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Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Ableitung in einem Punkt als Funktion definiert  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-04
Karankos99
 

Hallo,

Man unterscheidet ja die gesamte Ableitung $f': U \to L(\mathbb R^n, \mathbb R^m)$ von der Ableitung in einem Punkt $x$ mit $f'(x) \in L(\mathbb R^n, \mathbb R^m)$. Ich sehe aber nicht wo $f'(x)$ eine Funktion ist, wenn ich einen festen Wert $x$ eingesetzt habe, es sei denn eine Funktion mit einem konstanten Wert...

Wie ist eine Ableitung nur fur einen Punkt definiert?

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum Summe zweier Integrale 0 ergeben soll  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-11
Karankos99
 

Warum gilt
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx=0$?

"Wegen Spiegelung" soll die Begründung sein. Das erkenne ich aber nicht ganz.
Ich hab das mal so probiert:
$\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{x}^{\infty} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich im Bruch des zweiten Integrands wegen des Vorzeichens dann $x$ und $t$ vertauscht habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx +\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{x-t}dt dx$
wobei ich die Integralgrenzen beim zweiten Integral vertauscht habe und somit das Vorzeichen wieder umgekehrt habe.
$=\int_{\mathbb{R}}\int_{-\infty}^x \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx -\int_{\mathbb{R}}\int_{\infty}^{x} \frac{h(x)h(t)}{t-x}dt dx$
wobei ich $t$ und $x$ im Bruch wieder zurueckgetauscht habe und deswegen wieder ein negatives Vorzeichen vor dem zweiten Integral habe.

Ich erkenne jetzt nicht, warum das $0$ sein soll, denn die Integralgrenzen beider Integrale stimmen ja nicht ueberein.... Haetten wir im zweiten Integral $-\infty$ als untere Grenze wuerde ich es sehen.
Oder habe ich was vergessen und wir haben eigentlich $-\infty$ an der einen Grenze des Integrals?

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Zetafunktion für Re(z)>1 nicht gleichmäßig konvergent  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
Karankos99
 

Hallo Buri und Hallo weird,

Danke für eure Antworten!

Also das mit der gleichmäßigen Konvergenz für $Re(z) \geq 1 + \epsilon$ verstehe ich wegen der konvergenten Majorante und dem Majorantenkriterium.

Aber warum es für $Re(z)>1$ nicht gilt verstehe ich immer noch nicht. Nach der Definition müsste ich also ein $\epsilon >0$ finden, so dass für alle $N$ es ein $z$ mit $Re(z)>1$ gilt, dass für alle $n \geq N$: $\sum_{k=1}^{\infty} n^{-z} - \sum_{k=1}^{n} n^{-z}| \geq \epsilon$. Aber wie finde ich so ein $\epsilon$? Oder wie muss ich das sonst mit der Definition zeigen?

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Zetafunktion für Re(z)>1 nicht gleichmäßig konvergent  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
Karankos99
 

Hallo,

nachdem ich mich damit beschäftigt habe, warum die Zetafunktion $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n^z}$ für $Re(z) \geq 1+\epsilon$ gleichmäßig und absolut konvergiert, habe ich jetzt gelesen, dass sie auf $Re(z)>1$ nicht gleichmäßig konvergiert. Kann mir jemand erklären, warum sie für $Re(z)>1$ nicht gleichmäßig konvergiert?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Abgeschlossene Umgebung konvex  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-06
Karankos99
 

Hmm. Also erhalten wir $|(\lambda z +(1-\lambda) z')-z_0|=|\lambda z -\lambda z_0 +z'+\lambda z_0 - \lambda z' -z_0|$?
Ich sehe es nicht, weil ich die einzelnen Terme jetzt mit $M$ abschätzen könnte, sie ja aber in der Summe mit $3M$ abgeschätzt werden würden....
Also, was ich meine ist, dass man ja jetzt die Gleichung noch mit $\lambda |z-z_0| +\lambda |z_0-z'| +|z'-z_0| \leq 3M$ abschätzen könnte, aber wir ja $M$ alleine auf der rechten Seite stehen haben müssten....

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Abgeschlossene Umgebung konvex  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-06
Karankos99
 

Ahja, also wir erhalten $\lambda|z-z_0|$, was ja durch die Wahl von $\lambda$ kleiner gleich $|z-z_0|$ ist.
Hmm, aber für beliebige $z,z' \in B$ betrachten wir ja dann
$|(\lambda z+(1-\lambda)z')-z_0|$. Da können wir das ja hier wegen $z'$ nicht so vereinfachen... mit der Dreiecksungleichung könnte man das mit $\lambda |z-z'|+|z-z_0|$ abschätzen. Aber ich sehe auch nicht wie das weiterhilft... bringt das was? Oder wie sonst?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Abgeschlossene Umgebung konvex  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-05
Karankos99
 

Also es ist ja klar, dass die Punkte auf der Linie ja eine kleinere Entfernung zu $z_0$ haben und deswegen auch in der Menge enthalten sind. Also, dass gilt  $|(\lambda z +(1-\lambda)z_0)-z_0| \leq |z-z_0| \leq M$ für $0 \leq \lambda \leq 1$. Aber wie begründet man das mathematisch?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Abgeschlossene Umgebung konvex  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-05
Karankos99
 

Wie kann man zeigen, dass die Menge $\{z \in \mathbb{C}:|z-z_0|<M\}$ konvex ist?

Vorstellen kann ich mir das, weil wir ja praktisch in einem abgeschlossenen Kreis sind und dann eben auch die ganze Linie $\lambda z +(1-\lambda)z_0$ in der Menge enthalten sein muss. Aber wie kann man das formal zeigen?

