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Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Funktionale Ableitung und Prinzip der stationären Wirkung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21
6Incognito9
J

2020-10-21 13:10 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-10-21 12:49 - 6Incognito9 im Themenstart schreibt:
\[\int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t') + \epsilon \delta(t-t'))^2 dt'\]
Wo mache ein Fehler?

Du müsstest $x(t')$ durch $x(t')+\epsilon\delta(t-t')$ und damit $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')-\epsilon\delta'(t-t')$ ersetzen.

Du ersetzt aber $\dot x(t')$ durch $\dot x(t')+\epsilon\delta(t-t')$.

--zippy

Oh jaaa, ich sehe. Danke!

Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Funktionale Ableitung und Prinzip der stationären Wirkung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21
6Incognito9
J

Hallo, ich habe Schwierigkeiten in der Herleitung der stationaeren Wirkung. Um die Herzuleiten muss ich erst mal die funktional Ableitung der kinetischen Energie



durchführen.

Und die Definition der funktionalen Ableitung ist im Buch gegeben als



Die Lösung ist



Meine Rechnung dazu ist allerdings

\[ \frac{ \delta T[x]}{ \delta x(t)} =  \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} [\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t') + \epsilon \delta(t-t'))^2 dt' - \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t'))^2 ] =  \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\epsilon} [\frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} ((\dot x(t'))^2 + 2 \dot x(t') \epsilon \delta(t-t') + O(\epsilon^2)) dt' - \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} \frac{m}{2} (\dot x(t'))^2 ] = \frac{1}{\tau} \int_{0}^{\tau} 2 \dot x(t') \delta(t-t') dt' = \frac{m}{\tau} \dot x(t)\]
Wo mache ein Fehler?

LG und vielen Dank











Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Funktionalableitung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21
6Incognito9
J

Alles klar! Vielen Dank ihre beide :) Ich bin immer wieder begeistern von diesem Forum 👍

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Funktionalableitung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20
6Incognito9
J

Hallo,

Koennte mir jemand diese Rechnung erklären? Ich wäre sehr dankbar.



Ich komme einfach nicht drauf, wie der zweite Schritt gemacht wurde, wo g' reinkommt. Und im Internet habe ich auch nichts gefunden, was helfen wuerde.

Im Buch ist so die funktionale Ableitung definiert.



LG




Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Normal ordering vom H und der Impuls cut-off  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-17
6Incognito9
J


2020-10-17 22:34 - Rathalos in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo 6Incognito9,

Dabei solltest du beachten, dass \(n = a^\dagger a\) die Teichenzahl darstellt. Bei endlicher Teilchenzahl ist das Integral dann auch endlich (endlich viele q Moden).

Ach so muss man das sehen. Danke!

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Normal ordering vom H und der Impuls cut-off  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-16
6Incognito9
J

Hallo, ich lese grade das Buch" Introduction to Many-Body Physics" von Piers Coleman und es geht um das Kapitel 2.6 "The continuum limit: a -> 0" und die Gleichung (2.132) in diesem Kapitel. Mit momentum cut-off ist der term \(e^{-\epsilon |q|}\) gemeint .


Es wird gesagt, dass die Unendlichkeit der zero-point energy durch das normal ordering des Hamiltonians

\(:H: = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{dq}{2 \pi } \hbar \omega_q a^\dagger_q a_q\) mit \( (\omega_q = c |q|) \)
 
aufgehoben werden kann (so wie ich es verstehe, weil der Schritt in der Gleichung (2.130) weggelassen werden). Allerdings sind die Werte von \(\omega_q\) im normalgeordneten :H:
immer noch nicht beschränkt und es ergibt sich somit immer noch unendlich.

Danke fuer jede Hilfe!!!
LG Andrej

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Ist die Slater-Determinante (bzw. Permanente) eine exakte Beschreibung eines VielTeilchenSystems?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-08-09
6Incognito9
J

@dromedar

Ok. Ich denke, ich verstehe es jetzt. Nochmals danke! Es war war mir wichtig, dass ich das richtig verstehe.

