Die Mathe-Redaktion - 20.06.2018 15:01 - Registrieren/Login
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standart

Forum
Thema Eingetragen
Autor

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: vounesa
Integral mittels Residuenrechnung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-20 10:38
dietmar0609
 
\(\begingroup\)
Deine ersten Nullstellen sind falsch.

Dann liest du dir den Beitrag von wladimir_1989 nochmal durch. Der geschlossene Integrationsweg ist hier einfach und "Standard".

Welche deiner gefundenen Nullstellen liegt innerhalb dieses Gebietes?

Danach Residuensatz anwenden.

Gruss Dietmar
\(\endgroup\)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: statstat
Ableitung der Normierungsfunktion für exponentielle Modelle  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-18 02:51
statstat
 
\(\begingroup\)
Sei \(\mathcal{M} = (\mathcal{X}, \mathcal{F}, P_\vartheta: \vartheta \in \Theta)\) ein einparametriges Standardmodell, dessen Parametermenge \(\Theta\) ein offenes Intervall ist. \(\mathcal{M}\) heißt ein exponentielles Modell, wenn die Likelihood-Funktion die folgende Gestalt besitzt:

\[ \rho(x, \vartheta) = \exp\bigl[a(\vartheta)\, T(x)-b(\vartheta)\bigr] \, h(x) \]

mit:

\(a: \Theta\rightarrow\mathbb{R}\) eine stetig differenzierbare Funktion mit Ableitung \(a' \neq 0\).
\(h: \mathcal{X}\rightarrow ]0, \infty[\) eine positive messbare Funktion, und
\[b(\vartheta) = \ln \int_{\mathcal{X}} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\, h(x) \, dx \] eine Normierungsfunktion.

Aufgabe: Sei \(\mathcal{M}\) ein exponentielles Modell bezüglich einer Statistik \(T\) sowie \(\tau(\vartheta) = \mathbb{E}_\vartheta (T)\) für \(\vartheta \in \Theta\). Zeige, dass die Normierungsfunktion \(b\) auf \(\Theta\) stetig differenzierbar mit Ableitung \(b'(\vartheta) = a'(\vartheta)\,\tau(\vartheta)\) für \(\vartheta \in \Theta \) ist.

Lösung (teilweise): Damit man irgendwann \(\frac{d}{d\vartheta}\) unter das Integral ziehen kann (siehe Otto Forster: Analysis 3, §11 Satz 2), muss man zeigen, dass für \(f(x,\vartheta) := e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\) gilt:

(a) für jedes \(\vartheta \in \Theta\) ist die Funktion \(x\mapsto f(x,\vartheta)\) integrierbar auf \(\mathcal{X}\).
(b) für jedes \(x \in\mathcal{X}\) ist die Funktion \(\vartheta\mapsto f(x,\vartheta)\) differenzierbar in \(\Theta\).
(c) es gibt eine integrierbare Funktion \(F: \mathcal{X}\rightarrow\overline{\mathbb{R}}_+\) mit
\[\left|\frac{\partial f}{\partial\vartheta}(x,\vartheta)\right| \leq F(x) \quad \forall (x,\vartheta) \in \mathcal{X}\times\mathcal\Theta \,.\]
(a) folgt daraus, dass \(\rho\) bereits auf \(\mathcal{X}\) integrierbar sein muss.
(b) folgt daraus, dass \(T(x), h(x)\) Konstanten, die Exponentialfunktion und \(a(\vartheta)\) nach \(\vartheta\) differenzierbar sind.
(c) folgt aus was??

Angenommen, dass (c) gilt, dann folgt:

\[\begin{align*} b'(\vartheta) &= \frac{d}{d\vartheta} \ln \int_\mathcal{X} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\,dx \\
&=   \frac{1}{\int_\mathcal{X} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\,dx} \frac{d}{d\vartheta} \int_\mathcal{X} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\,dx\\
&= \frac{1}{\int_\mathcal{X} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\,dx}  \int_\mathcal{X} \frac{\partial}{\partial\vartheta}\left( e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\right)\,dx\\
&= e^{-\ln \int_\mathcal{X} e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x)\,dx} \int_\mathcal{X}  e^{a(\vartheta) \, T(x)}\,h(x) \, a'(\vartheta) \, T(x)\,dx \\
&= a'(\vartheta)  \int_\mathcal{X}  e^{a(\vartheta) \, T(x) - b(\vartheta)}\,h(x)  \, T(x)\,dx \\
&= a'(\vartheta)  \int_\mathcal{X} T(x)\,\rho(x,\vartheta)\,dx \\
&= a'(\vartheta) \, \mathbb{E}_\vartheta (T) = a'(\vartheta) \, \tau(\vartheta)
 \end{align*} \]
Frage:
(1) ist das soweit korrekt?
(2) wie zeigt man, dass die Bedingung (c) gilt, also dass diese partielle Ableitung eine integrierbare Majorante hat?
\(\endgroup\)

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Primfaktorzerlegungen in Zahlkörpern  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-17 13:30
Saki17
 
\(\begingroup\)
Hi,

ich denke, dein Ansatz zu (1) funktioniert, den zu (2) habe ich nicht durchgedacht.

