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Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: T0ker
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Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-06-08 01:59
LineareAlgebruh
 
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Schreib $z = r e^{\varphi i}$ und schau, was mit $|z^k|$ für $k \rightarrow \infty$ passiert
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Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Quotient von Taylorkoeffizienten konvergiert gegen 1 für Funktion mit Polstelle bei 1  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-28 14:26
LineareAlgebruh
J

Haha, das ist tatsächlich ein Kommilitone von mir :D

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MarkReucher
Bestimmung von Orthonormalbasis  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-20 00:50
LineareAlgebruh
 
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Was ist denn die Definition eines unitären Vektorraums? Welche Eigenschaften muss das Skalarprodukt erfüllen? Für die Orthonormalbasis würde mir so spontan nichts einfallen, man könnte zur Not einfach linear unabhängige Polynome nehmen und Gram-Schmidt anwenden, dafür bieten sich die Polynome $1,x,x^2,...,x^{n-1}$ vielleicht an
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Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Quotient von Taylorkoeffizienten konvergiert gegen 1 für Funktion mit Polstelle bei 1  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-19 22:31
LineareAlgebruh
J
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Guten Abend.

Ich bearbeitige derzeitig eine Aufgabe, und wollte fragen, ob jemand über meine Lösung rüberschauen könnte. Mir scheint auf den ersten Blick nichts falsch, aber Analysis ist manchmal so eine Sache bei mir...
Hier die Aufgabe:

"Sei $R > 0$, $f : D_R(0) \rightarrow \mathbb{C} \cup \{\infty\}$ eine meromorphe Funktion mit genau einer Polstelle bei $z_0 \in D_R(0)$ mit Ordnung $k > 0$. $f$ habe bei $0$ die Potenzreihenentwicklung $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$. Zeige nun: $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_n+1} = z_0$, mit:
a) $z_0 = 1$, $k=1$
b) $z_0 = 1$, $k>0$
c) $z_0$ beliebig, $k>0$"

Die a) und b) wollte ich gleichzeitig lösen, hier meine Lösung:

$f$ lässt sich als Laurent-Reihe entwickeln:
$$f(z) = \sum_{m=1}^k \frac{c_m}{(1-z)^m} + g(z)$$ mit holomorphem $g$, welches sich auch wieder entwickeln lässt, somit:
$$f(z) = \sum_{m=1}^k \frac{c_m}{(1-z)^m} + \sum_{n=0}^\infty b_n z^n$$ Jetzt lässt sich die erste Summe ein wenig umschreiben, und zwar:
$$\sum_{m=1}^k \frac{c_m}{(1-z)^m} = \frac{c_1}{1-z} + \frac{c_2}{(1-z)^2} + ... + \frac{c_k}{(1-z)^k} = \frac{(1-z)^{k-1}c_1 + (1-z)^{k-2}c_2 + ... + c_k }{(1-z)^k}$$ $$=: \frac{C(z)}{(1-z)^k}$$
Wenn man $|z|<1$ annimmt, kann nun der binomische Lehrsatz angewendet werden:

$$ (1-z)^{-k} = \sum_{n=0}^\infty  \binom{k+n-1}{n} z^n $$
Damit also:

$$f(z) = \sum_{n=0}^\infty \left[C(z)\binom{k+n-1}{n} + b_n \right] z^n \equiv \sum_{n=0}^\infty a_n z^n$$
Koeffizientenvergleich liefert:

$$ a_n = C(z)\binom{k+n-1}{n} + b_n$$
Weil $g$ holomorph ist gehen die $b_n$ für wachsendes $n$ gegen $0$. Es gilt dann:

$$\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_n}{a_{n+1}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{C(z)\binom{k+n-1}{n} + b_n}{C(z)\binom{k+n}{n+1} + b_{n+1}} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{\binom{k+n-1}{n}}{\binom{k+n}{n+1}}$$ $$= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(k+n-1)!}{n!(k-1)!} \cdot \frac{(n+1)!(k-1)!}{(k+n)!} = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n+1}{n+k} = 1$$
Ist der Beweis so in Ordnung? Mein Bauchgefühl sagt mir nein :D. Nun ist mir aber nicht ganz klar, wie man bei der c) vorgehen sollte. Der Schritt mit dem binomischen Lehrsatz klappt leider nicht für allgemeines $z_0$, das heisst man muss irgendwie anders an die Sache ran. Hat es möglicherweise was mit der Cauchy-Integral-Formel zu tun? Weil $f$ sich auch schreiben lässt als $f(z) = \frac{g(z)}{z_0 - z}$, das sieht ein wenig wie der Integrand bei der Formel aus, hmm.
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Komplexitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Reduktion von SAT auf MAJSAT  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-20
LineareAlgebruh
J

Guten Abend.