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Ist die Slater-Determinante (bzw. Permanente) eine exakte Beschreibung eines VielTeilchenSystems?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-08-09
6Incognito9
J

@dromedar

Schon mal nen riesen Dank! Soweit ich im Internet recherchiert habe, wird diese Sache nicht großartig diskutiert.(Vllt ist es für die Autoren selbstverständlich, dass man es richtig versteht.) Dein Beitrag ist bis jetzt das, was mir am meisten Einsicht gegeben hat.

Aber ein paar Sachen sind mir noch nicht ganz klar.

1.
2016-08-09 17:43 - dromedar in Beitrag No. 1 schreibt:

... so bilden die nicht verschwindenden dieser Zustände eine Basis des bosonischen bzw. fermionischen <math>n</math>-Teilchen-Raums.


Fehlt hier zwischen "nicht verschwindenden" und "dieser Zustände" ein Wort? Meintest du: "so bilden die nicht verschwindenden Terme dieser Zustände ..." ?

Und heißt es dann, dass <math>\varphi_{i_{\pi(1)}}\otimes
\varphi_{i_{\pi(2)}}\otimes\cdots\otimes
\varphi_{i_{\pi(n)}}</math> Produktzustände sind, welche die Basis des n-Teilchen-Raums bilden?

2.
2016-08-09 17:43 - dromedar in Beitrag No. 1 schreibt:

Da das nicht alle Zustände sind (es gibt ja auch noch Linearkombinationen solcher Zustände) ...


Meinst du mit "Linearkombinationen solcher Zustände" Linearkombinationen von <math>\psi^\pm_{\{i_1,\ldots,i_n\}}</math> ?

Gruß Incognito

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Ist die Slater-Determinante (bzw. Permanente) eine exakte Beschreibung eines VielTeilchenSystems?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-08-09
6Incognito9
J

Hallo,

ich hoffe jemand könnte mir helfen eine Verwirrung bezüglich der Produktzustände zu klären.

Wenn ich zB. mit der Slater-Determinante/Permanente ein VielTeilchenSystem beschreibe, ist es dann eine exakte Beschreibung des Zustandes dieses Systems? Oder ist es nur eine Näherung, zB. weil die WechselWirkung der Teilchen untereinander vernachlässigt werden?

Und ist die Slater-Determinante/Permanente ein Produktzustand?


Elektronengase
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Coulomb-Integral im Hubbard-Model  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-07-19
6Incognito9
J

Hallo,

Ich habe eine Frage zum Coulomb-Integral im Hubbard-Model.

(Quelle: Wiki Hubbard-Modell)
Der Hamilton-Operator für das Hubbard-Modell:
<math>H = U \sum_i c^\dagger_{i\uparrow} c_{i\uparrow} c^\dagger_{i\downarrow} c_{i\downarrow}
- t \sum_{\langle ij \rangle , \sigma} \left( c^\dagger_{i \sigma} c_{j \sigma} + c^\dagger_{j \sigma} c_{i \sigma} \right)</math>

wobei <math>U</math> das Coulomb-Integral
<math>U(\mathbf{x_i})=\int d^3\mathbf{r_1} \int d^3\mathbf{r_2} \,\,\left| \Psi (\mathbf{r_1 - x_i}) \right|^2 \frac{e^2}{\left|\mathbf{r_1 - r_2} \right|} \left| \Psi (\mathbf{r_2 - x_i}) \right|^2</math>
ist.

Nun scheint es mir, dass <math>U</math> divergent sein müsste, da für <math>r_1=r_2</math> der term <math>\frac{e^2}{\left|\mathbf{r_1 - r_2} \right|}</math> unendlich wird, was natürlich Unsinn ist. Erst mal dachte ich mir: Vielleicht sind die Betragsquadrate der Wellenfunktionen der beiden Elektronen so gestaltet, dass sie gleich 0 für <math>r_1=r_2</math> sind. Allerdings sollten die beiden der gleichen Orbital sein und sich stark überlappen.
Wahrscheinlich ist der Fehler ziemlich banal, jedoch fällt mir nix weiter ein.

