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Forum
Thema Eingetragen
Autor

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Menge der Nullstellen der Zeta/Xi-Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-30 19:53
Flummies
 

Hallo Matheplanet,
Ich bin gerade echt am verzweifeln.



Ich arbeite für einen Vortrag ein Kapitel aus einem Buch durch und hänge jetzt schon länger hier fest. In dem Bild versuche ich den Beweis von Theorem 12 nachzuvollziehen und ich verstehe nicht, wie die Aussage
\(n(r)\ge N(T+1)-N(T)\) kommt. Ich meine woher weiß man das?

Hat zufällig jemand eine Idee oder einen Ansatz.

Zur Klärung:

n(r) ist die Menge aller Nullstellen in der Scheibe <r

N(T) ist die Anzahl der (nichttrivialen) Nullstellen mit Imaginärteil kleiner als T

jeweils mit Vielfachheiten

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Konvergenzabzisse  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-25
Flummies
J

Sehr guten. Vielen Dank für die schnelle Hilfe.

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Konvergenzabzisse  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-25
Flummies
J

Das heißt das Funktioniert genau anders herum? D.h. wenn \(\kappa\) kleiner ist, als die Abzisse der absoluten Konvergenz, dann konvergiert es nicht absolut?

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Konvergenzabzisse  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-24
Flummies
J

Hallo,
Ich bin gerade total verwirrt. Ich arbeite gerade ein Buch für die Uni durch und es läuft echt gut. Jetzt bin ich aber auf eine Schlussfolgerung gestoßen, die für mich gerade falsch scheint.



Auf dem Bild wird gesagt, dass wenn ich \(\sigma_a <\kappa=\sigma \) habe, die Reihe absolut konvergiert, aber das tut sie doch nicht wenn ich \(\kappa\) größer als die absolute Konvergenzabzisse habe? Oder versehe ich irgendwas falsch?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Partielle Integration Zetafunktion / Tschebyschow Psi-Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-20
Flummies
 

oh man, das war ja einfach... das ist ja total peinlich, dass ich das übersehen hab, danke trotzdem für die Antwort.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Partielle Integration Zetafunktion / Tschebyschow Psi-Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-19
Flummies
 

Hallo ich arbeite gerade ein Buch durch und hänge seit längerem an einer Aussage fest. Hat jemand eine Idee wie das geht?

Laut Autor soll man aus
\(\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=s∫_1^∞ψ(x)x^{−s−1}dy  \)

Mittels partieller Integration

\(\frac{\zeta^{\prime}(s)}{\zeta(s)}=\frac{s}{s-1}+s\int\limits_{1}^{\infty}(\psi(x)-x)x^{-s-1}dx\)


bekommen. Aber ich weiß nicht wie das geht. Bräuchte man da nicht das Integral oder die Ableitung von Psi? Da wüsste ich aber nicht, wie die aussehen soll.

Danke Im Voraus für Vorschläge.

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung für Zetafunktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-27
Flummies
 

Moin,
Ich versuche ein paar Kapitel aus einem Buch nachzuvollziehen und beim Bild unten verstehe ich nicht, wo die rot markierten Abschätzungen herkommen.
Gibt es da irgendwelche einfachen Herleitungen für? Die scheinen mir einfach vom Himmel zu fallen.


klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Logarithmus Abschätzung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-25
Flummies
J

Moin,
Ich arbeite grade ein paar Beweise für eine Vortrag durch und stehe beim letzten Schritt auf dem Bild total auf dem Schlauch. Ich habe keine Idee, wie man dort den Logarithmus reinbekommt. Ich kenne nur die Abschätzung \(1-\frac{1}{x}\leq\log(x)\) aber mit der komme ich da nicht weiter. Hat jemand eine Idee wie man im letzten Schritt an den Logarithmus kommt?



klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Asymptotisches Verhalten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-21
Flummies
 