Ich versuche derzeitig diese Aufgabe zu lösen:



Zunächst erschien es mir sehr logisch, dass dieses Problem nicht in P liegen kann, da mir nur einfiele, alle 2^n Kombinationen durchzugehen und unter diesen 2^(n-1) + 1 erfüllende Kombinationen zu finden, das ist nicht polynomiell, und ich wüsste nicht, wie man besser suchen könnte. Ich hab auch mal online ein wenig nachgeschaut und herausgefunden, dass dieses Problem allgemein unter dem Namen MAJSAT bekannt ist. Dieses Problem liegt sogar nicht mal mehr in NP. Nun würde ich gerne zeigen, dass es NP-schwer ist. Dazu muss man "einfach" irgendein NP-schweres Problem auf MAJSAT poly. reduzieren, in der Vorlesung sah das auch immer so einfach aus, aber hier habe ich leider nicht mal einen Ansatz, was man versuchen könnte. Hat da jemand vielleicht einen kleinen Tipp?

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Jordan-Normalform ohne Matrizen  
Beitrag No.2 im Thread
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LineareAlgebruh
J
\(\begingroup\)\(%%%%%%%%%%%% mathematical bold  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\bA}{\mathbb{A}} \newcommand{\bB}{\mathbb{B}} \newcommand{\bC}{\mathbb{C}} \newcommand{\bD}{\mathbb{D}} \newcommand{\bE}{\mathbb{E}} \newcommand{\bF}{\mathbb{F}} \newcommand{\bG}{\mathbb{G}} \newcommand{\bH}{\mathbb{H}} \newcommand{\bI}{\mathbb{I}} \newcommand{\bJ}{\mathbb{J}} \newcommand{\bK}{\mathbb{K}} \newcommand{\bL}{\mathbb{L}} \newcommand{\bM}{\mathbb{M}} \newcommand{\bN}{\mathbb{N}} \newcommand{\bO}{\mathbb{O}} \newcommand{\bP}{\mathbb{P}} \newcommand{\bQ}{\mathbb{Q}} \newcommand{\bR}{\mathbb{R}} \newcommand{\bS}{\mathbb{S}} \newcommand{\bT}{\mathbb{T}} \newcommand{\bU}{\mathbb{U}} \newcommand{\bV}{\mathbb{V}} \newcommand{\bW}{\mathbb{W}} \newcommand{\bX}{\mathbb{X}} \newcommand{\bY}{\mathbb{Y}} \newcommand{\bZ}{\mathbb{Z}} %%%%%%%%% calligraphic %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} %%%%%%%%%%%%% mathematical fraktur  %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\fA}{\mathfrak{A}} \newcommand{\fB}{\mathfrak{B}} \newcommand{\fC}{\mathfrak{C}} \newcommand{\fD}{\mathfrak{D}} \newcommand{\fE}{\mathfrak{E}} \newcommand{\fF}{\mathfrak{F}} \newcommand{\fG}{\mathfrak{G}} \newcommand{\fH}{\mathfrak{H}} \newcommand{\fI}{\mathfrak{I}} \newcommand{\fJ}{\mathfrak{J}} \newcommand{\fK}{\mathfrak{K}} \newcommand{\fL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\fM}{\mathfrak{M}} \newcommand{\fN}{\mathfrak{N}} \newcommand{\fO}{\mathfrak{O}} \newcommand{\fP}{\mathfrak{P}} \newcommand{\fQ}{\mathfrak{Q}} \newcommand{\fR}{\mathfrak{R}} \newcommand{\fS}{\mathfrak{S}} \newcommand{\fT}{\mathfrak{T}} \newcommand{\fU}{\mathfrak{U}} \newcommand{\fV}{\mathfrak{V}} \newcommand{\fW}{\mathfrak{W}} \newcommand{\fX}{\mathfrak{X}} \newcommand{\fY}{\mathfrak{Y}} \newcommand{\fZ}{\mathfrak{Z}} %%%%%%%%%%    Math operators    %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \DeclareMathOperator{\Id}{Id}             % identity morphism % \DeclareMathOperator{\ker}{ker}           % kernel \DeclareMathOperator{\rg}{rg}             % Rang \DeclareMathOperator{\defekt}{def}        % Defekt \DeclareMathOperator{\im}{im}             % image \DeclareMathOperator{\Hom}{Hom}           % homomorphisms \DeclareMathOperator{\End}{End}           % endomorphisms \DeclareMathOperator{\Span}{Span}         % linear span %%%%%%%%%%   Anderes Zeug :D   %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \def\C{\mathbb{C}} \def\R{\mathbb{R}} \def\K{\mathbb{K}} \def\Q{\mathbb{Q}} \def\Z{\mathbb{Z}} \def\N{\mathbb{N}} \def\H{\mathbb{H}} \def\e{\varepsilon}\)
