomische Formel \((a+b)^2 = ...
Berechnung der Zahl π mit einfachen Mitteln von trunx
       am Fr. 12. Juli 2019 11:54:30 - 792 mal gelesen - 20 Kommentare
Die Zahl \(\pi\) ist genau genommen eine Naturkonstante. Es ist sehr beeindruckend, dass man diese Naturkonstante berechnen kann, dass also das Denken etwas mit der Realität zu tun hat und nicht gänzlich auf sich selbst gerichtet ist. Die moderne Physik stellt weitere Naturkonstanten zur Verfügun ...
Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 2/2) von Dune
       am Sa. 27. April 2019 20:49:33 - 252 mal gelesen - 1 Kommentare
Wir befinden uns nach wie vor auf der Suche nach der dreifachen Überlagerung $3.A_7$ von $A_7$, einer einzigartigen endlichen Gruppe, deren Existenz ein bloßer kombinatorischer Zufall zu sein scheint. Unser selbstgestecktes Ziel ist aber nicht nur ein bloßer Existenz- und Eindeutigkeitsbeweis: Wi ...
Transformation ebener Kurven von Gerhardus
       am Sa. 20. April 2019 13:56:27 - 262 mal gelesen - 3 Kommentare
Transformation von Kurven (9. Schuljahr) Das 9. Schuljahr lehrt Parabeln als quadratische Funktionen. Dazu gehören Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen der Parabel als Vorspiel zur wichtigen p-q-Formel, um die Nullstellen der quadratischen Funktion zu berechnen. Ein Satz wie: „Die Par ...
Auf der Suche nach 3.A7 (Teil 1/2) von Dune
       am Mo. 25. März 2019 21:35:51 - 350 mal gelesen - 0 Kommentare
Wir betrachten folgende Matrixgruppe mit Einträgen aus dem endlichen Körper $\mathbb{F}_{25} = \mathbb{F}_5(\zeta)$, wobei $\zeta$ eine primitive dritte Einheitswurzel sei. \( 3.A_7 = \left\langle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1+4 \zeta ...
Über die elementaren Wachstumsmodelle von Diophant
       am Mo. 18. Februar 2019 19:11:22 - 861 mal gelesen - 5 Kommentare
1. Einleitung Dieser Artikel richtet sich hauptsächlich an Schülerinnen und Schüler im Rahmen der Vorbereitung auf das Abitur. Es wird aus diesem Grunde versucht, die vorgetragenen Sachverhalte möglichst anschaulich darzustellen, auf akademische Strenge wird aus dem gleichen Grund verzichtet. ...
Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten von cis
       am Mo. 03. Dezember 2018 21:32:59 - 879 mal gelesen - 19 Kommentare
Quadratwurzel einer komplexen Zahl und Lösung der quadratischen Gleichung mit komplexen Koeffizienten In folgendem Artikel soll, ähnlich der bekannten Lösungsformel im reellen Fall, eine handhabbare Lösungsformel für die quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten ermittelt werden. ...
Markov Belohnungs-Prozesse von LaLe
       am Mo. 24. September 2018 09:27:25 - 618 mal gelesen - 2 Kommentare
Von Ameisen zu sicherer künstlicher Intelligenz: Reinforcement LearningTeil 1: Markov-BelohnungsprozesseDiese Reihe von drei Artikeln soll einen Überblick über Reinforcement Learning geben, im Deutschen etwa "Bestärkendes Lernen" genannt. Der erste Teil beschäftigt sich mit Markov-Belohnungspro ...
Konstruktion von Matrixgruppen mit (modularer) Charaktertheorie von Dune
       am So. 19. August 2018 21:47:41 - 454 mal gelesen - 2 Kommentare
Eine Geschichte, die mich nachhaltig fasziniert hat, ist die Entdeckung der ersten Jankogruppe \( J_1 \). Noch bevor die Existenz dieser sporadischen endlichen einfachen Gruppe definitiv klar war, hatte Janko bereits ihre (modularen) Charaktertafeln in jeder Charakteristik gefunden, und mit diesen I ...
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik von Gerhardus
       am Do. 26. April 2018 17:14:18 - 750 mal gelesen - 1 Kommentare
Einstieg für Laien in die Finanzmathematik Die ersten vier Kapitel sind Basiswissen der Schule. Der Text danach entstand aus zwei Kursen über Finanzmathematik für Laien, die erstmals im Winter 2017/2018 im Bildungsforum Dortelweil e.V. in Bad Vilbel stattfanden, dank der Geschichten aus dem Le ...
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren von Triceratops
       am Mi. 11. April 2018 09:55:02 - 416 mal gelesen - 0 Kommentare
Das arithmetische Mittel und freie Mittelpunkt-Algebren Dieser Artikel hat sich aus der Frage motiviert, welche Rechenregeln das arithmetische Mittel $$\overline{m}(a,b) = \frac{a+b}{2}$$reeller Zahlen erfüllt. Man erkennt relativ schnell $$\overline{m}(a,a)=a, \quad \overline{m}(a,b)=\overline{m ...
Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen von Marbin
       am So. 04. Februar 2018 20:34:57 - 891 mal gelesen - 19 Kommentare
Zweierpotenzen, die in Dezimaldarstellung immer mit 5 beginnen Im Folgenden beweisen wir, dass $\begin{align}2^{10\cdot \left \lfloor \frac{k\cdot \ln (10)+\ln\left (\frac{75}{64} \right )}{\ln\left (\frac{128}{125} \right )} \right \rfloor+9}\end{align}$ in Dezimaldarstellung für alle \(k ...
Die künstliche Niere - Experiment und Modellierung von Marbin
       am Mi. 10. Januar 2018 21:10:54 - 443 mal gelesen - 3 Kommentare
Neben der Mathematik und anderen Dingen interessiere ich mich auch für die Chemie. Das Buch "Chemische Experimente die gelingen" von Römpp/Raaf besitze ich nun seit über 30 Jahren, aber erst vor kurzem habe ich das Experiment "Wie funktioniert die künstliche Niere" aus dem besagten Buch mit geri ...
Elemente der Kategorientheorie von Nichtarchimedes
       am So. 31. Dezember 2017 10:31:20 - 600 mal gelesen - 2 Kommentare
Elemente der Kategorientheorie Elemente und Kategorientheorie in derselben Überschrift? Passt das zusammen? Es passt. In diesem Artikel soll eine Möglichkeit vorgestellt werden, den Elementkalkül der elementaren Mengenlehre in allgemeinen Kategorien zu entwickeln und mit der neu gewonnen Sicht ...

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  Gefunden in Kommentaren zu Artikeln:
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Di. 10. Dezember 2019 17:27:07
@gerhardus: wie oben unter "Bonus" geschrieben, hat (8,30,4) in der Tat eine andere Struktur und gehört zu den Lösungspolynomen \((q^3,-q+q^5,q^2)\), hier für q=2. Allgemeiner kann man eine Folge von Polynomen, ich nenne sie mal \(f_n(q)\) angeben, von denen je zwei benachbarte ein Lösungspaa ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Gerhardus am Di. 10. Dezember 2019 12:16:02
Schöne Aufgabe, passt optimal in meinen nächsten Artikel. Der IMO-Beweis ergibt: Die Tupel (a,b,c) = (n,n³,n²) lösen die eingangs gestellte Gleichung. a und b sind vertauschbar. Die Lösung (8,30,4) ist von anderer Struktur. > ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am Mo. 09. Dezember 2019 16:10:11
Ich habe heute mit einem Kollegen über das Problem gesprochen und verstehe nun die Schwierigkeiten mit dem obigen Text besser. Demnach ist es zwar immer ganz nett, wenn man einige (mitunter auch unendlich viele) Lösungen berechnen kann, aber das ist noch keine Aussage über alle Lösungen (klar ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 21:54:29
\quoteon(trunx) sprich ich habe geschaut, ob es Polynome a(q) und b(q) derart gibt, dass sie in der Aufgabenkonstellation einfach nur q ergeben. Das ist wie oben gezeigt nicht möglich. \quoteoff Du hast tatsächlich gezeigt, dass für Polynome $a(q)$ und $b(q)$ die Gleichung$$ q\cdot\bigl(a(q ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Slash am So. 08. Dezember 2019 21:23:28
trunx @slash: "was ich selber denk und tu, trau ich auch dem andern zu." das zum thema "aufmerksamkeit heischen" und "schludrigkeit". und - hand-aufs-herz - du greifst mich, wie auch andere hier auf dem mp, sehr wohl wie sooft persönlich an. also geh in deine witzecke mit hölzchen spielen. "auf ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 21:21:45
Ich versuche, diesen Gedankengang mal mit einem Beispiel zu illustrieren: Eine Lösung ist ja c=4 mit dem Lösungspaar (2, 8). Wenn ich jetzt q=4 setze, dann kann ich ja Polynome a(q) und b(q) in q bilden, für die insbesondere a(4)=2 und b(4)=8 gilt. Bspw. die 4adische Darstellung von 2 und 8, ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 20:07:57
So, ich versuche auf alle Fragen zu antworten. Vorausschicken möchte ich, dass ich über kein Argument leichtfertig hinweg gehe. Vielleicht liegt das Problem darin, dass ich nicht allgemein bei den Polynomen geblieben bin und die q-adischen Zahlen ins Spiel gebracht habe. Ich beginne mal mit ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Triceratops am So. 08. Dezember 2019 17:33:19
@trunx: Ich stimme Kornkreis und zippy zu. Der Beweis funktioniert leider nicht. Ich sehe auch nicht, wie er zu retten wäre.> ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Kornkreis am So. 08. Dezember 2019 16:58:44
