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Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-28 15:32
Carmageddon
 

Hallo,


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.
Liegt das daran, dass aus diesem Vektorraum zwei beliebige Vektoren immer linear Abhängig sind und daher die maximale Anzahl an linear Unabhänigeng Vektoren 1 ist?

Eine Basis ist z.b. gegeben durch <math>\{(1,0,..,0) \in \IR^9\}</math>. Rechne einfach die Eigenschaften einer Basis durch.



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Tatsächlich war das erst kürzlich eine Übungsaufgabe, genau das zu zeigen. Allerdings hatte ich die Argumentation der Lösung nicht verstanden. Dort hat man nämlich gezeigt, dass es für jedes <math>n \in \mathbb{N}</math> n linear unabhängige Vektoren gibt. Da aber ja n eine natürlich Zahl ist, ist die Anzahl ja doch immer endlich, daher weiß ich nicht wo dann der Übergang ins unendliche kommt? Oder wird hier unendlich wieder so definiert, dass es über jede Grenze hinweg wächst?

Es gibt überhaupt keinen Übergang ins unendliche. Man verwendet hier nun die Eigenschaft, dass eine Basis eine maximale lineare unabhängige Menge ist, sprich sobald man einen weiteren beliebigen Vektor hinzunimmt ist die Menge linear abhängig. Sollte es für beliebige <math>n</math>, aber immer <math>n</math> unabhängige Vektoren geben, kann so eine Menge offensichtlich nicht endlich sein.


2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.

Ich kenne diese Begriffe von Hamel und Schauder Basis leider nicht. Auf Wikipedia steht allerdings: "[...]Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt". Ich würde das jetzt so interpretieren, dass die Hamelbasis nur endlich Dimensional sein kann und nicht unendlich dimensional?

Ist die Hamelbasis aber im Prinzip die "normale" Basis die man aus endlichen Vektorräumen kennt?


Für endlich-dimensionale VR stimmen Hamelbasis und "normale" Basis überein. Deine Interpretation kann ich nicht nachvollziehen. Wie schließt du darauf, dass die Hamel-Basis endlich sein muss?

Die Hamel-Basis ist die "normale" Basis. Sie muss nun nur nicht mehr aus endlich vielen Elementen bestehen, wie man es in der endlich-dimensionalen Linearen Algebra lernt, sondern sie besteht nun aus unendlich vielen Elementen. Die englische Wiki-Seite erklärt das recht gut in der Defintion: hier



2020-06-27 15:10 - Gast123 in Beitrag No. 5 schreibt:
2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe: Heißt das, dass es Fälle gibt, wo ich für den selben unendlichen VR eine abzählbar unendliche Schauder-Basis finden kann und eine überabzählbar unendliche Hamelbasis? Dann wäre der Begriff der Dimensionalität hier aber nicht eindeutig definiert oder?


Ja, solche Fälle gibt es. Man muss hier allerdings dazusagen, dass man für den Begriff der Schauderbasis eine Norm benötigt. Die Hamelbasis benötigt dies nicht. Nun, man spricht hier von unendlich-dimensionalen VR und belässt es meist dabei.

Man kann für unendlich-dimensionale VR auch nicht mehr sagen, dass sie alle isomorph zueinander sind (wie etwa endlich-dimensionale VR über <math>\IR</math>). Hier gibt es einen wahren Zoo an fundamental unterschiedlichen VR (diese Räume werden erst mit der richtigen Norm interessant). Die "richtige" Definition der Dimension spielt hier in meinen Augen keine große Rolle hier.


Viele Grüße

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-27 13:29
Carmageddon
 

Hallo Gast123,

ich habe irgendwann aufgehört mir bei unendlich-dimensionalen VR etwas vorzustellen. Dort passieren so viele verrückte Dinge, die (in meinen Augen) jeglicher Intuition wiedersprechen. ;)


Zu deinen Fragen:

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:

Ich glaube mein Grundproblem ist ein bischen, dass ich mir Vektoren immer als n-Tupel aus <math>\mathbb{R}^n</math> vorstelle, wo dann die Dimensionalität einfach die Anzahl der Einträge des Tupels ist.

Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.

Aber ich verstehe worauf du hinaus willst: auf VR die isomorph zum <math>\IR^n</math> sind. Dort ist die Vorstellung durchaus legitim. Leider geht diese Anschauung im unendlich dimensionalen verloren...

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
1.) Also zB bei <math>\ell^2</math>: Dort sind die Vektoren ja unendliche Folgen <math>(x_n)_n</math>. Könnte man sich das dann so vorstellen, dass jedes Folgenglied <math>x_n</math> quasi korrespondiert mit einem Eintrag aus einem Tupel? Damit wäre dann ein Vektor zB <math>(x_1, x_2, x_3, ...)</math>. Und da die Folge unendlich viele Glieder hat, sind damit die  Vektoren und damit der Vektorraum unendlich dimensional?

Wie schon mit meinem Beispiel von oben: Die Anzahl der "Folgen-Glieder" hat nichts mit der Dimension zu tun. Von daher ist deine Argumentation falsch.

Die große Verwirrung besteht meiner Meinung nach in der "Definition" von "unendlich". Hat der Vektorraum die Dimension "abzählbar unendlich" oder "überabzählbar unendlich". Ich habe das bewusst in Klammern gesetzt, da dies höchst unmathematisch formuliert ist ;)

Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.



2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
2.) Wie würde man sich das dann aber in einem Vektorraum von Funktionen vorstellen? Da dort die Definitionsmenge in der Regel überabzählbar unendlich ist, ist ja sogar schon der Versuch einen Vektor als Tupel hinzuschreiben unmöglich. Kann man da trotzdem irgendeine Analogie finden zu den Vektoren, die als Tupel dargestellt werden können? Sprich, könnte man da auch irgendwie aus der Struktur der Vektoren die Dimensionalität ablesen, so wie bei Tupel aus dem <math>\mathbb{R}^n</math>?

Nein, und dies kann auch i.A. nicht gehen (siehe Antwort auf Frage 3)

2020-06-27 12:26 - Gast123 im Themenstart schreibt:
3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?

Gute Frage! (Im Ernst, das ist eine echt gute Frage :) ) Man muss hier ein bisschen in die Funktionalanalysis einsteigen. Dann lässt sich zeigen, dass jeder "unendlich dimensionale" VR (im Sinne wie oben: Es gibt keine endliche Basis) eine überabzählbar unendliche Hamel-Basis besitzt.

Edit: Dies gilt natürlich nur für Banach-Räume...

Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.



Ich hoffe ich konnte dir ein bisschen weiterhelfen.

Als kleine Übung kannst du dir ja mal eine Schauderbasis von <math>\ell^2</math> überlegen!


Viele Grüße


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nullring
Schwache Abgeschlossenheit  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-19 10:05
Carmageddon
 

Hallo Nullring,

in welchem Raum leben denn die Elemente $e_i$?

Poste doch einfach mal deinen Beweis für die Abgeschlossenheit der ersten Menge und die Stellen wo du dir unsicher bist, dann schauen wir mal.


Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: unixmelo
iteratives Newtonverfahren nichtlineares Gleichungssystem  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-16 13:12
Carmageddon
 

2020-06-16 12:17 - unixmelo in Beitrag No. 2 schreibt:
Vielen Dank für deine Antwort :)

Die Jacobi Matrix habe ich gebildet:

<math> f\left(x_{1}, x_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}8 x_{1} & 18 x_{2} \\ 2 x_{1}-2 & 2 x_{2}+4\end{array}\right) </math>


Als nächstes hätte ich als Startpunkt (3,0) gewählt und diese für x1 und x2 eingesetzt und mit z multipliziert.
Was wäre aber z und wie mache ich dies nun dreimal?