Zu (1), wenn du die Formel $[K:\IQ]=\sum_{i=1}^g e_if_i$ benutzen darfst, dann ist die Aussage trivial. In dem Fall ist ja $[K:\IQ]=2$. (Ich finde den offiziellen Namen für die Formel nicht, sie sollte aber schon aus der elementaren alg. Zahlentheorie bekannt sein. Die Buchstaben e und f sind standard.)

Etwas komplizierter (als dein Ansatz): Betrachte das Minimalpolynomial $f$ zur quadratischen Körpererweiterung $K/\IQ$. Wir wissen $O_K=\IZ[\omega]$ (für gewisses $\omega\in O_K$) und finden dann einen Isomorphismus $O_K/pO_K\cong \mathbb{F}_p[X]/\langle \overline{f}\rangle$ für jede Primzahl $p$. Dh. die irred. Faktoren von $f$ über $\mathbb{F}_p$ entsprichen den Primidealen, die in $pO_K$ vormommen. Da $f$ höchstens zwei irred. Faktoren hat, gibt es höchstens zwei Primideale, die über $p$ liegen.

Zu (2), betrachte die Objekte in der Idealklassengruppe $J_K$. Es gelte $pO_K=P_1P_2$. Dh. $0=[p]=[P_1]+[P_2]$ ([] bezeichnet Äquivalenzklassen, zwei Elemente in $J_K$ sind gleich, wenn sie sich nur um ein gebrochenes Hauptideal unterscheiden). Hieraus folgt die Beh.(2).
\(\endgroup\)

Theoretische Informatik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KidinK
Beweis, dass 1 nicht gerade ist (Coq)  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-16 21:30
tactac
J
\(\begingroup\)
2018-06-16 18:56 - KidinK in Beitrag No. 2 schreibt:
Danke  smile

Wo kann ich mehr über remember as und inversion nachlesen?
Es gibt natürlich eine Dokumentation.

2018-06-16 18:23 - tactac in Beitrag No. 1 schreibt:
In Coq gibt es außerdem einen Unterschied zwischen
Coq
Inductive even: nat -> Prop := ...
und
Inductive even(n: nat): Prop := ...


Könntest du diesen Unterschied genauer erläutern?
Mit der zweiten Variante teilt man Coq mit, dass die Konstruktoren alle denselben Rückgabetyp haben sollen (hier: even n). Im Gegenzug erhält man ein simpleres Induktionsschema (und: falls man Type als Parameter hat, weniger Imprädikativität) -- was jedoch in diesem Beispiel nicht sichtbar ist, weil wir uns außerdem verbogen haben und Gleichheitsbeweise in den Konstruktoren verlangen.

Ein interessanteres Beispiel wäre vll. Gleichheit: In der Standardbibliothek ist definiert:
Inductive eq {A : Type} (x : A) : A -> Prop := eq_refl : eq x x
, was ein Induktionsschema mit diesem Typ ergibt:
eq_ind: forall (A : Type) (x : A) (P : A -> Prop), P x -> forall y : A, eq x y -> P y
(also Leibniz-Gleichheit: alles, was für x gilt, gilt auch für y, wenn x = y)

Definiert man dagegen mit einem Parameter weniger:
Inductive eq{A: Type}: A -> A -> Prop := refl: forall x, eq x x.
, ergibt sich als Induktionsschema
eq_ind: forall (A : Type) (P : A -> A -> Prop),
       (forall x : A, P x x) -> forall x y : A, eq x y -> P x y
(also: eq A ist die kleinste reflexive binäre Relation auf A.)

Wie dem auch sei. Wenn ich mich recht erinnere, wird in CPDT der Unterschied und die Trade-offs dargestellt. Suche nach "Parameterized Type" oder so.


Ich habe noch einmal ein ähnliches Problem:
Coq
Lemma even_SSn :
  forall n, even (S (S n)) -> (even n).
Proof.
  intros n H. inversion H. exact H1.
Qed.


Hier bin ich ohne inversion gar nicht weiter gekommen. Gibt es hier noch Alternativen, oder ist das im Wesentlichen der einzige Weg bei dieser Aussage?
Man kann auch hier remember anwenden, und dann destruct (oder induction) auf H.
Lemma even_SSn: forall n, even (S (S n)) -> even n.
Proof.
  intros n H.
  remember (S (S n)) as m eqn:E.
  destruct H.
  * discriminate E.
  * injection E.
    intro. subst. auto.
Qed.
In Fällen, wo man tatsächlich eine Induktion (statt nur Fallunterscheidung) durchführen muss, geht das auch nur so oder ganz ähnlich. inversion ist dann nicht geeignet.
\(\endgroup\)

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wurzel2c
Was ist mathematisch nicht korrekt beim Rechnen mit dem Differential dx bei der Subsitutionsregel?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-16 16:06
Tirpitz
 
\(\begingroup\)
Hallo!


Ist es nun verboten damit zu rechnen wie mit normalen Zahlen, d.h. mathematisch falsch?
Naja, mir das Ergebnis von einer Division durch \(\mathrm dx\) zu sagen ist zunächst genau so sinnvoll wie das Ergebnis von 😍 + 📡 zu benennen: es kann etwas sinnvolles bedeuten, wenn man es wohldefinieren kann. Weil man das aber in der Schule nicht macht (bzw. in der Regel auch in vielen Fächern auf der Uni), ist es eine unbewiesene Behauptung.