Hi Trunx, ich sehe hier gleich mehrere Probleme, und ich verstehe nicht ganz, warum du so leichtfertig darüber hinweggehst. Deine Zeile "es wäre also a = b = c = 0" beim ersten Koeffizientenvergleich zeigt doch bereits, dass der Koeffizientvergleich so nicht funktioniert - schließlich hast du ei ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 16:40:17
Zunächst einmal, um nicht falsch verstanden zu werden: Auch ich finde das Thema interessant genug für einen Artikel und würde den vorliegenden Artikel auch nicht als "hingeschludert" bezeichnen. Mir geht es nur darum, dass meiner Ansicht nach der Beweis, so wie er im Augenblick dasteht, falsch is ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Diophant am So. 08. Dezember 2019 15:57:01
Hallo trunx, zu dem Thema wollte ich auch noch loswerden, dass ich zwar momentan nicht den Kopf habe, die fachliche Debatte um deine Lösung zu verfolgen, aber sehr wohl der Ansicht bin, dass eine Lösung einer solchen Aufgabe einen Artikel wert ist. Er ist auch - selbstredend - bereits in der AG ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 15:47:49
@slash: "was ich selber denk und tu, trau ich auch dem andern zu." das zum thema "aufmerksamkeit" heischen und "schludrigkeit". und - hand-aufs-herz - du greifst mich, wie auch andere hier auf dem mp, sehr wohl wie sooft persönlich an. also geh in deine witzecke mit hölzchen spielen.> ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 15:21:13
@zippy: wieso sollten diese gleichungen nur für genau ein q gelten? in die lösungspaare \((a,b) = (q, q^3)\) kannst du für q alle natürlichen zahlen einsetzen. ich habe die polynomgleichung so allgemein wie möglich gehalten, aber eben auch alles an struktur hinein genommen, was durch die auf ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von Slash am So. 08. Dezember 2019 14:39:02
Ohne dich jetzt persönlich angreifen zu wollen, trunx, verstehe ich nicht, warum man ein solches Thread-Thema zu einem Artikel verwursten muss. Klar, auf der Frontpage gibt es mehr Aufmerksamkeit, aber gleichzeitig zieht es den guten ersten Eindruck des MP runter. Denn - Hand auf's Herz - es ist sc ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 12:11:59
Mir ist leider nicht klar, was du mit "q ist zwar eine Unbekannte, aber nicht unbedingt variabel" meinst. Willst du wirklich behaupten, dass man aus einer Gleichung $\sum_iA_i\,q^i=\sum_iB_i\,q^i$, in der die $A_i$ und $B_i$ irgendwelche ganze Zahlen sind und die für genau einen Wert von $q$ gil ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 11:59:57
nein. q ist zwar eine Unbekannte, aber nicht unbedingt variabel, entscheidend für den Einsatz von q ist, dass es gerade die in der Aufgabenstellung gesuchte Struktur von c widerspiegelt. Es würde nichts bringen, sprich einen Beweis auf diesem Wege unmöglich machen, wenn man darauf verzichtete (un ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 11:47:14
Du willst also nicht mehr die die Koffizenten zweier q-adischer Entwicklungen, sondern die zweier Polynome vergleichen. Dafür müsste sich $(1+a_0 b_0)q+(a_0 b_1 +a_1 b_0 )q^2+\cdots=a_0^2 +b_0^2 +2(a_0 a_1 +b_0 b_1 )q+(2a_0 a_2 +a_1^2 +2b_0 b_2 +b_1^2 )q^2 +\cdots$ als Gleichung zwischen zwei Poly ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 11:17:16
Ich verstehe, was du meinst (man kann von \(a_0^2 +b_0^2 =0\) nicht ohne Weiteres auf \(a_0 =b_0 =0\) in den q-adischen Zahlen schliessen, für q=2 wäre zb. 1+1=0). Aber der Einwand ist unerheblich, denn obwohl ich mit den q-adischen Zahlen starte, mache ich den Koeffizientenvergleich wegen der Üb ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von zippy am So. 08. Dezember 2019 10:49:49
Annehmen kannst du Eigenschaften der Koeffizienten für die Darstellungen von $a$ und $b$. Einen Koeffizientenvergleich machst du aber in der Gleichung $(1+a_0 b_0)q+(a_0 b_1 +a_1 b_0 )q^2+\cdots=a_0^2 +b_0^2 +2(a_0 a_1 +b_0 b_1 )q+(2a_0 a_2 +a_1^2 +2b_0 b_2 +b_1^2 )q^2 +\cdots$. Du schließt beispi ...
Re: Ein schwieriges Problem auf der IMO
      von trunx am So. 08. Dezember 2019 10:33:50
@zippy: dann versuche ich es anders: per definitionem nehmen in der q-adischen Darstellung einer Zahl die Koeffizienten Werte zwischen 0 und q-1 an. D.h. mit der Verwendung des Begriffs "q-adische Darstellung" und gerade eben nicht Polynom in q (über den ganzen Zahlen) ist die Einschränkung der Ko ...
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