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Forum
Thema Eingetragen
Autor

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mathsman
Messbarkeit von Funktionen allgemein beweisen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-10-08
Gockel
 

Hi.

Es ist sinnvoll, hier Zwischenschritte zu betrachten. Dann sieht man sehr genau, was hier passiert.

Schritt 1: Was wir eigentlich zeigen ist folgende, allgemeinere Aussage:
Wenn $(X,\mathfrak{A}), (Y_1,\mathfrak{B}_1), (Y_2,\mathfrak{B}_2)$ Messräume und $g_1: X\to Y_1, g_2: X\to Y_2$ Abbildungen sind, dann gilt:
$(g_1,g_2) : X \to Y_1\times Y_2$ ist $\mathfrak{A}$-$\mathfrak{B}_1\otimes\mathfrak{B}_2$-messbar genau dann, wenn $g_1$ $\mathfrak{A}$-$\mathfrak{B}_1$-messbar und $g_2$ $\mathfrak{A}$-$\mathfrak{B}_2$-messbar ist.

Kurz: Die zusammengesetzte Abbildung ist genau dann messbar, wenn die einzelnen Komponenten es sind.

Was man hier braucht, ist ausschließlich die Definition der Produkt-$\sigma$-Algebra $\mathfrak{B}_1\otimes\mathfrak{B}_2$ als diejenige $\sigma$-Algebra, die von $\{B_1\times B_2 \mid B_i\in\mathfrak{B}_i\}$ erzeugt wird. Das ist eine Übung im Anwenden der Definitionen.

Sobald man diese Aussage bewiesen hat, kann man mit einem einfachen Induktionsbeweis die erste hier zu zeigende Aussage folgern.

Schritt 2: Um die Stetigkeit von $\pi$ auszunutzen, brauchen wir die Borel-$\sigma$-Algebra auf $\mathbb{R}^d$. Im ersten Schritt brauchen wir aber die Produkte von $\sigma$-Algebren. Was wir also zeigen wollen, ist die folgende Aussage: $\mathfrak{B}_{\IR^n} \otimes \mathfrak{B}_{\IR^m} = \mathfrak{B}_{\IR^{n+m}}$.

Kurz: Es ist egal, ob wir erst das Produkt der topologischen Räume bilden und dann das Produkt der $\sigma$-Algebren oder ob wir erst die $\sigma$-Algebren betrachten und dann das Produkt bilden.

Hier braucht man (im Gegensatz zu Schritt 1) wirklich, dass man mit dem $\IR^n$ arbeiten und nicht mit völlig beliebigen Räumen (denn für beliebige topologische Räume wäre diese Aussage falsch). Genauer gesagt braucht man die folgende Eigenschaft des $\IR^n$: Jede offene Menge des $\IR^{n+m}$ lässt sich als höchstens abzählbare Vereinigung von offenen Mengen der Form $U\times V$ darstellen, wobei $U_1\subseteq\IR^n, V\subseteq\IR^m$ offene Mengen sind. (Dies ist letztendlich die Eigenschaft, dass $\IR^n$ "erblich lindelöf" ist und folgt z.B. daraus, dass es zweitabzählbar ist)

mfg Gockel.


[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Maßtheorie' von Gockel]

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: eva1
Fourier-Transformation von meromorphischen Funktionen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-03-17
Gockel
J

Hi eva.

Es gibt eine Art Paley-Wiener für diese Situation. Genauer gesagt gilt folgendes:

Für eine Distribution <math>u\in\mathcal{D}"(\mathbb{R}^n)</math> betrachten wir die Menge aller Richtungen, in denen <math>u</math> "exponentiell abfällt", d.h. präzise <math>B_u:=\{b\in\mathbb{R}^n \mid e^{\langle b,x\rangle}u(x) \in \mathcal{S}"(\mathbb{R}^n)\}</math>. Mit dieser Definition kann man eine (verallgemeinerte) Funktion <math>F</math> auf <math>\mathbb{R}^n + iB_u \subseteq\mathbb{C}^n</math> definieren als <math>F(s) := \mathcal{F}(e^{-i\langle s,x\rangle}u(x))(0)</math> (oder äquivalent <math>F(a+ib) := \mathcal{F}(e^{\langle b,x\rangle} u(x))(a)</math>).