Oder ist es nur ein falscher Formalismus und was dahinter steckt, könnte man mathematisch (vielleicht mit Grenzwertformalismus) anders ausdrücken, sodass es vielleicht umständlicher wird, aber dafür mathematisch korrekt?

Könnte man. Dafür kann man entweder die NSA benutzen, wie du anmerkst (damit habe ich mich aber nie eingehender beschäftigt) oder man bleibt bei der Standardanalysis und arbeitet den Formalismus um Differentiale aus, und zwar hin zum Cartan-Kalkül. Dann bekommen Differentiale eine rigorose Bedeutung und man kann diese Eselsbrücken rigoros als formelle Rechenregeln auch beweisen.
\(\endgroup\)

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wurzel2c
Was ist mathematisch nicht korrekt beim Rechnen mit dem Differential dx bei der Subsitutionsregel?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-16 15:36
Wurzel2c
 
\(\begingroup\)
Hallo,
ich habe in einigen Videobeiträgen, die auf Schulniveau die Verwendung der Substitutionsregel der Integralrechnung erklären, gehört, dass man beim Rechnen mit dx und dem Auflösen nach dx (nach dem Substituieren) eigentlich etwas "Verbotenes" oder etwas mathematisch nicht Korrektes tut.

Ein Beispiel (Grenzen lasse ich einfach mal weg, wie die dann substituiert werden, ist mir klar):
Ich möchte S sin(2x)dx berechnen. Ich substituiere u:=2x. Dann ist du/dx=2. Um das neue zu lösende Integral zu bestimmen, forme ich die letzte Gleichung nach dx um: dx= du/2. Mein neues Integral ist dann: 1/2 S sin(u)du du mit den neuen Grenzen.

Das Problem scheint zu sein, dass ich nicht mit dx multiplizieren kann und nicht durch du dividieren kann. Ist das mathematisch nicht erklärt oder was ist das Problem? Ist es nun verboten damit zu rechnen wie mit normalen Zahlen, d.h. mathematisch falsch? Oder ist es nur ein falscher Formalismus und was dahinter steckt, könnte man mathematisch (vielleicht mit Grenzwertformalismus) anders ausdrücken, sodass es vielleicht umständlicher wird, aber dafür mathematisch korrekt?

PS: Ich beschäftige mich gerade mit den hyperreellen Zahlen und der Nonstandardanalysis (NSA). Und stelle diese Frage auch, weil mich interessiert, ob diese "mathematische Ungenauigkeit" beim Rechnen mit dx vielleicht in NSA korrekt ausgeführt und beschrieben werden kann. Allerdings ist hier der Differentialquotient df/dx nicht identisch mit f'(x), sondern die Ableitung f'(x) ist definiert als der Standardteil des Differentialquotienten dy/dx. Die Gleichung du/dx "=" 2 wäre hier sogar falsch. Es würde gelten: St(du/dx) = 2.  
Wenn irgendjemand etwas darüber weiß und meine Frage auch noch im Zusammenhang mit der NSA beantworten kann, wäre das super!    
Merci
\(\endgroup\)

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kingdingeling
Gleichung einer Gerade in Koordinaten  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-16 14:32
Buri
 
\(\begingroup\)
Hi kingdingeling,
di Transformationsmatrix ist die Matrix mit der Eigenschaft
fed-Code ausblenden
(b_1, b_2)=(e_1, e_2)*(a,b;c,d), das bedeutet b_1=(a;c)=e_1*a+e_2*c und b_2=(b;d)=e_1*b+e_2*d.
Dabei ist (e_1, e_2) die Standardbasis.
Die Drehmatrix wird durch a=cos 30°, b=-sin 30°, c=sin 30°, d=cos 30° beschrieben. Für x' und y' gelten die Transformationsgleichungen
x'=ax+by und y'=cx+dy. Die Umkehrungen davon x=ax'+cy' und y=bx'+dy' kann man in die Geradengleichung y=(2+sqrt(3))*x einsetzen und erhält eine Gleichung für x' und y'.
fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen

Gruß Buri


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flowsen95
Standardfehler lineare Regression in R  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-14 06:57
Flowsen95
 
\(\begingroup\)
Hallo zusammen,

ich bin nicht sicher, ob das hier off-topic ist, da es hauptsächlich um eine Simulation in R geht. Da hier im Forum eher selten ökonometrische Fragen diskutiert werden würde ich mich umso mehr freuen, wenn sich jemand die Zeit nimmt! Ich möchte zwei verschiedene Populationen simulieren, um Unterschiede von Varianzschätzern in einer linearen Regression herauszuarbeiten.

Für beide Populationen gilt, dass es $N=10^7$ Einheiten gibt, die über $C=100$ Cluster verteilt sind. Jedes Cluster enthält exakt $10^5$ Einheiten.

1)
In der ersten Population gilt für alle Einheiten $W_i \in \left\{0,1\right\}$ mit $\text{Pr}(W_i =0)=\text{Pr}(W_i =1)=1/2$.

