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Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Wie erkenne ich die uneigentlichen Symmetrien?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-21
Schokopudding
J

Nabend,

ich schaue mir gerade die Symmetrien bei den Platonischen Körpern an.
Was ich ganz gut nachvollziehen kann, sind die Drehsymmetrien (also die eigentlichen Symmetriegruppen).

Aber was ich überhaupt nicht kapiere, ist, wie man dann sieht, welche uneigentlichen Symmetrien man noch hinzufügen muss, damit man die uneigentliche Symmetriegruppe bekommt.

Beispiel: Isokaeder.
Ich weiß, dass es 60 eigentliche Symmetrien (Drehungen) gibt.
Wie weiß man nun, wie die restlichen 60 uneigentlichen aussehen?

(Insgesamt müssen es ja 120 Symmetrien sein.)


Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Kurvenintegral erster oder zweiter Art?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-10
Schokopudding
J

Dankeschön, mir ist Einiges klarer geworden.  😎

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Kurvenintegral erster oder zweiter Art?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-10
Schokopudding
J

Danke, mir war die Schreibweise <math>\int_{C}P(x,y) dx + Q(x,y) dy</math> für das Kurvenintegral zweiter Art nicht bekannt, aber offenbar ist das einfach eine alternative Schreibweise (bzw. nicht alternativ, sondern ausformuliert) für

<math>\displaystyle
\int_C F\cdot \vec{dx}
</math>

mit <math>F=(P,Q)</math> und <math>\vec{dx}=(dx,dy)</math> und <math>\int_C F\cdot\vec{dx}</math> ist dann wie üblich definiert als

<math>\displaystyle
\int_C F\cdot\vec{dx}:=\int_a^bF(\gamma(t))\cdot \dot{\gamma}(t)\, dt
</math>

Korrekt?

Demnach ist dann, wenn man sich nur eine Komponente von <math>F</math> anschaut,  <math>\int_C P(x,y)dx</math> die Schreibweise für

<math>\displaystyle
\int_C (F\cdot e_x)\cdot (\vec{dx}\cdot e_x)?
</math>

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Kurvenintegral erster oder zweiter Art?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-09
Schokopudding
J

Hallo, ist das im Satz von Green vorkommende Kurvenintegral

<math>\displaystyle
\int_C f(x,y) dx=\int_{a}^b f(\gamma_x(t),\gamma_y(t))\cdot \dot{\gamma}_{x}(t)\, dt
</math>

ein Kurvenintegral erster oder zweiter Art?

Da f skalarwertig ist, würde ich eigentlich meinen, dass es ein Kurvenintegral erster Art ist. Auch <math>\gamma_x</math> sollte skalarwertig sein.

Aber die Schreibweise des Integranden sieht irgendwie eher aus wie der Integrand eines Kurvenintegrals zweiter Art, weil da ein Skalarprodukt zu stehen scheint.

VG

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Kompakte Resolvente  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-05-12
Schokopudding
J

Hallo, ich habe mal eine Funktionalanalysis-Frage

Sei <math>T\colon H^2([-L,L])\to L^2([-L,L])</math> ein Operator, wobei hier mit <math>H^2([-L,L])</math> der Sobolevraum gemeint ist.

(1) Zeige, dass <math>T</math>  "densely defined" ist und kompakte Resolvente hat (d.h. <math>T^{-1}</math> ist kompakt und hat dichtes Bild).

Tipp: Benutze, dass <math>H^2([-L,L])</math> kompakt eingebettet ist in <math>L^2([-L,L])</math>.


Ich komme damit nicht zurecht.

Verstehe ich das richtig, dass die d.h.-Aussage in der Klammer eine äquivalente Aussage ist (wieso?) und ich also die zeigen soll statt direkt zu zeigen, dass T "denseliy defined" ist und kompakte Resolvente hat?

Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Beispiel für Kozyklus verstehen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Schokopudding
 

Ok.



Ich finde die Definition 1 in dem Buch sowieso etwas komisch.

Im Grunde heißt das doch nichts Anderes, als dass man ein Tripel <math>(\Omega,G,T)</math> hat, wobei <math>G</math> eine (Halb-) Gruppe ist und T eine (Halb-) Gruppenwirkung <math>T\colon\Omega\times G\to\Omega</math>.

Dort wird gesagt, dass <math>T</math> "die Gruppe erzeugt", was immer "erzeugen" hier heißen soll; vermutlich wohl einfach nur, dass man <math>T\colon\Omega\times G\to\Omega</math> betrachtet?

 


Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Beispiel für Kozyklus verstehen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Schokopudding
 

Doch noch eine Nachfrage. <math>\mathbb{N}_0</math> mit der Multiplikation ist doch auch eine Halbgruppe mit Einselement?

Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Beispiel für Kozyklus verstehen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Schokopudding
 

Dankeschön!


Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Beispiel für Kozyklus verstehen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Schokopudding
 

Hallo, Dromedar,

darf ich fragen, woher du weißt, dass

1. (1) und (3) Halbgruppenverknüpfungen sind,
2. (1) und (3) die Addition sind
3. <math>xn=T^n(x)</math>?

Ich frage das, weil ich das selbst überhaupt nicht rauslesen konnte und gerne wüsste, woran du das erkennst.

Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Beispiel für Kozyklus verstehen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Schokopudding
 

Hallo, hier ist die Definition von Kozyklus und ein Beispiel aus "Einführung in die Analysis dynamischer Systeme" von Manfred Denker (Seite 122):

"Seien <math>(\Omega,G)</math> ein dynamisches System mit <math>G=\mathbb{R},\mathbb{Z}</math> oder <math>\mathbb{N}_0</math> (als rechte Transformationsgruppe geschrieben) und <math>\Gamma</math> eine Halbgruppe mit Verknüpfung <math>\circ</math>. Ein Kozyklus <math>\gamma</math> ist eine Abbildung <math>\gamma\colon \Omega\times G\to\Gamma</math> mit der Eigenschaft, dass für beliebige <math>g_1,g_2\in G</math> und <math>x\in\Omega</math> die Kozykel-Relation
<math>\displaystyle
\gamma(x,g_1,g_2)=\gamma(xg_2,g_1)\circ\gamma(x,g_2)
</math>
gilt."

Als Beispiel ist gegeben:

"Sei <math>f\colon\Omega\to\mathbb{R}^d</math> eine Funktion. Dann definiert <math>\gamma(x,n)=S_nf(x)=f(x)+f(T(x))+\ldots +f(T^{n-1}(x))</math> einen Kozyklus (über <math>\mathbb{N}_0</math>) mit Werten in <math>\Gamma=\mathbb{R}^d</math>."


----

Ich habe versucht nachzurechnen, dass dies ein Kozyklus ist, bin aber an den vielen verschiedenen Verknüpfungen gescheitert und bin mir auch nicht sicher, was eigentlich hier <math>T</math> ist (vermutlich eine Abbildung <math>T\colon\Omega\to\Omega</math>).

Soweit ich das sehe, hat man hier drei verschiedene Verknüpfungen, nämlich

(1) <math>n_1n_2</math> für <math>n_1,n_2\in\mathbb{N}_0</math>
(2) <math>xn</math> für <math>x\in\Omega,n\in\mathbb{N}_0</math>
(3) die Verknüpfung <math>\circ</math> auf <math>\mathbb{R}^d</math>

und man muss zeigen, dass

<math>\displaystyle
S_{n_1n_2}f(x) = S_{n_1}f(xn_2)\circ S_{n_2}f(x).
</math>

Da ich nicht weiß, welche Verknüpfungen man jeweils meint, gelingt es mir nicht, diese Identität nachzurechnen.


Könnte mir vielleicht jemand weiterhelfen?


Viele Grüße!
Schokopudding

Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Pseudocode richtig aufschreiben  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-01-29
Schokopudding
 

Noch eine andere Frage,

wenn man in Pseudocode verschachtelte if/elseif Bedingungen macht, muss man dann immer end schreiben um anzudeuten, dass das das if zu Ende ist, wenn eine Bedingung zutraf und der entsprechende Körper ausgeführt ist?

Das heißt:

if (Bedingung 1) {
führe etwas aus;
end
else if (Bedingung 2){
 führe was aus;
end
}
else if (Bedingung 3){
 führe was aus;
end
}
}
endif
 


Oder genügt es wenn man am Ende nur das endif stehen hat?

Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Pseudocode richtig aufschreiben  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-01-29
Schokopudding
 

Hallo, es sind sehr umfangreiche Bedingungen, natürlich macht das so keinen Sinn, mir geht es nur darum, wie ich es aufschreiben muss, wenn ein Zähler von 0 beginnend ansteigt und dann in jedem Schritt genaueine der Bedingungen erfüllt ist, sodass der jeweilige Körper der if-Bedingung angesprungen wird, und danach i um eins erhöht wird, um dann das ganze Spiel von vorne zu beginnen.

Ich frage mich halt, wie man das aufschreiben kann.

Kurzversion:

Es geht darum, eine rechts unendliche Folge <math>(x(i))_{i\geq m}</math> abzutasten und damit eine andere Folge zu initialisieren.