Nur um einmal sicherzugehen dass ich das jetzt richtig verstanden habe: Man findet also zu jedem Polynom $P\in K[T]$ durch Polynomdivision ein Polynom $R \in K[T]$, so dass einerseits $\deg(R) <n$ und andererseits $\pi(P) = \pi(R)$ gilt, richtig? Polynome in $K[T]$ vom Grade kleiner n können durch die Basis $\{1, T, ... , T^{n-1} \}$ dargestellt werden. Damit lässt sich auch $\pi(R)$ (und somit auch $\pi(P)$) als Linearkombination der  $\{\pi(1), \pi(T), ... , \pi(T^{n-1}) \}$ darstellen. Damit hat man schonmal ein EZS, das es auch eine Basis bildet folgt einfach daraus, dass wenn $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i \pi (T^i) = 0$ gelten würde, dann müsste man irgendein Polynom $S \in K[T]$ finden können, sd. $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i T^i = T^n S$, wegen des Grades sieht man aber sofort, dass $S=0$ sein muss. Damit gilt also schon $\sum_{i=0}^{n-1} \mu_i T^i = 0$, da aber die $T^i$ eine Basis bilden, folgt $\mu_i = 0$. Somit ist also $\{\pi(1), \pi(T), ... , \pi(T^{n-1}) \}$ eine Basis. Aufgrund des Automorphismus hätte man statt $\{1, T, ... , T^{n-1} \}$ auch immer $\{1, T-\lambda, ... , (T-\lambda)^{n-1} \}$ nehmen können, das wär dann doch schon alles oder nicht? Vielen Dank für die Hilfe!
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Jordan-Normalform ohne Matrizen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-05
LineareAlgebruh
J
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Guten Tag.

Ich bearbeite derzeitig folgende Algebra Aufgabe:



Klingt an sich nicht so kompliziert, nur leider habe ich ein paar große Verstädnisprobleme. Diese Aufgabe soll wohl etwas mit der Jordannormalform zu tun haben, wie genau ist mir aber selbst noch nicht klar.

Ich verstehe nicht genau, was "$(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod } (T-\lambda)^n$" eigentlich genau bedeutet. Vielleicht ist das kein guter Vergleich, aber wenn man zb die Zahl 2 nehmen würde, dann wäre $2^{n-1-k} \text{ mod }  2^{n} = 2^{n-1-k} $, die Modulo Operation hätte keinen Einfluss auf die $2^{n-1-k}$, weil $2^{n}$ größer ist. Gut, hierbei handelt es sich nicht um Zahlen sondern um Polynome, aber das sollte doch keinen Unterschied machen, oder? Also eigentlich müsste $(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod }  (T-\lambda)^n = (T-\lambda)^{n-1-k}$ gelten, oder irre ich mich da? Ist das vielleicht einfach nur eine Formalität, damit wir nicht einfach ein Element aus $K[T]$ betrachten sondern eben eins aus $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$? Das wäre so, wie zb $2 \in \mathbb{Z}$, dann ist $2 \text{ mod }  5 \in \mathbb{Z}_5$, obwohl 2 effektiv dasselbe ist wie $2 \text{ mod }  5$, oder denke ich mir da gerade was aus?