2)
In der zweiten Population wird das Treatment auf Clusterebene randomisiert, d.h. $W_i = W_j$ wenn $j,i \in C_k,\quad k=1,\ldots,100,\quad i,j=1,\ldots,10^6$

Die abhängige Variable ist für 1) und 2) durch folgende Gleichung gegeben.
$Y_i = \tau_{C_i}\cdot W_i+\nu_i,\quad \nu_i \sim\mathcal{N}(0,1)$

Es gilt $\tau_{C_i}=1\quad\forall C_i\in\left\{1,\ldots,C\right\}$.
Beim Ziehen der Stichproben aus der Population wird jede Einheit mit derselben Wahrscheinlichkeit ohne Zurücklegen gezogen.
Für jede Einheit werden $Y_i, W_i, C_i\in\left\{1,\ldots,C\right\}$ beobachtet und folgendes lineares Regressionsmodell mit OLS geschätzt.

$Y_i = \alpha + \tau\cdot W_i+\varepsilon_i$

Als Schätzer der Varianz von $\widehat{\tau}$ verwende ich den gewöhnlichen Heteroskedastie-robusten Schätzer (EHW) sowie den Cluster-robusten Schätzer (LZ).
Beide sind hier definiert (Formel 2.2 bzw. 2.3): arxiv.org/abs/1710.02926

Im verlinkten Papier steht auf p. 14: "[...] the clustering matters if there is heterogeneity in the treatment effects [...] or there is clustering in the assignment."
D.h. die Varianzschätzer sollten sich unterscheiden, wenn das Treatment-Assignment in den Clustern korreliert ist (Fall 2) oben). Leider kann ich dieses Ergebnis nicht bestätigen. Ich würde mich deshalb sehr freuen, wenn es jemandem gelingt, diese Eigenschaft per Simulation nachzuweisen.

Noch ein Hinweis zu R: Nach der Durchführung der linearen Regression mit
kann der EHW Varianzschätzer mithilfe des Packages sandwich berechnet werden.
Der LZ Schätzer ist beispielswiese im Package clubSandwich implementiert.
R
require(sandwich);require(clubSandwich)
res <- lm(y~W)
seEHW <- sqrt(vcovHC(res,type="HC0")[2,2])
seLZ <- sqrt(vcovCR(res,cluster,type="CR1S")[2,2])
#cluster muss ein Objekt sein, dass das Cluster für jede Einheit enthaelt.

Viele Grüße
Flowsen95

P.S. Ich bin gerne bereit, meinen übrigen Code zu teilen. Ich möchte jedoch erst einmal abwarten, ob sich überhaupt Mitglieder finden, die sich mit der Frage beschäftigen möchten.
\(\endgroup\)

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: twinna
Faire Auktion  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-13 21:28
AnnaKath
 
\(\begingroup\)
Huhu Kitaktus,

Du siehst das Problem eher mathematisch, ich praktisch aus der Sicht einer Wirtschaftswissenschaftlerin. Vorweg: Keine der Sichtweisen ist falsch oder unbegründet.

Ich stimme Dir zu, dass es keine dominante Strategie gibt, wenn einem Spielern tatsächlich nichts weiter als sein Typ, die Auszahlungsfunktion und die Tatsache, dass nur einmal gesteigert wird, bekannt ist. (Dies wird mich später zur Grundlagendiskussion führen).

Deiner Argumentation bzgl. des Nash-Gleichgewichts kann ich nicht zustimmen. Bietet B etwa $\frac{b}{2}+\epsilon_1$, so ist stellt ein Gebot von A in Höhe von $\frac{b}{2}+\epsilon_1 + \epsilon_2$ kein Nash-Geichgewicht dar, denn Der Strategiewechsel von A zum Gebot $\frac{b}{2}+\epsilon_1 + \frac{\epsilon_2}{2}$ würde seinen Nutzen erhöhen*; ich gebe Dir aber natürlich recht, dass dies eine theoretische Situation ist (kein realer Mensch wird 0.00001 €-Cent von 0.000005 €-Cent unterscheiden...).

Wenn man sich im Kreise dreht, sollte man die Grundlagen noch einmal ansehen: Schlicht, wir wissen zu wenig über das Spiel (die Auktion). Wenn man eine auktoriale Analyse versuchte, müsste man bestimmen, wie die Natur die Spielertypen (d.h. hier: ihre "Wertschätzung") festlegt. Sie kann es nicht "zufällig" (im Sinne von "gleichverteilt") tun, denn es gibt keine (stetig) gleichverteilte ZVe auf $\mathbb{R}^+$. Sie tut es also nach irgendeinem Mechanismus.

Man mag nun sagen, dass zu wenig über das Problem bekannt sei, um es zu analysieren. Oder einen praktischen Vorschlag machen, wie Du es lobenswert in #9 getan hast.

Oder man unterstellt der Natur irgendein Verfahren zur Typauswahl (wie es reale Menschen m.E. tun), z.B. glaubt man zu wissen, dass das zu versteigernde Gut keinem Menschen auf der Welt mehr als $M$ wert sein kann (z.B. weil man den 100€-Schein zur Not für 100€ unabhängig von der Auktion erwerben könnte; oder weil man annimmt, dass - selbst wenn die Top 3 der Forbes-Liste mitbieten - kein Gebot höher als 200 Mrd. sein kann; oder weil man einfach sagt: Ich glaube, dass der "Grenznutzen" von Geld linear ist (oder schwächer konkav abnimmt) ist, als der Nutzen eines jeden Gutes) - dann kann man mit der Gleichverteilung operieren.