Hallo,
Ich soll mit einer "einfachen Rechnung" zeigen,dass

\(\vert\frac{\zeta(s)}{\zeta(1-s)}\vert =\vert 2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{1}{2}\pi s)\vert \sim (\frac{\vert\tau \vert}{2\pi})^{\frac{1}{2}-\sigma}~~~s = \sigma + i\tau\)

gilt. Dies soll mit Hilfe der komplexen Stirlingformel

\(\log(\Gamma(s))=(s-\frac{1}{2})\log(s)-s+\frac{1}{2}\log(2\pi)-\int\limits_{0}^{\infty}\frac{B_{1}(t)}{t+s}dt.
\)

passieren. Ich hab den \(2\pi\) Term leicht raus bekommen, aber ich weiß nicht wie ich an den \(\vert\tau\vert^{\frac{1}{2}-\sigma}\) Term kommen soll. Hat jemand eine Idee?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung eines komplexen Integrals  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-20
Flummies
 

Hallo,
Ich soll folgende Abschätzung nachvollziehen. \(s=\sigma+i\tau\)
\(\vert \int\limits_{H_k}z^{s-1}(e^{z}-1)^{-1}dz\vert \leq k^{\sigma}\)
Wobei $H_k$ die Hankel Kontour mit Radius $\rho_k = (2k+1) \pi$ ist.

Ich hab an anderer Stelle schon bewiesen, dass \(\vert \frac{z^{s-1}}{e^z-1}\vert \leq \rho^{\sigma-2}\)   für jeden Radius \(> 0.
\)


Mein Ansatz war daher
\(\vert \int\limits_{H_k}z^{s-1}(e^{z}-1)^{-1}dz\vert \leq \int\limits_{H_k}\vert z^{s-1}(e^{z}-1)^{-1}\vert dz \leq  \int\limits_{H_k} \rho_k^{\sigma-2}dz
\)

Aber das bringt mich gerade nicht weiter, hat jemand eine Idee wie das gehen könnte?

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Einsetzungsfehler?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-29
Flummies
J

Hallo ich arbeite Grade ein Kapitel in "Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory" durch und bin jetzt auf etwas gestoßen, was ich jetzt grade als falsch ansehen muss.
Unten im Bild (ein Zusammenschnitt) soll (5) hergeleitet werden indem man I(s) in (3) einsetzt.
Die Herleitungen für I(s) und (3) hab ich volkommen nachvollzogen und diese funktionieren auch.

Wenn ich I(s) nun einsetzte erhalte ich :
\(\zeta(s) = \frac{1}{2 \pi i}e^{-i \pi s}\Gamma(1-s)(2\pi i)^{s}(e^{i \pi s}-1)\zeta(1-s)= (2\pi i)^{s-1}(1-e^{-i \pi s})\Gamma(1-s)\zeta(1-s)\)


also müsste \(1-e^{-i \pi s} = 2 sin(\frac{\pi s}{2})\) sein.
nach meiner Rechnung unter Verwendung der Verdopplungsformeln für Sinus und Cosinus und des Trigonometrischen Pythagoras ergibt aber \(1-e^{-i \pi s} = 2 sin(\frac{\pi s}{2})((sin(\frac{\pi s}{2})+i cos(\frac{\pi s}{2}))\)

Liegt der Autor hier echt falsch oder gibt es eine Umformung die ich übersehe?








Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: sevi
1/(e^z -1) in eine Laurentreihe entwickeln  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-25
Flummies
 

Hab den Post hier gefunden weil ich genau diese Aufgabe gerade mache.
Hab alles verstanden und ein paar Fehler gefunden und behoben, aber kann mir wer erklären, wie das mit dem Koeffizientenvergleich am ende funktioniert?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24
Flummies
 

ok mein Versuch:
\(\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert}\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^{-\rho}-1\vert}\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert 1-\rho-1\vert}=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert -\rho\vert}=\rho^{\sigma-2}\)



Wie sieht das aus?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24
Flummies
 

Also meine Überlegung ist (bitte Korrigieren),
Das \(\vert e^z-1\vert\)das Maximum bei \(z=\rho\) und Minimum bei
\(z=-\rho\). Kann ich das dann gegen entsprechendes z abschätzen?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24
Flummies
 

Ich hab das schon versucht, irgendwie klappt das bei mir nicht, oder ich habe einen Denkfehler

Hier einmal mein Weg, wie er dann wäre:
\(\leq \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert \vert e^z\vert-\vert 1\vert\vert}
=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert \vert e^x\vert-1\vert}=\frac{ \rho^{\sigma-1}}{ e^x-1}   ~~~ (z=x+iy)~~~\)
Da weiß ich nicht, wie ich das abschätzen soll, da ich wegen dem -1 durch einen kleineren Wert teile und der Bruch dann nur größer wird.

