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Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30 19:41
Gast123
 

Hallo und vielen Dank nochmal für die Antwort.

Ich hätte dann nochmal eine Frage: Wie würde denn das von $M= \{A,B\}$ erzeugte Dynkin System aussehen?

Ich frage mich nämlich wie man das konstruieren sollte? Denn bei einem Dynkin System liegen ja nur Vereinigungen von disjunkten Mengen wieder im Dynkin System. Kann man dann ohne Information, ob $A$ und $B$ disjunkt sind, überhaupt das Dynkin System angeben?

Gehen wir mal davon aus, dass $A$ und $B$ nicht disjunkt sind. Wäre dann das Dynkin System nur $D=\{\emptyset, A, A^{c}, B, B^{c}, X\}$?

Und wie würde es aussehen, wenn $A$ und $B$ disjunkt wären?


Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30 16:53
Gast123
 

Hallo PrinzessinEinhorn,

nochmal danke für die Antwort.



Du musst mit der Notation aufpassen. Wenn du die von $M=\{A,B\}$ erzeugte Sigma-Algebra betrachtest, dann ist $M$ hier als Mengensystem zu verstehen. Sowas wie $\{A,B\}$ oder $\{A,B\}^c$ macht dann wenig Sinn, weil du ja $A,B\subseteq X$ hast, und die Mengen $\{A,B\}$ oder das Komplement davon in keinem Zusammenhang damit steht.
Aber ansonsten hat die Frage StrgAltEntf beantwortet.

Also mich verwirrt halt die Definition, dass das von $M=\{A,B\}$ erzeugte Dynkin System $D$ das kleinste Dynkin System ist, das $M$ enthält. Denn für mich bedeutet "enthalten" hier, dass $M$ ein Element von $D$ ist, also sprich, dass $D$ irgendwie so aussieht: $D =\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, ...\}$. Aber anscheinend bedeutet "enthalten", dass $M$ eine Teilmenge von "D" ist, richtig? (Also spricht dass die Elemente von $M$ auch Elemente von $D$ sind).


Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30 16:45
Gast123
 

Hallo StrgAltEntf,

danke für die Antwort!

In der Aufzählung fehlt noch \(A^c\cup B\). Aber so viel mehr Mengen kommen nicht mehr hinzu. Wenn ich es richtig sehen, kommen noch \(A\cap B,A^c\cap B,A\cap B^c,A^c\cap B^c\) hinzu, und das war's dann auch schon.

Aber muss man dann nicht auch noch weitere Vereinigungen mit diesen Mengen bilden, also z.B. $(A\cup B^{c}) \cup (A^{c} \cap B)$ und eben von allen möglichen solcher Permutation die Vereinigungen bilden. Und dann davon wieder die Komplemente, und dann wieder neue Vereinigungen bilden damit etc.?

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30 14:41
Gast123
 

Hallo PrinzessinEinhorn,

vielen Dank für deine Antwort. Ich habe noch ein paar weitere Fragen zu deiner Antwort


Nein. Das sind zwei recht unterschiedliche Objekte. $\{A,B\}$ ist eine Menge, die zwei Elemente hat. Nämlich $A$ und $B$. Diese Elemente sind selbst wieder Mengen. Also $\{A,B\}$ ist eine Menge von zwei Mengen.

$A\cup B$ (wie ist das definiert?) ist die Vereinigung von zwei Mengen. Wie $A$ und $B$ 'aussehen' ist nicht bekannt, es sollen einfach Teilmengen von $X$ sein.
Die Elemente von $A\cup B$ sind Elemente von $X$.

Sagen wir mal, $A=\{1,2\}$ und $B=\{2,3\}$, also die Elemente der Mengen sind natürliche Zahlen. Ist dann $\{A,B\}=\{\{1,2\}, \{2,3\}\}$ und $A\cup B = \{1,2,3\}$. Ist das so korrekt?




Was ist denn $M$?