Man kann folgendes zeigen:
1. <math>B_u</math> ist konvex.
2. <math>F</math> ist im inneren seines Definitionsbereichs nicht nur eine Distribution, sondern eine echte Funktion, die dort sogar holomorph ist.
3. Diese holomorphe Funktion erfüllt eine Ungleichung der Form
<math>|F(a+bi)| \leq C(b) (1+\|a\|)^{N(b)}</math>
wobei <math>C,N: int(B_u) \to \mathbb{R}</math> stetige Funktionen sind (die aber möglicherweise gegen unendlich gehen, wenn <math>b</math> sich in Richtung Rand bewegt)
4. Die Abbildung <math>b\mapsto F_b</math>, wobei <math>F_b(a) := F(a+ib)</math>, ist eine stetige Abbildung <math>B_u \mapsto \mathcal{S}"(\mathbb{R}^n)</math> (man muss die Topologie auf <math>B_u</math> ein kleines bisschen modifizieren, damit das stimmt, aber das sind Details)
5. Umgekehrt: Wenn <math>F: \mathbb{R}^n + iB \to \mathbb{C}</math> holomorph ist und eine Ungleichung wie in 3. erfüllt, dann ist <math>F</math> die Fourier-Laplace-Transformation einer Distribution <math>u</math> mit <math>B \subseteq B_u</math>. Wenn zusätzlich <math>b\mapsto F_b</math> sich stetig auf einen Randpunkt von <math>B</math> fortsetzen lässt, dann ist auch dieser Randpunkt in <math>B_u</math>.

Zusammengefasst und etwas mit den Händen gewedelt: Exponentieller Abfall von <math>u</math> in Richtung <math>b</math> ist im Wesentlichen dasselbe wie Fortsetzbarkeit von <math>\mathcal{F}u</math> bis nach <math>ib</math> zusammen mit einer polynomiellen Wachstumsschranke auf allen Parallelen zur reellen Achse zwischen <math>0</math> und <math>ib</math>.

Wenn man genauer darüber nachdenkt, dann stellt man fest, dass man hier <math>\mathcal{S}"</math> überall durch bestimmte Unterräume <math>V</math> (oder an manchen Stellen durch <math>\mathcal{F}(V)</math>) ersetzen kann, die dann zu schärferen Ungleichungen korrespondieren. Zum Beispiel würde eine Schwartz-Funktion-Version dann die folgende Form haben

"<math>u\in\mathcal{S}</math> fällt exponentiell in Richtung <math>b</math>" ist im Wesentlichen dasselbe wie "<math>\mathcal{F}u</math> lässt sich holomorph bis nach <math>ib</math> fortsetzen und alle Parallelen zur reellen Achse zwischen <math>0</math> und <math>ib</math> sind selbst Schwartz Funktionen"

Ganz präzise:
Dein <math>u:=\hat{f}</math> erfüllt <math>e^{-\epsilon |x|}\hat{f}(x) \in \mathcal{S}(\mathbb{R})</math> für ein <math>\epsilon>0</math> genau dann, wenn <math>\mathcal{F}u = f</math> sich zu einer holomorphen Funktion auf den Streifen <math>\mathbb{R} + i(-\epsilon,\epsilon)\subseteq\mathbb{C}</math> fortsetzen lässt, die zusätzlich Ungleichungen der Form
<math>\forall \alpha,\in\mathbb{N}: \sup_{a\in\mathbb{R}} |f(a+bi)| \leq C_{\alpha}(b)(1+|a|)^{-\alpha}</math>
mit stetigen Funktionen <math>C_{\alpha}:(-\epsilon,+\epsilon)\to\mathbb{R}</math> auf diesem Streifen erfüllt.

Du erkennst vielleicht die Ähnlichkeit zum klassischen Paley-Wiener-Theorem. Der Unterschied ist, dass hier keine Aussage über das Wachstumsverhalten senkrecht zur reellen Achse gemacht wird. Das würde zu einer Einschränkung des Trägers von <math>u</math> korrespondieren.

mfg Gockel.

