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Thema Eingetragen
Autor

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: IVmath
Algebraische (Un)abhängigkeit über Ober- und Unterkörpern?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-18
Curufin
J

Hallo,

das ist nahezu trivial.
Z.B. 1.) Wenn die Elemente algebraisch abhängig sind über <math>K</math>, dann gibt es ein Polynom <math>p</math> mit Koeffizienten in <math>K</math>, so dass <math>p(v_1, \ldots, v_n)=0</math>. Da <math>K\subseteq O</math> kann man <math>p</math> aber auch als Polynom mit Koeffizienten über <math>O</math> auffassen.

Der Rest funktioniert analog.


VG

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: chicolino
Gruppe, bei der Nebenklassen disjunkt sind  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-09
Curufin
J

Kleine Anmerkung zum Beweis: Nebenklassen lassen sich über eine Äquivalenzrelation definieren:
Sei \(H\) eine Untergruppe von \(G\). Dann definiere \[u\sim v \colon\Leftrightarrow uv^{-1}\in H\].
Weise nach, dass dies eine Äquivalenzrelation ist und die Äquivalenzklassen mit deiner Definition von Rechtsnebenklassen zusammenfällt.

Zusatzübung:
Überlege dir, wie die Äquivalenzrelation für Linksnebenklassen definiert sein müsste.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schueler321
Surjektiver Gruppenhomomorphismus zu S_3 -> Z/3Z  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-14
Curufin
 

Hallo,

m.E. ist folgende Argumentation etwas struktureller:

1. Wegen des Homomorphiesatzes muss der Kern von f die Ordnung 2 haben.
2. Der Kern von f ist ein Normalteiler von $S_3$, dies gilt ganz allgemein für alle Kerne von Homomorphismen.
3. $S_3$ besitzt keinen Normalteiler der Ordnung 2.

Den 3. Teil kann man nachrechnen, indem man zeigt, dass alle Transpositionen konjugiert sind.

Exkurs: In der symmetrischen Gruppe $S_n$ bestehen die Konjugationsklassen immer aus Zykeln desselben Typs (siehe: Wikipedia). Insbesondere sind natürlich alle Transpositionen konjugiert, und zwar in jeder symmetrischen Gruppe.

VG  

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kira123
Zeige, dass es keine stetige Funktion gibt...  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-02-15
Curufin
 

Hallo,

ein paar Infos mehr wären schon gut gewesen. Ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabenstellung genau so lautet.

Meiner Meinung nach der einfachste Beweis:
Es sei \(\iota\colon\partial K\to K\) die natürliche Einbettung, dann ist \(\iota\circ f=\mathrm{id}_{\partial K}\).
Diese Abbildung induziert einen Homomorphismus zwischen den Fundamenalgruppen. Nun ist aber \(\pi_1(K)=0\) die triviale Gruppe und \(\pi_1(\partial K)=\mathbb{Z}\).
Obige Abbildung \(\partial K \to K\to\partial K\) induziert also einen Gruppenhomomorphismus \(\mathbb{Z}\to 0\to\mathbb{Z}\). Dies ist aber der triviale Homomorphismus.
Auf der anderen Seite ist diese Verkettung auf den Räumen die Identität auf dem Rand und induziert daher auch die Identität zwischen den Fundamentalgruppen. Widerspruch.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: roxas
Die Punktspiegelung in den Drehgruppen des Tetraeders, Würfels, etc.  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-01-10
Curufin
 

Hallo,

das ist eine Frage der Definition meines Erachtens:
Betrachtet man nur eigentliche Bewegungen, also Isomorphismen, die in \(\mathrm{SO}(3) \) leben,  oder lässt man auch uneigentliche Bewegungen zu, die in \(\mathrm{O}(3) \) leben.
Das Wort "Drehungen" spricht für mich, dass man nur eigentliche Bewegungen betrachten möchte. Dann sind die Resultate halt auch schöner. Gerade dass die Drehgruppe des Ikosaeders ausgerechnet die \(A_5\) ist, ist halt schon schön.

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: meloniton
M^-1=M^T  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-03-21
Curufin
J

Zumindest im reellen geht das einigermaßen gut. Solche Matrizen heißen orthogonal.

Solche Matrizen haben die Eigenschaft, dass ihre Zeilen eine Orthonormalbasis bilden. Natürlich bilden auch die Spalten der Matrix eine Orthonormalbasis.

VG

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mhjk
Rang einer Untermatrix kleiner/gleich Rang der Matrix  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-02-21
Curufin
 

Hi,

dann nehme r(B)-viele linear unabhängige Zeilenvektoren aus B. Diese korrespondieren eindeutig. zu r(B)-vielen Zeilenvektoren in A. Diese sind jedoch linear abhängig.
Jetzt ist es nicht mehr schwer, oder?

