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Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Linksinvarianter Unterraum  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-04
HelLeon
 

Hi,

um ein paar Sachen nachzuvollziehen und auszuprobieren, suche ich ein simples Beispiel für einen linksinvarianten Unterraum.

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20
HelLeon
 

Hi Anno,

also nach der Definition gilt ja, dass es für alle $\epsilon >0$ ein $N>0$ gibt, so dass $|\sum_{n=0}^{\infty} A_n - \sum_{n=0}^{N_1} A_n|<\epsilon$ für alle $N_1>N$.
Also müssen wir einfach zu $\epsilon$ ein zugehöriges $N$ wählen und können den letzten Term in meiner Ungleichung mit $\epsilon$ abschätzen, richtig?

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20
HelLeon
 

Aber bei dieser Abschätzung könnte man ja am Ende nur mit unendlich abschätzen und nicjt mit $\epsilon$....

2019-11-19 20:58 - HelLeon in Beitrag No. 2 schreibt:
$|\sum_{n=0}^{\infty} b_n(z) - \sum_{n=0}^{M_1} b_n(z)| \leq |\sum_{n=M_1 +1}^{\infty} b_n(z)| \leq \sum_{n=M_1+1}^{\infty} A_n$

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-19
HelLeon
 

Hallo Anno,

Danke für deine Antwort!

Also wir haben ja dort die Dreiecksungleichung verwendet.

Also wäre es so $|\sum_{n=0}^{\infty} b_n(z) - \sum_{n=0}^{M_1} b_n(z)| \leq |\sum_{n=M_1 +1}^{\infty} b_n(z)| \leq \sum_{n=M_1+1}^{\infty} A_n$ richtig?


Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Abschätzung einer Reihe für gleichmäßige Konvergenz  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
HelLeon
 

Hallo,

am Ende eines Beweises fehlt mir noch zu zeigen, dass wenn wir eine Folge $(b_n(z))$ haben, mit $|b_n(z)|\leq A_n$ für $z \in  K \subset \mathbb{C}$ und $\sum_{n=0}^\infty A_n < \infty$ mit $B(z)= \sum_{n=0}^\infty b_n(z)$ gilt, dass die Reihe über $(b_n(z))$ gleichmäßig konvergent ist. (Also für alle $z \in K$ können wir ein $\epsilon >0$ wählen mit zugehörigem $N>0$, so dass $|B(z)- \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|<\epsilon$.)

Ich weiß, dass es für alle $\epsilon>0$ es ein $M$ gibt, so dass $|\sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)-\sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|<\epsilon$ für alle $M_2>M_1 \geq M$ und habe gelesen, dass man $|B(z)- \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)| \leq |B(z)- \sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)| + |  \sum_{n=0}^{M_2}b_n(z)  - \sum_{n=0}^{M_1}b_n(z)|  $ für $M_1<M_2$ anwenden kann.

Kann man das so machen?
Dann müsste doch der erste Summand auch durch $\epsilon$ begrenzt sein. Warum wäre er das?

Oder wie kann man  das sonst zeigen?



Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Reihe abschätzen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
HelLeon
J

Hallo Anno, hallo Wally,

Danke! Ich sehe es jetzt. Ich habe eigentlich noch eine Frage zu dem Thema, aber mache wohl einen neuen Thread dafür auf.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Reihe abschätzen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
HelLeon
J

Hallo,

in einem Teilschritt eines Beweises will ich zeigen, dass wenn wir eine Folge $(b_n(z))$ haben, mit $|b_n(z)|\leq A_n$ für $z \in  K \subset \mathbb{C}$ und $\sum_{n=0}^\infty A_n < \infty$, wir folgern können, dass es für alle $\epsilon$ ein $A$ gibt, so dass wir für die Reihe folgende Abschätzung machen können: $|\sum_{n=0}^{M_2} b_n(z) - \sum_{n=0}^{M_1} b_n(z)|<\epsilon$, $M_2>M_1\geq A$, $z \in K$

Ich dachte, dass ich die Aussage anwenden kann, dass $(b_n(z))$ absolut konvergiert und damit auch normal konvergiert, hat mich aber letztendlich auf einen falschen Weg gebracht...
Ich bin euch für jede Hilfe so dankbar...

Wie zeigt man das?

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Nullfolge hat beschränkte Majorante  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-18
HelLeon
J

Hallo PrinzessinEinhorn, Danke für deine weitere Antwort! Da es eine endliche Menge ist, können wir sie durch das Maximum dieser Glieder abschätzen.

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Nullfolge hat beschränkte Majorante  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
HelLeon
J

Vielen Dank für die Antwort, PrinzessinEinhorn!!

Ja, die Definition hatte ich mir auch so aufgeschrieben. Aber das Problem ist für mich auf das $ n \geq 0$ zu kommen. Nur weil wir für alle $\epsilon >0$ wissen, dass es ein $N$ gibt, haben wir ja kein $N=0$ gefunden....

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Nullfolge hat beschränkte Majorante  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
HelLeon
J

Innerhalb eines Beweises will ich diese Aussage zeigen:

Aus $\lim_{n \rightarrow \infty} a_n(z-z_0)^n=0$ folgt, dass es ein $M>0$ gibt, so dass $a_n(z-z_0)^n \leq M$ für $j \geq 0$ gilt.

Wie kann man das zeigen?

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
n^-z umformen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-15
HelLeon
J

Hallo,
wie kann man zeigen, dass $n^{-z}=n^{-x}e^{-iy \ln(n)}$ für $z=x+iy$?
Ich weiß leider gar nicht, wie man ab $n^{-x}n^{-iy}$ in die Richtung weiterkommt....

