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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Varianz einer stetigen ZV  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-13 20:51
daenerystargaryen
 

Hey zippy, danke für deine Hilfe:)

Oh man mir ist gerade aufgefallen, dass ich den Erwartungswert einer stetigen ZV in die Formel der diskreten Varianz eingesetzt habe, würde es so stimmen?:
$$\sigma^2_{X} = \mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x - \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \mathrm{d}x)^2 \cdot f(x) \, \mathrm{d}x$$ bzw. zu:
$$\sigma^2_{X} = \mathrm{Var}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! (x (1-f(x)) \, \mathrm{d}x)^2 \cdot f(x) \, \mathrm{d}x$$

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Varianz einer stetigen ZV  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-13 20:34
daenerystargaryen
 

Hi,
Wenn ich die Varianz einer stetigen ZV berechnen möchte, muss ich dann in
$$\sigma^2_{X} = \mathrm{Var(X)} = \sum_i (x_i - \mu_{X})^2 \cdot P(X = x_i)$$ foldens einsetzen:
$$\mu_{X} = \mathrm{E}(X) = \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \mathrm{d}x$$ sodass ich dann letzendlich
$$\sigma^2_{X} = \mathrm{Var(X)} = \sum_i (x_i -  \int_{-\infty}^{\infty} \! x \cdot f(x) \, \mathrm{dx})^2 \cdot P(X = x_i)$$ hätte?
Ich möchte nur sichergehen, weil es mich verwundert, dass ich oinline nirgendwo die letztere Darstellung gefunden habe.

Viele Grüße
daenerystargaryen

PS: Wenn dies für eine stetige ZV stimmt, könnte ich dann für eine diskrete ZV gleichermaßen mit den entsprechenden Formeln vorgehen?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Habe ich falsch integriert?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-12 12:54
daenerystargaryen
 

Hey, danke für deine Antwort:)
ich habe es gerade so versucht, aber müsste ich dafür nicht (m-1)! integreiren bzw. ableiten können?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Habe ich falsch integriert?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-12 11:48
daenerystargaryen
 

Hey,
wir haben in unseren Skript diese Dichte-bzw. Verteilungsfunktion der Erlangverteilung gegeben und ich habe versucht die Dichtefunktion als Übung zu integrieren, jedoch verstehe ich nicht so ganz, wie man auf die angegebene Verteilungfunktion mit den "normalen" Integrationsmethoden kommen soll.

Ich habe es so gemacht, dass ich aufgrund der Indikatorfunktion die Integralgrenzen angepasst habe und dann mithilfe der Gamma-Funktion das Integral gelöst habe, komme damit auf $G_{\lambda,m}=\frac{\Gamma \left( m \right)}{(m-1)!}$
Unabhängig davon, ob meine Rechnung so stimmt frage ich mich jedoch, wie man überhaupt mit den "üblichen" Integrationsmethoden auf das Summenzeichen in der Verteilungsfunktion kommt, wie man die Fakültät mitintegrieren kann und inwiefern man die Indikatorfunktion in der Verteilungsfunktion beibehalten kann, wenn man sie nicht mir in das Integral zieht.

Viele Grüße
daenerystargaryen

PS: Es handelt sich zwar um Verteilungs- bzw. Dichtefunktionen, da aber das eigentliche Problem dem Integrieren geschuldet ist, habe ich den Thread mal zur Analysis hinzugefügt:)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kann man hier auf Momente beliebiger Ordnung schließen?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09 22:27
daenerystargaryen
 

Hey Sonnenschein96,
vielen Dank für deine erneute Antwort, jetzt sollte es mir klar sein:)

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Grossing-Up-Quoten  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09 22:26
daenerystargaryen
J

Okay, vielen Dank für eure Antworten:)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kann man hier auf Momente beliebiger Ordnung schließen?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09 10:05
daenerystargaryen
 

Hey Sonnenschein96,
vielen Dank für deine Antwort:)


