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Thema Eingetragen
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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Moana
bedingte Wahrscheinlichkeit mit Würfeln  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
Animus
J

Aufgabe a) ist ja fast ein Idealbeispiel, NICHT unnötig bedingte Wahrscheinlichkeiten zu benutzen.
3 verschiedene Würfe von 6 möglichen sind einfach die Hälfte der Fälle. Ergo ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 6 dabei ist, genauso groß wie die, nicht dabei zu sein, also genau 1/2, was mit sehr viel Aufwand dann auch mit dem Ansatz der bedingten Wahrscheinlichkeiten herausgekommen ist.

Bei Aufgabe b) und c) macht bedingte WSkeit zwar etwas mehr Sinn, das einfachere Model ist hier aber auch hier das Ziehen aus einer Urne (mit den Kugeln 1-6) ohne Zurücklegen, und dann die gültigen Permutationen zählen.

c) wird noch einfacher, wenn man die übrig bleibenden Kugel (die zusammen 11 ergeben müssen, also 5 und 6) betrachtet. Diese in zwei Zügen zu ziehen muss gleich wahrscheinlich sein, wie die anderen vier bei vier Zügen zu ziehen.


Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nuramon
* Eine runde Summe  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-11-23
Animus
 

Sehr eleganter Beweis, Buri!

Ungleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: ut2018
Binomiallehrsatz  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-11-18
Animus
 

Hi

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Die algemeine Form dieser Formeln nennt sich binomischer Lehrsatz..., also man googlen.   😄

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: MontyPythagoras
** Nautische Spirale  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-11-12
Animus
 

Wie MontyPythagoras schon erwähnt hat, habe ich das Problem schon mal früher berechnet.
Mein Weg der Herleitung ist - glaube ich - noch etwas elementarer, als Version 2 von MontyPythagoras.
Dazu wird die Kugel zwei mal hintereinader (zunächst um die Polachse, dann um eine Achse in der Äquatorebene) gedreht. Dabei gehen wir nicht unbedingt von 3 sondern allgemein von n Schiffen aus, die equidistant auf dem gleichen Breitengrad liegen (die Zeichnung ist schon älter, daher habe ich andere Bezeichnungen als Monty):



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Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: querin
* Streichresultat hoch 3  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-04-07
Animus
J

Nettes Rätsel.

Solche Zahlen finden sich mit folgender Überlegung:

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Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: janalp
Volumen/Flächenintegral berechnen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-12-20
Animus
 

Hallo,
netterweise ist \( x(t)=t \), daher ist die Kurve \( y(t)=y(x)=1- x^{\frac 3 2} \),die Du für den Umfang und die Fläche des Sees brauchst, schon in üblicher Form definiert.

Für das Volumen benötigst Du ein Doppelintegral, bei dem Du sinnvollerweise zunächst über \(y\) integrieren solltest. (edit: und dann evtl. numerisch über x, wenn das erlaubt ist, sonst mittel partieller Integration)

Grüße Animus


Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dank1337
Textaufgabe, Deckungspreise, Optimierung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-19
Animus
 

hi, Dank1337

willkommen auf dem Matheplaneten! 😄

Das "Rucksackproblem" ist eines der nachgewiesenen NP-vollständigen Probleme, kann also nicht allgemein in polynomialer Zeit gelöst werden.
Es gibt also keinen allgemein anwendbaren Algorythmus (d.h. für alle möglichen Gewichts- und Wertverteilungen), der die Komplexität der Aufgabe stufenweise rasch verringert, indem dieser beispielsweise nacheinander die optimale Menge der einzelnen Gegenstände bestimmt und so das Problem schrittweise vereinfacht.

Im vorliegenden Fall können aber durchaus Vereinfachungen erfolgen:
Die Mitnahme eines  bestimmten Gegenstandes bzw. einer bestimmten Kombination von Gegenständen kann genau dann ausgeschlossen werden, wenn gleichzeitig sowohl der Wert geringer wie auch das Gewicht höher als eine andere Kombination ist.