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pimo
Definition Skalarerweiterung eines Moduls  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Gockel
J

Du solltest trotzdem saubere Definition benutzen; alleine schon deshalb, weil es deutlich einfacher ist, sich zu merken, wie alles funktioniert. Bei Linksmoduln steht der Ring halt immer links, sowohl R als auch S und es wird von links mit Skalaren multipliziert.

Und ja, deine Lösung passt so.

mfg Gockel.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: targon
Umkehrabbildung einer stetigen Abbildung messbar?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Gockel
J

Man beachte aber, dass eine stetige injektive Abbildung <math>\IR^n\to\IR^n</math> automatisch offen ist, d.h. die Umkehrabbildung einer bijektiven stetigen Abbildung <math>\IR^n\to\IR^n</math> ist automatisch stetig. Das ist ein nichttrivialer Satz, den man normalerweise mit Hilfe algebraischer Topologie beweist. Und hier ist ganz entscheidend, dass es sich um Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension handelt. Für allgemeine Räume gilt so etwas nicht.

mfg Gockel.

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pimo
Definition Skalarerweiterung eines Moduls  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-20
Gockel
J

Hi.

Du solltest dich für eine Seite entscheiden. Entweder für Rechts- oder Linksmoduln. Jedenfalls solltest du beides nicht mischen.
Die Skalarerweiterung eines R-Linksmoduls ist <math>S\otimes_R M</math> mit Multiplikation <math>a\cdot(s\otimes m) := (as)\otimes m</math>. Die Skalarerweiterung eines R-Rechtsmoduls ist <math>M\otimes_R S</math> mit Skalarmultiplikation <math>(m\otimes s)\cdot a := m\otimes(sa)</math>. Die gemischte Version funktioniert nicht, weil die Skalarmultiplikation nicht wohldefiniert ist.

Alle Gleichungen, die du nachrechnen musst, können für elementare Tensoren nachgerechnet werden, wenn du dich davon überzeugst, dass das wirklich ausreicht, d.h. wenn du beweisen kannst, dass Dinge wie das Distributivgesetz für alle Elemente des Moduls wahr sein, wenn sie für alle Elemente eines Erzeugendensystems wahr sind. Das ist sehr einfach zu beweisen, aber du musst es halt tun.

mfg Gockel.

Moduln
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KidinK
Determinante von Endomorphismen endlich präsentierter projektiver Moduln  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-01-19
Gockel
 

Hallo.

Wenn man die Determinante für freie Moduln schon kennt, dann kann man auch det(f) als dasjenige Element <math>d\in R</math> charakterisieren, welches die Eigenschaft hat, dass <math>\frac{d}{1} \in R_\mathfrak{p}</math> die Determinante der von f auf der Lokalisierung induzierten Abbildung ist.

Dann kann man viel, was man von freien Moduln kennt, direkt übertragen, z.B. <math>\det(f\circ g) =\det(f)\det(g)</math> folgt ganz unmittelbar.

Interessant, weil nicht völlig offensichtlich: Wenn man diese Determinante benutzt, um auch charakteristische Polynome zu definieren, dann ist <math>\chi_0</math> nicht mehr nur ein einzelnes Monom, wie im freien Fall, sondern <math>\chi_0 = \sum_i e_i X^i</math> mit paarweise orthogonalen Idempotenten <math>e_i\in R</math> mit <math>1=\sum_i e_i</math>. Die <math>e_i</math> zerlegen <math>Spec(R)</math> in endlich viele offen-abgeschlossene Mengen, die genau den Fasern der lokal-konstanten Rang-Abbildung entsprechen, d.h. <math>e_i \notin \mathfrak{p} \iff \dim_{R_\mathfrak{p}} M_\mathfrak{p} = i</math>.
Die Koeffizienten von <math>\chi_\phi(X) = \sum_i a_i X^i</math> ganz allgemein sind durch die <math>e_i</math> eingeschränkt: <math>a_i e_j = 0</math> falls <math>j<i</math>. (Was ich allerdings nicht weiß, ist, ob die Umkehrung gilt, d.h. ob ich, wenn ich einen Satz von solchen <math>a_i</math> gegeben habe, auch ein <math>\phi</math> finden kann, dessen char.Poly so aussieht, oder ob es noch andere, mir nicht bekannte Einschränkungen an die Koeffizienten gibt)