Setze erstmal k=m.
Jetzt müssen immer Bedingungen (ich nenne sie B1,B2,B3) für <math>x(m+i)</math> und <math>x(m+i+1)</math> überprüft werden und zwar für <math>i\geq 0</math>, daher das <math>i\geq 0</math>.Das heißt, man geht die Einträge paarweise durch.

Ich speichere in k gewisse Positionen und fange am Anfang mit k=m an.

Daher k=m.

Initialisiere k=m
und y(i) (eine andere Folge)
 
Fange mit i=0 an
 
 
Wenn Bedingung 1 erfüllt ist, mache etwas mit y(i) (z.B. k=k+1) und dann erhöhe i um 1 und schaue, wieder, ob für das neue i Bedingung 1,2, oder 3 erfüllt ist.
 
Wenn Bedingunge 2 erfüllt ist, mache etwas und erhöhe i um 1 und schaue wieder, ob Bedingung 1, 2 oder 3 erfüllt ist.
 
Wenn Bedingung 1 erfüllt ist, mache etwas und dann erhöhe i um 1 und schaue, wieder, ob für das neue i Bedingung 1,2, oder 3 erfüllt ist.

Am Ende soll man dann eine weitere Folge y(i) initialisiert haben.


Da man i von 0 beginnen lässt und dann schrittweise erhöht, dachte ich dass eine for-Schleife vielleicht passend wäre.

Programmieren
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Pseudocode richtig aufschreiben  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-01-29
Schokopudding
 

Nabend,

ich möchte Folgendes als "Pseudocode" aufschreiben:

Zu Anfang setzt man k=m.

Dann möchte man für <math>i\geq 0</math> jeweils einen der folgenden Fälle anspringen, diesen ausführen und dann i=i+1 machen und wieder einen der Fälle anspringen usw.

Kann man das so aufschreiben?

Pseudocode
  1. k=m;
  2.  
  3. for (i>=0) {
  4.  
  5. if (Bedingung 1){
  6. mache etwas und setze k=k+1;
  7. end
  8. }
  9.  
  10. if (Bedingung 2){
  11. mache etwas Anderes und setze k=k+1;
  12. end
  13. }
  14.  
  15. if (Bedingung 3){
  16. mache noch etwas Anderes und setze k=k+1;
  17. end
  18. }
  19.  
  20. }


Ich weiß nicht, ob das seinen Zweck erfüllt oder ob man das schöner aufschreiben kann.


Viele Grüße

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
ODE: endlich dimensional // PDE: unendlich dimensional  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-01-05
Schokopudding
 

Nabend.

ich habe mal eine eher grundsätzliche Frage.

Ich habe jetzt schon mehrfach gelesen, dass man Partielle Differentialgleichungen (PDE) mit unendlich dimensionalen Räumen und gewöhnliche Differentialgleichungen (ODE) mit endlich dimensionalen Räumen in Verbindung bringt.

Ich glaube, damit ist jeweils die Dimension des Lösungsraums gemeint (und nicht die Dimension des Zustandraums).

Ich verstehe aber nicht so gut, warum der Lösungsraum von PDEs unendlich dimensional ist und der von ODEs endlich dimensional.

In beiden Fällen suchen wir doch Funktionen, die die Gleichung lösen und in dem Lösungsraum (Funktionenraum) liegen; und Funktionenräume sind doch eher unendlich dimensional.  😵



Edit: Mir fallen da zwei Beispiele ein:

(1) Die Lösungsräume von linearen ODEs sind endlich-dimensional (Stichwort: Fundamentalsystem).

(2) Die Lösungsräume von linearen PDEs sind unendlich-dimensional (Stichwort: Fourierentwicklung).


Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Dissipation und Dispersion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-12-17
Schokopudding
 

Hallo,
"
was meinst du damit, dass "Energie von hohen Frequenzen abfällt"?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Dissipation und Dispersion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-12-12
Schokopudding
 

Nabend,

könnte mir jemand mal bitte erklären, was man meint, wenn von PDEs mit Dissipation und/oder Dispersion oder Lösungen (z.B. traveling waves) von PDEs mit Dissipation und/oder Dispersion die Rede ist?


Zum Beispiel habe ich von dissipativen Pulslösungen gehört.
Ich weiß, was Pulslösungen sind, aber nicht, was 'dissipative' Pulslösungen sind.


Grob gesagt, ist mein Verständnis so:

(1) Dissipation: hat irgendwas mit Energieverlust pder Energieumwandlung zu tun; dissipative Pulse sind Pulse, bei denen irgendwie mit der Zeit die Amplitude abnimmt, also Pulse, die  irgendwie mit der Zeit ausgelöscht sind?