Hallo,

das ist nicht so ganz richtig. Du hast jetzt <math>f"(x)</math> berechnet. Nun musst du das lineare Gleichungssystem

<math>f"(x) z = - f(x)</math>

lösen.


Frage an dich: Hast du das eindimensionale Newton-Verfahren verstanden?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: unixmelo
iteratives Newtonverfahren nichtlineares Gleichungssystem  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-16 11:54
Carmageddon
 

Hallo unixmelo,


woran genau scheiterst du? Du hast das Verfahren doch gegeben, der Rest ist einsetzen, bzw. ausrechnen.

Der erste Schritt wäre es, die Jacobi-Matrix zu berechnen.


viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-05
Carmageddon
J

2020-06-05 10:44 - hanuta2000 in Beitrag No. 10 schreibt:
Dankeschön, tatsächlich bin ich gerade eben noch auf diese Lösung gekommen, allerdings war ich mir nicht ganz sicher, warum kernA als Unterraum dafür sorgt, dass dann Gleichheit folgt.
Wie kann ich mir das erklären?
LG

Hallo,

welche Eigenschaften hat denn ein Unterraum?

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-04
Carmageddon
J

Okay, ich habe noch mal über meinen Tangentialkegel nachgedacht und man muss hier nicht so starke Geschütze auffahren.

Man beachte, dass die Menge <math>C:=\{x: Ax=b\}</math> abgeschlossen und konvex ist. Dann kann man einen Satz aus deiner Vorlesung verwenden und erhält für das Optimierungproblem

<math>min \; f(x)</math> s.t. <math>x\in C</math>

die Variationsungleichung

<math>\nabla f(x^\ast) (x - x^\ast) \geq 0</math> für alle <math>x \in C</math>

(Wenn deine VI mit <math>\forall x \in \IR^n</math> im Skript steht, ist sie in diesem Kontext falsch)


Jetzt nutzen wir aus, das <math>C</math> ein affiner Unterraum ist und schreiben

<math>C := \{x_0 + v: \; Av = 0\}</math> für ein <math>x_0 \in C</math>.

Das setzen wir in die VI ein und erhalten mit <math>x_0 = x^\ast</math>

<math>\nabla f(x^\ast) v \geq 0</math> für alle <math>v \in kern(A)</math>

Weiter ist <math>kern(A)</math> ein Unterraum, d.h. das wiederrum ist äquivalent zu

<math>\nabla f(x^\ast) v = 0</math> für alle <math>v \in kern(A)</math>

Von hier aus kommst du denke ich selber weiter.

Viele Grüße





Edit: Für alle Interessierten: Man kann das natürlich auch mit der allgemeinen Theorie aus meinen ersten Post erschlagen.

Der Tangentialkegel ist gegeben als
<math>T_C(x) := \{ d: \; \exists \tau_i \to 0, \tau_i > 0, \{x_i\} \subset C, \; \tau^{-1}(x_i-x) \to d  \}</math>

Unsere Menge <math>C</math> ist wie oben <math>C:=\{x: \; Ax=b\}</math>. Im Allgemeinen ist der Tangentialkegel schwer bis gar nicht explizit zu berechnen - dafür gibt es dann Konstrukte wie den linearisierten Tangentialkegel. Hier aber ist es möglich und man erhält

<math>T_C(x^\ast) = kern(A)</math>

Nach der allgemeinen Theorie ist unsere VI ja gegeben durch

<math>\nabla f(x^\ast) h \geq 0 \; \forall h \in T_C(x^\ast)</math>

bzw

<math>\nabla f(x^\ast) h \geq 0 \; \forall h \in kern(A)</math>

was genau unser Ergebnis von oben ist.


Edit 2: Wer möchte kann ja mal den Normalenkegel bestimmen. Man erhält <math>N_C(x^\ast) = kern(A)^\perp</math> und damit direkt <math>-\nabla f(x^\ast) \in N_C(x^\ast) = Bild(A)</math> nach der allgemeinen Theorie.


Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-04
Carmageddon
J

Hallo,

nur ganz kurz: Wenn du die Variationsungleichung so verwendest wie du sie hast, ignorierst du die Nebenbedingung <math>Ax=b</math>.
Diese verwurstelt man in den sog. zulässigen Richtungen.

Betrachte z.b. das einfache eindimensionale Problem <math>min \; x</math> unter der Nebenbedingung <math>x \geq 0</math>. Dies ist ein Spezialfall von deinem Problem.

Das Minimum ist offenbar <math>x^\ast=0</math>, aber deine Variationsungleichung
<math>\nabla f(x^\ast)(x-x^\ast) = 1 \cdot (x - 0) = x \geq 0  \; \; \forall x \in  \IR</math>

gilt offenbar nicht. Dies liegt daran, da z.B. die "Richtung" <math>x = -1</math> "aus der zulässigen Menge an der Stelle <math>x^\ast=0</math> herauszeigt". Konkret wird dies eben durch den sog. Tangentialkegel realisiert.

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hanuta2000
Optimierungsproblem  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-03
Carmageddon
J

Hallo hanuta2000,

die Variationsungleichung ist so nicht richtig. Sie gilt nur für alle zulässigen Richtungen:

Bezeichne <math>C := \{x: \; Ax=b\}</math>, so gilt die Variationsungleichung
<math>\nabla f(x^\ast)h \geq 0</math> für alle <math>h \in T_C(x^\ast)</math> wobei <math>T_C(x^\ast)</math> den Tangentialkegel bezeichnet.

Einfacher dürfte es aber gehen, wenn man hier den Normalenkegel verwendet, was einfach nur der polare Kegel zum Tangentialkegel ist. Hier gilt nun <math>-\nabla f(x^\ast) \in N_C(x^\ast)</math>


Stelle einfach mal diese beiden Kegel auf und betrachte sie weiter.



Tipp: Deine zu zeigende Gleichung lässt sich umstellen zu <math>-\nabla f(x^\ast) = A^T \lambda</math> oder <math>-\nabla f(x^\ast) \in Bild(A^T)</math>.



P.S. Das orthogonale Komplement kannst du mit \perp verwenden: <math>kern(A)^\perp</math>

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Residualer Fehlerschätzer  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-29
Carmageddon
 

2020-05-29 14:40 - Drgglbchr in Beitrag No. 2 schreibt:
hallo carmageddon!
danke für deine Antwort! :)
also ich soll ein elliptisches problem auf einem L-förmigen gebiet <math>(-1,1)^2/[0,1]^2</math> betrachten. entlang der einspringenden ecke gelten Neumann Randbedingungen und sonst dirichlet Randbedingungen.
also <math>-\triangle u = 0</math> bzw <math>- \triangle u = f</math> in <math>\Omega</math>
<math>u = 0</math> auf <math>\Gamma_D</math>
<math>\partial/\partial_n u = g</math> auf <math>\Gamma_N</math>

Das dachte ich mir schon 🙂

2020-05-29 14:40 - Drgglbchr in Beitrag No. 2 schreibt:
der Verfeinerungsindikator, der ja dann lt Skriptum für die Berechnung des Fehlerschätzers benötigt wird, ist:
<math>\eta_T^2(u_h) = h^2_T \|f\|_{L^2(T)}^2 + \sum_{S \in \mathcal{S}_h, S \subset \partial T} h_S \|\left[\nabla u_h \cdot n_S \right] \|_{L^2(s)}^2</math>
die weitere Theorie zum Fehlerschätzer ist mir eigentlich auch ziemlich klar...also a-posteriori Fehler, Herleitung usw..

Alles klar, das sieht doch schon gut aus. Da sieht man ja alles was man braucht!