Sobald man an das charakteristische Polynom denkt, kann man auch feststellen, dass man eigentlich nur Spuren zu kennen braucht, um charakteristische Polynome definieren zu können und somit Determinanten eigentlich geschenkt bekommt:
<math>\det(1-X\phi)</math> ist genau die graduierte Spur von <math>\wedge^\ast\phi</math>, d.h. die Potenzreihe <math>\sum_{r} \tr(\wedge^r\phi) X^r</math>.
Im Fall <math>M=R^n</math> ist <math>\det(1-X\phi) = X^n\chi_\phi(X^{-1})</math>. Allgemein <math>\det(1-X\phi)=\chi_0\cdot\chi_\phi(X^{-1})</math>.

mfg Gockel.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: KidinK
Lebesgue-Theorie auf endlichdimensionalen Banachräumen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-07-02
Gockel
 

Hi zusammen,

2017-06-29 10:29 - KidinK im Themenstart schreibt:
Ich frage mich, ob es einen koordinatenfreien Zugang zur Lebesgue-Theorie auf endlichdimensionalen (d.h. lokalkompakten) Banachräumen <math>E</math> gibt.
Das geht auf jeden Fall. Das Lebesgue-Maß ist ja bis auf Normalisierung ein Hausdorff-Maß, welches nur von der Metrik abhängig ist, aber nicht von einer Koordinatenwahl. In der Tat ist es hier sogar so, dass das Maß nicht einmal von der verwendeten Norm abhängt, weil das Hausdorff-Maß bzgl. jeder Norm translationsinvariant ist und es bis auf Normalisierung ein eindeutiges translationsinvariantes Maß gibt.
(Interessant wäre jetzt, diesen letzten Fakt koordinantenunabhängig zu beweisen. Normalerweise macht man das ja über Quader mit rationalen Eckpunkten.)


[...] Davon ausgehend würde mich interessieren, wie man zum Transformationssatz für Diffeomorphismen kommt.
Indem man gleich allgemeiner wird, könnte man dieses Problem vermutlich erschlagen, indem man die Flächen- oder Koflächenformel zeigt. Ich kann es nicht zu 100% sagen, aber es bestehen meiner Meinung nach gute Chancen.

Schritt 0: Die Eilenberg-Ungleichung

Was z.B. problemlos koordinatenfrei geht (also Koordinatenfreiheit ist problemlos, der Beweis erfordert schon etwas Arbeit in der Theorie der Hausdorff-Maße), ist die Eilenberg-Ungleichung zu beweisen:

Für eine lokal lipschitz stetige Funktion <math>F:X\to Y</math> zw. metrischen Räumen gilt
<math>\int_Y^\ast \mathcal{H}^s(A \cap F^{-1}(y)) d\mathcal{H}^t \leq Lip(F_{|A}) \mathcal{H}^{s+t}(A)</math>

wobei <math>\int^\ast</math> das obere Lebesgue-Integral meint, also das Infimum über <math>\int \phi</math> wobei <math>\phi</math> alle messbaren Funktionen größergleich dem Integranden durchläuft. Das ist notwendig, weil der Integrand nicht für alle <math>A\subseteq X</math> tatsächlich <math>\mathcal{H}^t</math>-messbar zu sein braucht. Für gutartige <math>A</math> und <math>X</math> ist das jedoch der Fall.


Diese Ungleichung ist schon einmal ein erster Anhaltspunkt, denn, wenn man sie ein wenig anders schreibt, steht da im Wesentlichen
<math>\int_Y \int_{F^{-1}(y)} \chi_A d\mathcal{H}^s d\mathcal{H}^t \leq Lip(F_{|A|}) \mathcal{H}^{s+t}(A)</math>
und das ist in unserer Situation eine Folgerung aus bekannten Dingen wie Fubini-Tonelli, Transformationsformel und eben (Ko)flächenformel, je nachdem, was man für X,Y und F einsetzt.

