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Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Gruppen und Hom (Knobelei aus altem Thread von Gockel)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-24 18:56
Kezer
 

Zum Festhalten: Auf MSE/349855 haben wir einen Beweis gefunden.

Sei $h(X,A)$ die Anzahl der Homomorphismen $X \to A$ und $i(X,A)$ die Anzahl der injektiven Homomorphismen $X \to A$. Indem wir durch den Kern teilen, erhalten wir $$ h(X,A) = \sum_{N \trianglelefteq X} i(X/N,A).$$ Wir wollen $i(X,A) = i(X,B)$ für alle endlichen Gruppen $X$ zeigen.

Induktion nach $|X|$. Für $X = \{e \}$ ist es klar. Der Induktionsschritt folgt über $$ i(X,A) + \sum_{\substack{N \trianglelefteq X \\ N \neq \{e \}}} i(X/N, A) = h(X,A) = h(X,B) = i(X,B) + \sum_{\substack{N \trianglelefteq X \\ N \neq \{e \}}} i(X/N, B). $$ Nach Induktionsvoraussetzung ist $i(X/N, A) =  i(X/N, B)$ für $N \neq \{e \}$. Also $i(X,A) = i(X,B)$.

Nun ist $i(A,B) = i(A,A) > 0$, wir sind also fertig. $\square$

Mein Argument für $|A| = |B|$ ging übrigens so: Wegen $h(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, A) = h(\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}, B)$ für alle $n \in \mathbb{N}$ ist die Anzahl der Ordnung $n$ Elemente in den Gruppen gleich. Daraus folgt bereits $|A| = |B|$. Allerdings reicht diese Beobachtung nicht für die Aufgabe nach MO/39848.

Andere Ideen oder Antworten auf die restlichen Fragen würden mich aber auch noch interessieren!

Matrizenrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathsmaths
Symmetrische, positiv definite Matrix  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-24 09:50
Kezer
J

Nein, natürlich nicht.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Intuition isotroper Vektoren  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-23 19:17
Kezer
 

Wenn es keine isotrope Basis für $\mathbb{R}^2$ existiert, dann gilt das aber nicht, oder?

Man kann ja etwa $Q(x,y) = x^2$ auf $\mathbb{R}^2$ wählen, dann wäre $(0,1)$ isotrop. Es existiert aber keine isotrope Basis, d.h. $Q$ ist nicht äquivalent zu $x^2-y^2$.

Wenn eine isotrope Basis existiert, ist es aber ein interessanter Kommentar, über den ich so noch nicht nachgedacht habe. Schließlich ist die geometrische Form $x^2-y^2 = 0$ eher leicht. Danke!

(Die Abhängigkeit von der Wahl der isotropen Basis könnte bei einem $\mathbb{R}^n$ mit $n > 2$ allerdings auch ein wenig anstrengend werden.)

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Intuition isotroper Vektoren  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-23 16:49
Kezer
 

Danke, Nuramon! Ich denke auch, dass die Bezeichnung davon kommt.

Allerdings weiß ich leider noch nicht, wie man über einzelne isotrope Elemente denken sollte.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Intuition isotroper Vektoren  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-23 15:55
Kezer
 

Hey,

sei $k$ ein Körper mit $\operatorname{char}{k} \neq 2$, $V$ ein $k$-Vektorraum und $Q : V \times V \to k$ eine quadratische Form. Ein quadratischer Modul $(V,Q)$ ist ein Vektorraum mit einer quadratischen Form.

Ein Element $x \in V$ heißt isotrop, wenn $Q(x) = 0$ gilt.

Gibt es eine Möglichkeit, sich solche Elemente vorzustellen - z.B. geometrisch?

Sei $\langle x,y \rangle = \frac12(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))$ die zu $Q$ korrespondierende symmetrische Bilinearform. Ein quadratischer Modul mit einer Basis aus zwei isotropen Elementen $x,y$ mit $\langle x,y \rangle \neq 0$ nennt man auch hyperbolische Ebene.

