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Kombinatorik & Graphentheorie
Beruf 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
5 Themen, 5 Gruppen, rotierende Gruppenmitglieder  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-06-25
Algebrax
 

Hallo, wellwell!

Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten! Ein paar Hinweise zu deinem Problem:

Es handelt sich um eine Variante des Kirkmanschen Schulmädchenproblems. Lösungen dieses Problems sind spezielle Steiner-Tripel-Systeme, genannt Kirkman-Tripel-Systeme.

Die Situation ist hier etwas entspannter als beim Schulmädchenproblem, denn jeder Teilnehmer kommt ja in den fünf Runden nur mit höchstens <math>5\cdot 3=15</math> anderen in irgendeiner Gruppe zusammen, d.h., es gibt gar keine Lösung, wo je zwei Teilnehmer genau einmal zusammen in einer Gruppe sind. Sehr wohl gibt es aber Lösungen, wo je zwei Teilnehmer höchstens einmal in einer Gruppe zusammen sind, und auch zum Finden solcher Lösungen sind Steiner- bzw. Kirkman-Systeme hilfreich.

Mehr will ich aber nicht verraten, um dir nicht den Knobelspaß zu verderben ;).

Mit lieben Grüßen,
Alex

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nighel123
Duale Abbildung surjektiv => dim(W) endlich  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-15
Algebrax
 

Also, der Beweis passt jedenfalls. Die Notation <math>v_i^{\ast}</math> ist etwas verwirrend, weil es sich dabei ja immer um die gleiche Abbildung (unabhängig von <math>i</math>) handelt. Du kannst stattdessen auch einfach <math>v_z^{\ast}</math> nehmen für irgendein festes <math>z\in Z</math>, und wertest für den Widerspruch dann einfach <math>F(w_i^{\ast})</math> in diesem festen <math>v_z</math> aus für alle <math>i\in I</math>.

Die Idee ist jedenfalls die, dass einem das Funktional <math>w_i^{\ast}:W\rightarrow K</math> bei Auswertung die <math>i</math>-te Koordinate des Arguments in der Darstellung bzgl. der Basis <math>(w_i)_{i\in I}</math> liefert, sodass dann eine <math>K</math>-lineare Abbildung <math>f:V\rightarrow W</math>, für die <math>F=f^{\ast}</math> mit obiger Definition von <math>F</math> gilt, gezwungen wäre, <math>v_z</math> auf einen Punkt abzubilden, bei dem unendlich viele Koordinaten in der Darstellung bezüglich der Basis <math>(w_i)_{i\in I}</math> ungleich <math>0</math> sind, was nicht sein kann.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nighel123
Duale Abbildung surjektiv => dim(W) endlich  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-14
Algebrax
 

Hallo, Nickel!

Wie hast du denn gezeigt, dass die Abbildung für endlichdimensionale <math>W</math> surjektiv ist? Wenn man versucht, den Beweis auf unendlichdimensionale <math>W</math> zu übertragen, sollte man eigentlich an einer Stelle sehen, was schiefgeht und daraus ein Beispiel eines Elements von <math>\mathrm{Hom}_K(W^{\ast},V^{\ast})</math>, welches nicht im Bild liegt, ableiten können.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: TanGeriN
Polynome: Normierte, irreduzible Polynome  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-06
Algebrax
 

Hallo, TanGeriN und Buri!

Man kann die Aufgabe auch lösen, indem man sich überlegt, welcher Zusammenhang zwischen der Anzahl der normierten irreduziblen Polynome vom Grad <math>d</math> über einem endlichen Körper <math>\mathbb{F}_q</math> sowie der Anzahl der erzeugenden Elemente der Körpererweiterung <math>\mathbb{F}_{q^d}/\mathbb{F}_q</math> besteht.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Gemeinsame Nullstellen einer Teilmenge eines Polynomrings sind bereits endlich festgelegt  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-02
Algebrax
J

Ja, das passt so.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Gemeinsame Nullstellen einer Teilmenge eines Polynomrings sind bereits endlich festgelegt  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-02
Algebrax
J

Hallo, traveller!

Bezeichne für <math>g\in K[X_1,\ldots,X_n]</math> mit

<math>\mathrm{N}(g):=\{(x_1,\ldots,x_n)\in K^n\mid g(x_1,\ldots,x_n)=0\}</math>,

und für <math>M\subseteq K[X_1,\ldots,X_n]</math> mit

<math>\mathrm{N}(M):=\bigcap_{g\in M}{\mathrm{N}(g)}</math>.

Die Negation des zu Zeigenden lässt sich dann so formulieren: "Für alle endlichen Teilmengen <math>F\subseteq G</math> ist <math>\mathrm{N}(G)\subsetneq\mathrm{N}(F)</math>." Damit lässt sich nun eine unendliche aufsteigende Kette von Idealen in <math>K[X_1,\ldots,X_n]</math> bilden.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: traveller
Gemeinsame Nullstellen einer Teilmenge eines Polynomrings sind bereits endlich festgelegt  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-02
Algebrax
J

Hallo, traveller!