Die Ungleichung kann außerdem benutzt werden, um die Wohldefiniertheit der ganzen Integrale, die in den anderen Sätzen vorkommen, zu beweisen.

Schritt 1: Flächenformel

Sowohl Flächen- als auch Koflächenformel behaupten Gleichungen der Form
<math>\int_Y \int_{F^{-1}(y)} \psi(x) d\mathcal{H}^s(x) d\mathcal{H}^t(y) = \int_X \psi(x) JF(x) d\mathcal{H}^{s+t}(x)</math>
für geeignete Funktionen <math>F: X\to Y</math> und <math>X,Y</math> gutartige (z.B. offene) Teilmengen euklidischer Räume und bestimmte <math>s,t\in\IN</math>. <math>JF</math> steht dabei entweder für <math>\det(DF^T \cdot DF)^{1/2}</math> oder <math>\det(DF\cdot DF^T)^{1/2}</math> je, nachdem, ob Flächen- oder Koflächenformel gemeint ist. Man beachte, dass diese Determinanten koordinatenfrei definierbar sind: Es ist das Produkt der Singulärwerte von <math>DF(x)</math>.

Die Flächenformel ist etwas konkreter der Fall <math>s=0</math> und <math>t=n:=\dim(X)</math>.
Wenn <math>X</math> und <math>Y</math> beide offene Teilmengen derselben Dimension sind und <math>F</math> ein <math>C^1</math>-Diffeomorphismus dazwischen, dann ergibt sich hieraus die Transformationsformel.

Wir haben also eine Chance, die Transformationsformel koordinatenfrei zu beweisen, indem wir mit Hausdorffmaßen arbeiten. Dazu kann man die in der Maßtheorie üblichen Bootstrapping-Argumenten vorgehen: Wir wackeln so lange an <math>A</math> und <math>F</math>, bis die Aussage deutlich einfacher wird und dann beweisen wir den Spezialfall explizit.


Schritt 1a: Wackeln an <math>A</math>.

Definiere z.B.
<math>\mathfrak{D}_F := \{A\subseteq\IR^n \mid \int_A JF(x) d\mathcal{H}^n(x) = \int_{\IR^n} \mathcal{H}^0(A\cap F^{-1}(y)) d\mathcal{H}^n(y)\}</math>
(Man beachte, dass dies die Gleichung aus der Flächenformel für <math>\psi=\chi_A</math> ist.)
Das ist fast so etwas wie ein Dynkin-System: Abgeschlossen unter abzählbaren aufsteigenden/disjunkten Vereinigungen und unter Differenzen von ineinander enthaltenen Mengen mit endlichem Maß. Ziel ist also z.B. so etwas zu zeigen wie "Alle kompakten <math>A\subseteq\IR^n</math> sind in <math>\mathfrak{D}_F</math> enthalten", denn daraus würden wir mit Standardargumenten <math>\mathfrak{B}_{\IR^n} \subseteq\mathfrak{D}_F</math> folgern und somit die Flächenformel für alle Borel-messbaren Integranden erhalten. In der Tat unterscheidet <math>\mathfrak{D}_F</math> nicht zwischen Mengen, die sich nur um eine <math>\mathcal{H}^n</math>-Nullmenge unterscheiden (Eilenberg-Ungleichung), sodass alle Lebesgue-messbaren Mengen/Integranden erfasst werden.

Schlussfolgerung: Wir dürfen annehmen, dass alle Mengen, über die wir integrieren, hinreichend gutartig sind. Mindestens etwa kompakt.


Schritt 1b: Wackeln an <math>F</math>.

Wenn man jetzt z.B.
<math>\mathcal{F}(A) := \{ F: A \to \IR^n lok.Lipschitz \mid \mathfrak{B}_A \subseteq \mathfrak{D}_F\}</math>
setzt, gewinnt man auch eine gewisse Freiheit bei der Betrachtung von <math>F</math>. Es ist einfach, sich zu überzeugen, dass <math>\mathcal{F}</math> z.B. eine gewisse "Lokalitätseigenschaft" erfüllt: Wenn <math>X=\bigcup_{i\in\IN} A_i</math> und <math>F_{|A_i}\in\mathcal{F}(A_i)</math> hat für alle <math>i</math>, dann ist <math>F\in\mathcal{F}(X)</math>.