Wenn ein Mensch/Spieler so argumentiert, unterstellt er der Natur einen gewissen Mechanismus (eine W'keitsverteilung), die Typen der Spieler zu ermitteln. Mithilfe dieser beliefs** kann man das Spiel "lösen", und eine den erwarteten Nutzen maximierende Strategie finden.

Mehr als dies wollte ich nichts ins Feld führen; es sind natürlich viele Unklarheiten (aka "Interpretationsspielräume") in der Problemstellung (aus Mathematiker-Sicht), welche sich aus der Sicht einer Wirtschaftswissenschaftlerinnen, die ein "Standard-Setting" vor Augen hat, etwas relativieren.

Bei einer iterierten Auktion ergeben sich natürlich viele weitere Möglichkeiten. Spielt man nur genau einmal, so ist es natürlich schwieriger.

Trotzdem möchte ich anhand eines Beispiels illustrieren, wieso es sinnvoll sein kann (und praktisch auch ist!), seinen eigenen Typ und seine beliefs in die Strategie einfliessen zu lassen:
Ich sei Billine Gates und verfüge über 100 Mrd. (die ich bar mit mir führe), verdurste aber gerade. Der andere Auktionsteilnehmer kommt gerade aus dem Freibad (ich sehe seine Badehosen/den Bikini...). Er ist also nicht durstig.
Der Besitzer des Dorfbrunnens (ich bin auf Safari fernab der Zivilisation***) versteigert heute genau einen Krug Wasser.
Da ich eine gewisse Chance sehe, noch Flüssigkeit binnen der nächsten Tage zu finden, aber auch nicht ganz sicher bin, messe ich dem Wasserkrug einen Wert von 100 000 € bei (das sind gerade mal 0.0001% meines Bargelds!). Trotzdem bin ich ja Kapitalistin und messe dem Geld ebenfals großen Nutzen zu.
Ist es in so einer Situation sinnvoll, 50 000 € zu bieten? Eher nicht (und das ohne W'keitsverteilung...).

Langes Beispiel, kurzer Sinn - es ist m.E. unrealistisch, nicht weitere Umstände in Betracht zu ziehen. Wenn man mir so weit folgt, ist es aber generell sinnvoll, Annahmen über die Typen der Mitspieler bzw. deren Verteilung zu treffen.

Und dann sind wir bei einem Bayes-Spiel. Welche Annahme man trifft, hängt sicher vom Kontext ab und ist in der Problemformulierung nicht gegeben. Die "natürliche" Wahl der Gleichverteilung scheidet aus; somit sind wir beim gleichen Mutmaßen, wie auch Du, Kitaktus, es implizit verwendest.

Belassen wir es (aus meiner Sicht) dabei, auch wenn ich die Aufgabe unter der Annahme einer Exponential- oder Weibull-Verteilung gerne einmal gelöst sähe...

Interessant bzw. typisch ist die Frage aus Sicht eines Mechanismus-Designs. Bringe ich die Spieler bei dieser Auktion dazu, "taktisch" zu setzen (wie Deine Strategie in #9) oder meinen wahren Typ zu offenbaren (offensichtlich nicht)? Welcher Wohlfahrtsverlust entsteht den Spielern durch das uneffiziente Design (im Vergleich zu einer VCG-Auktion) im Mittel (je nach Verteilung des Naturspielzuges)...

lg, AK.


*) vorausgesetzt, die Nutzenfunktion ist monoton wachsend im Finanziellen...
**) und unter der Annahme, dass das Verfahren der Auktion jedem Spieler bekannt, ihm aber nur genau sein eigener Typ bekannt und diese Situation auch allen bewusst ist
***) Freibäder haben sie aber...

\(\endgroup\)

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: steluc10
Darstellungsmatrix 2x2  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-13 11:22
ligning
J
\(\begingroup\)
Hallo,

$\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\IR)$ ist ein 4-dimensionaler $\IR$-Vektorraum, also kann man für jede lineare Abbildung $\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\IR)\to\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\IR)$, z.B. die Transposition, zu irgendeiner Basis, z.B. zur Standardbasis, eine Abbildungsmatrix ($4\times 4$) angeben.

Von welcher Standardbasis «von V» sprichst du da eigentlich? Der einzige in der Frage vorkommende Vektorraum ist $\mathrm{Mat}_{2\times 2}(\IR)$, also wirst du den wohl gemeint haben. Dann hätte ich aber das oben gar nicht erklären müssen.


Wusste nicht, dass ich den 2x2 Raum auch als R4 betrachten darf. Kann man das auch formal begründen warum das möglich ist?
Sie haben die gleiche Dimension, also gibt es  einen Isomorphismus $\varphi: \mathrm{Mat}_{2\times 2}(\IR)\stackrel{\sim}{\to} \IR^4$. Man «identifiziert» manchmal isomorphe Strukturen miteinander, man setzt also Elemente $x$ der einen Struktur mit ihrem Bild $\varphi(x)$ in der anderen Struktur gleich; man tut so, als seien die beiden Strukturen eigentlich gleich, nur eventuell anders aufgeschrieben. Das lässt sich soweit ich weiß nicht formal begründen, man muss dabei schon ein bisschen aufpassen, dass man keinen Unsinn macht. Gleichwohl passiert das in der Literatur so oft, dass man sich beizeiten daran gewöhnt.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
\(\endgroup\)

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: steluc10
Darstellungsmatrix 2x2  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-13 09:00
Triceratops
J
\(\begingroup\)
Diese Schreibweise der Vektormultiplikation ist nur sinnvoll, wenn du $\IR^{2 \times 2}$ mit $\IR^4$ identifizierst.