2020-05-29 14:40 - Drgglbchr in Beitrag No. 2 schreibt:
aber für mich ist es sehr schwer das ganze in einen Matlab code zu gießen. ich habe mit Matlab noch nicht so viel zu tun gehabt und tue mir mit der Implementierung schwer.
ich wäre sehr dankbar, wenn du mir ein paar Grundgedanken bzw ein Konzept für die Implementierung des residualen Fehlerschätzers geben könntest :)

Dass du mir natürlich nur anhand eines Codefragments nicht die Lösung liefern kannst ist schon klar :) ich wollte nur zeigen, welche inputparameter ich für diese Funktion zur verfügung habe ;)
und ich würde den code auch gerne selber umgesetzt bekommen, bräuchte einfach nur eine "kleine Anleitung" bezüglich vorgangsweise, wenn das möglich ist :)


Der erste Schritt ist es, eine funktionierende Implementierung hinzubekommen. Der zweite Schritt ist es, das ganze effizient hinzubekommen.
Was meine ich damit? In Matlab sollte man die Verwendung von for-Schleifen möglichst vermeiden und wann immer möglich mit Matrizen rechnen. Die Implementierung von Matrix-Operationen ist richtig gut und schnell in Matlab. Diese Art zu programmieren führt allerdings manchmal zu Code mit dem ein Anfänger (erstmal) nichts anfangen kann.

Deswegen konzentrieren wir uns auf den ersten Schritt: Wir rechnen <math>\eta_T^2(u_h)</math> für ein <math>T</math> aus. Anschließend kannst du dir überlegen wie man dies zu einer Funktion erweitert, welche mit Vektoren etc rechnet.


Wir haben zwei Terme, die wir berechnen müssen:

Erster Term:
<math>h_T^2 \|f\|_{L^2(T)}^2</math>
Das solllte Standard sein. Aus deinem Element <math>T</math> berechnest du <math>h_T</math>. Bei einer Dreieckszerlegung kannst du dies direkt berechnen. Meistens nimmt man hier die längste Seite oder den Umkreisdurchmesser. Ich habe die Herleitung auch gerade nicht mehr im Kopf, was das richtige ist.
Auch das Integral ist kein Problem:

<math>f</math> ist ein Vektor (zumeist) bestehend aus Funktions-Werten an deinen Knotenpunkten. Für lineare finite Elemente sind das meist die Eckpunkte deiner Dreieckszerlegung. Für lineare Elemente kann man sich hier direkt eine Funktion schreiben, welche die Eckpunkte <math>x = (x_1, x_2, x_3)</math> des Elements <math>T</math> und die Werte <math>f = (f_1, f_2, f_3)</math> an <math>x</math> bekommt:
Matlab
function [res] = MyIntVol(x,f)

Man sieht schon, wie man hier mit Vektoren arbeiten sollte. Das Erweitern auf Matrizen <math>x</math>, <math>f</math> sollte dann leicht möglich sein.

Solltest du höhere finite Elemente verwenden, transformierst du das ganze zunächst auf ein Referenzelement und führst dort eine numerische Integration durch. Aber ich nehme mal an, du arbeitest mit linearen Elementen.



Der zweite Term ist schon ein bisschen trickreicher

<math>\sum\limits_{S \in S_h, S \subset \partial T} h_S \|\nablda u_h \cdot n_S\|^2_{L^2(S)}</math>

Hier muss nun eine Integration auf einem Linienelement durchgeführt werden. D.h. wir benötigen geometrische Informationen über das Element <math>T</math>. Ich nehme mal an <math>S_h</math> ist die Menge aller Kanten. D.h. du musst für das Gitter zunächst die entsprechenden Normalenvektoren bestimmen. Beachte, dass sie für zwei benachbarte Elemente <math>T_1,T_2</math> das Vorzeichen des Normalenvektors <math>n_S</math> für die gemeinsame Kante <math>S</math> ändert!
Üblicherweise speichert man solche Informationen in Matrizen ab, welche a-priori berechnet werden.