Viele Grüße

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Rubato
Komposition nilpotenter Endomorphismen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-11
Curufin
 

Hey,

das ist leider kein Gegenbeispiel. Die Komposition ist nicht die Identität.
Sie kann es auch gar nicht sein, da für Endomorphismen in endl.-dimensionalen Vektorräumen die Begriffe injektiv, surjektiv und bijektiv zusammenfallen. Deine Abbildung ist aber ganz offensichtlich nicht injektiv.

Viele Grüße

Edit: Sorry, zu stark auf den Fehler konzentriert. S.u.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: hari01071983
Spezieller endlicher Körper F_4 mit Elementen aus den komplexen Zahlen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-04-27
Curufin
 

2016-04-25 12:45 - ligning in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich finde das konzeptionell hässlich, <math>\IC</math> und <math>\IF_2</math> so zu mischen. Oder kann man das erklären?

Ja, das geht auch wirklich überhaupt nicht. Genau so sollte man es wirklich nicht machen!


 Das ganze in <math>\IC</math> statt dem Zerfällungskörper stattfinden zu lassen ist ein Hack, der zufällig funktioniert, wenn man nicht zu genau hinguckt.

Das Ganze findet doch in Wahrheit doch gar nicht in <math>\IC</math> statt, da in der Definition  <math>x,y\in\IZ_2</math> verlangt ist.

Das ist aber immer noch verworren, da in der Definition von <math>F_4</math> die Multiplikation und Addition gar nicht definiert sind (die Multiplikation eines Elements aus <math>\IC</math> mit einem Element aus <math>\IZ_2</math> ist undefiniert).
Und wenn man das alles sauber definiert, dann kommt man eben genau darauf, dass das Gebilde ein Quotient von <math>\IZ[x]</math> bzw. <math>\IF_2[x]</math> ist. Nur wird das pseudo-clever verheimlicht, indem man die Relationen hineinschmuggelt aber formal etwas hinschreibt, was keinen Sinn ergibt.

Alles in allem sollte sich der Aufgabensteller fragen, was er sich hierbei gedacht hat; viel kann es nicht gewesen sein.

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: th1908
Hinreichende Bedingung für Transitivität einer Gruppenoperation  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-07-01
Curufin
J

Hallo,

das geht direkt. Seien <math>x,y\in \Omega</math>. Zu zeigen ist, dass ein <math>g\in G</math> existiert, so dass <math>gx=y</math>.
Da <math>|\Omega|\geq 3</math> existiert ein <math>z\in\Omega</math> mit <math>x\neq z\neq y</math>. Nach Voraussetzung existiert nun ein <math>g\in G</math>, so dass <math>\{x,z\}^g=\{y,z\}</math>.
Das heißt also: Entweder <math>x^g=y</math> und <math>z^g=z</math> (und wir sind schon fertig) oder aber <math>x^g=z</math> und <math>z^g=y</math>. Dann ist jedoch <math>x^{g^2}=z^g=y</math> (und wir sind ebenfalls fertig).

Viele Grüße

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Beweis: Struktur (Z(√3), +, *) ist kein Körper  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2013-01-31
Curufin
J

Alternativ:
Überlege dir, dass <math>\mathbb{Z}[\sqrt{3}]\cong\mathbb{Z}[x]/(x^2-3)</math>. Es ist jedoch <math>(x^2-3)</math> kein maximales Ideal, denn ganz offensichtlich <math>(x^2-3)\subsetneq (x^2)+(3)</math>. Für den letzten Schluss reicht es, dass 1  nicht in der Summe der Ideale ist, das heißt, dass dies ein echtes Ideal ist.

Viele Grüße

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: uniQue_
Erzeugnis  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-11-03
Curufin
J

Hallo Niklas,

es ist schwer eine korrekte Antwort zu geben, wenn man nicht weiß, was dein Erzeugnis denn überhaupt erzeugt und was deine Elemente und Mengen sind.
Aber wieso schreibst du nicht <math>\langle S_{n-1}\cup\{(1,n)\}\rangle</math>, wenn du dir so große Sorgen machst?
Ich persönlich halte beide Versionen für ziemlich klar (modulo Anmerkungen von oben).

Viele Grüße

[ Nachricht wurde editiert von Curufin am 03.11.2012 17:40:33 ]

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: guest1234
Dimension eines Monoidrings  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-08-02
Curufin
 

Hallo,

natürlich. KG ist ja so defniert, dass es der Vektorraum mit Basis G ist (und als Multiplikation die lineare Ausdehnung der Gruppenmultiplikation).

Viele Grüße

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: matheklar
Bilinearform, Basis bestimmen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-27
Curufin
J

Hallo,

du bringst jetzt etwas durcheinander. Du bist irgendwo bei Basistransformationen, welche von orthogonalen Matrizen kommen.
Du hast aber in deinem Thread nichts davon erzählt, dass du nur solche Transformationen zulassen willst.
Und in dem Fall lässt sich eine symmetrische positiv definite Matrix tatsächlich zur Einheitsmatrix umtransformieren.
Das Stichwort hier lautet Trägheitssatz von Sylvester.