Ganz allgemein permutiert die Transponierung $f : K^{n \times n} \to K^{n \times n}$ die Standardbasis $(E_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$: Es gilt $f(E_{ij}) = E_{ji}$. Die zugehörige Matrix ist also eine Permutationsmatrix. Für $n=2$ sieht sie z.B. so aus, wenn man die Anordnung $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ wählt:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
\(\endgroup\)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Frege23
Dreiecksungleichung umgeformt  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-12 22:21
PrinzessinEinhorn
 
\(\begingroup\)
Hallo,


Woher kommt aber auf einmal das \(a\) in den Ausdrücken \(|a_n -a|\) und \(|a - a_{n+1}|\) her?

Das ist ein Standard, wenn man die Dreiecksungleichung anwenden möchte.

Es ist: $|a_n-a_{n+1}|=|a_n\underbrace{-a+a}_{=0}-a_{n+1}|$

(Der gleiche Trick wird etwa auch beim quadratischen Ergänzung ausgenutzt und ist sehr üblich. Man addiert eine sogenannte "nahrhafte Null.)

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Ingenieurwesen
Beruf 
Thema eröffnet von: jacha2
Regelungstechnik: "Reverse engineering" für die Schaltplanerstellung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-12 15:47
jacha2
J
\(\begingroup\)
Salut,

d'accord; ...
2018-06-12 12:56 - holsteiner in Beitrag No. 1 schreibt: ...das ist eine interessante Fragestellung. Allerdings glaube ich nicht dass es sowas für "alle Schaltungen" gibt. Ich könnte mir das nur vorstellen, wenn man spezielle Schaltungen, wie z.B. eine Kaskade von Operationsverstärkern hat.
...daß die Existenz einer allgemeinen Aufgabenstellung nicht notwendigerweise die Existenz einer allgemeingültigen Antwort zur Folge hat, ist eine wiederkehrende Erfahrung. In der MEMS-Lithographie mag es bspw. Maskenbibliotheken geben, die als eine Art Vorstufe dazu betrachtet werden könnten.
2018-06-12 12:56 - holsteiner in Beitrag No. 1 schreibt: ...Das Problem dabei ist, dass man eine Art "Bijektivität" zwischen der Schaltung und den E/A Signalen braucht. Kurz gesagt, zu gleichen Signalen kann es möglicherweise verschiedene Schaltungen geben. Oder die speziellen Eigenschaften der Schaltung zeigen sich nur bei ganz bestimmten Parametern.
...Das genau ist eine der Kardinalfragen vom algebraischen Standpunkt aus, die den Ausschluß bestimmter Zustände erfordert,
2018-06-12 12:56 - holsteiner in Beitrag No. 1 schreibt:
Was möglicherweise geht, ist wenn man rein analoge (Operationsverstärker)-Schaltungen betrachtet, deren Pole und Nullstellen in der Übertragungsfunktion durch eine Laurant Reihe beschrieben werden können. Sowie aber nichtlineare Elemente wie MOS Schalter drin sind, hat man was ganz anderes.

Aber selbst bei einer Laurant Reihe können die Pole/Nullstellen sehr dicht beieinander liegen, so dass man wirklich ganz genaue Daten haben muss um zurückzurechnen.
Ja eben. Ich denke, daß numerische Mathematik, Fourier-Analysis & Co in so einer Aufgabenstellung nur sehr bedachtsam einzusetzen wäre. Insbesondere wegen des Nebeneinanders digitaler und analoger Baugruppen in ein und derselben Schaltung.
Von praktischen Fragen mal ganz abgesehen. Temperaturkompensation, Stabilisierung etc, die die Skalierbarkeit von Lösungen begrenzen.  

Vorrangig wäre an einen Unterbau von Bibliotheken von Standardschaltungen für Standardaufgaben mit Standardparametern und Standardbaugruppen zu denken, angefangen von Linear-ICs, TTL-Schaltungen bis hin zu prozessorbasierten Lösungen. Der Kniff bestünde in der Beurteilung der Nähe einer neuen Aufgabenstellung zu bereits bestehenden Lösungen im Hinblick darauf, ob ein vorhandener Algorithmus eine sinnvolle Antwort auf die Frage ihrer Wiederverwendbarkeit bei Redimensionierung liefert. Aber immerhin würde sich auch das "Reingeneering" vereinfachen lassen. Das war übrigens der Anstoß zu dieser Fragestellung.

danke einstweilen. Hake das Ganze erst mal ab; falls noch jemandem was einfällt, mag das Faß wiedereröffnet werden.

Adieu
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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nicemath
Monte Carlo Konvergenzordnung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-11 11:41
Kitaktus
 
\(\begingroup\)
Ich bin mir nicht sicher, ob hier die gebräuchliche Bedeutung von "Konvergenzrate" benutzt wird, siehe hier bei "lineare Konvergenz".