Außerdem habe ich auch noch immer ein kleines Problem mit Quotientenräumen. Ich frage mich, wie so ein Element aus $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$ eigentlich genau aussieht. Wenn man zb für einen Vektorraum $V$ und einen Unterraum $U$ von $V$ den Quotientenraum $V/U$ betrachtet, dann konnte man Elemente aus $V/U$ immer schreiben als $x+U$, das schien mir auch sehr logisch, könnte ein Element aus  $K[T] / (T-\lambda)^n K[T]$ vielleicht also einfach die Form haben $P+(T-\lambda)^n K[T]$, wobei $P \in K[T]$?

Oder wäre es hierbei doch ratsamer, mit der Projektion in den Quotientenraum zu arbeiten? Also $\pi: K[T] \rightarrow K[T]/(T-\lambda)^n K[T]$, dann wäre $[(T-\lambda)^{n-1-k} \text{ mod } (T-\lambda)^n]_{k=0}^{n-1} = [\pi((T-\lambda)^{n-1-k})]_{k=0}^{n-1}$, für ein $P \in K[T]$ muss dann eben zeigen, dass $\pi(P)$ sich irgendwie als eine Linearkombination der $\pi((T-\lambda)^{n-1-k})$ darstellen lässt, was mir aber auch nicht so klar ist.

Ich hoffe ich habe nicht zu viel Unsinn geschrieben. Wäre nett, wenn mir jemand ein wenig helfen könnte.
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Perfekt, vielen Dank!
Es gibt bei der Aufgabe noch ein paar mehr Teilaufgaben, hättest du vielleicht Lust, da kurz rüber zu schauen? Und zwar sollen jetzt f' und f'' nilpotent sein, man soll beweisen oder widerlegen, dass dann auch f nilpotent ist. Ich hätte gesagt das ist wahr:

Seien $a,b \in \mathbb{N}$, sd. $(f')^a = 0 = (f'')^b$ gilt. Sei nun $n:= \max \{a,b\}$. Das Diagramm lässt sich beliebig oft nach unten fortsetzen, damit folgt:

$ 0 = (f'')^n \circ \pi = \pi \circ f^n  $
Somit liegt das Bild von $f^n$ im Kern von $\pi$, damit also insbesondere auch im Bild von $i$. Weiterhin:

$ 0 = i \circ (f')^n = f^n \circ i $
Damit liegt das Bild von $i$ aber im Kern von $f^n$, also folgt sofort, dass das Bild von $f^n$ im Kern von $f^n$ liegt, also ist insbesondere $f^{2n}$ = 0.

Ist das so in Ordnung?
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Hmm, man könnte vielleicht $i: K \rightarrow K \oplus K, x \mapsto (x,0)$, $\pi : K \oplus K \rightarrow K, (x,y) \mapsto y$ und $f' = f'' = 0$ wählen, dann sollten $f'$ und $f''$ auf jeden Fall diagonalisierbar sein und das Diagramm kommutiert, aber $f$ wäre nicht diagonalisierbar, richtig?
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Hallo.

Ich bearbeite folgende Aufgabe:

"Gegeben sei das kommutative Diagramm...



... von endlich-dimensionalen K-Vektorräumen, die Zeilen sind exakt. Zeigen (oder widerlegen) Sie: Wenn f' und f'' diagonalisierbar sind, so ist auch f diagonalisierbar."