Das heisst zum Beispiel dass Gegenstand 1 nie eingepackt werden sollte, da er weniger als Gegenstand 2 wert ist und mehr wiegt.
Mehr als zwei Gegenstände 2 sollte auch nicht eingepackt werden, da 1 Gegenstand 3 genausoviel wiegt wie 3 Gegenstände 2, aber mehr wert ist.
Gegenstand 4 kann wiederum wegen Gegenstand 3 ausgeschlossen ganz werden usw.

Schau dir mal an, wie lang die endgültige Liste wird.



 

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: William_Wallace
Polygonecken Anzahl Beweis  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-10-19
Animus
 

2017-10-17 23:05 - William_Wallace im Themenstart schreibt:

Die Vermutung liegt nahe:
      P_1   P_3.    P_n
______ \ __ /__\ __ /_______
        \  /    \  /
         P_2.    P_4

Wenn P gerade ist, ist das alles gut.
Aber wie zeigt man sowas?


Eigentlich ganz einfach. Deine Zeichnung zeigt Deine eindeutige und richtige Vermutung für die notwendige und zugleich hinreichende Bedingung für die Lage der Punkte in Abhängigkeit von der Lage der Geraden. Diese Vermutung solltest Du in ein, zwei klaren Sätzen ausformulieren.
Dann fehlt nur noch ein kleiner Argumentationsschritt. Etwa so:

... eine Gerade schneidet eine Strecke genau dann, wenn ...

... wenn alle Strecken eines geschlossenen Polygonzuges von der gleichen Geraden geschnitten werden, so müssen aufeinanderfolgende Punkte ...

Der Umweg über bestimmte Koordinaten grenzt dagegen die Allgemeingültigkeit unnötig ein.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-17
Animus
J

Hier die ausführliche Auflösung:

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Danke für die rege Beteiligung! 😄

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-14
Animus
J

Die Goldmedaille geht an salomeMe für die vollständige numerische Lösung. (Die Silbermedaille vergebe ich gerne an stpolster für seine sehr schöne Monte Carlo Simulation).

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.16 begonnen.]

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-13
Animus
J

Hallo, salomeMe.
Deine Idee passt, tatsächlich ist bei gegebener Richtung der Erwartungswert des Laufweges

1/3 der Strecke von der Ecke zum Schnittpunkt der durch diese Ecke (in gegebener Richtung) laufenden Geraden mit der gegenüber liegenden Seite.
Jetzt muss also nur noch über die von der Richtung abhängigen Länge dieses Geradenabschnittes integriert werden.


Verspätete Grüße aus dem Urlaub.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lesar
Wert einer Reihe  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-28
Animus
 

Hi, Iesar

Wolfram ALpha summiert offenbar von n=1 an ...

überprüfe doch nochmal Deine Eingaben, Deine eigene Rechnung ist auf jeden Fall richtig.

Gruß Animus

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-26
Animus
J

2017-06-26 20:58 - gonz in Beitrag No. 10 schreibt:
hm, ich bin noch am knobeln... vielleicht können wir noch deine urlaubszeit mit herumrätseln verbringen?

Ja, klar, dann warte ich gerne noch.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-26
Animus
J

Wenn keiner mehr am Knobeln ist, würde ich in 3 Tagen auflösen (da ich ab Samstag im Surfurlaub bin! 😎  😎  😎 ).

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-25
Animus
J

Sehr schön, stpolster!

Dein Ergebnis deckt sich mit meinem.
Dass die 4. Nachkommastelle nicht mehr exakt berechnet wird, ist bei einer Monte Carlo Simulation nicht verwunderlich, ich selbst hatte aber etwa programmtechnische Mühe, bis mein (zusätzliches) Simulationsprogramm endlich korrekt lief.  😄

Beste Grüße
Animus

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-25
Animus
J

Ich wäre auch mit einem guten Näherungswert zufrieden ...