$M$ sollte so definiert sein wie ganz oben, also $M=\{A,B\}$. Und dann ist die Frage, ob die von $M$ erzeugte Sigma Algebra dann einfach nur die Menge $\{\emptyset, \{A,B\}, \{A,B\}^{c}, X\}$ ist oder das was wir dann weiter unten besprochen haben, also wo man dann die Sigma Algebra eigentlich nicht mehr angeben kann weil man immer neue Vereinigungen und deren Komplemente hinzufügen muss (Also sprich so was wie $\{\emptyset, A\cup B, A\cup B^c, A, B, A^c, B^c, A^c\cup B^c, ....,X\}$)?
Also sprich, ich weiß nicht ob man $M$ einfach "als ganzes" also als $\{A,B\}$ verwendet in der Sigma Algebra, oder ob man die einzelnen Elemente aus $M$, also $A$ und $B$, auch nochmal einzeln in der Sigma Algebra haben muss (und dann deren Komplemente, beliebige Vereinigungen etc).



Und dann lass uns mal ein ganz konkretes Bsp machen. Sei $X = \{1,2,3,4\}$ und $A=\{1,2\}$ und $B=\{3\}$ und $M=\{A,B\}=\{\{1,2\},\{3\}\}$. Wenn man jetzt die erzeugte Sigma Algebra sucht, wie würde die aussehen?

Viele Grüße

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Erzeugte Sigma-Algebra anhand eines Beispiels  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-30 10:56
Gast123
 

Hallo,

ich wollte mir ein eigenes Beispiel anschauen um zu sehen wie die von einer Menge erzeugten Sigma Algebra aussieht.

Dafür sei $X$ eine Menge und $A,B \subset X$. Wir betrachten $M:=\{A,B\}$ und wollen dann die von $M$ erzeugte Sigma Algebra hinschreiben.

1.) Zu aller erst mal die Frage: Ist die Menge $\{A,B\}$ eigentlich das selbe wie die Menge $A\cup B$ ?

2.) Nun zur von $M$ erzeugten Sigma-Algebra:
Also die folgenden Mengen sollte ja schonmal auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $M$, $M^{c}$, $X$. Sind das dann schon alle Elemente der von $M$ erzeugten Sigma Algebra?

Oder ist es doch viel komplizierter und anstatt $M$ müssen, jeweils $A$ und $B$ einzeln enthalten sein und auch deren Komplemente?
Dann müsste ja auf jeden Fall enthalten sein:
$\emptyset$, $A$, $A^{c}$, $B$, $B^{c}$, $A\cup B$, $(A \cup B)^{c} $, $X$.
Aber dann müssten ja auch alle abzählbaren Vereinigungen enthalten sein, wie z.B $A^{c} \cup B$ und wieder alle deren Komplemente und dann auch wieder alle Vereinigungen etc. Hat die Sigma Algebra dann etwa unendlich viele Elemente?

3.) Falls ich die von der gesamten Menge $X$ erzeugte Sigma Algebra suche, ist das einfach nur {$\emptyset$, $X$}?

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-11
Gast123
 

Hallo zippy,

alles klar, danke für deine Antworten!

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-11
Gast123
 

Hallo zippy,

danke für deine Antwort.
1.) Heisst das, dass die zwei möglichen äquivalenten Definitionen lauten:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
und

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: d_{\infty}(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
2.) Warum ist in diesem Fall denn $d_Y$ nicht die von der Supremumsnorm induzierte Metrik? Ich hätte gedacht, dass die Norm von $B([a,b], \mathbb{R})$ (also die Supremumsnorm) auch die Metriken auf X und Y induziert (d.h. hier X=[a,b], Y=$\mathbb{R})$

3.) Ist die Definition mit Hilfe der Supremumsnorm nur dann zur Definition der gleichmäßigen Konvergenz äquivalent, im Falle von (beschränkten) reellwertigen Funktionen, also Funktionen für die $X \subseteq \mathbb{R}$ und $Y \subseteq \mathbb{R}$? Oder gilt das auch für ganz allgemeine metrische Räume X, Y?

