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Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Boogie541
Interpolationsfehler (Herleitung)  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
321ende
 

Naja die Anwendung des Satz von Roll besagt, dass zwischen zwei Nullstellen, immer ein Punkt mit Ableitung 0 ist. Der Satz wird einfach immer auf zwei Nullstellen angewendet, damit erhält man (n+1) Nullstellen der Ableitung für (n+2) Nullstellen der ursprünglichen Funktion.

\(0=F^{(n+1)}(\xi) = f^{(n+1)}(\xi) - K (n+1)! \)

hieraus erhalten wir

 \( K = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}\)

und wir wissen, dass \(0=F(y)=f(y)-p(y)-K\prod (y-x_i)\)
ist, damit \(f(y)-p(y) = K\prod (y-x_i)\)

LG

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Boogie541
Interpolationsfehler (Herleitung)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
321ende
 

hey,

nimm ein \(y \neq x_i\),

\(F(x) := f(x) - p(x) - K \prod (x-x_i)        \)

mit K so gewählt, dass \(F(y)=0\),  dann hat F mindestens (n+2) Nullstellen!

Nach dem Satz von Rolle erhältst du ein \(\xi\) mit \(F^{(n+1)}(\xi)=0\).
Mit dem wissen, dass \(p^{(n+1)}=0\), berechne die (n+1)-Ableitung von \(F(x)\) und dann erhältst du das Ergebnis durch

\(0=F^{(n+1)}(\xi)=..\)

(einfach nach K umstellen, und dieses  in 0=F(y) einsetzen).

Lg
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