Schritt 1c: Mehr Wackeln an <math>F</math>.

Da <math>F</math> ein <math>C^1</math>-Diffeo ist, finden wir eine Überdeckung von <math>X</math> in kleine kompakte Mengen, z.B. eine Triangulierung, und eine stückweise affine Funktion <math>\tilde{F}</math>, die beliebig dicht an <math>F</math> dran ist und deren Ableitung beliebig dicht an <math>DF</math> dran ist (und überall invertierbar).

Mit ein bisschen Epsilontik überlegt man sich dann, dass die Integralgleichung für <math>F</math> aus der für <math>\tilde{F}</math> folgt bis auf einen Faktor, der gegen <math>1</math> geht mit <math>\epsilon\to 0</math>.
Das folgt daraus, dass <math>F</math> Bilipschitz ist mit oberen und unteren Konstanten, die vom größten bzw. kleinsten Singulärwert abhängen (d.h. von der Norm von <math>DF(x)</math> und <math>DF(x)^{-1}</math>) und die Singulärwerte wiederum stetig von der Matrix abhängen.


Schritt 2: Tatsächlich etwas beweisen

Jetzt sind wir im Fall, dass wir die Flächenformel für affine Funktionen beweisen müssen. Der Translationspart ist dabei unproblematisch, da alle Hausdorff-Maße translationsinvariant sind.

Was übrig bleibt, ist der Fall einer linearen Abbildung <math>F:\IR^n\to\IR^n</math> und zu zeigen ist <math>\mathcal{H}^n(F(A)) = |\det(F)|\mathcal{H}^n(A)</math>.
Man kann mittels orthogonalen Transformationen auf den Fall <math>F=diag(\sigma_1,\ldots,\sigma_n)</math> mit <math>\sigma_i>0</math> reduzieren.


Das ist jetzt der einzige Punkt, wo ich immer auf Koordinatenbeweise zurückgegriffen habe. Man kann jetzt ein Koordinatensystem wählen, sodass <math>F</math> diagonal ist und mittels Fubini auf den eindimensionalen Fall reduzieren, wo die Gleichung <math>\mathcal{H}^1(\sigma\cdot A) = \sigma\mathcal{H}^1(A)</math> direkt aus der Definition des Hausdorffmaßes folgt.


Koordinatenunabhängig kann man beobachten, dass es irgendeinen Skalar <math>d(F)\geq 0</math> mit <math>\mathcal{H}^n(F(A)) = d(F)\mathcal{H}^n(A)</math> geben muss, denn die linke Seite ist ein translationsinvariantes Maß auf <math>\IR^n</math>.
Und trivialerweise erkennt man auch, dass Dinge wie <math>d(F_1F_2)=d(F_1)d(F_2)</math>, <math>d(1)=1</math> und <math>d(UFV) = d(F)</math> für <math>U,V\in O(\IR^n)</math> erfüllt sein müssen. Aber ob das jetzt notwendigerweise <math>d=|\cdot|\circ\det</math> impliziert, sehe ich noch nicht.

EDIT:
<math>d</math> ist induziert durch Restriktion auf Diagonalmatrizen einen Homomorphismus <math>(\IR^\times)^n \to \IR_{>0}</math>, der unter Permutation der Komponenten invariant ist. Wenn man es jetzt hinbekommt, zu zeigen, dass <math>d</math> stetig oder zumindest Borel-messbar ist, dann folgt, dass es sich um die Determinante handeln muss.

Ein Weg das zu zeigen, ist zu benutzen, dass das Lebesgue-Maß einer beschränkten Menge durch ihren Durchmesser beschränkt werden kann. Da <math>F(A)</math> und <math>F"(A)</math> nicht sehr weit voneinander entfernt sind für <math>\|F-F"\|<\epsilon</math> (man kann ja ein festes <math>A</math> wählen, z.B. eine Kugel), folgt dann, dass <math>F\mapsto\mathcal{H}^n(F(A))</math> stetig ist.