Ich habe das Gefühl, die Aussage stimmt, aber wie genau könnte man das zeigen? Hätte da jemand einen Tipp? Ich hab mir vielleicht erstmal überlegt, ein paar Basen zu wählen. Und zwar könnte man für $V'$ die Basis $B' := \{b'_1, ... , b'_n\}$ wählen, sd. $M_{B'}(f')$ diagonal ist. Für $V''$ macht man dasselbe: $B'' := \{b''_1, ... , b''_m\}$. So jetzt kann man mithilfe dieser beiden Basen eine Basis von $V$ finden, dazu definiert man sich eine Abbildung $\sigma$, die einfach einem Basisvektor aus $B''$ ein Urbild zuordnet. Dann hätten wir: $B :=\{i(b'_1), ... , i(b'_n), \sigma(b''_1), ... , \sigma(b''_m) \} $. Das bildet eine Basis von $V$, weil die $\sigma(b''_1), ... , \sigma(b''_m)$ nicht durch die $i(b'_1), ... , i(b'_n)$ konstruiert werden können, da sie sonst im Kern von $\pi$ liegen. Das klingt eigentlich garnicht so übel, aber jetzt weiss ich eben nicht, wie ich weiter machen soll. Irgendwie muss man ja noch das Diagramm ins Spiel bringen, aber ich sehe gerade keinen Weg. Kann mir jemand einen Tipp geben?
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Körper und Galois-Theorie
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Gibt es andere Wege, Q[sqrt(2)] ≠ IR zu zeigen?  
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Hallo.

Jede komplexe Zahl lässt sich darstellen als \(a+bi\) mit \(a,b \in \mathbb{R}\). Ich habe mich jetzt gefragt, ob sich dann auch jede reelle Zahl darstellen lässt als \( a+b \sqrt 2\), mit \(a,b \in \mathbb{Q}\), also mit anderen Worten, ob \(\mathbb{Q}[\sqrt 2] = \mathbb{R}\) gilt. Ich denke, dass die Aussage nicht stimmt, da \( \mathbb{Q}\) ja abzählbar ist, damit sollte der \( \mathbb{Q}^2\) ja auch abzählbar sein, richtig? Da \(\mathbb{R}\) überabzählbar ist, können die Mengen nicht gleich groß sein. Dieses Argument leuchtet mir ein, aber gibt es vielleicht noch andere Wege wie man das begründen könnte? Vielleicht gibt es eine spezielle irrationale Zahl, von der man explizit zeigen kann, dass sie nicht so darstellbar ist? Würde mich mal interessieren!
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Lineare Abbildungen
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Ist dieses Argument sauber formuliert?  
Beitrag No.3 im Thread
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Obwohl, ich hätte noch eine kurze Frage: Du schreibst:

 "$[x v_i] \in \langle [x v_1],\dotsc,[x v_{i-1}]\rangle$"

Ich hätte aber eher gedacht, es wäre:

 "$[x v_i] \in \langle [ v_1],\dotsc,[ v_{i-1}]\rangle$"

Weil das Bild eines Basisvektors sich als Linearkombination der vorherigen Basisvektoren darstellen lässt, richtig?
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Ist dieses Argument sauber formuliert?  
Beitrag No.2 im Thread
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Ja du hast recht, so ist die Begründung eigentlich auch noch viel einfacher zu verstehen. Vielen Dank!

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Guten Abend.

Könntet ihr mir kurz sagen, ob ich dieses Argument sauber formuliert habe?

Also erstmal eine kurze Erklärung: Wir haben eine lineare Abbildung \(x : V \rightarrow V\), wobei \( V\) ein endlichdimensionaler Vektorraum ist. Zu \(x\) gibt es einen Eigenvektor \(w\) zum Eigenwert 0. Wir betrachten nun den Quotientenraum \( V/U\), wobei \(U\) der Spann von diesem Eigenvektor \(w\) ist. Das \(x\) in \( \text{gl}(V)\) induziert nun eine Abbildung \(\bar{x}\) in \( \text{gl}(V/U)\), die einfach als \( \bar{x}(y+U) := xy + U\) definiert ist. Jetzt haben wir eine Basis \( \tilde{B} = \{v_1 + U, ... ,v_n + U \}\), sodass \( \bar{x}\) in dieser Basis als darstellende Matrix eine strikte obere Dreiecksmatrix bekommt. Jetzt kommt die eigentliche Aussage: Dann ist \( B := \{w, v_1, ... , v_n \} \) eine Basis von \(V\), sd. \(x\) bzgl. dieser Basis strikte obere Dreiecksgestalt hat.

