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Logik, Mengen & Beweistechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: jppollmeier
A Property of Any Two Sets  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21 02:20
AnnaKath
 

Huhu,

manchmal möchten Menschen ja nur rasch eine Idee googeln; der Themensteller (wie auch alle Kommilitonen an der ETH) musste ja bereits seine Übungsaufgabe abgeben; und ich hasse Unvollendetes...

Wählt mal also $C=-B+A \:\: (=B+A)$ bzw. $C=(A/B)\cup(B/A)$, so ist es einfaches Nachrechnen*: $B+C=B-B+A=A$.

lg, AK.


Ich habe stillschweigend die Kommutativität der Vereinigung benutzt; und für den Nachweis der Gruppeneigenschaften muss man z.B. insbesondere noch die Assoziativität nachweisen; aber hier geht es wohl auch nur darum, eine Idee zu entwickeln wie $C$ "aussieht".

Logik, Mengen & Beweistechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: jppollmeier
A Property of Any Two Sets  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 23:29
AnnaKath
 

Huhu,

2020-10-20 23:17 - jppollmeier in Beitrag No. 6 schreibt:
Vielen Dank, ich verstehe nur nicht warum man aufgrund der Tatsache dass die Symmetrische Differenz eine Gruppenverknüpfung ist, schliessen kann das jede Gleichung $A = B + C$ lösbar ist.

Das kann man natürlich auch nicht.

Du kannst aber überlegen, wie man die Gleichung $A = B + C$ in einer beliebigen Gruppe nach $C$ auflöst und dies dann für Deine konkrete Situation nutzen.

Wäre die betrachtete Gruppe etwa $(\mathbb{R}^+, \cdot)$, so würde man $a=bc$ auflösen zu $c=b^{-1}a$. Genau dies tust Du nun in Deiner betrachteten Gruppe.
Es ist nur viel einfacher und klarer, wenn Du das in dem abstrakteren Rahmen tust und es nachher wieder in Mengen und symmetrische Differenzen "zurückübersetzt".

lg, AK.

Logik, Mengen & Beweistechnik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: jppollmeier
A Property of Any Two Sets  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 23:13
AnnaKath
 

Huhu,

Du könntest z.B. $C$ explizit angeben (und triceratops hat Dir in #1 gezeigt, wie man diese Menge sehr übersichtlich konstruiert und die behauptete Beziehung zeigt).

lg, AK.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: SophiaS
Konvergenz Markov-Kette  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 21:01
AnnaKath
J

Huhu Sophia,

Du tust recht daran, Dich zu wundern. Die Lösung ist falsch (und die Aufgabe ziemlich sinnlos).

Betrachte als Gegenbeispiel etwa die Übergangsmatrix $ P = \left ( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ \end{array} \right )^T $ mit $\pi=(0.25, 0.25, 0.5)^T$.

Selbst wenn man mit der stationären Verteilung in $t=0$ startet, stimmen die "Lösungen" nicht.

lg, AK.


Anmerkung: Üblicherweise schreibt man die Verteilungen als Zeilenvektoren und die Übergangsmatrix als zeilenstochastische Matrix; Du machst es hier anders - das ist natürlich ok. Es woll nur erklären, warum ich hier alles transponiere.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-13 21:20
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

ich habe diesen Faden wohl (leider) vergessen.

In der Sache will ich gerne den Hintergrund erklären; tatsächlich hat sich aber ein ziemlich faszinierendes Feld eröffnet, dessen Reichhaltigkeit beim ursprünglichen Post - zugegeben - nicht erkannt habe.

Ich werde versuchen, über den Hintergrund des ursprünglichen "Rätsels" zu berichten und die "aufgeplusterte" Aufgabe (vermutlich in einem weiteren Thread) zu erläutern (und auch gerne auch ein paar Dinge der mittlerweile hoffentlich erschlossenen) Theorie einzugehen.

In der Hoffnung, es hinreichend spannend (und inhaltsleer...) gestaltet zu haben,
Eure
Anna-Katharina.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lil_astronaut
Monotonie mit der Gleichverteilung zeigen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-25 22:29
AnnaKath
 

Huhu sonnenschein*,

ich habe mir - zugegeben - keine Gedanken über die Sinnhaftigkeit gemacht, sondern nur versucht, eine sinnvolle Interpretation des im Themenstart Geschriebenen zu geben.