Hat da jemand ne Idee? Danke schon mal im Vorraus!

Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
on-shell renormalisation scheme in QED  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-07-06
6Incognito9
 

@ PhysikRabe:

Das habe ich aus einem alten QFT-Skript. Den gibt es leider nicht online, so dass ich es nicht verlinken kann. Ich weiss eig. "nur" nicht wie ich mit diesem divergenten Integral umgehen soll

<math>\int\limits_0^1 dt \left(\rho_p^2 \frac{-2t(1-t)(2-t)}{\Delta^2} \right) \right]</math>

oder

<math>\int\limits_0^1 dt \left( \frac{-2t(2-t)}{(1-t)} \right) \right]</math>

wenn man <math>\rho_p^2</math> im Nenner ausklammert und Photonmasse auf 0 setzt.

Ich habe gehofft, dass jemand vllt ne Idee dazu hat, da sowas glaube ich recht oft in Quantenfeldtheorie vorkommt.

Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
on-shell renormalisation scheme in QED  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-07-05
6Incognito9
 

2016-07-05 12:39 - hiki in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo 6Incognito9,

...und was genau ist die Frage?


P.S.: werde sie wahrsch. nicht beantworten können...

Sorry, habe ausversehen gepostet, bevor ich fertig wurde XD

Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
on-shell renormalisation scheme in QED  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-07-05
6Incognito9
 

Hallo,

Ich möchte eine Rechnung zur on-shell renormalisation scheme in QED nachvollziehen.
 
Da wird der counter term
<math>\delta^{OS}_\psi=-\frac{d\Sigma(p\!\!\!/)}{dp\!\!\!/}\right|_{p=\rho_p}</math>, wobei <math>\rho_p</math> die Polmasse ist,
ausgerechnet.

<math>\Sigma(p\!\!\!/)</math> wurde bereits bestimmt zu
<math>\Sigma(p\!\!\!/)=\frac{\alpha}{2\pi}\left[ (p\!\!\!/-4\rho)\frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2}(p\!\!\!/-2\rho) - \int\limits_0^1 dt (tp\!\!\!/-2\rho)\ln\frac{\Delta^2 e^{\gamma}}{4\pi\mu^2} \right]</math> mit <math>\rho=\frac{mc}{\hbar}</math> , <math>\Delta^2=(1-t)(\rho^2-tp\!\!\!/)+t\rho^2_\gamma</math> wobei <math>\rho_\gamma</math> eine kleine Photonmasse ist, die später auf 0 gesetzt werden kann.

Damit wurde dann
<math>\frac{d\Sigma(p\!\!\!/)}{dp\!\!\!/}\right|_{p=\rho_p}=\frac{\alpha}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon}-\frac{1}{2} - \int\limits_0^1 dt \left( t \ln \frac{\Delta^2}{4\pi^2 e^{-\gamma} \mu^2} + \rho_p^2 \frac{-2t(1-t)(2-t)}{\Delta^2} \right) \right]</math>
bestimmt. Noch zu bemerken ist, dass in der on-shell scheme <math>\rho=\rho_p</math> gilt.

So weit so gut. Aber den nächsten Schritt schaffe ich nicht nachzurechnen. Es is gesagt, dass das Integral ausgerechnet und <math>\rho_\gamma</math> auf 0 gesetzt wird. Es kommt dann raus

<math>\frac{d\Sigma(p\!\!\!/)}{dp\!\!\!/}\right|_{p=\rho_p} = \frac{\alpha}{2\pi} \left[ \frac{1}{\epsilon} + 2 + \frac{1}{2}\ln\frac{4\pi\mu^2 e^{-\gamma}}{\rho_p^2} + \ln\frac{\rho_\gamma^2_}{\rho_p^2}\right]</math>.