(2) Dispersion: Ich kenne eine Dispersionsrelation <math>\omega=\omega(k)</math>, die zwischen Kreisfrequenz <math>\omega</math> und Wellenzahl <math>k</math> gelten muss, damit eine planare Welle eine Lösung der PDE ist. Ich nehme daher an, dass mit dispersiver PDE irgendwas gemeint ist, das mit der Dispersionsrelation zu tun hat...


Sorry, falls das Unsinn ist, aber ich wollte zumindest mein "Vorwissen" mitteilen.


Schokoladige Grüße vom

Schokopudding

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Erhaltungsgröße -> Transformation in ODE erster Ordnung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-02
Schokopudding
 

Nabend,

es ist gegragt, welche Erhaltungsgröße die ODE <math>\ddot{x}+V"(x)=0</math> hat. Dann soll man die Gleichung mittels der Erhaltungsgröße zu einer Gleichung erster Ordnung transformieren, wo möglich.



Der erste Teil ist mir klar:

Es gilt

<math>\displaystyle
\ddot{x}\cdot\dot{x}+V"(x)\cdot\dot{x}=0,
</math>
was man auch schreiben kann als

<math>\displaystyle
\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2}\dot{x}^2+V(x)\right)=0.
</math>

Demnach ist <math>\frac{1}{2}\dot{x}^2+V(x)</math> eine Erhaltungsgröße.

Wie ist das mit der Transformation zu einer ODE erster Ordnung nun gemeint, vielleicht einfach

<math>\displaystyle
\frac{1}{2}\dot{x}^2+V(x)=C,
</math>
wobei C eine Konstante ist? 😵

(Dann verstehe ich das "wo möglich" nicht.)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Kompaktheit untersuchen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-02
Schokopudding
J

Untersuche die Kompaktheit von
<math>\displaystyle
\left\{\tan(1/n): n\in\mathbb{N}\right\}\cap [0,1]\subset\mathbb{R}
</math>
bezüglich des Betrages.



Für Kompaktheit müsste man zeigen, dass jede Folge in <math>M:=\left\{\tan(1/n): n\in\mathbb{N}\right\}\cap [0,1]</math> eine konvergente Teilfolge mit Grenzwert in <math>M</math> besitzt.


Das ist doch aber nicht der Fall.
Wenn ich die Folge <math>a_n:=\tan(1/n), n\in\mathbb{N}, n\geq 2</math> nehme, so liegt diese in <math>M</math>, aber jede Teilfolge müsste gegen <math>0</math>. <math>0</math> konvergieren;  <math>0</math> ist aber nicht in <math>\left\{\tan(1/n): n\in\mathbb{N}\right\}</math> enthalten und also auch nicht in <math>M</math>.


Oder bin ich total auf dem Holzweg?

Matlab
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Wendestellen plotten (Matlab)  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-24
Schokopudding
 

Hallo,

ich habe eine 200 x 129 Matrix, ich nenne sie mal M.
Nun kann ich für jede Zeile i die Wendepunkte bestimmen und die Positionen in index abspeichern:
Matlab
y2strich = diff(diff(M(i,:)));
index = find(diff(sign(y2strich)) ~=0);

Die Anzahl der Wendepunkte in den Zeilen müssen nicht übereinstimmen. Zum Beispiel habe ich für die erste Zeile 6 Wendestellen, für die Zeile 100 aber nur 2 Wendestellen.

Jetzt möchte ich gerne die Stellen plotten, wobei ich auf der x-Achse die Positionen der Wensestellen und auf der y-Achse die Zeitschritte 1 bis 200 haben möchte. Ich möchte also ein Raum-Zeitdiagramm für die Wendestellen haben.

Wie kann ich das realisieren?

Meine erste Idee war:
Matlab
for i=1:200
  y2strich = diff(diff(M(i,:)));
  index = find(diff(sign(y2strich)) ~=0);
  [y1,y2] = size(index);
   t = i * ones(1,y2);
  plot(index,t,'o');
   hold on;
end
 

Aber das klappt nicht.





Matlab
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Wendestellen im Raum-Zeit-Diagramm  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-24
Schokopudding
 

Hallo!

Angenommen, ich habe z.B. eine 10 x 20 Matrix Z, in der jede Zeile einem Zeitschritt (erste Zeile ist t=1, zweite Zeile ist t=2 usw.) entspricht.

Nun würde ich gerne nur die Wendepunkte zur Zeit t=1 plotten und dann sehen, wo sie sich zum Zeitpunkt t=2, t=3,..., t=10 befinden.

Also ich stelle mir ein 2D-Raum-Zeit-Diagramm vor, in dem man sieht, wo sich die Wendepunkte aus den Daten zur Zeit t=1 (erste Zeile von Z) befinden für t=2, t=3,...,t=10.


Hat jemand eine Idee, wie man das machen könnte?  😵
 

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