Ein anderer Weg wäre, <math>d(F)\leq\|F\|^n</math> zu benutzen. Daraus folgt nämlich direkt, dass <math>d</math> oberhalbstetig, also insbesondere messbar ist.


mfg Gockel.

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
Messbarkeit einer Integralfunktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-04-29
Gockel
 

Hi.

Nein, du brauchst die Messbarkeit von f dafür. Die Messbarkeit von <math>f(x,\cdot)</math> und <math>f(\cdot,y)</math> alleine reicht nicht.

mfg Gockel.

Algebraische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Frettchen51
Relative Homologie und Komplemente  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-04-28
Gockel
 

Hi.

Mit / statt \ wird es fast richtig :)
Für nichtleere A ist in vielen (aber nicht allen) Fällen <math>H_\ast(X,A) = \tilde{H}_\ast(X/A)</math>, z.B. wenn X ein CW-Komplex und A ein Unterkomplex ist.

mfg Gockel.

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Polar_regen
Ist die Negation ein Automorphismus einer Booleschen Algebra?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-03-02
Gockel
 

Hi.

Die Frage kannst du dir doch selbst beantworten: Was muss ein Automorphismus erfüllen? Erfüllt die Negation alle diese Bedingungen?

mfg Gockel.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phi1
Nachweisen, dass Bergmanraum ein Hilbertraum ist  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-25
Gockel
 

Wo hast du gezeigt, dass f_n gegen f konvergiert? Die Idee in #2 funktioniert, wie gesagt, nicht.

mfg Gockel.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phi1
Nachweisen, dass Bergmanraum ein Hilbertraum ist  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-25
Gockel
 

2017-02-25 20:36 - Phi1 in Beitrag No. 2 schreibt:
@Gockel: Danke für die schnelle Antwort. Leider sollte der Beweis grad ohne Einbeziehung von l^2 durchgeführt werden. :(
Was natürlich ein Widerspruch in sich ist, denn alle Hilbertraumtheorie ist Theorie von <math>\ell^2</math>.

Deine Idee funktioniert jedenfalls nicht, weil du die Abhängigkeit von l nicht beachtet hast. Das n, ab dem <math>|\alpha_{l,n} - \alpha_n|<\epsilon</math> ist, ist abhängig von <math>l</math>.

Statt mit einer holomorphen Funktion zu starten und zu zeigen, dass sie gleich dem Limes ist, könntest du auch umgekehrt starten und den <math>L^2</math>-Limes von <math>f_n</math> betrachten um zu zeigen, dass es sich um eine holomorphe Funktion handelt, z.B. indem du beweist, dass jedes Integral <math>\int_\gamma f(z) dz</math> über einen geschlossenen Weg in <math>D</math> verschwindet.

mfg Gockel.

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phi1
Nachweisen, dass Bergmanraum ein Hilbertraum ist  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-25
Gockel
 

Hi.

Einfacher ist es vermutlich, die Isometrie <math>A^2\to\ell^2(\IN), f \mapsto (\frac{1}{\sqrt{n+1}}a_n)</math> zu benutzen und dann zu zeigen, dass das Bild a. genau <math>\{(c_n)\in\ell^2 \mid \limsup\sqrt[n]{|c_n|} \leq 1\}</math> und b. abgeschlossen in <math>\ell^2</math> ist.

mfg Gockel.


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionalanalysis' von Gockel]

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ellie
Umkehrfunktion mit Summenzeichen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-19
Gockel
 

Hi.

Nein, du hast nicht richtig abgeleitet. Erinnere dich an die Definition von <math>\nabla</math>.

mfg Gockel.


[Verschoben aus Forum 'Funktionen' in Forum 'Mehrdim. Differentialrechnung' von Gockel]

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3nondatur
Zeigen, dass sich nur die Pole von S^2 bei einer Drehung nicht ändern  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-12
Gockel
J

Hi.