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Gleichmäßige Konvergenz in metrischen Räumen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-11
Gast123
 

Hallo,

ich habe eine Frage zu gleichmäßiger Konvergenz in metrischen Räumen.
Die allgemeine Definition dazu lautet:

Seien X, Y metrische Räume $f_n, f: X \rightarrow Y$. Dann konvergiert $(f_n)$ gleichmäßig gegen f, wenn gilt:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x)) < \varepsilon$$
Nun gilt aber für den Vektorraum der beschränkten Funktionen $B([a,b], \mathbb{R})$ zusammen mit der Supremumsnorm, folgende Definition für gleichmäßige Konvergenz:

$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0: ||f_n(x) - f(x))||_{\infty} < \varepsilon$$
Dabei gilt ja dass $||f_n(x) - f(x))||_{\infty} = \sup\{|f_n(x) - f(x))|: x\in X\}$

Im Falle, dass $X, Y = \mathbb{R}$ und die Metrik die normale Betragsfunktion ist, verstehe ich die Äquivalenz der beiden Definitionen. Denn dann gilt dass, $"\forall x \in X: |f_n(x) - f(x)| < \varepsilon"$ äquivalent ist zu $" \sup|f_n(x) - f(x)| < \varepsilon"$.

Im allgemeinen metrischen Fall und der von der Supremumsnorm induzierten Metrik gibt es für mich allerdings eine Ungereimtheit und zwar:

Die von der Supremumsnorm induzierte Metrik ist $d_Y(f_n, f)=||f_n-f||_{\infty} = \sup\{|f_n(x) - f(x)|\}$. Wenn ich das also in obige Definition für gleichmäßige Konvergenz einsetzte erhalte ich:
$$\forall \varepsilon > 0 \exists n_0 \in \mathbb{N} \forall n\geq n_0 \forall x\in X: d_Y(f_n(x), f(x))= ||f_n - f||_{\infty} < \varepsilon$$
Dann gibt es hier aber einmal den Quantor $"\forall x\in X"$ zu viel! Also sprich, bei der Definition mit der Supremumsnorm sollte dieser Quantor ja gerade nicht vorkommen.

Was ist hier falsch in meiner Denkweise?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-10
Gast123
 

Hallo zippy,

ich habe noch zwei Fragen zu deiner Antwort:


2020-06-29 09:28 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Die Menge $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ ist einen Basis, denn jedes Polynom lässt sich eindeutig als Linearkombination der endlich vielen Basiselemente $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ darstellen, wobei $n$ der Grad des Polynoms ist. Aber keine dieser endlichen Mengen ist ein Erzeugendsystem.

1.) Vielleicht fehlen mir hier auch Kenntnisse aus der (Linearen) Algebra, aber eine Basis ist doch immer auch ein minimales Erzeugendensystem? Wie kann es dann sein, dass $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ eine (endliche) Basis ist aber kein Erzeugendensystem?

2020-06-29 09:28 - zippy in Beitrag No. 8 schreibt:
Dass das so ist, liegt im Wesentlichen an Folgendem:
1. Jedes Polynom enthält eine höchste Potenz $X^n$, die durch seinen Grad festgelegt ist.
2. Es gibt aber Polynome beliebig hohen Grades.
2.) Was genau bedeutet es denn, dass ein Polynom einen beliebig hohen Grad haben kann? Bedeutet das, dass der Grad eines Polynoms auch unendlich sein kann?

3.) Wenn ich noch etwas mehr darüber nachdenke liegt mein Problem vielleicht auch einfach darin, dass mir nicht genau bewusst ist, wann eine Indexmenge der natürlichen Zahlen denn endlich ist und wann unendlich. Ist denn zB $\{1,X,X^2,\ldots\}=\{X^k:k\in\mathbb N_0\}$ eine unendliche Menge? Wenn ja, warum? Denn jede natürlich Zahl $k$ ist ja immer endlich...
Und ist $\{1,X,X^2,\ldots,X^n\}$ dann im Gegensatz dazu endlich?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Gast123
 

Hallo, danke für deine Antworten.


2020-06-28 15:32 - Carmageddon in Beitrag No. 6 schreibt:
Es gibt überhaupt keinen Übergang ins unendliche. Man verwendet hier nun die Eigenschaft, dass eine Basis eine maximale lineare unabhängige Menge ist, sprich sobald man einen weiteren beliebigen Vektor hinzunimmt ist die Menge linear abhängig. Sollte es für beliebige <math>n</math>, aber immer <math>n</math> unabhängige Vektoren geben, kann so eine Menge offensichtlich nicht endlich sein.