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Abschätzung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24
Flummies
 

Hallo Matheplanet,
Ich bin etwas am verzweifeln,
Ich möchte die unten aufgeführte Abschätzung zeigen, aber ich komme nicht weiter. Die -1 im Nenner macht mir alles kaputt, was ich bisher versucht habe. Hat jemand einen Tipp für mich wie das gehen soll?
Die Randbedingungen: \(s=\sigma+it ,~~\vert z\vert =\rho\leq \pi,~~ \sigma > 1,~~ \rho>0\)

Ich hab schon mal angefangen, kann aber sein, dass es irgendwo einen Fehler gibt
 
\[\vert \frac{z^{s-1}}{e^z-1}\vert = \vert \frac{z^{\sigma-1+it}}{e^z-1}\vert=\frac{\vert z^{\sigma-1}\vert}{\vert e^z-1\vert}=\frac{\vert z\vert^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert}  = \frac{ \rho^{\sigma-1}}{\vert e^z-1\vert} =~~~???~~~ \leq \rho^{\sigma-2}   \]
Ohne die -1 wüsste ich wie es machbar ist aber so weiß ich nicht weiter.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Partielle Summation  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-23
Flummies
 

Hallo Matheplanet,
Wie in meinem letzten Beitrag arbeite ich immer noch an einem Vortrag und bin jetzt eigentlich schon mit dem Großteil des Themas durch, aber ich hänge immer wieder an ein paar Kleinigkeiten. Die letze Abschätzung im Bild bereitet mir Probleme.

Ich weiß mittlerweile, dass das mit partieller Summation gehen soll, hab das jetzt auch schon ausprobiert, komme aber leider nicht auf 1/x sondern auf deutlich größere Ausdrücke. Kann mir an dem Beispiel einmal zeigen, wie die partielle Summation hier genau funktioniert?


Analytische Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Zetafunktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-03
Flummies
 

Hallo,
Ich arbeite gerade ein Kapitel zur Cetafunktion aus Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory von Tenenbaum für einen Vortrag durch. Ich hab schon viel erarbeitet und verstehe auch schon so manches. Bin jetzt aber schon seit ein paar Tagen an einer Stelle am Anfang des Kapitels, wo ich nicht weiter komme. Da das darauf Folgende, was ich mir schon erarbeitet habe, darauf aufbaut wollte ich hier einmal Fragen, ob jemand mit kurz die markierte Aussage erklären kann, warum es G für kleiner Eins plötzlich auch konvergiert.

Ist bestimmt recht simpel aber ich sehe den Grund einfach nicht. >.<


klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Stirlingformel in Funktionentheorie – Wolfgang Fischer, Ingo Lieb  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-11-18
Flummies
 

2017-11-18 18:21 - Wally in Beitrag No. 1 schreibt:
Hallo,

weißt du denn, wass <math>\gamma</math> bedeuten soll?

Wally

Oh Entschuldigung, das ist die Eulerkonstante

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Flummies
Stirlingformel in Funktionentheorie – Wolfgang Fischer, Ingo Lieb  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-11-18
Flummies
 

Hallo Matheplanet,
ich arbeite grade an meinem Vortrag zu Stirlingformelherleitung anhand des oben genannten Buches.
Nun habe ich das Problem, dass ich den ersten Schritt im Hilfssatz 1 nicht nachvollziehen kann.

Ich kann nicht nachvollziehen, wie man dort das <math>\gamma</math> und <math>\sum\frac{1}{\nu}</math> da rein bekommt.
Dass <math>\frac{d}{dz}Log\Gamma(z)=\sum\frac{-1}{z+\nu}</math> gilt ist aus dem vorherigen Kapiteln ersichtlich
 

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