Es ist zu bemerken, dass das Integral divergiert für t=1. Ich habe mal nachgelesen, dass die kleine Photonmasse hinzugefügt wird, um das Integral integrierbar zu machen. Deswegen
habe ich schon versuch an <math>\rho_\gamma</math> zu entwickeln aber das brachte kein Erfolg. Das Integral bleibt divergent.

Dabei ist auch noch verwirrend, dass laut dem Skript <math>\rho_\gamma</math> auf 0 gesetzt wurde, aber dann müsste <math>\ln\frac{\rho_\gamma^2_}{\rho_p^2}</math> gegen <math>-\infty</math> laufen.


Danke für jede Hilfe!

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Transformationssatz, Integration durch Substitution  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-16
6Incognito9
J

Aaaaaaah, ok!!! Danke.

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Transformationssatz, Integration durch Substitution  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-05-16
6Incognito9
J

Hallo,

ich habe folgendes Verständnisproblem, wenn ich den Transformationssatz mit der Formel für Integration durch Substitution vergleiche.

Aus Wiki:

   Transformationssatz:
Es sei <math>\Omega \subset \mathbb{R}^d</math> eine offene Menge und <math>\Phi\colon \Omega \to \Phi(\Omega) \subset \mathbb{R}^d</math> ein Diffeomorphismus. Dann ist die Funktion <math>f</math> auf <math>\Phi(\Omega)</math> genau dann integrierbar, wenn die Funktion <math>x \mapsto f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right|</math> auf <math>\Omega</math> integrierbar ist. In diesem Fall gilt:

<math>\int_{\Phi(\Omega)} f(y)\, \mathrm{d}y = \int_\Omega f(\Phi(x)) \left|\det(D\Phi(x))\right| \mathrm{d}x\;.</math>

Dabei ist <math>D\Phi(x)</math> die Jacobi-Matrix und <math>\det(D\Phi(x))</math> die Funktionaldeterminante von <math>\Phi</math>.  

   Integration durch Substitution:
Sei <math>I</math> ein reelles Intervall, <math>f \colon I \to \mathbb{R}</math> eine stetige Funktion und <math>\varphi \colon [a,b] \to I</math> stetig differenzierbar. Dann ist
<math>\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,\mathrm{d}x = \int_{a}^{b} f(\varphi(t)) \cdot \varphi"(t)\,\mathrm{d}t .</math>

Der Transformationssatz sollte eine Verallgemeinerung der Integration durch Substitution sein. Allerdings verstehe ich nicht, wieso es bei der Integration durch Substitution keine Betragsstriche um <math> \varphi"(t) </math> gibt. <math>\det(D\Phi(x))</math> sollte doch gleich <math>\varphi"(t)</math> für den Spezialfall der Integration durch Substitution sein.

Ich ahne schon, dass der Grund wahrscheinlich, was banales ist. Aber ich drehe mich gedanklich die ganze Zeit im Kreis und sehe es einfach nicht.

Danke schon mal im Vorraus.
 

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Massendefekt  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-09-30
6Incognito9
J

Ah, ok. Danke Jacha !

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Massendefekt  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-09-30
6Incognito9
J

Hi


2015-09-28 23:28 - 6Incognito9 im Themenstart schreibt: ...und <math>p_{a}^0 + p_{b}^0 = Mc</math>, wobei <math>p^0</math> die zeitliche Komponente des Viererimpulses ist.
...Wie genau kommst Du auf diese Beziehung?


Die Impulserhaltung:

<math>p^{\mu}_a + p^\mu_b  = p^\mu</math>

mit <math>p^\mu = \begin{pmatrix} Mc \\ \vec{0} \end{pmatrix}</math> der Viererimpuls des ruhenden Ursprungskerns, <math>p^\mu_a = \begin{pmatrix} p_{a}^0 \\ \vec{p}_a \end{pmatrix}</math> der Viererimpuls des Zerfallsproduktes <math>a</math> und <math>p^\mu_b = \begin{pmatrix} p_{b}^0 \\ \vec{p}_b \end{pmatrix}</math> der Viererimpuls des Zerfallsproduktes <math>b</math>.