Etwas "fraglich" erscheint mir die Argumentation allerdings auch.

lg, AK.

*) exquisiter Name btw

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lil_astronaut
Monotonie mit der Gleichverteilung zeigen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-25 20:18
AnnaKath
 

Huhu astronaut,

Zunächst: Die Monotonie eines Risikomasses $r$ besagt, dass für zwei Zufallsvariablen $X, Y$ mit den Verteilungsfunktionen $F_X$, $F_Y$ aus $F_X(x) \geq F_Y(x)$ für alle $x\in\mathbb{R}$ folgt $r(X) \leq r(Y)$.

Hier wird nun ein Gegenspiespiel für das konkrete Risikomass konstruiert. Dazu wird $Y$ als geometrisch (mit Paramter $p$) verteilt angenommen und $X$ als diracverteilt in $0$, d.h. es gilt $X=0$ f.s.

Damit solltest Du die Rechnung nachvollziehen können.

lg, AK.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-02
AnnaKath
 

Liebe Rätselnde,

bevor ich nun auch die diversen - hier oder auch anderweitig geartetetn Vorschläge eingehe - werde ich zum Wochenende einen neuen Thread eröffnen, in der die eigentliche Aufgabenstellung (in der Sprache der Piraten formuliert) veröffentlicht wird.

Ich freue mich über das rege Interesse und hoffe, dass dies auch für die (deutlich schwerere) Aufgabe gelten wird.

lg, AK.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-31
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

eine bessere Lösung als knapp über $55$ Nutzenpunkten für Messer-Jack haben wir für dieses "Studienproblem" auch nicht gefunden. Ich nehme also an, dass cramilus Lösung tatsächlich optimal ist.

Zur Verallgemeinerung:
Das "wirkliche" Problem (auch gerne wieder in die Sprache von Messer-Jack formuliert, werde ich bei Zeiten posten. Und dazu eine Frage stellen, auf die auch wir keine Antwort finden...

lg, AK.

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-29
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

aufgrund einiger Nachfragen zur "Technik" hilft vielleicht ein Beispiel.

Messer-Jack möge etwa vorschlagen, dass die Piraten 1-3 jeweils 25 Sklavinnen und 1250 Flaschen Rum erhalten (er behält einen solchen Beuteanteil auch für sich) und lässt die Piraten 4-6 leer ausgehen.

Stimmen die Piraten zu (zumindest 1-3 würden das tun) und es kommt zu keiner Revolte), so ziehen  also die Piraten 0-3 aus dem Beutezug einen Nutzen von jeweils $39.518$ ("Glückseinheiten"), während die Piraten 4-6 einen "Nutzen" von jeweils $-7.625$ ziehen.

Nehmen wir für einen Momant an (was aber nicht geschehen würde, denn die Piraten sind alle völlig rational), dass die Piraten 4-6 revoltiert hätten, so würde ihr Nutzen auf jeweils $-17.625$ fallen (ihnen würde ja für die gescheiterte Revolte der Finger abgetrennt).

Nehmen wir das (ebenfalls hypothetische) Szenario an, dass sogar Pirat 3 mit den Piraten 4-6 aufbegehren würde, so käme es zu einer Revolte. Der Piratenkönig würde die Beute rein zufällig verteilen und jeder Pirat würde im Mittel $14.285$ Sklavinnen* und $714.286$ Flaschen Rum erhalten und damit einen Nutzen von $33.508$ aus der Verteilung der Beute ziehen.

lg, AK

*) inwiefern Teile von Sklaven vin Nutzen sind, sei einmal dahin gestellt...

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schildkroete007
Umformung mit Erwartungswert  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-29
AnnaKath
J

Huhu zusammen,

bei $v \mathbb{E}[v^{T_x-1} \mathbf{1}_{\{0<T_x<1\}}] = v \mathbb{E}[v^{T_x-1} \mathbf{1}_{\{0 \leq T_x<1\}}]$ (der Umformung von Zeile 2 zu drei in triceratops Beitrag aus #1) benötigt man, dass $T_x$ stetig verteilt ist oder zumindest für alle ganzen Zahlen atomfrei ist. Dies lässt sich etwa aus den genannten Voraussetzung herleiten.

lg, AK.