Die Idee, zu verwenden, dass <math>K[X_1,\ldots,X_n]</math> noethersch ist, ist schon gut. Du musst nicht zum Ideal <math>(G)</math> übergehen. Man kann einen Widerspruchsbeweis unter Verwendung folgender einfacher Beobachtung führen:

Sind <math>g,g_1,\ldots,g_k\in K[X_1,\ldots,X_n]</math>, sodass es ein Tupel <math>(x_1,\ldots,x_n)\in K^n</math> gibt mit <math>g(x_1,\ldots,x_n)\not=0</math>, aber <math>g_i(x_1,\ldots,x_n)=0</math> für <math>i=1,\ldots,k</math>, dann ist <math>g\notin (g_1,\ldots,g_n)</math>.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: helmetzer
Der Ring X*Q[X] + Z  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-26
Algebrax
J

Hallo, helmetzer!

2014-12-26 12:38 - helmetzer im Themenstart schreibt:
fed-Code einblenden

Ja, das ist korrekt. Nun ist <math>X</math> auch sicherlich keine Einheit in <math>R</math>, aber in einem UFD gibt es ja nach der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung zu jeder Nichteinheit <math>a</math> und jedem Primelement <math>p</math> eine größte natürliche Zahl <math>n</math>, sodass <math>p^n\mid a</math>.

Zu 2.: Überlege dir, dass für jede Primzahl <math>p</math> und alle natürlichen Zahlen <math>n,m</math> mit <math>n<m</math> die Inklusion <math>(\frac{1}{p^n}X)\subseteq(\frac{1}{p^m}X)</math> strikt ist.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sophiefelix
nicht faktorieller Unterring  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-13
Algebrax
J

Z.B., oder Martin hat dir ein anderes Beispiel genannt. Suche noch weitere Beispiele (auch von höherem Grad).

Mit lieben Grüßen,
Alex

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sophiefelix
nicht faktorieller Unterring  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-13
Algebrax
J

Hallo, sophiefelix!

Überlege dir ein paar einfache Beispiele von Elementen von <math>R</math>, welche in <math>K[X]</math> zwar reduzibel sind, in <math>R</math> aber irreduzibel. Damit sollte es nicht allzu schwer sein, in <math>R</math> zwei "wesentlich verschiedene" (d.h., nicht nur bis auf die Reihenfolge der Faktoren und Assoziation) Faktorisierungen eines geeigneten Elementes zu finden.

Mit lieben Grüßen,
Alex

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: swoappe
injektive, aber nicht surjektive Abbildung von C^2 -> C^2  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-12
Algebrax
J

So "arg" sind die Beispiele nicht, man kann halt nur nicht erwarten, dass es "ganz schöne" Funktionen sind. Versuche jetzt in einem zweiten Schritt, die gefundene injektive, aber nicht surjektive Abbildung <math>\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math> auf einfache Art zu einer eben solchen auf <math>\mathbb{C}</math> fortzusetzen; von dort ist es dann nicht mehr weit nach <math>\mathbb{C}^2</math>.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: swoappe
injektive, aber nicht surjektive Abbildung von C^2 -> C^2  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-12
Algebrax
J

Hallo, swoappe!

Es gibt für jede unendliche Menge <math>X</math> sogar sehr viele Abbildungen <math>X\rightarrow X</math>, welche nur genau eine der Eigenschaften "Injektivität" und "Surjektivität" besitzen. Tipp: Finde zuerst eine injektive, aber nicht surjektive Abbildung <math>\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}</math>.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: TangenteSteigung
Gruppen der Ordnung p·q sind auflösbar  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-03
Algebrax
J

Hallo, TangenteSteigung!

Die Idee mit der Fallunterscheidung ist schon mal gut. Allerdings kannst du im 2. Fall NICHT folgern, dass die Gruppe das direkte Produkt der Gruppen <math>\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}</math> und <math>\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}</math> ist. Dann wären ja alle Gruppen der Ordnung <math>pq</math> abelsch (bzw. nach dem Chinesischen Restsatz sogar zyklisch), aber das ist nicht der Fall, denke z.B. an Diedergruppen von primem Grad.

Tipp: Verwende die Sylow-Sätze, um etwas über die Zahl an Sylow-Untergruppen herauszufinden und überlege dir dann, was das für die Struktur der Gruppe bedeutet.

Dass endliche direkte Produkte auflösbarer Gruppen auflösbar sind, folgt übrigens unmittelbar aus der Definition, und direkte Produkte abelscher Gruppen sind, nebenbei bemerkt, auch abelsch ;).

Mit lieben Grüßen,
Alex

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: chihau
((2-i)/(2+i))^n ungleich 1  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-30
Algebrax
J

Hallo, Leute!