Diese Aussage möchte ich jetzt nicht vollständig sauber beweisen, sondern ich möchte (für einen Vortrag) einfach nur argumentieren, wieso das Sinn macht. Ich hätte das dann so formuliert:

Also erstmal weiss man, dass die Urbilder \( \{v_1, ... ,v_n\}\) weiterhin linear unabhängig bleiben. Da \( V/U\) gerade durch das Rausteilen von \( w\) entsteht, könenn wir zu \( \{v_1, ... ,v_n\}\) das \(w\) hinzufügen, und das bleibt linear unabhängig und wird somit zu einer Basis von \( V \). Nun ist die Frage, wieso dann \(x\) in dieser Matrix weiterhin eine strikte obere Darstellungsmatrix hat. Wir wissen, dass \( \bar{x}\) angewendet auf einen Vektor aus \( \tilde{B}\) die richtige Gestalt hat für eine strikte obere Dreiecksmatrix. Also hätte bspw. \( \bar{x}(v_1+U) = xv_1 + U\) die richtige Gestalt. Damit hat aber auch das Urbild \(xv_1 \) die richtige Gestalt für eine strikte obere Dreiecksmatrix. Für \(w\) gilt auch, dass \( xw = 0\) ist, also ist der erste Spaltenvektor aus der Matrix bzgl. \(B\) der Nullvektor. Somit hat \(x\) angewendet auf \(B\) die richtige Form für eine strikte obere Dreiecksmatrix, somit ist also die darstellende Matrix eine strikte obere Dreiecksmatrix

So in etwa wäre das Argument (vielleicht ein paar Stellen anders formuliert). Findet ihr das in Ordnung? Es ist wie gesagt für einen Vortrag, es ist nicht ganz so wichtig, dass es komplett formal formuliert ist, es soll einfach leicht verständlich sein.
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Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Polynomring und Einsetzungshomomorphismus  
Themenstart
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LineareAlgebruh
J
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Guten Tag.

Ich bearbeite derzeitig Aufgaben zu meiner "Einführung in die Algebra" Vorlesung und muss leider feststellen, dass mich immernoch eine Unsicherheit beim Bearbeiten der Aufgaben begleitet. Kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist? Dies ist die Aufgabe:



Ich denke, dass ich die Begriffe "Ring", "Ringhomomorphismus", "Polynomring" so langsam verstanden habe. Man soll also die Injektivität von dieser Abbildung (nennen wir sie mal \(\Lambda\)) zeigen. Dazu seien jetzt \( \varphi_1, \varphi_2\) Ringhomomorphismen von \( R[T]\) nach \(S\). Sei nun \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\), nun soll man zeigen, dass \( \varphi_1 = \varphi_2\) gilt. Aus \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\) folgt nach Definition von \(\Lambda \): \( (\varphi_1 |_R, \varphi_1(T)) = (\varphi_2|_R, \varphi_2(T))\), somit gilt auch \(\varphi_1 |_R = \varphi_2 |_R \) sowie \( \varphi_1(T) = \varphi_2(T) \).

Mit anderen Worten heißt das: Wenn man ein Polynom \( f \in R[T]\) der Form \( f = r_0 + r_1 T\) hat, dann ist \( \varphi_1(f) = \varphi_2(f) \). Nun ist die Frage, ob die Gleichheit auch für \(f\) höheren Grades gilt. Man sieht aber, dass \( \varphi_1(T^i) = (\varphi_1(T))^i = (\varphi_2(T))^i =  \varphi_2(T^i) \) gilt. Folglich:

\( \varphi_1(f) = \varphi_1 \left(\sum_{i=0}^n r_i T^i\right) = \sum_{i=0}^n \varphi_1(r_i T^i) = \sum_{i=0}^n \varphi_1(r_i) \varphi_1(T^i) =  \sum_{i=0}^n \varphi_2(r_i) \varphi_2(T^i) = \varphi_2 \left(\sum_{i=0}^n r_i T^i\right) = \varphi_2(f)\)

Das gilt für alle \( f \in R[T]\), somit sind diese beiden Abbildungen gleich, aus \( \Lambda(\varphi_1) = \Lambda(\varphi_2)\) folgt dann also \( \varphi_1 = \varphi_2\).

