Trick würde ich es nicht nennen. Ich schau mir an, wohin ich kommen will, also was zu zeigen ist. Und dann (wie hier) klammere ich so viel wie möglich aus, was im Ergebnis stehen soll und hoffe, der Rest ergibt sich.
Klar mag es schwer zu erkennen sein, dass man in den ersten Summanden 2mal die (-1) reinzieht, aber nur so kommt man auf den Exponenten (n+1). Genauso verhält es sich mit dem Faktoren 1/2 und 2. Beide Male "schummle" ich eine Eins als Faktor rein, die ja nix ändert. Aber wenn man das Ergebnis kennt, kann man rumexperimentieren.
Ist wie beim Radfahren, nur Übung macht den Meister (und nicht nur dort).
Fallunterscheidung, ob n gerade oder nicht. Dann müsste man zwei Ind.-Anfänge (1 und 2) und zwei Ind.-schlüsse machen.
Gruß
Jürgen
EDIT: habs auch grade gesehen, es geht auch ohne Fallunterscheidung.
Aber eben dann auch ohne Vorzeichenfehler bitte.
[ Nachricht wurde editiert von Juergen am 28.10.2010 16:41:53 ]
der erste Teil ist so in Ordnung.
Der zweite Teil ist falsch. Erstens kannst du die Funktion nicht in Abhängigkeit von A und B definieren, die ist nämlich zuerst "da" und A und B sollen beliebig gewählte Teilmengen von X sein.
Zweitens hast du die Antwort doch selber schon gegeben. bei injektiven Funktionen hast du stets Mengengleichheit. Und das wäre zu zeigen.
Auch nicht schwer, denn du brauchst ja nur noch die Rückrichtung:
\ Sei y \el f(A) \cap f(B). Dann gibt es ein a\el A mit y=f(a) sowie ein b\el B mit y=f(b). Damit gilt auch f(a)=f(b). Jetzt kommt die Injektivität ins Spiel und dann bist du schon fast bei f(A) \cap f(B) \subset f(A \cap B), was zu zeigen war. Das bekommst du alleine auf die Reihe.
Eventuell sollte man in beiden Fällen die leeren Mengen mit betrachten. Denn es könnte sein, dass f(A) \cap f(B) = \0 , dann gibt es kein obiges y. Aber dann ist die Teilmengenbeziehung trivial.
Analog im anderen Fall: Falls A \cap B = \0, dann f(A \cap B) = \0 nach Definition und wieder triviale Teilmengenbeziehung.
da keiner der bisher Antworteten zu Zeit online ist, versuche ich dir das mal aufzudröseln:
\ Zuerst: ''Hat meine Rechnerei was mit der Aufgabe zu tun?''
Nein, da sie auch noch fehlerhaft ist. Was du in Beitrag Nr.8 nach dem roten ''auf beiden Seiten + abs(u-v)'' schreibst ist falsch, da die Summe zweier Beträge eben größer ist als der Betrag der Summe. Damit stimmt deine rechte Seite in der Folgezeile nicht.
Dann: LutzL meinte, dass deine Aufgabe so ähnlich__ zu beweisen ist, wie die umgedrehte Dreiecksungl., nicht die Verwendung dieser Ungl.
Nun zur Aufgabe:
Es sind 5 ''Tricks'' dabei \(auch wenn das keiner mehr so nennt, der ein paar solcher Beweise gemacht hat\)
1. Wie krieg ich den Doppelbetrag auf der linken__ Seite weg? Also abs(abs(x-y)-abs(u-v)) Durch Fallunterscheidung, denn es ist entweder a\) abs(x-y)>=abs(u-v), dann ist abs(x-y)-abs(u-v)>=0 und der Betrag ''außenrum'' kann weggelassen werden. Oder es ist b\) abs(x-y)<abs(u-v), dann ist abs(x-y)-abs(u-v)<0 und somit abs(abs(x-y)-abs(u-v))=abs(u-v)-abs(x-y) \(denn abs(-5)=-(-5)=5 \) Jetzt müssen wir zwar beide Fälle getrennt beweisen, haben aber den Doppelbetrag weg!!