Man kann auch folgendes allgemeine Lemma verwenden:

"Ist <math>\alpha\in\mathbb{C}</math> algebraisch vom Grad <math>n</math>, <math>m\in\mathbb{N}</math> so groß, dass für <math>k>m</math> gilt, dass <math>\phi(k)>n</math> (wobei <math>\phi</math> die Eulersche Phifunktion bezeichnet), und gilt <math>\alpha^k\not=1</math> für alle <math>k=1,\ldots,m</math>, so ist <math>\alpha</math> keine Einheitswurzel."

Wenn man von einer algebraischen Zahl, deren Grad man kennt (oder zumindest explizit nach oben beschränken kann), widerlegen will, dass es sich um eine Einheitswurzel handelt, muss man also immer nur endlich viele Potenzen überprüfen.

Beweis des Lemmas: Wäre <math>\alpha</math> eine Einheitswurzel, so würde es sich nach Voraussetzung um eine primitive <math>k</math>-te Einheitswurzel handeln für ein <math>k>m</math>. Dann ist aber der Grad der Algebraizität von <math>\alpha</math> gleich <math>\phi(k)</math>, und das ist ebenfalls n.V. größer als <math>n</math>, ein Widerspruch.

Im vorliegenden Fall ist <math>\frac{3-4i}{5}</math> offenbar algebraisch vom Grad <math>2</math>, d.h., man muss lediglich die Exponenten <math>k=1,\ldots,6</math> (bzw. eigentlich sogar nur <math>k=3,4,6</math>, denn nur für die ist <math>\phi(k)=2</math>) durchprüfen.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mimo81
Monotonie einer rekursiven Folge  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-28
Algebrax
 

2014-11-28 07:57 - Mimo81 in Beitrag No. 10 schreibt:
Zu deiner angegebenen Ungleichung mit <math>a_n</math> an Stelle von <math>x</math> bin ich auch schon vorgedrungen. Aber die klassischen Werkzeuge helfen irgendwie nicht bzw. führen immer in dieselbe Sackgasse.

Hast du denn überhaupt probiert, das Polynom <math>p(x)=x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}</math> zu faktorisieren? Ich behaupte, die vollständige Faktorisierung von <math>p(x)</math> in <math>\mathbb{R}[x]</math> führt in keine Sackgasse, sondern im Gegenteil sogar dazu, dass man "auf einen Blick" sieht, warum <math>p(x)</math> auf <math>\left(\sqrt{2},\infty\right)</math> positiv ist.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sese
f nicht komplex differenzierbar beweisen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-28
Algebrax
 

Hallo, helmutg!

Herzlich willkommen auf dem Matheplaneten!

Ja, das stimmt (wobei es natürlich genau einen Punkt <math>x+iy</math> gibt, wo die CR-DGLen für diese Funktion doch erfüllt sind).

Mit lieben Grüßen,
Alex

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mimo81
Monotonie einer rekursiven Folge  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
Algebrax
 

Na gut, wenn Analysis verboten ist, kann man es auch mit elementarer Polynomalgebra machen: Wir wollen zeigen, dass aus <math>x>\sqrt{2}</math> folgt, dass <math>\frac{x^3+6x}{3x^2+2}>\sqrt{2}</math>, was äquivalent zu <math>x^3-3\sqrt{2}x^2+6x-2\sqrt{2}>0</math> ist. Bestimme dazu die reellen Nullstellen des Polynoms auf der linken Seite (und überlege dir, inwiefern dir das hilft, Aussagen über das Vorzeichen der Funktion auf bestimmten Intervallen zu treffen). Wenn das auch verboten sein sollte, weiß ich auch nicht, wie man die Aufgabe lösen soll ;).

Mit lieben Grüßen,
Alex

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mimo81
Monotonie einer rekursiven Folge  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
Algebrax
 

Beachte, dass <math>f</math> eine (unendlich oft) differenzierbare Funktion ist, dir also zur Untersuchung von <math>f</math> der gesamte "Werkzeugkasten" der Analysis zur Verfügung steht.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mimo81
Monotonie einer rekursiven Folge  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-27
Algebrax
 

Hallo, Mimo81!

Die Glieder der Folge entstehen auseinander durch iteriertes Anwenden der Funktion <math>f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\frac{x^3+6x}{3x^2+2}</math>. Versuche daher, Folgendes zu zeigen: Ist <math>x>\sqrt{2}</math>, so gilt auch <math>f(x)>\sqrt{2}</math>.

Mit lieben Grüßen,
Alex

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Teddyboer
p-Sylowgruppen der Diedergruppe  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-11-23
Algebrax
 

Genau. Und um zu sehen, wie die Sylow-Untergruppen einer zyklischen Gruppe aussehen, beachte den Chinesischen Restsatz.

Mit lieben Grüßen,
Alex
 

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