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-25
Animus
J

Das Rätsel ist zugegebener Weise schwer, da es nicht affin ist, d.h. eine einfache lineare Formel auf Basis der Kathetenlängen oder des Flächeninhalts ist für verschiedene psythagoräische Dreiecke nicht zu erwarten. Daher hätte ich besser 3 statt 2 1/2 Sterne vergeben sollen.

2. Hinweis (kleiner Spoiler):

Da die Zufallsvariablen voneinander unabhängig sind, ist das Ergebnis der Berechnung von der Reihenfolge der verwendeten Zufallsvariablen (Ort, Richtung) unabhängig.

3. deutlicherer Hinweis:

Versuche zunächst, eine einfache Formel für die Weglänge bei vorgegebener Wegrichtung zu finden.



Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Animus
**(*) Ameise auf Dreieck  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-24
Animus
J

Hallo salomeMe,

schön dass Du mitmachst.

Wie Du richtig vermutest, geht der Erwartungswert über alle möglichen Positionen der Ameise und alle möglichen Himmelrichtungen für den Weg der Ameise. Die zwei Zufallsvariablen sind voneinander unabhängig.

Ein (kleiner) Hinweis:

Der Erwartungswert ist deutlich kleiner als Deine rechnerische Abschätzung von 13,82cm, aber entgegen Deiner letzten Vermutung größer als 10cm.


Beste Grüße, Animus

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: Kay_S
*(*) Integral-Identität  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-15
Animus
 

Eine schöne Aufgabe und (für mich) sicher nicht zu einfach!!


Meine Herleitung verwendet das Additionstheorem des Cosinus und mehrfache Substitution der Integralgrenzen, mit zwischenzeitlicher Aufspaltung in zwei Integrale und letztendlicher Zusammenfassung:

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Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
Schule 
Thema eröffnet von: JoeM
* Die Würfel sind gefallen  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-06-12
Animus
 

@StrgAltEntf:
Ich habe die Wahrscheinlichkeiten exakt berechnet, und komme für eine Runde mit 2 Spielern auch genau zu Deinen Werten.

Für 3 Spieler stimmt Deine Intuition, dass der Effekt bei mehr Spielen (zumindest am Anfang) deutlich abnimmt. Bei 3 Runden ist die Wahrscheinlichkeit mit 6 Würfen gegen 2 Spieler mit 5 Würfen zu gewinnen 5,4% höher als für die beiden anderen Spieler, bei 6 Runden nur noch 2,9% und bei 30 Runden nur noch 1,6%  höher. Danach bleibt dieser Anteil etwa konstant, nimmt sogar ganz leicht zu, was aber vermutlich daran liegt, dass der Anteil der unentschiedenen Spiele stärker zurückgeht als der Betrag dieses Anstiegs.

Die größere Varianz der 6-er Würfe gegenüber den 5-er Würfen sollte sich aber weiter stabil zeigen (und absolut weiter zunehmen), so dass eine stabil bessere Gewinnchance plausibel erscheint.

Bei 2 Spielern ergibt sich IMHO aus der größeren Varianz alleine kein Hinweis, ob das zu mehr oder weniger Siegen führt, da geht es um die ganz genaue Verteilung. So hat bis 7 Runden der 6-er Spieler Vorteile, danach der 5-er Spieler. Ich war aber selbst verblüfft, dass der Effekt auch bei 30 Runden noch gut zu sehen war. Bei 300 Runden ist dieser Effekt aber bis auf 0,1% gesunken, also fast ganz verschwunden, was dann wieder der natürlichen Erwartung entspricht.

Das heisst also zusammengefasst, dass der 6-er Spieler gegenüber einem 5-er Spieler etwa gleich häufig verliert oder gewinnt, zumindest bei vielen gespielten Runden; bei einer Runde mit mehreren 5-er Spieler verliert oder gewinnt er aber aufgrund seiner im Mittel höheren Abweichung zum Erwartungswert häufiger gegen mehrere 5-er Spieler gleichzeitig und kann so öfters eine Runde gewinnen als der einzelne 5-er Spieler.
 

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