2. Wir gehen weg von der linken Seite, und fangen ganz anders an. Das wird das schwierigste sein fürs Verstehen, nämlich warum? Antwort1: weil der Beweis eben so geht. (unbefriedigend) Antwort2: erkenne, dass wenn man im Fall a\) auf beiden Seiten abs(u-v) addiert \(siehe auch Punkt 5\), steht da abs(x-y)<=abs(x-u)+abs(y-v)+abs(u-v) und das sieht doch viel besser aus: Summe__ von 3 Beträgen, nix mehr Doppelbetrag und Subtraktion! (zugegeben schwer, aber erlernbar)
3. Reinschummeln von ''günstigen'' Nullen: Man verändert nix, wenn man (ob im Betrag wie hier oder nicht) die gleiche Zahl addiert und gleich wieder subtrahiert. Nur sollte das sinnvoll erscheinen: abs(x-y)=abs(x-u+u-v+v-y) Wozu? Nun kann man Klammern um die einzelnen Differenzen setzen und hat den Betrag von drei Summanden__!
4. Mehrmaliges Anwenden der Dreicksungleichung. Es gilt doch, wie du selber schreibst: abs(a+b)<=abs(a)+abs(b) Das kann man auf mehrere Summanden verallgemeinern! abs(a+b+c)=abs((a+b)+c)<=abs(a+b)+abs(c)<=abs(a)+abs(b)+abs(c) Klappt natürlich auch mit 4,5,6,... Summanden, nur endlich viele müssen es sein. Damit kommst du auf die Ungleichungskette von LutzL in Beitrag Nr.3. Jetzt schreib die ganz linke und die ganz rechte Seite der Kette nochmal hin und setzt dazwischen das ''<=''. Wie in Punkt 2 hingeschrieben.
5. In einer Ungleichung darf man auf beiden Seiten die gleiche Zahl addieren oder subtrahieren. Dann kommst du auf den ersten Fall. Und der zweite geht genauso, du musst nur abs(x-u)=abs(u-x) beachten.
Hoffentlich ist es jetzt klarer geworden.
Diese "Tricks" gehören zum täglichen Brot, wenn man sowas zeigen muss.
Du solltest sie dir also gut einprägen.
Nur zur Info: Im Übrigen klappt die Rechnung ganz analog auch für andere Dinge, bei denen eine Addition, Subtraktion und sowas wie ein Betrag (das nennt man dann Norm) definiert sind, z.B. bei Vektoren.
Da ist dann der Betrag die Länge des Vektors. Und hiervon kommen meines Wissens nach auch die Begriffe Dreiecks- und Vierecksungleichung.
\ Punkt 1: das Ausrufezeichen hinter den Variablen bezeichnet die Fakultätsfunktion. Dabei werden alle natürlichen Zahlen beginnend mit der 1 und endend mit der Zahl, hinter der das Ausrufezeichen steht, multipliziert. Also 4! =1*2*3*4=24. Es wird zusätzlich definiert, dass 0! =1 ist. (Warum das sinnvoll ist, erkennst du zum Schluss.)
Punkt 2: das ''k'' ist die Anzahl der zu verteilenden Teilchen. Was dich vielleicht durcheinander bringt, ist die Bedingung k_1 + k_2 + ... + k_n = k. Das besagt aber nicht anderes, als dass die Summe der an Ende in jeder Zelle gelandeten Teilchen genau die Anzahl Teilchen vor der Verteilung sein soll. Mit anderen Worten, alle__ Teilchen sollen verteilt sein und keins__ hinzu geschummelt werden.
Punkt 3: das bei der Division von k! durch das Produkt der (k_i)! tatsächlich eine natürliche Zahl rauskommt, ist wirklich nicht auf den ersten Blick zu erkennen. Ich hab da zwar mal einen Beweis gesehen, finde aber dessen Quelle nicht. Übrigens wird der Bruch auch als ''Multinomialkoeffizient'' bezeichent, vielleicht findest du da etwas hier auf dem Planeten oder im Netz. Eventuell kennst du den Begriff (im Spezialfall n=2) auch unter Binomialkoeffizient.