Hm, ich muss gestehen, dass mir diese Argumentation immer noch nicht klar ist. Da ja $n \in \mathbb{N}$ ist, ist $n$ ja per Definition immer eine natürlich Zahl, dh insbesondere endlich. Und selbst wenn man dann für jedes $n \in \mathbb{N}$ eine Basis finden kann, hat dann doch jede dieser Basen nur endlich viele Vektoren.


2020-06-28 15:32 - Carmageddon in Beitrag No. 6 schreibt:
Für endlich-dimensionale VR stimmen Hamelbasis und "normale" Basis überein. Deine Interpretation kann ich nicht nachvollziehen. Wie schließt du darauf, dass die Hamel-Basis endlich sein muss?

Also ich komme auf diese Interpretation wegen dem Satz auf Wikipedia, dass für eine Hambelbasis "[...] verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt".
Und wenn sich jeder Vektor durch endliche Linearkombinationen der Basisvektoren darstellen lässt, muss das maximale Erzeugendensystem ja endlich sein, oder?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-27
Gast123
 

Vielen Dank an alle für eure Antworten!


@Carmageddon

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Diese Vorstellung ist leider auch für endlich-dimensionale VR falsch. Betrachte z.b.

<math>\{x = (x_1,...,x_9) \in \IR^9: \;  x_2 = ... = x_9 = 0 \}</math>

Das ist ein VR mit Dimension 1, aber die Vektoren bestehen aus 9 Einträgen.
Liegt das daran, dass aus diesem Vektorraum zwei beliebige Vektoren immer linear Abhängig sind und daher die maximale Anzahl an linear Unabhänigeng Vektoren 1 ist?


2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Du solltest dich viel mehr fragen: Finde ich eine endliche Menge von linear unabhängigen Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden?
Für <math>\ell^2</math> ist es super leicht zu beweisen, dass es so eine Menge nicht geben kann. Ergo macht der klassische Begriff der Basis hier keinen Sinn und man kann sagen: Der VR <math>\ell^2</math> hat keine endliche Basis.

Tatsächlich war das erst kürzlich eine Übungsaufgabe, genau das zu zeigen. Allerdings hatte ich die Argumentation der Lösung nicht verstanden. Dort hat man nämlich gezeigt, dass es für jedes $n \in \mathbb{N}$ n linear unabhängige Vektoren gibt. Da aber ja n eine natürlich Zahl ist, ist die Anzahl ja doch immer endlich, daher weiß ich nicht wo dann der Übergang ins unendliche kommt? Oder wird hier unendlich wieder so definiert, dass es über jede Grenze hinweg wächst?

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Man muss hier nun auf Begriffe wie Hamel-Basis oder  Schauder-Basis ausweichen. Man beachte, dass der Begriff der Schauder-Basis eine Norm benötigt.

Für unendlich-Dimensionale VR ist die Hamel-Basis die natürliche Erweiterung der Basis-Bergriffes.

Ich kenne diese Begriffe von Hamel und Schauder Basis leider nicht. Auf Wikipedia steht allerdings: "[...]Hamelbasis, von der verlangt wird, dass sich jeder Vektor als endliche Linearkombination der Basiselemente darstellen lässt". Ich würde das jetzt so interpretieren, dass die Hamelbasis nur endlich Dimensional sein kann und nicht unendlich dimensional?

Ist die Hamelbasis aber im Prinzip die "normale" Basis die man aus endlichen Vektorräumen kennt?

2020-06-27 13:29 - Carmageddon in Beitrag No. 3 schreibt:
Eine Schauder-Basis ist per Definition abzählbar unendlich.

Damit ist auch klar, dass in unendlich dimensionalen VR eine Schauderbasis nie eine Hamelbasis sein kann. In endlich-dimensionalen VR macht die Unterscheidung dieser beiden Begriffe keinen Sinn.

Ich bin mir nicht sicher ob ich das richtig verstehe: Heißt das, dass es Fälle gibt, wo ich für den selben unendlichen VR eine abzählbar unendliche Schauder-Basis finden kann und eine überabzählbar unendliche Hamelbasis? Dann wäre der Begriff der Dimensionalität hier aber nicht eindeutig definiert oder?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-27
Gast123
J

Okay, alles klar. Super, danke!