Übrigens sehe ich gerade, dass du char(K) als unendlich setzt. Üblicherweise sagt man die Charakteristik sei 0.

Zu 2)
Die Standardbasis funktioniert i-A. nicht, weil die Einheitsvektoren nicht orthogonal bezüglich des Skalarprodukts sind, welches von A induziert wird

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: matheklar
Bilinearform, Basis bestimmen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-26
Curufin
J

Eine ONB-Basis <math> e_1,..., e_n</math> hat die eigenschaft, dass <math><e_i, e_j>=\delta_{ij}</math> ist. Nun steht aber in dem Produkt <math> A^TGA</math> an der Position(i,j) gerade das Skalarprodukt <math><e_i, e_j></math> bezüglich der Matrix G.

Viele Grüße

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: matheklar
Bilinearform, Basis bestimmen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-26
Curufin
J

Hallo,

erst einmal wegen des Layouts. Du musst die Klammer im fed entwerten, indem du \( und \) verwendest, sonst kommt es zu überbreiten.

Zur Aufgabe:
Jede positiv definite symmetrische Matrix definiert ein Skalarprodukt. So wie du es ja schon angegeben hast.

Gram-Schmidt funktioniert für jedes Skalarprodukt genau gleich.
Es sei also eine ONB bezüglich dieses Skalarprodukts gegeben. Man schreibe die Vektoren in die Matrix A.
Es ist doch sofort klar, dass ATGA diagonal ist.

Viele Grüße

Lineare Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Tom-Thierry
Skalarprodukte in R² und IC  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-17
Curufin
J

Sie sind deswegen nicht orthogonal, weil das Skalarprodukt in einem Fall 0 ist und im anderen Fall nicht.
Wie LutzL schon anmerkte: Die komplexen Zahlen sind eindimensional als komplexer Vektorraum. Und dort ist es recht unspannend, Orthogonalität zu betrachten. Dies entspricht auch der Vorstellung, dass es auf Geraden eben nicht zwei orthogonale "Richtungen" gibt.

Wie schon gesagt: Einen solchen Isomorphismus kann es schon deswegen nicht geben, weil die beteiligten Abbildungen in völlig unterschiedliche Zielmengen führen.

Was verwirrt dich denn? :)



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]

Lineare Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Tom-Thierry
Skalarprodukte in R² und IC  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-17
Curufin
J

Du müsstest erst einmal erklären, was isometrisch in diesem Fall bedeuten soll.
Das führt genau zu demselben Problem wie ich es schon beschrieben habe.

Die Diskussion erinnert mich ein wenig an so etwas: "Ist f(x)=1/x unstetig in 0?"

Ich denke, da sind bestimmte geometrische Vorstellungen vorhanden, die aber einer formalen Überprüfung nicht stand halten.
Häufig liegt die Ursache nicht am Formalen sondern an einer falschen Vorstellung.

Viele Grüße


Lineare Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Tom-Thierry
Skalarprodukte in R² und IC  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-17
Curufin
J

Hallo,

also jetzt mal von vorne.
1. Im Startbeitrag berechnest du das Skalarprodukt falsch. <math><i,1>=i\text{ ,da } \bar{1}=1</math>.

2. Die Identifikation von <math>\mathbb{R}^2</math> und <math>\mathbb{C}</math> ist erst einmal eine Identifikation von <math>\mathbb{R}</math>-Vektorräumen und nicht von euklidischen Räumen.

3. Es kann keine Identifikation von euklidischen Räumen geben, schon allein aus formalen Gründen. In <math>\mathbb{C}</math> definiert das Standardskalarprodukt eine surjektive Abbildung in die komplexen Zahlen, während das Standardskalarprodukt in <math>\mathbb{R}^2</math> eine surjektive Abbildung nach <math>\mathbb{R}</math> definiert.  
Wie soll das also kompatibel gemacht werden?

<math>\mathbb{C}</math> ist eben kein euklidischer Raum und man kann ihn nicht wie einen behandeln.

Viele Grüße


[ Nachricht wurde editiert von Curufin am 17.07.2012 15:59:30 ]

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: aphorisme
Lineare Darstellung durch Vektorraum bestimmt?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2012-07-09
Curufin
 

Hallo,

ich weiß nicht so recht, welche Literatur du meinst. Eine Darstellung von G in V ist aber üblicherweise ein Gruppenhomomorphismus von G in die GL(V).

Magst du vielleicht eine Stelle zitieren (oder am Besten  hier aufschreiben), die du meinst?
So ist es schwer, eine vernünftige Antwort zu geben.

Viele Grüße
 

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