Der nächste Schritt ist eine Funktion zu schreiben, welche für eine gegebene Kante <math>S</math> und Normalenvektor <math>n_S</math> das Linienintegral
<math>\int_S (\nabla u_h \cdot n_S)^2 ds</math>
ausrechnet. Auch hier gilt: Einfach auf eine Integral
 <math>\int\limits_0^1 ... ds</math>
transformieren und ausrechnen.

Anschließend muss man nur noch über alle Kanten loopen und fertig ist die Funktion
Matlab
function res = MyIntBorder(nabla_u, S, n)
    res = 0;
 
    % Loop over all edges
    for i=1:nEdges
        % Compute Integral over edge
        res := res + ....
    end
end


Jetzt am Ende noch alles aufsummieren und du bist fertig.


Wie ich bereits erwähnt habe: Die Verwendung von loops sollte tunlichst vermieden werden, aber für den Anfang ist das schon okay.

Wie genau deine Grid-Informationen abgespeichert sind, kann ich dir nicht sagen, dies musst du in deinem Framework nachschauen.

Ich hoffe ich konnte einen kleinen Denkanstoß für eine Implementierung geben.

Viele Grüße



Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Residualer Fehlerschätzer  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-29
Carmageddon
 

2020-05-28 15:51 - Drgglbchr im Themenstart schreibt:
hallo!
ich bin gerade dabei die finite Elemente Methode für ein L-förmiges gebiet in Matlab zu implementieren.
für den residualen Fehlerschätzer soll ich diese Funktion schreiben:
Matlab
function [eta_res_loc,eta_res_edge_loc,eta_Diri_approx]=compute_residual_error_estimate(element,face,vertex, @(x,y)volumeFunction(x,y,case_flag), @(x,y,normal)func_NormalGrad_u(x,y,normal,case_flag), u_all, gqn_f,p)

und da liegt schon mein problem - ich weiß nicht, wie ich hier vorgehen soll :(
kann mir jemand einen Hinweis geben, wie so einen Fehlerschätzer berechnet wird? ich finde im internet nicht wirklich etwas dazu :/
lg


Guten Morgen,

Fehlerschätzer gibt es leider (oder zum Glück) nicht nur einen, sondern einen ganzen Schwung. Sie hängt auch extrem stark von der zu lösenden partiellen Differentialgleichung ab. Ausgehend von deinen anderen Threads nehme ich an, du möchtest die Poisson Gleichung lösen.

Welchen möchtest du denn genau verwenden? Der Standard-Ansatz für einen residualen Fehlerschätzer ist normalerweise das Residuum <math>\|\nabla (u - u_h)\|</math> für welche man eine (lokal!) berechenbare Abschätzung durch partielle Integration findet.

Sucht man z.B. nach "fem residual error estimator poisson equation" findet man relativ schnell z.b.:

hier, Equation 1.108

Die konkrete Implementierung hängt natürlich stark von deiner Sprache und deinem Framework ab.



Hier hat sogar jemand eine komplette Masterarbeit darüber geschrieben. Da habe ich jetzt allerdings nicht reingeschaut.



Woran genau scheiterst du? Hast du Probleme mit der mathematischen Theorie dahinter, oder mit der konkreten Implementierung? Ausgehend von deinen anderen Threads würde ich schätzen, du hast noch Probleme mit der Theorie dahinter - denn wenn man die Theorie verstanden hat, ist eigentlich auch klar wie man so etwas zumindest grob implementieren kann. (Das ist nicht böse gemeint, aber es fällt mir persönlich schwer dir zu helfen, wenn du einfach nur ein paar Codefragmente hinwirfst, mit der Bemerkung du weißt nicht wie das oder jenes geht... Je genauer du dein Problem beschreibst, umso leichter kann man dir Hilfestellung geben.)

Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Drgglbchr
Steifigkeitsmatrix FEM  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-25
Carmageddon
 

2020-05-25 09:59 - Drgglbchr in Beitrag No. 4 schreibt:
Hallo Monom!
Den Code habe ich von meinem Prof erhalten -  ich soll ihn für mein spezifisches Problem fertigstellen.