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Vektoren in unendlich-dimensionalen Funktionenräumen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-27
Gast123
 

Hallo,

ich habe ein Problem damit, wie man sich die Vektoren bzw. Vektorräume von Abbildungen vorstellen muss/kann.

Ich glaube mein Grundproblem ist ein bischen, dass ich mir Vektoren immer als n-Tupel aus $\mathbb{R}^n$ vorstelle, wo dann die Dimensionalität einfach die Anzahl der Einträge des Tupels ist.

Meine Frage: Kann man sich (unendlich dimensionale) Vektorräume von Funktionen oder Folgen auch in ähnlicher weise vorstellen?

1.) Also zB bei $\ell^2$: Dort sind die Vektoren ja unendliche Folgen $(x_n)_n$. Könnte man sich das dann so vorstellen, dass jedes Folgenglied $x_n$ quasi korrespondiert mit einem Eintrag aus einem Tupel? Damit wäre dann ein Vektor zB $(x_1, x_2, x_3, ...)$. Und da die Folge unendlich viele Glieder hat, sind damit die  Vektoren und damit der Vektorraum unendlich dimensional?

2.) Wie würde man sich das dann aber in einem Vektorraum von Funktionen vorstellen? Da dort die Definitionsmenge in der Regel überabzählbar unendlich ist, ist ja sogar schon der Versuch einen Vektor als Tupel hinzuschreiben unmöglich. Kann man da trotzdem irgendeine Analogie finden zu den Vektoren, die als Tupel dargestellt werden können? Sprich, könnte man da auch irgendwie aus der Struktur der Vektoren die Dimensionalität ablesen, so wie bei Tupel aus dem $\mathbb{R}^n$?

3.) Gibt es bei der Dimensionalität auch die Unterscheidung von abzählbar unendlich und überabzählbar unendlich? Also sind zB Folgenräume abzählbar unendliche Vektorräume und Funktionenräume überabzählbar unendliche Vektorräume?


Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-20
Gast123
J

2020-06-20 10:52 - zippy in Beitrag No. 12 schreibt:


Ja. Und das ist genau dein eigener Beweis für $\lambda=0$.

Und lignings Hinweis bedeutet: Es kommt bei diesem Beweis gar nicht darauf an, dass das Skalarprodukt bilinear ist, sondern nur, dass die Abbildung $w\mapsto\langle v,w\rangle$ linear ist. Denn für jede lineare Abbildung $L$ gilt:$$L(0)=L(0\cdot0)=0\cdot L(0)=0$$


Und im letzten Schritt verwenden wir aber die ganz normale Multiplikation aus dem Körper K oder? Also die Null ist dann auch die Null aus dem Körper?

$0_K <v, 0_v> = 0_K$, da $<v, 0_v> \in K$
stimmt das? Also der letzte Schritt ist keine Eigenschaft der linearen Abbildung sondern einfach nur dass das Skalarprodukt in den Körper abbildet?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-20
Gast123
J

2020-06-19 20:22 - ligning in Beitrag No. 8 schreibt:
Das sollte man sich aber eigentlich schonmal für lineare Abbildungen überlegt haben und nicht für bilineare Abbildungen erneut zu Fuß beweisen.

Hallo ligning. Wie würdest du es dann zeigen?
Vielleicht so: Sei V ein K Vektorraum:
$<v,0_V> = <v, 0\cdot 0_V> = 0 <v, 0_V> = 0$
Kann man den letzten Schritt so machen, also folgern dass 0 mal das Skalarprodukt 0 ist?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-20
Gast123
J

Hallo alle,

danke für die Antworten. Ich dachte einfach, dass wenn man die Aussage nur für ein spezifisches $\lambda$ zeigt, man dann nicht folgern könnte dass die Aussage $<v, 0> = 0 $ auch ganz generell gilt, denn man hat ja nur gezeigt, dass sie für ein spezifisches Lambda gilt. Ich glaub mir ist auch immer noch nicht genau klar warum das denn jetzt so ist, aber sei es drum.