Ist der Beweis so korrekt? Ich bin mir echt unsicher...
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Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3marco6
Matrizenmultiplikation  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-29
LineareAlgebruh
 

Sorry für die späte Antwort, aber ja, an dem darauf folgenden Tag habe ich auch La2 geschrieben :D

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3marco6
Matrizenmultiplikation  
Beitrag No.1 im Thread
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LineareAlgebruh
 

Ja, das gilt, das lässt sich sehr leicht mit der Definition der Matrixmultiplikation nachrechnen

Logik, Mengen & Beweistechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Was bedeutet es, eine Halbordnung fortzusetzen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-13
LineareAlgebruh
J

In einer Aufgabe steht etwas von "Halbordnung fortsetzen". Leider kann ich damit überhaupt nichts anfangen, konnte auch sonst nirgends etwas dazu finden, weswegen ich leider nicht weiss, was in der Aufgabe von mir verlangt wird. Ich schreibe einmal die ganze Aufgabe hin:

"Die Potenzmenge P({1,2,...,n}) sei durch Inklusion halbgeordnet.
Geben Sie für P({1,2}) und P({1,2,3}) Totalordnungen an, welche die oben genannte Halbordnung fortsetzen."

Die Aufgabe stammt aus einer Altklausur und hat nur sehr wenige Punkte gegeben, weswegen sie wohl sehr simpel und schnell gehen sollte, aber ich weiss gerade garnicht was jetzt von einem verlangt wird. Soll man einfach Ketten in P({1,2}) bzgl der Inklusionsrelation hinschreiben? Was heißt es, eine Halbordnung fortzusetzen?

Neue Idee:
Vielleicht soll man einfach eine neue Totalordnung definieren, die aber quasi noch die Inklusionsordnung enthält. Das heißt, wenn a<b bzgl. der Inklusionsordnung gilt, dann soll auch a<b bzgl. der neuen Ordnung gelten, heißt:

{} < {1} < {2} < {1,2}
Und
{} < {1} < {2} < {3} < {1,2} < {2,3} < {1,3} < {1,2,3}

Das wären Totalordnungen, und die setzen die Inklusionsrelation quasi fort. Das sieht in meinen Augen sinnvoller aus

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix  
Beitrag No.3 im Thread
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LineareAlgebruh
J
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Achso: Die algebraische Vielfachheit eines Eigenwerts im Minimalpolynom gibt die Größe des größten Jordanblocks an. Alles klar. Man kann direkt sehen, dass \( \mu_T (X) = X^2\) das Minimalpolynom von T ist, und daraus sieht man direkt auch, dass 0 die algebraische Vielfachheit 2 besitzt, und daraus folgt das dann auch. Alles klar, vielen Dank für die Hilfe!
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Jordan-Normalform einer nilpotenten Matrix  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-12
LineareAlgebruh
J
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Hmm. Also erstmal wissen wir aus \( \im(T) = \ker(T) \) und aus \( \dim\im(T) + \dim\ker(T) = \dim (V) =: n\), dass \( \dim \ker (T) = \frac{n}{2}\) sein muss, richtig? Also wissen wir schonmal, dass es \( \frac{n}{2}\) Jordanblöcke sind. n muss hierfür natürlich eine gerade Zahl sein, aber wäre n nicht gerade, so könnte \( \dim \im(T) = \dim \ker(T) \) nicht gelten und somit erst recht nicht \( \im(T) = \ker(T) \). Was man auch weiss, ist dass \( \dim \ker (T^2) = n\), ebenso für höhere Potenzen. In der Vorlesung hatten wir eine nette Formel, nämlich:

\( 2\dim\ker(T-\lambda)^k - \dim\ker(T-\lambda)^{k+1} - \dim\ker(T-\lambda)^{k-1} \)

Diese gibt die genaue Anzahl der Jordanblöcke der Größe k zum Eigenwert \( \lambda \) an. Für k=1 bekommt man 0 raus, für k=2 bekommt man n/2 raus, folglich sind alle n/2 Jordanblöcke Blöcke der Größe 2, folglich bekommt man:

\( \left( \begin{array}{rrrrr} 0 & 1 &  & & &  \\0 & 0 &  & & &  \\  &  & \ddots & & & \\ &  &  & & 0 & 1  \\ &  & & & 0 & 0\\ \end{array}\right)  \)

Bei dem Minimalpolynom bin ich mir noch nicht ganz sicher, mir ist der Zusammenhang zwischen den beiden Sachen irgendwie noch nicht so ganz klar, ich werde mir das mal anschauen
\(\endgroup\)
 

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