Gemeint ist vermutlich, dass der erwartete Fehler proportional zu $\frac{1}{N^{1/2}}$ fällt. Das sieht man sofort, wenn man berücksichtigt, dass die Standardabweichung gleich der Wurzel aus der Varianz ist.
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Stochastik und Statistik
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Thema eröffnet von: Razielle
komplexe Linearkombination von standard-Normalverteilten Zufallsvektoren  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-10 14:20
Razielle
 
\(\begingroup\)
Hallo zusammen. Ich brauche Hilfe beim Verstehen eines Beweises aus einem Buch, das ich lese. Und zwar gehts es um Folgendes.
Sei \(z_0 \in \mathbb{C}\) mit \(0<|z_0|<1\).
Setze \(X' = \sum_{j \le n} z_0^j \xi_{n-j}\), wobei \(j \in \mathbb{Z}\) und \(\{\xi_k|k \in \mathbb{Z}\}\) unabhängige, standard-Normalverteilte Zufallsvariablen sind.
Die erste Aussage, die ich nicht verstehe, ist die Behauptung, dass X' im Spann der Menge \(\{\xi_k|k \le n\}\) liegen soll. Es werden in der Summe doch aber auch \(\xi_k\) mit \(k \ge n+1\) verwendet. Dann ist jedoch \(j < 0\) und \(z_0\) hatt dann einen negativen exponenten. könnte es daran liegen?
Die zweite Aussage ist, dass aufgrund der Annahme \(z_0 \ne 0\) folgen würde, dass X' jedoch nicht im Spann der Menge \(\{\xi_k|k \le n-1\}\) liegen soll. Klar ist, dass \(\xi_n\) immer verwendet wird, allerdings gilt dies doch auch, wenn \(z_0 = 0\) ist, oder nicht?
Als drittes wird noch folgendes behauptet: \(cov(X',X_n) = \sum_{j=0}^{\infty} \overline{z_0}^j \overline{c_j}\), wobei \(X_n = \sum_{j \le n} c_{n-j}\xi_j\)
Da versteh ich nicht, warum die \(z_0\) konjungiert sind.

Ich würde mich riesig freuen, wenn mir jemand auf die Sprünge helfen könnte.
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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nicemath
Monte Carlo Konvergenzordnung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-10 11:05
nicemath
 
\(\begingroup\)
Hallo liebe Mathefans,
ich verstehe nicht, wieso das Monte Carlo Verfahren die Konvergenzordnung 0.5 hat. Wie sehe ich das?

In der Vorlesung haben wir Folgendes definiert:
fed-Code ausblenden
Sei X eine Zufallsvariable mit unbekanntem Erwartungswert p:=\IE(X) und endlicher Varianz.
Der Standard Monte Carlo Schätzer ist definiert als
p^^ := 1/N sum(X_k,k=1,N, wobei X_1,...,X_N uiv ~ X.

Im Skript berechnen wir den Mean Squared Error, also
\IE(|p-p^^\|^2)= \IE(1/N sum((X_k-p)^2,k=1,N)) = 1/N^2 Var(sum(X_k,k=1,n)) = 1/N Var(X_k).

Die Schritte zur Berechnung des Mean Squared Errors sind mir klar.

Laut Skript sollte man aus der Berechnung folgern können, dass die Konvergenzrate 1/2 ist. Wie kann ich das folgern?
fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen



Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.

Gruß
nicemath
\(\endgroup\)

Mathematik
  
Thema eröffnet von: querin
Beweis, dass z irrational ist  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-05 20:42
querin
J
\(\begingroup\)
Danke für die saubere und schlüssige Formalisierung des Existenzbeweises!

2018-06-05 02:08 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Immerhin folgt, dass falls $z$ von der Form $\frac n{10^k}$ ist, dann muss man für $z$ die Dezimaldarstellung wählen, die abbricht.
... und n muss mit der Ziffer 5 enden (Beitrag #5).

2018-06-05 02:08 - Nuramon in Beitrag No. 9 schreibt:
Aber das zeigt noch nicht die Eindeutigkeit von $z$.
Das verstehe ich nicht. Die Ziffer $d$ wird doch jeweils maximal und damit eindeutig gewählt?

Zur Irrationalität von $z$:
Ich kenne sonst nur die Standard-Widerspruchsbeweise mit $z=\frac pq$ (wie bei $\sqrt 2$), aber das scheint hier nicht zu funktionieren. So hatte ich gehofft, dass hier im Forum jemand andere Methoden kennt, die auf $z$ anwendbar sind.
\(\endgroup\)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kingdingeling
Differenzierbarkeit Skalarprodukt  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-02 16:53
kingdingeling
 
\(\begingroup\)
Liebe Mitglieder,

zur Diff'barkeit von Skalarprodukten:


Mein Ansatz:

a) Ist f linear, dann ist f diffbar und Df(x)h=f(h) wie wir wissen.
fed-Code ausblenden
b) Für die das Skalarprodukt wählen wir die Definition des Standard Skalarproduktes. Dann gilt:

f_1(x,y) = <\phi(x),y> = sum(\phi(x)_i*y_i,i=1,n) = (Verwendung der Produktregel) (\phi(x)_1)'*y_1 + \phi(x)_1*(y_1)' + ... + (\phi(x)_n)'*y_n + \phi(x)_n*(y_n)'

Da \phi(x) diff'bar weil \phi(x) linear, ist auch f_1(x,y) diffbar.