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Umformungen 2log(i) = 2(ln(1)+i(5pi/2)) und |exp((x+iy)^2)| = |exp(x^2-y^2)+i2xy|  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-08
Karankos99
 

Hallo,

ich habe mir gerade ein paar Umformungen angeschaut und frage mich in einer Zeile, warum $2\log(i)=2(\ln(1)+i5\frac{\pi}{2})$ für $r>0$ und $\frac{3\pi}{4}<\theta<\frac{9\pi}{4}$.

Mir ist klar, dass $\log(z)=\ln(r)+i\theta$, aber was ich mich frage ist wie die $\frac{5\pi}{2}$ zu Stande kommen.

(Und wenn man im Vergleich den Bereich $r>0$ und $\frac{\pi}{4}<\theta<\frac{9\pi}{4}$ betrachtet, warum dann für $2\log(i)=2(\ln(1)+i\frac{\pi}{2})$ gilt.)

Und in einer anderen Umformung frage ich mich warum $|e^{(x+iy)^2}|=|e^{x^2-y^2}+i2xy|$.
Was ich mich hier frage ist, warum man $i2xy$ aus der Potenz runternehmen konnte.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Beweis von singulären Punkten und harmonischen Funktionen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-01
Karankos99
 

Hallo, ich möchte für drei Funktionen die singulären Punkte bestimmen und zeigen, dass die Funktionen an allen anderen Stellen analytisch sind.

Das mit den singulären Punkten habe ich denke ich verstanden. Aber wie kann ich zeigen, dass sie ansonsten harmonisch sind?

1. $f(z)=\frac{2z+1}{z(z^2+1)}$
Als singuläre Punkte habe ich hier 0, i und -i.

2. $f(z)=\frac{z^3+i}{z^2-3z+2}$
Als singuläre Punkte habe ich 1 und 2.

3. $f(z)=\frac{z^2+1}{(z+2)(z^2+2z+2)}$
Als singuläre Punkte habe ich -2, -1+i, 1+i.

Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass die Funktionen an den restlichen anderen Stellen harmonisch sind?

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
d/dz z^n = nz^{n-1} für negatives n  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-24
Karankos99
 

Hallo Thomas,

warum von $\frac{1}{z^{-n}}$? Das ist doch das gleiche, wie $z^n$ und da kommt auch $nz^{n-1}$ für raus...

Hallo Triceratops,

oh ja, denke schon.

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
d/dz z^n = nz^{n-1} für negatives n  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-23
Karankos99
 

Hallo,
wie kann man zeigen, dass
$\frac{d}{dz} z^{n} = nz^{n-1}$ für negative $n \in \mathbb{N}$ und $z \in \mathbb{C} \setminus 0$
und dabei die Quotientenregel verwenden?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
Karankos99
 

Okay, Danke. :D Also 0 weil man als arg(0) auch Werte größer $\frac{\pi}{4}$ und kleiner $0$ wählen kann...

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
Karankos99
 

Ah okay. Mit dem Radius ergibt das Sinn für mich. Danke.

Hmm. Wir haben doch nur $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$ erwähnt. Das ist ein Randpunkt. Aber der ist doch auch in der Menge enthalten, weil ja gilt $arg(z)=\frac{\pi}{4}\leq \frac{\pi}{4}$. Oder warum nicht?

Ansonsten hatte ich nur in der Zeichnung $\frac{\sqrt{2}}{2}$ geschrieben, aber der ist ja auf jeden Fall nicht gesucht.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
Karankos99
 

Eigentlich stelle ich mir $\epsilon$-Umgebungen als Kreise vor, aber da wir im Komplexen sind und $\epsilon$ ja reell ist, habe ich das als Intervall eingezeichnet.... Aber gut. Wenn das $\epsilon$ 2-dimensional betrachtet wird, kann ich einsehen, dass es ein Kreis ist und, dass $z$ ein Randpunkt ist.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
Karankos99
 

Ist die Menge, die ich mir vorstelle richtig?

Hier ein Bild.


Ich dachte $z=1$ sei ein innerer Punkt, da es immer eine Epsilon-Umgebung gibt, die in der Menge enthalten ist. Und die habe ich mit grün markiert.
Da das Epsilon ja reell ist, kommen wir ja nicht in den darunter liegenden Quadranten...
Warum ist das denn dennoch ein Randpunkt?

Und dann benötige ich noch einen Randpunkt, der nicht in der Menge enthalten ist... Welcher ist das denn? Ich kann den gar nicht in der Menge erkennen und ich weiß auch gar nicht wie ich den finden könnte...



Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-18
Karankos99
 

Hallo weird,

Danke!

Als anderen Punkt geht dann z.B. $z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$, oder? Denn wenn wir diesen Wert um ein beliebiges $\epsilon$ verschieben, sind die Werte mit kleinerem Realteil nicht mehr in der Menge enthalten....

Richtig?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Warum ist die Menge 0<=arg(z)<=pi/4 weder offen noch abgeschlossen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-16
Karankos99
 

Hallo,

ich habe gelesen, dass die Menge $ \{z|0 \leq arg(z) \leq \frac{\pi}{4}\} $, $(z \neq 0)$ weder offen, noch abgeschlossen ist. Ich habe sie mir auch schon aufgemalt.
Aber warum gilt sie als weder offen noch abgeschlossen?


Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Niveaumengen zweier Funktionen orthogonal  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-15
Karankos99
J

Ja macht Sinn danke :D

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Karankos99
Niveaumengen zweier Funktionen orthogonal  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-15
Karankos99
J

Es ist bekannt, dass der Gradient orthogonal zur Niveaumenge ist. Hilft das was?
 

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