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Stromlinie und bewegtes Fluid  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-16
HelLeon
 

Tipp 2 und 3 habe ich genauso gemacht. Sieht für mich aus wie eine Zwiebel...
Und bei Tipp 1 weiß ich nicht ganz, was du meinst?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Stromlinie und bewegtes Fluid  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-16
HelLeon
 

Hallo,

es geht darum die Stromlinie

zu zeichnen für $r\geq a$. Und dann zu sagen, wenn es ein bewegtes Fluid wäre, um was für ein Objekt das Fluid sich bewegen würde.

Ich habe mir das jetzt für $a=\sqrt{2}$ mit unterschiedlichen $c$ aufgezeichnet.
Ich gebe mal ein paar Beispiele:
Für $c=0.1$:

Für $c=-0.1$:

Für $c=0.5$:



Mache ich das richtig? Für mich sieht das wenn ich die zusammenlege am Ende so aus, wie eine Zwiebel... Aber auf welches Objekt soll das hinaus gehen?
Wie kann man das beschreiben?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant  
Beitrag No.8 im Thread
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HelLeon
J

$u+iv$ ist $f$. Und das bedeutet, dass einer der Faktoren $0$ sein muss.
Also nehmen wir an, dass $u+iv \neq 0$ ist, da es sonst ohnehin konstant wäre.
Dann muss also $v_y-iv_x=0$ sein, was bedeutet dass $v_y=iv_x$. Und dies ist nur erfüllt, wenn beide Seiten 0 sind, da ja weder in $v_x$ noch in $v_y$ ein $i$ auftauchen kann. Damit ist der Imaginärteil konstant. Und mit den C.-R. Ungleichungen können wir das auch für $u$ folgern, womit der Realteil konstant wäre. Stimmt das so?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-15
HelLeon
J

Oder geht es darum, dass $(2u+2iv)(v_y-iv_x)=0$ ist?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-15
HelLeon
J

Die Ableitung ist 0, da $|f(z)|$ ja konstant ist.
Hieraus erhalten wir dann, dass $2u(v_y-iv_x)=-2iv(v_y-iv_x)$. Aber was bringt uns das dann?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-15
HelLeon
J

Vor die Klammer oder in die Klammer nach dem Minus?
Ich wollte vor $u_x$ ein $i$ schreiben, hatte nur vergessen es einzutippen.

Wenn ich für den letzten Term in der letzten Gleichung die Cauchy-Riemann nicht verwende und das $i$ an die Stelle füge, an die ich denke dass es gehört würde ich erhalten:

$2u(v_y-iv_x)-2v(u_y-iv_y)$. Ist das richtig oder meintest du, dass das $i$ wirklich nach $2v$ vor die Klammer sollte? Wenn ja, Warum? Und wie muss dann weitergemacht werden?

Und wenn das so richtig ist wie ich es jetzt in der Zeile gerade geschrieben  habe, wie geht es weiter?




Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Konstantes f(z) wenn Betrag von f(z) konstant  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-14
HelLeon
J

Hallo,

ich probiere gerade zu zeigen, dass wenn eine komplexe Funktion $f(z)$ analytisch auf $D$ ist und $|f(z)|$ konstant, dass dann auch $f(z)$ konstant ist.
Und dabei sollen nur Cauchy-Riemann-Gleichungen verwendet werden.

Wie zeigt man das richtig?

Ich schreibe hier mal meine Umformungen auf. Ich komme am Ende aber leider nicht mehr weiter.

$\frac{d}{dz} |f(z)|^2 = \frac{\partial}{\partial z}(u^2+v^2) =\frac{\partial}{\partial x}(u^2+v^2)+i \frac{\partial}{\partial y}(u^2+v^2)$

Das dann abgeleitet mit der Kettenregel ist

$=2uu_x+2vv_x+i(2uu_y+2vv_y)$.
Jetzt weiß ich nicht mehr weiter. Ich habe die Cauchy-Riemann Gleichungen eingesetzt und umgeformt. Das ergab
$2u(v_y-iv_x)-2v(u_y-u_x)$.

Ist der Weg überhaupt richtig? Wenn ja, wie geht es weiter? Wenn nicht, wie geht es sonst?

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
Definitionsbereich komplexer Funktion und Stromlinie  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-11
HelLeon
J

Ist der Bereich in dem $f(z)=z+ \frac{b^2}{z}$ mit $b>0$ analytisch ist gegeben durch $z \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$? Oder wie wäre er sonst gegeben?
Und wie kann man zeigen, dass für $z=re^{i \theta}$ die Stromlinie $Im(f(z))=c, c\in \mathbb{R}$ mit $r(\theta)=\frac{c}{2\sin\theta}+\sqrt{a^2+\frac{c^2}{4\sin^2(\theta)}}$?
Ich würde erstmal versuchen den Imaginärteil von $f(z)$ in Polarkoordinaten darzustellen, aber wie dann weiter?

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: HelLeon
|z|/|w|=|z/w|  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
HelLeon
 

Also $\frac{|e^{a+ib}|}{|e^{x+ib}|}=\frac{|e^{a}|}{|e^{x}|}=|e^{a-x}|$, wobei das letzte Gleichheitszeichen dann aus den Potenzgestzen folgt und weil die e-Funktion ja sowieso nur Werte größer null annimmt.

Ist das richtig so?

Und die elegantere Version erkenne ich leider nicht...
 

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