Nun habe ich zwei Fragen: Kann ich das Differential noch weiter vereinfachen? Ich habe folgende Formel : <\phi(x)',y> + <\phi(x),y'>fed-Code ausblenden fed-Code im Editor öffnen


Und kann ich für den zweiten Aufgabenteil nicht genau wie beim ersten vorgehen? Bzw. ähnlich?

Wie immer bin ich froh und dankbar für jede Hilfestellung.

Gruß
KingDingeling
\(\endgroup\)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: JohnBauer
Grenzwert einer geometrischen Reihe?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-02 16:26
Radix
J
\(\begingroup\)
Eine geometrische Reihe ist es, allerdings nicht in der Standard-Form, für die die Formel gilt. Du musst die 2 im Zähler berücksichtigen, den Exponenten n-1 statt n und den Start bei n=2.

Gruß,
Radix
\(\endgroup\)

Energiebänder
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Skalhoef
Bloch-Wellen / Herleitung der Schrödinger-Gleichung im reziproken Raum  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-06-02 14:30
dromedar
J
\(\begingroup\)
Du betrachtest ein Elektron in einem Kristall und möchtest gern zwei Dinge modellieren:
1. Das Elektron sieht von dem Kristall ein Potential, das die Translationssymmetrie des Kristalls besitzt.
2. Der Kristall ist nur endlich groß, und zwar ist er ein Quader mit den Seitenlängen $L_x$, $L_y$ und $L_z$.

Diese beiden Dinge vertragen sich aber nicht ohne Weiteres miteinander, denn die endliche Größe bricht die Translationssymmetrie aufgrund der nicht translationsinvarianten Ränder.

Um dieses Problem zu umgehen, betrachtet man statt des Quaders einen dreidimensionalen Torus, der die endliche Größe realisiert ohne dafür Ränder zu benötigen. Eine Wellenfunktion auf so einem Torus ist eine Wellenfunktion $\psi\colon{\Bbb R}^3\to{\Bbb C}$, die periodischen Randbedingungen genügt:

    $\psi({\bf x}+{\bf t})=\psi({\bf x})$    für    ${\bf t}\in{\cal T}=\left\{
\sum_in_i{\bf t}_i:n_i\in{\Bbb Z}\right\}$

Die Translationssymmetrie erfordert, dass die periodischen Randbedinungen zu dem Kristallgitter passen: Es muss

    ${\cal T}\subset{\cal G}$

sein, wobei ${\cal G}$ die Translationsgruppe des Kristalls ist (wie Du sie in Beitrag No. 4 hingeschrieben hast). Für die zu ${\cal T}$ gehörende reziproke Translationsgruppe ${\cal K}$ muss somit

    ${\cal K}\supset{\cal L}$

sein, wobei ${\cal L}$ die reziproke Translationsgruppe des Kristalls ist (die Du auch in Beitrag No. 4 schon hingeschrieben hast).

${\cal K}$ ist die Gruppe, die ich in Beitrag No. 1 "volles reziprokes Gitter" genannt und dort mit ${\cal L}$ bezeichnet hatte (ich wechsle jetzt zu ${\cal K}$, um nicht in Konflikt mit Deinem ${\cal L}$ aus Beitrag No. 4 zu geraten), und die dortige Umformung würde ausführlicher

        $\begin{align*}
\sum_{{\bf k} , {\bf G}}
C_{{\bf k}}\, V_{{\bf G}}\;
\mathrm{e}^{\mathrm{i} ( {\bf k} + {\bf G} ) \cdot {\bf r}} &=
\sum_{{\bf G}\in{\cal L}}\sum_{{\bf k}\in{\cal K}}
C_{{\bf k}}\, V_{{\bf G}}\;
\mathrm{e}^{\mathrm{i} ( {\bf k} + {\bf G} ) \cdot {\bf r}} =\\[1.5ex]
&=\sum_{{\bf G}\in{\cal L}}\sum_{{\bf q}\in{\cal K}}
C_{{\bf q}-{\bf G}}\, V_{{\bf G}}\;
\mathrm{e}^{\mathrm{i}\, {\bf q} \cdot {\bf r}}
\end{align*}$
mit

    ${\bf q}:={\bf k}+{\bf G}\in{\cal K}+{\bf G}={\cal K}$    wegen    ${\bf G}\in{\cal L}\subset{\cal K}$  .

lauten.

Und wie Du in Beitrag No. 4 schon richtig angemerkt hast: ${\cal T}$ ist im Allgemeinen nicht exakt, sondern nur in guter Näherung von der Form

    $\Bigl\{
\sum_in_iL_i{\bf e}_i:n_i\in{\Bbb Z}\Bigr\}$

mit den Standard-Einheitsvektoren ${\bf e_i}$, und somit ist auch ${\cal K}$ im Allgemeinen nicht exakt, sondern nur in guter Näherung von der Form

    $\Bigl\{
\sum_in_i{2\pi\over L_i}{\bf e}_i:n_i\in{\Bbb Z}\Bigr\}$  .
\(\endgroup\)
 

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