Punkt 4: wie kommt man auf die Formel? Überleg dir, wie viele Möglichkeiten es gibt, k (unterscheidbare__) Teilchen anzuordnen, also sozusagen die Zahlen 1,2,3 usw. bis k in beliebiger Reihenfolge hinzuschreiben. Dabei ist es erstmal eine neue Anordnung, wenn auch nur zwei Zahlen ihren Platz getauscht haben, bei mehr Zahlen erst recht. Nun kommt die Zusatzbedingung ''Eine Anordnung innerhalb einer Zelle werde nicht berücksichtigt'' ins Spiel. Dadurch werden jetzt bestimmte unserer Anordnungen als gleich identifiziert. Nämlich die bei der mehrere Teilchen in die gleiche Zelle kommen (also nur ihren Platz untereinander getauscht haben). Und da fallen eben jeweils (k_i)! Anordnungen raus.
Punkt 5: durch die Vereinbarung 0! =1 kannst du jetzt eine einzige Formel benutzen und musst nicht für jede leere Zelle einen Spezialfall basteln.
Gruß
Jürgen
PS als Ergänzung zu Punkt 3&4: in einem alten Thread hier ist erstens ein anderer Lösungsweg und zweitens in Beitrag 9 eine Erklärung für immer mögliche Kürzen der Fakultäten gegeben.
[ Nachricht wurde editiert von Juergen am 22.10.2009 16:58:25 ]
wenn in der A-Spalte die Beträge und in der B-Spalte das "ja" steht (z.B. in 100 Zeilen), dann klappt:
Excel
SUMMEWENN(B1:B100;"ja";A1:A100)
zumindest bei OpenOffice (das hab ich hier), bei Excel könnte da die Schreibweise leicht anders sein (Argumente vertauscht oder Kommas statt Semikolons, da bin ich mir nicht sicher).
also wenn ich nach kurzem Googeln <a href=http://books.google.de/books?id=z-4AkoaCzWcC&pg=PA80&lpg=PA80&dq=Kommutatoren+berechnen+Operatoren+linear&source=web&ots=lEmhdKKxG2&sig=yippCBTvcC4e8C83GYbrJPeM7J8&hl=de&sa=X&oi=book_result&resnum=3&ct=result target=_blank>dies hier gefunden habe, denke ich schon, dass die Aufgabe auf die konkreten Operatoren aus deinem anderen Post anzuwenden ist.
\ Isotonie (hier speziell des Wahrscheinlichkeitsmaßes, gilt aber für jedes Maß), manchmal auch Monotonie genannt: Sind E und F Mengen mit E \subseteq F, so ist P(E)<=P(F)
Ich schiebe (durch diesen Beitrag) deine Frage mal wieder etwas in der Liste hoch.
Das einzige, was mir jetzt auf die Schnelle auffällt: in der Binomialverteilung wäre doch das (zufällige) N mit drin. Vielleicht hilft es, das Ganze als Summe mit zufällig vielen Summanden anzusehen, welche Null-Eins verteilt sind.
\ zur b) aus der stoch. unabh. von A mit jeder Teilmenge von B folgt P(A)=1 oder P(A)=0: die stoch. Unabh. P(A\cap B)=P(A)*P(B) gilt insbesondere für B=A, schreib mal hin, was sich da ergibt
ist P(A)=0, so folgt wegen der Isotonie P(A\cap B)=0 ist P(A)=1, folgt wegen Isotonie P(A\union B)=1 also P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\union B)=1+P(B)-1=P(B)
\ aufgrund der stochast. Unabh. ist doch Cov(X,Y)=0 und Var(X\pm Y)=Var(X)\pm Var(Y)
Damit entsteht ein Bruch, in dem nur noch Var(X) und Var(Y) vorkommen.
Gruß
Jürgen
PS: nachdem ich deine andere Frage ("Kovarianz") gelesen habe: Cov(X,Y)=0 braucht man gar nicht. Dort hattest du es schon (fast) richtig.
[ Nachricht wurde editiert von Juergen am 11.12.2008 14:17:09 ]
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