Zu der Steifigkeitsmatrix hätte ich noch eine Frage:
Ich habe versucht die Funktion aelem zu komplettieren, aber die Dimensionen stimmen nicht... habe schon paar Versionen durchprobiert... :/
Und vl kannst du mir auch noch verraten, ob meine lokale Steifigkeitsmatrix so korrekt wäre? 😉

Hallo,

Wo genau fliegt der Code denn raus? Es ist nicht so einfach, deinen Code zu debuggen, wenn man die ganzen zusätzlichen Infos (wie Grid-Infos, etc) nicht hat.

Ansonsten ist es eine gute Idee, sich die Matrix mal ausgeben zu lassen - wenn man eine lexikographische Sortierung verwendet, sollte man eine gute Struktur erkennen können und dort eventuell Fehler finden.
Der entsprechende Matlab-Befehl lautet "spy".

Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: curious_mind
Polygonzugverfahren bei DGLen  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-25
Carmageddon
J

Hallo,

ich komme auch auf <math>y_{k+1} = 1.105 y_k</math>. Scheint wohl ein Tippfehler zu sein.


Viele Grüße

DGLen 1. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hallo3
DGL 1. Ordnung  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-17
Carmageddon
 

2020-05-17 09:26 - hallo3 in Beitrag No. 8 schreibt:
ao müsste ja r sein.

aber die anderen 2 variabelen a1 und a2 schaffe ich nicht

Hallo,

poste doch mal deinen Rechenweg, dann sehen wir vll wo du hängst.


Anonsten wirst du hier keine fertige Lösung einfach geschenkt bzw. präsentiert bekommen, da das Forum auf Hilfestellungen ausgerichtet ist, nicht auf fertige Lösungen.

Viele Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: curious_mind
Polygonzugverfahren bei DGLen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
Carmageddon
J

2020-05-15 09:21 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
2020-05-15 09:00 - Carmageddon in Beitrag No. 7 schreibt:
Ich hab schon viele Paper gesehen (und selber geschrieben), wo man dies eben genauso handhabt.

Das ist interessant. Mir ist so etwas noch nie begegnet und ich wäre an einem Beispiel interessiert.

Gerne. Vll ist das aber auch nur in meinem speziellen Fachbereich der Fall. Hier geht es zwar um PDEs nicht um ODEs aber das Prinzip ist dasselbe:

https://arxiv.org/pdf/1806.08124.pdf

Assumption 1: der nichtlineare Term <math>d(x,y)</math> hat zwei Argumente, später wird in der PDE (gut, das ist keine ODE) aber nur <math>d(y)</math> verwendet, siehe z.b. in Theorem 2.1.

Auch in vielen Papern von Casas, Wachsmuth und Karl wird es so verwendet.



An Threadstarter: Bitte verwende am besten die richtige und widerspruchsfreie Notation!

Grüße



Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: curious_mind
Polygonzugverfahren bei DGLen  
Beitrag No.7 im Thread
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Carmageddon
J

2020-05-15 08:56 - zippy in Beitrag No. 6 schreibt:
2020-05-15 08:46 - Carmageddon in Beitrag No. 5 schreibt:
geht es um die DGL <math>y"(x) = f(y(x),x)</math>. Meistens unterdrückt man die Abhängigkeit von der räumlichen Variable x und schreibt einfach nur kurz <math>y" = f(y)</math>.

Das würde man nur für die DGL $y'(x) = f(y(x))$ tun. Sonst schriebe man $y' = f(y,x)$.

Ich hab schon viele Paper gesehen (und selber geschrieben), wo man dies eben genauso handhabt. Man tut dies aus Gründen der Übersichtlichkeit. Man muss dazu sagen, es ist aber aus dem Kontext klar um was es geht - und die genaue Form der DGL spielt nur eine untergeordnete Form.