//NACHTRAG: man benötigt an der genannten Stelle wohl nur die Atomfreiheit in $0$, also $\mathbb{P}^{T_x}(\{0\}) = 0$

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.5 begonnen.]

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-28
AnnaKath
 

Zur Klarstellung:
- "Messer-Jack" schlägt eine Verteilung von Sklavinnen und Rum für jeden Mitpiraten vor. Wird der Vorschlag akzeptiert, so erhält jeder Pirat genau diesen Beuteanteil in der vorgeschlagenen Zusammenstellung (und kann den dann nicht mehr handeln); wir jedoch revoltiert, so entscheidet der Piratenkönig nicht nur zufällig über den Beuteanteil sondern auch über die (Unter-)Verteilung auf $(s,r)$.
- $\mathrm{log}$ meint den natürlichen Logarithmus (sofern das relevant sein sollte)

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: AnnaKath
(*) Mal wieder Piraten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-28
AnnaKath
 

Huhu zusammen,
aus einer netten beruflichen Knobelei habe ich versucht ein Rätsel zu machen. Mir hat die Problemstellung ein wenig Mühe bereitet; ich hoffe also, dass der ein oder andere auch Spass am Lösen haben wird...
lg, AK


Die "Colored Pearl" ist ein seltsames Piratenschiff, denn ihre Besatzung besteht nur aus zwar ausgesprochen skrupellosen und brutalen Piraten, die aber allesamt perfekt rational handeln. Am 19. Dezember 1606 hat die Mannschaft den Hafen von St. Juan geplündert und dort reiche Beute gemacht, welche in Tortugachen* den Gegenwert von 200 Sklavenmädchen oder 10000 Flaschen Rum** besitzen.

Messer-Jack, der Kapitän der Colored Pearl, will nun die Beute verteilen. Er muss nun eine Verteilung der Beute unter der Mannschaft von 6 relevanten*** Mitpiraten vorschlagen, sofern der Vorschlag angenommen wird, händigt er die entsprechenden Anteile aus und behält den Rest für sich selbst. Mit den Burschen, die gegen seinen Vorschlag stimmen, verfährt er gemäss der Tradition der Piraten und trennt diesen einen Finger ab.

Wird der Vorschlag allerdings mehrheitlich abgeleht, so kommt es zu einer Revolution der Piraten. In diesem Falle entscheidet der leider völlig irre Piratenkönig über die Verteilung der Beute (und zwar in jedem relevanten Aspekt gleichverteilt rein zufällig).

Das Schiff läuft nun in den Hafen von Tortuga ein und Messer-Jack hat nicht viel Zeit, sich zu überlegen, wie er die Beute zu "Geld" macht (also wieviele Sklavenmädchen und/oder Flaschen Rum er eintauschen will) und welchen Vorschlag er zur Verteilung der Beute machen soll, um seinen eigenen (erwarteten) Nutzen zu maximieren****...

Was würdet ihr Messer-Jack raten?

*) Ihr merkt schon - diese Aufgabe ist gar nicht historisch!
**) das sind die damals gültigen Währungen
***) also männliche, volljährige und schwer bewaffnete Mitglieder der Mannschaft
****) Messer-Jack mag völlig rational sein, ein egoistischer Pirat bleibt er gleichwohl