Damit ergibts sich für die Zeitkomponente


<math>p_{a0} + p_{b0} = Mc</math>



und für die Ortskomponenten

<math>\vec{p}_a + \vec{p}_b = \vec{0}</math>


...Du könntest für jeden einzelnen Kern, also Ursprungskern 0, Zerfallskern A und Zerfallskern B den Massendefekt ausrechnen. Er belaufe sich auf d0, dA und dB. Dann solltest Du prüfen, ob aus der Summe der Massendefekte sich irgend etwas darüber aussagen läßt, ob die Summe der Zerfallskernmassen mA + mB die der Ursprungsmasse m0 übersteigt oder nicht.

Das habe ich mit der Rechnung

<math>\frac{E_a}{c}+\frac{E_b}{c}=\sqrt{m_a^2 c^2 + \vec{p}^2_a} + \sqrt{m_b^2 c^2 + \vec{p}^2_b} = Mc</math>

versucht. Und komme damit auf


<math> M > m_a + m_b</math>

LG und vielen Dank

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Massendefekt  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-09-28
6Incognito9
J

Hi,

ich habe hier die Rechnung zum Massendefekt und iwie passt die Interpretation des Ergebnisses zum erwarteten Resultat.

Ein ruhendes Atomkern der Ruhemasse <math>M_0</math> zerfällt in zwei leichtere Kerne mit Ruhemassen <math>m_a</math> und <math>m_b</math>.

<math>\frac{E_a}{c}+\frac{E_b}{c}=\sqrt{m_a^2 c^2 + \vec{p}^2_a} + \sqrt{m_b^2 c^2 + \vec{p}^2_b} = Mc</math>

Ich habe benutzt <math>E^2 = \vec{p}^2c^2 + m_0^2c^4</math> und <math>p_{a}^0 + p_{b}^0 = Mc</math>, wobei <math>p^0</math> die zeitliche Komponente des Viererimpulses ist.

Somit ist <math>M > m_a + m_b</math>. Also ist die Masse des zerfallenen Kerns größer als die Summe der Massen der Zerfallsprodukte.
Eigentlich müsste es aber andersrum sein, wie es auch z.B. in Wiki steht:

"Als Massendefekt  bezeichnet man in der Kernphysik den Unterschied zwischen der Summe der Massen aller Nukleonen, aus denen ein Atomkern besteht, und der tatsächlich gemessenen (stets kleineren) Masse des Atomkerns."

"Der Massendefekt lässt sich mit der Erkenntnis der relativistischen Physik erklären, dass man an der Masse die Energie des ruhenden Teilchens ablesen kann: die Bindungsenergie der Nukleonen vermindert die Summe der Ruheenergien der einzelnen Kernbausteine."

Ich finde meinen Denkfehler nicht. Es würde mich sehr freuen, wenn jemand mir die Sache aufschlüsselt.


Optik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Prisma und Licht  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-07-14
6Incognito9
J

Aahh OK. Im Wiki hats mich verwirrt, dass es dort stand: Bei parallelen Ein- und Austrittsflächen wird die Strahldivergenz UND AUFSPALTUNG aufgehoben. Das habe ich nicht ganz verstanden. Ich dachte es bedeutet, dass die spektral aufgespaltene Strahlen wieder zusammenlaufen würden. Aber jetzt ist es klar.

Nen dicken Dank, Leute !!!

Optik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Prisma und Licht  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-07-09
6Incognito9
J

Anscheinend mache ich iwo beim Rechnen einen Fehler. Bei mir sieht der Strahlenverlauf nähmlich so aus:



Ich gucke es mir später noch mal genauer an.

Danke für die Tipps
 

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