@zippy: Hat es einen spezifischen Grund, warum du immer $\lambda=0$ wählst? Also wenn man es scheinbar sowieso nur für ein spezifisches $\lambda$ zeigen müsste, könnte man ja $\lambda=2$ wählen, denn dann steht die Aussage ja direkt da, oder?

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-19
Gast123
J

Hallo ihr beiden, danke für eure schnellen Antworten.

Ja in der Tat verstehe ich nicht ganz warum mein Beweis denn schon fertig ist, bzw allgemeint gültig. Ich hätte jetzt gedacht, dass diese Gleichung gezeigt werden muss für alle $\lambda$ aus dem Körper über dem der Vektorraum definiert ist. Und falls dieser Körper die rellen Zahlen sind, hätte ich gedacht, dass es dann für alle reellen Zahlen gelten müsste und damit insbesondere auch für $\lambda=1$.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Skalarprodukt mit Nullvektor  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-19
Gast123
J

Hallo,

ich habe eigentlich ein ganz einfaches Problem, komme gerade aber nicht auf die Lösung.
Ich möchte zeigen, dass $<v, 0> = $0.

Mein Beweis sieht bisher so aus:
$\lambda <v, 0> = <v, \lambda 0> = <v, 0> $
$\Longleftrightarrow (\lambda-1) <v, 0>= $0
$\Longleftrightarrow <v, 0>= $0

Für den letzten Schritt müsste ich aber annehmen, dass $\lambda \neq 1$ und daher wäre mein Beweis nicht allgemein gültig.
Wie müsste ich es richtig machen?

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Gleichmäßige Konvergenz  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-10
Gast123
 

Hallo Wally,

danke für deine Antwort. Ich habe mir dein Beispiel mal geplottet. Und ich stimme zu dass diese Funktion für jedes x gegen 0 konvergiert aber, wenn man die Funktion auf ganz $\mathbb{R}$ betrachtet, das Supremum immer pi ist (ich nehme mal an, dass das Supremum nicht angenommen wird hier, also kein Maximum ist).

Wenn ich dich richtig verstehe, willst du darauf hinaus, dass nur auf beschränkten Teilmengen von $\mathbb{R}$ das Supremum der Funktionen kleiner wird (also nicht konstant pi ist), was man ja braucht, wenn man gleichmäßige Konvergenz zeigen möchte. Aber ich denke, da würde dann ja reichen, dass der Definitionsbereich beschränkt ist, er müsste aber nicht zwangsläufig abgeschlossen sein (könnte also auch offen sein) oder ?

Und noch eine andere Frage:
Kann ich den Satz von Dini überhaupt so beweisen, wie ich es versucht habe. Also über den Satz von Weierstraß und dann irgend eine Abschätzung mit dem Supremum zu machen?
Ich habe mir nämlich mal Beweise zum Satz von Dini angeschaut und da wird immer die Überdeckungseigenschaft der Kompaktheit verwendet in Verbindung mit der Stetigkeit, das ist aber leider ein ganz anderer Ansatz als meiner.

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Gleichmäßige Konvergenz  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-10
Gast123
 

Hallo Wally,

danke für deine Antwort. Also ein konkretes Gegenbeispiel konnte ich mir jetzt nicht konstruieren, aber ich dachte mir, dass die Kompaktheit benötigt wird um den Satz von Weierstraß anwenden zu können, also damit man weiß, dass alle $f_n$ beschränkt sind und ihr Maximum annehmen.
 
Allerdings bin ich mir noch nicht sicher warum man unbedingt, das Maximum benötigt. Wenn die Funktionen auf einem offenen Intervall definiert wären, wären sie ja trotzdem auch beschränkt oder? Und dann hätte man aber eben nur ein Supremum und kein Maximum aber für die gleichmäßige Konvergenz benötigt man ja nur das Supremum oder?

Edit: Ich glaube meine obige Aussage ist falsch, d.h.:
Wenn ich eine stetige Funktion f auf einem offenen Intervall (a,b) betrachte, dann ist diese Funktion nicht unbedingt beschränkt, d.h. es muss kein Supremum geben oder? Wenn ich zB $f = x^{-1}$ auf $(0,1)$ betrachte, dann geht diese Funktion gegen unendlich für $x \rightarrow 0$ damit ist sie dort unbeschränkt und hat auch kein Supremum oder?
 

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