Noch ein paar technische Anmerkungen zur Aufgabe:
- perfekt rational soll hier bedeuten, dass jeder Pirat sich so verhält, dass er diejenige Strategie wählt, die seinen erwarteten Nutzen maximiert
- erhält ein Pirat $s$ Sklavenmädchen, $r$ Flaschen Rum und wird ihm entweder ein Finger abgetrennt ($f=1$) oder nicht ($f=0$) so lässt sich sein Nutzen $u$ quantifizieren zu $u=10 \cdot \mathrm{log} (0.5+s) + \mathrm{log} (0.5+r) - 10 \cdot f$
- Zur Klarstellung des Verfahrens: Nachdem Messer-Jack einen Vorschlag gemacht hat, haben die anderen Piraten $1, ...6$ ohne Aussprache oder anderen möglichen Koordinationsmechanismus (allerdings mit einem rasend schnellen, perfekt rechnen Gehirn) jeweils eine der Strategien $s_j \in \{ C, R \}$ zu wählen (Messer-Jack als Spieler $0$ wählt immer die Strategie $s_0=C$). Ist  $\sum_{j=0}^6 1_{s_j=R} \geq \sum_{j=0}^6 1_{s_j=C}$, so kommt es zu einer Revolution (und der Piratenkönig verteilt die Beute völlig zufällig, schneidet aber keine Finger ab).

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Unklarheit zu Beweis bezüglich Cox-Ross-Rubinstein-Modell  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-16
AnnaKath
 

Huhu Daenerys,

die fragliche Stelle lautet $\prod \limits_{m=1}^{T} q(\omega_m) = q \prod \limits_{m=1, m\neq t}^{T} q(\omega_m)$. Wie Du siehst, steht auf der rechten Seite ein Faktor weniger im Produktzeichen, nämlich genau $q(\omega_t)$. Man hat also lediglich einen Faktor explizit aufgeschrieben, also $\prod \limits_{m=1}^{T} q(\omega_m) = q(\omega_t) \cdot \prod \limits_{m=1, m\neq t}^{T} q(\omega_m)$ und dann ausgenutzt, dass man weiss, dass $\omega_t=u$ und somit $q(\omega_t)=q(u) = q$ ist.

Da steckt weder inhaltliche noch algebraische Magie drin...

Einen schönen Sonntag und lg,
AK


Eine kleine persönliche Nachfrage: Als Du aus dem brennenden Haus mit den ganzen sterbenden Khals getreten bist, da hattest Du Dir aber vorher schon noch die Haare etwas zurecht gemacht, oder? Sonst hasse ich Dich noch mehr...

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Unklarheit zu Beweis bezüglich Cox-Ross-Rubinstein-Modell  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-14
AnnaKath
 

Zum Abschluss und um ggf. Verwirrung zu verringern:

Wie Nuramon schon sagte, muss man tatsächlich nichts weiter tun, als Definitionen einsetzen und ein bisschen herumrechnen.

Das Ergebnis ergibt sich mit $S_t = S_0 u^{c_t} d^{t-c_t}$ wobei $c_t = | \{ j \leq t : \omega_j = u \} |$ ein Zählprozess ist, der schlicht die Anzahl der Aufwärtsbewegungen zählt.

Im Übrigen ergibt dann auch $S_{0}=\frac{u}{1+r}S_{0}q+\frac{d}{1+r}S_{0}(1-q)$ Sinn, auf der linken Seite steht nämlich $E^Q \frac{S_1}{1+r}$ und mit dieser Gleichung lässt sich $q$ (wie von Danaerys angegebenen) bestimmen.

lg, AK.

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Unklarheit zu Beweis bezüglich Cox-Ross-Rubinstein-Modell  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-14
AnnaKath
 

Huhu,

ich wollte nur helfen, die fehlenden Stücke zusammenzupuzzeln. Die Mutter der Drachen hat ja schon einige Ausführungen gemacht, es fehlt meines Erachtens noch die (typischerweise rekursive) Definition von $S_t$. Die mittlere Gleichung von Danaerys sieht schon ganz gut aus, aber die kann nicht stimmen (neben der Tatsache, das links $S_{t+1}$ und rechts $S_t$ stehen müsste), denn $S$ muss ein stochastischer Prozess sein und $S_t$ explizit von $\omega_t$ abhängen.

Natürlich ist es ("algebraisch") möglich, die Rechnung auf die Definition des zugrundeliegenden (Binomial-)Maßes $Q$ zurückzuführen (wie Nuramon es sagte), allerdings wäre diese Aufgabe dann in meinen Augen eher kontraproduktiv. Man geht ja u.a. gerade deshalb zum äquivalenten Martingalmass $\tilde{Q}$ über, da dann die Rechnungen ohne das sehr umständlich zu handhabende $Q$ (bzw. die Wahrscheinlichkeit $z$ aus #4) elegant durchzuführen ist.

lg, AK

Finanzmathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Unklarheit zu Beweis bezüglich Cox-Ross-Rubinstein-Modell  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-14
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

Nuramon ist mir hoffentlich nicht böse, wenn ich dazwischen plappere...