Okay, Du befindest Dich wohl in einem Kontext, der ähnlich zum folgenden ist (oder nicht? :P): Du untersuchst \(x+ct-\sum_{i=1}^{N_t}X_i\) für \(t\geq0\), wobei \(c>0\) die Prämienrate, \(x\geq0\) die Anfangsrisikoreserve und \((N_t)\) ein homogener Poisson-Prozess mit Intensität \(\lambda>0\) ist. Dann ist natürlich \(\frac{c}{\lambda}\) einfach eine positive reelle Zahl. \(\varrho>0\) ist wohl der Nettogewinn.
Ja, das ist genau richtig:) Zu $N(t)$ haben wir noch gesagt, dass es die Schdenanzahl ist (aber das ist hier ja gerade nicht wichtig:) )



Naja, genau das Gegenteil besagt das nicht. Es gilt wie gesagt allgemein, dass \((14.7)\Rightarrow E(X^2)<\infty\), aber \(E(X^2)<\infty\nRightarrow(14.7)\).

Ich glaube hier liegt mein Verständnisproblem. Ich verstehe nicht so ganz warum es einen Unterschied macht, dass zuerst aus \((14.7)\Rightarrow $E(X^2)<\infty$  und dann $E(X^2)<\infty\nRightarrow(14.7)$. Ist es nicht egal "woraus" das folgt, denn am Ende haben wir doch sowieso beide Male $E(X^2)<\infty$, oder?




Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kann man hier auf Momente beliebiger Ordnung schließen?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-08 23:04
daenerystargaryen
 

Hey Sonnenschein96,
erstmal vielen lieben Dank für deine Antwort, ich habe mich sehr darüber gefreut. Tut mir auch leid, dass ich erst so spät nach dem Lesen der Nachricht geantwortet habe, aber ich habe ein wenig gebraucht, um alles nachzuvollziehen.
Und du hattest Recht, $\frac{c}{\lambda}$ ist in meinem Kontext $<\infty$

Ich habe allerdings noch eine kurze Frage, die mir beim Lesen deiner Antwort mit Durchforsten des Skriptes aufgekommen ist.

Wir haben in unserem Skript festgelegt, dass man von kleinen Schäden spricht, wenn $E[X_1^2]<\infty$. Aber besagt dies nicht genau das Gegeteil wie in 14.7?



Und weißt du vielleciht (tut mir leid für die ganzen Fragen), ob eine Nichtexistenz des Lundberexponenten $v$ aus 14.7 (also kein exponentieller Abfall) äquivalent dazu ist, dass subexponentieller Abfall vorliegt?
Weil dann bräuchte ich doch eigentlich keine Momente untersuchen, sondern lediglich zeigen, dass $v$ nicht eindeutig ist, oder?

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kann man hier auf Momente beliebiger Ordnung schließen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-08 20:22
daenerystargaryen
 

Hey,
ich kenne mich leider nicht wirklich mit Stochastik aus, deshalb wollte ich mal fragen wieso in diesem Beispiel die Bedingung für kleine Schäden nicht erfüllt ist (Bei kleinen Schäden liegt exponentieller- und bei großen subexponetieller Abfall vor), denn leider verstehe ich wichtige Zusammenhänge nicht:


Die genannte  Bedingung ist, dass Momente beliebiger Ordnung existieren.
Bzw:



Dabei habe ich jedoch keine Ahnung inwiefern sich $E[X^2_1]<\infty$ mit der Nichtexistenz von beliebigen Momenten deckt, denn es wird sich sich doch auf das zweite Moment bezogen, dass ja anscheinden $<\infty$ sein muss, aber infwiefern kann man daraus dann auf Monente beliebiger Ordnung schließen? Bzw. inwiefern das mit 14.7 zusammenhängt, dass verstehe ich nämlich leider überhaupt gar nicht.

Ich hoffe, dass meine Frage verständlich ist und mir evt. jemand eine Antwort geben könnte

Liebe Grüße
daenerystargaryen

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Grossing-Up-Quoten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-06 22:28
daenerystargaryen
J

Hey nochmal,
kennt sich vielleicht jemand mit der Grossing-Up-Methode aus und weiß, wie man die Grossing-Up-Quoten (im Nenner) so umformen kann? Bzw. wie ich mit der Subtraktion in der Summe umgehen muss?