Edit: Am Anfang des Papers wird es natürlich einmal sauber definiert und dann als Abkürzung verwendet.


Ich stimme aber zu, dass dies unsauber ist (und eigentlich vermieden werden sollte 😉).

Grüße

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: curious_mind
Polygonzugverfahren bei DGLen  
Beitrag No.5 im Thread
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Carmageddon
J

Hallo curious_mind,

wie Buri bereits geschrieben hat, geht es um die DGL <math>y"(x) = f(y(x),x)</math>. Meistens unterdrückt man die Abhängigkeit von der räumlichen Variable x und schreibt einfach nur kurz <math>y" = f(y)</math>. Das ist vll etwas unsauber, aber einfach schöner zu lesen. (Nur damit du es mal gesehen hast)

Ihr betrachtet die DGL <math>y"(x) = y(x) =: f(y(x),x)</math>. Man sieht also <math>f(y,x) = y</math>.

Das kannst du jetzt analog zum Vorgehen bei <math>x_k</math> einsetzen.

Viele Grüße

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Thema eröffnet von: Drgglbchr
Steifigkeitsmatrix FEM  
Beitrag No.1 im Thread
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Carmageddon
 

Hallo Drgglbchr,


wenn man gemischte Randbedingungen hat (keine Robin Boundary Conditions) ist das Vorgehen im Prinzip genauso, nur muss man die Testräume verändern:

Sei <math>H_{D_0} := \{ u \in H^1 (\Omega): \; u = 0 \; auf \; \Gamma_D \}</math>

So ist das Variationsproblem gegeben als

Finde <math>u \in H_{D_0}</math>, so dass <math>\int\limits_\Omega \nabla u \cdot \nabla v = \int\limits_{\Gamma_N} v g</math> für alle <math>v \in H_{D_0}</math> gilt.

Damit kannst du dir nun deine Matrizen berechnen - beachte allerdings den geänderten Raum der Testfunktionen im Vergleich zu durchgehenden Dirichlet Daten - das musst du natürlich in der Numerik übernehmen!

Grob gesagt liegt das Problem "zwischen" einem reinem Dirichlet und einem reinem Neumann-Problem. Genauso verhält es sich auch für den Raum der Testfunktionen.

Quelle z.b.:
http://people.inf.ethz.ch/arbenz/FEM17/pdfs/0-19-852868-X.pdf

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: curious_mind
Polygonzugverfahren bei DGLen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-13
Carmageddon
J

Hallo curious_mind,

Per Definition ist <math>h=0.1</math> und <math>x_{k+1} := x_k + h= x_k + 0.1</math>. Weiter ist <math>x_0 = 0</math>, d.h. <math>x_1 = x_0 + h = 0.1</math> und <math>x_2 = x_1 + h = 0.1 + 0.1 = 2*0.1</math>.

Man sieht <math>x_k = 0.1*k</math> (Beweis formell per Induktion)


Der y-Wert wird genauso berechnet, wobei <math>f(y) = y</math> ist.


Viele Grüße

Numerik & Optimierung
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Thema eröffnet von: m_st_9797
Simplex-Algorithmus  
Beitrag No.1 im Thread
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Carmageddon
 

Hallo,

verstehe ich dein Problem richtig: Du hast eine Matrix <math>A</math> mit rationalen Einträgen in deinem linearen Programm und möchtest eine mit ganzzahligen Einträgen?

Dann beachte:
Folgende Probleme sind für reelle <math>c > 0</math> und <math>d \in \IR^n</math> equivalent:

<math>min \; d^T x \; s.t. \; Ax \leq b \; und \; x \geq 0</math>

und
<math>min \; d^T x \;  s.t. \; c  Ax \leq c b \; und \; x \geq 0</math>

Wähle jetzt <math>c</math> geschickt und du erhälst deine Aussage.

Grüße


Edit: Zu schnell geschrieben :/
 

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