Tatsächlich sind die fraglichen Schritte in der blau hinterlegten Lösung wohl kaum ohne die beabsichtigte Interpretation nachzuvollziehen.

Während es noch recht offensichtlich ist, dass mit $B_t = B_0 (1+r)^t$ der Wert eines (risikolosen) Bonds (zum risikolosen Marktzins $r$) und $S_t$ der Wert des risky assets ("stock") gemeint sein sollen (und offenbar darüberhinaus $B_0=1$ angenommen ist), erschliessen sich die $u$ und $d$ mir leider nicht.

Das CRR-Modell ist ein $T$-Perioden-Binomialmodell, d.h. es gibt zu jedem Zeitpunkt $t \in \{1, ..., T\}$ eine Wahrscheinlichkeit $z_t$ und zwei Beträge $a_t$ und $b_t$ , so dass $S_t = S_{t-1} + a_t$ mit W'keit $z_t$ oder $S_t = S_{t-1} - b_t$ mit W'keit $1-z_t$ gilt. Hier scheinen alle W'keiten konstant zu sein und die Kursänderungen der "Aktie" als relative Abweichungen gemessen zu werden, also "ungefähr" $S_t = uS_{t-1}$ mit W'keit $z$ oder $S_t = dS_{t-1}$ mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit $1-z$. Es ist klar, dass durch den Übergang zum äquivalenten Martingalmaß die Wahrscheinlichkeit $z$ nicht mehr in den späteren Rechnungen auftritt, aber ohne etwas mehr Erklrung kann zumindest ich den Auftakt der Rechnung nicht nachvollziehen.

lg, AK.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Chemie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Vido
Oxidationszahl Nickel-Metallhydrid- Akkumulator  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-12
AnnaKath
 

Huhu zusammen,

da ich dummerweise eine (sinnlose) SuMo geschrieben hatte, die ggf. vom ein oder anderen gelesen wurde und irritiert, hier kurz eine etwas ausführlichere Erläuterung, die aber natürlich nichts an der Erläuterung des Einfältigen zum Wasserstoff aus #4 ändert.


Die Oxidation findet statt, indem das Metallhydrid mit dem Hydroxidion der Kalilauge (temporär) unter Elektronenabgabe zu Wasser und Metall reagiert. Die Reduktion ist dann die Reaktion dieses Nickeloxidhydroxid (falls es so heisst) mit Wasser unter Aufnahme eines Elektrons zu Nickelhydroxid und einem Hydroxidion. Netto ändern sich die Oxidationszahlen von M (+I zu 0) und Ni (+III zu +II) und des Protons (-I zu +I)


lg, AK.

Spiel & Spaß
  
Thema eröffnet von: mire2
MP-Stilblüten etc. sammeln  
Beitrag No.1476 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-06
AnnaKath
 

Es können bei rot-rot doch nur max. soviel Hawai-Hawei Paarungen entstehen, wieviel der geringste Hawai-Füllungen auf rot hat.  

Etwas eloquenter drückte dies die grosse Philosophin Jessie J aus:

Ain't about the uh cha-ching cha-ching
Ain't about the yeah b-bling b-bling

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: cramilu
Neue Zeitrechnung - selbst gemacht  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-01
AnnaKath
 

Huhu Bernhard,

meinst Du die Eckkneipe in Kreuzberg? Die gab es im 13. Jhdt. vermutlich noch nicht.

Ansonsten sind die einzigen Haupstadtclubs*, die jemals so etwas wie einen deutschen Pokal gewonnen haben, solche aus Wien (offensichtlich in einer ziemlich unrühmlichen Zeit).
Jedenfalls wenn Du die Sportart meinst, die vermutlich die meisten intuitiv als besprochen ansehen.

lg, AK.

*) Für alle Bayern unter uns: München ist keine Hauptstadt...
 

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