Viele Grüße
daenerystargaryen

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diesen Index?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-06 21:49
daenerystargaryen
J

Hallo Kezer,
ja genau, vielen Dank:)

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diesen Index?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-06 21:28
daenerystargaryen
J

Hey,
versteht ihr vielleicht, wie hier umgeformt wurde:

$$\sum \limits_{k=0}^{n-i}v_k=1-\sum \limits_{k=n-i+1}^{n}v_k$$
ich hätte gesagt, dass hier der 0te Summand herausgezogen wurde und die obere und untere Grenze vertauscht wurden, zumindest lässt mich das Minus das schließen. Aber dann komme ich bei der oberen grenze auf eine 0 und nicht auf n

Viele Grüße
daenerystargaryen

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Stimmt das zweite Moment?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-04 22:21
daenerystargaryen
J

Hi Diophant,
vielen Dank für deine Hilfe:)
VG

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Stimmt das zweite Moment?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-04 20:54
daenerystargaryen
J

Hey Buri,
danke für deine Antwort. Nur um Sicher zu gehen, du mienst so, oder?
$$E[x^2]=\sum \limits_{i=0}^{\infty}x_i^2(P(x=x_i))$$ $$E[x]=\sum \limits_{i=0}^{\infty}x_i(P(x=x_i))$$ VG

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Stimmt das zweite Moment?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-04 19:28
daenerystargaryen
J

Hey,
kann mir vielleicht jemand sagen, ob die Formel für das zweite Moment einer diskreten Zufallsvariable so stimmt?
$$E[x^2]=x_i^2(P(x=x_i))$$ Ich bin darauf gekommen, weil ja für $E[X]$ gilt:
$$E[x]=x_i(P(x=x_i))$$ und für stetige Zufallsvariablen ist es ja so, dass:
$$E[t]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}tf(t)dt$$ $$E[t^2]=\int \limits_{-\infty}^{\infty}t^2f(t)dt$$
Deshalb dachte ich, dass ich dass evt. auch auf diskrete Zufallsvariablen übertragen könnte.

Liebe Grüße

daenerystargaryen

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-03 15:35
daenerystargaryen
 

Ok, vielen lieben Dank für deine Hilfe:)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-03 09:24
daenerystargaryen
 

Hey Zippy,
danke für deine Antwort, dass hat bei mir ziemlich viele Ansichten gerade gerückt, ich hatte das wirlkich verswechselt und in "dieser einen Aufgabe" habe ich auch echt die Parameter durcheinandergeworfen, wie du sagst.
Gibt es denn andersherum dann für diskrete Verteilungen keine Verteilungsfunktion, sondern nur die Zähldichte?
VG

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-02 23:19
daenerystargaryen
 

Hey Zippy, danke:) Habe es jetzt verstanden:
$P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^0}{1}=e^{-\lambda t}$

Aber ich bin trotzdem gerade ein bisschen verwirrt, weil ich die Zähldichte der Poisson-Verteilung, ohne zuätzliches Lambda in Errinerung habe.
Wenn ich jetzt richtig liege, dann ist die folgende Zähldichte die Zähldichte der Poisson-, Exponential- und Erlangverteilung
$P(N(t)=m)=e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^m}{m!}$

Stimmt das? Sorry wenn ich so detailliert frage, aber bin mir gerade ziemlich sicher, dass wir mal auf einem Übungsblatt die Zähldichte der Poisson-Verteilung anders definiert hatten.
VG

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Wie kommt man auf diese Wahrscheinlichkeit?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-02 22:04
daenerystargaryen
 

Hallo,
versteht ihr wie man hierauf kommt:
Für einen Poisson-Prozess (N(t))t≥0 zum Parameter $\lambda>0$ gilt:
$$P(N(3t)-N(2t)=0)=e^{-\lambda t}$$ Für mich sieht es so aus, als ob ein teil der Zähldichte der Poissonverteilung wegfällt, aber wieso und ob das stimmt weiß ich leider nicht.
Könntet ihr mir vielleicht helfen?
Viele Grüße
daenerystargaryen

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Was wurde hier substituiert?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-25
daenerystargaryen
 

ok,vielen dank:)
 

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