Darin steckt die Aussage, dass eine Matrix <math>A\in SO_3</math> mindestens den Eigenwert 1 hat, denn die Fixpunkte von <math>A</math> sind genau die Eigenvektoren von <math>A</math> (und die Null). Fixpunkt auf der Sphäre sind also genau die Eigenvektoren von <math>A</math> mit Norm 1. Weil der EW 1 die geometrische Vielfachheit 1 hat für <math>A\neq I</math>, gibt es genau zwei solche Vektoren.

mfg Gockel.


[Verschoben aus Forum 'Geometrie' in Forum 'Eigenwerte' von Gockel]

Strukturen und Algebra
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: IVmath
Warum genau sind bestimmte Gleichungen nicht elementar lösbar?  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-11
Gockel
J

Nein, nicht wirklich. Ich hatte den algebraischen Anteil übersehen. Man muss auch endliche Galoisgruppen zulassen für algebraische Erweiterungen. Die genaue Aussage ist also, dass <math>Gal(L|K)</math> eine Subnormalteihe hat, deren Quotienten entweder a. endlich, b. <math>\IC</math> oder c. <math>\IC^\times</math> sind.
Suche einmal nach Liouville'schen Erweiterungen (Liouvillian extensions), dann solltest du schnell den Beweis finden.

Wenn ich mich nicht verrechnet habe, ist die Galoisgruppe von <math>\IC(z) \subseteq \IC(z,W)</math> allerdings trivial, sodass diese Aussage hier nicht viel bringt.

mfg Gockel.

Strukturen und Algebra
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Thema eröffnet von: IVmath
Warum genau sind bestimmte Gleichungen nicht elementar lösbar?  
Beitrag No.17 im Thread
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Gockel
J

Können wir bitte auf die eigentliche Frage zurückkommen? Wie beweist man, dass die Lambert-W-Funktion nicht elementar ist?

Ich weiß es nicht, aber ich kann zumindest beisteuern, dass elementare Funktionen Eigenschaften haben, die nicht allgemeingültig sind. Beispielsweise sind die Galoisgruppen elementarer Erweiterungen von Differentialkörpern immer auflösbar. Ein Ansatz wäre also die Galoisgruppe von <math>\IC(z) \subseteq \IC(z,W)</math> zu untersuchen. Nicht dass das zwangsläufig funktioniert, aber es wäre ein Ansatz.

mfg Gockel.

Gruppen
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Thema eröffnet von: Ehemaliges_Mitglied
überauflösbare Gruppe  
Beitrag No.11 im Thread
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Gockel
 

Hi.

Daraus alleine folgt das nicht. Aber aus der Tatsache, dass es keine weiteren Normalreihen gibt, folgt es. Sym(4) hat ja überhaupt nur vier Normalteiler: 1, V_4, Alt(4) und Sym(4) selbst, also weißt du genau wie die Normalreihen aussehen und in jeder Normalreihe kommt ein nichtzyklischer Quotient vor.

mfg Gockel.

Matrizenrechnung
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Thema eröffnet von: nilsn
Eindeutige Wurzel einer positiv semidefiniten Matrix  
Beitrag No.6 im Thread
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Gockel
 

Hi.

Hast du dich schon von <math>Eig(W,\lambda)\subseteq Eig(W^2,\lambda^2)</math> überzeugt? Dann folgt unmittelbar, dass <math>\dim Eig(W,\lambda) \leq \dim Eig(W^2,\lambda^2)</math> gilt. <math>W</math> ist aber diagonalisierbar (und der betrachtete Vektorraum endlichdimensional). Kann also für irgendein <math>\lambda</math> hier eine echte Ungleichung vorkommen?

"gleichzeitig diagonalisieren" meint genau das. Eine Basis finden, bzgl. derer die genannten Matrizen alle gleichzeitig diagonal werden.

mfg Gockel.

Strukturen und Algebra
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Thema eröffnet von: IVmath
Warum genau sind bestimmte Gleichungen nicht elementar lösbar?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-05
Gockel
J

@cis: Es ist definiert, was "elementar" bedeuten soll. Dafür wurde doch auf die Wikipedia verwiesen, damit jeder, auch du, die Definition nachlesen kann. Also nein: Lambert-W ist keine elementare Funktion.

mfg Gockel.
 

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