Vielleicht gibt es also einen Zusammenhang zur hyperbolischen Geometrie? Leider kann ich (derzeit) keine hyperbolische Geometrie, also weiß ich es leider nicht.

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Rechnung Basiswechsel quadratischer Form  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21 19:58
Kezer
J

So etwas habe ich auch vermutet, aber nicht genauer im Buch finden können, was gemeint ist. Aber ja, so werde ich es tun, bislang sollten die Argumente alle auch mit $X^T A X$ gehen.

Danke!

Komplexe Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Komplexe Zahlen Betrag Rechnung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21 13:58
Kezer
J

Ohne Kontext ist das schwer zu sagen. In dem Argument scheint das Skalieren von $x$ keine Auswirkung zu haben, man ersetzt dort $x$ durch $\frac{x}{|x|}$.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Induktion-Bsp Folge Definiton  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21 13:55
Kezer
 

Quadrieren ist hier eine Äquivalenzumformung von Ungleichungen, weil beide Seiten positiv sind (Zeile 2 und 3).

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Induktion-Bsp Folge Definiton  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 20:55
Kezer
 

Du warst die nicht sicher, ob Induktion funktioniert. Die einzige Möglichkeit das herauszufinden, ist es auszuprobieren.

Starren bringt übrigens nichts. Schreibe etwas auf, egal wie dumm es erscheinen mag. Schreibe die Definition auf, schreibe das Beweisziel auf, schreibe eine triviale Umformung auf, etc. etc. Manchmal/Oft liefern das eine neue Idee.

Schreiben hilft viel öfter als man es erwartet, doch viele Anfänger machen den Fehler, nur auf das Blatt zu starren.

Das ist eigentlich der gleiche Tipp wie der obere: probiere einfach etwas aus. Das gilt nicht nur in der Mathematik, aufprobieren hilft immer, wenn man Probleme lösen möchte.

2020-10-20 20:41 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Was meinst du mit (a)?

Teilaufgabe (a).

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Induktion-Bsp Folge Definiton  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 20:35
Kezer
 

Ja, gut. 👍

Du solltest aber dir angewöhnen, Implikations- und Äquivalenzpfeile zu benutzen.

2020-10-20 19:30 - Spedex im Themenstart schreibt:
Ich kann aus der Fragenstellung nicht herauslesen, ob ich da jetzt das Induktionsprinzip verwenden soll, oder nicht.

So betreibt man keine Mathematik, du sollst selber herausfinden, wie du einen Beweis führst. Wenn du dir nicht sicher bist, ob Induktion funktioniert, dann probiere es doch einfach mal aus. Wenn es funktioniert, dann ist es cool und wenn nicht, lernst du, wo die Grenzen von Induktion liegen.

Weitere Frage: Ist dir klar, in welchem Schritt du (a) verwendest?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Ungleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Quadratische Ungleichung Beweisungs-Bsp  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 16:53
Kezer
J

Deine Folgerung $b_n^2 - 6b_n +1 \geq 0 \implies 5 \geq b_n \geq 1$ ergibt keinen Sinn, setze z.B. mal $135901572095709$ ein.

Zeichne mal eine Skizze, um zu verstehen, was die Nullstellen einer quadratischen Gleichung bedeuten.

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Rechnung Basiswechsel quadratischer Form  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 15:11
Kezer
J

Hi,

ich könnte Hilfe bei einer kurzen Rechnung in der linearen Algebra brauchen.

Sei $V$ ein $n$-dimensionaler Vektorraum. Eine symmetrische Bilinearform $\langle -,- \rangle : V \times V \to k$ zu einer gegebenen Basis $(e_i)_{i=1, \dots, n}$ wird einer symmetrischen Matrix $A = (a_{ij})$ mit $a_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle$ zugeordnet.

Nun behauptet Serre in "A Course in Arithmetic" auf S. 27: Wenn wir die Basis $(e_i)$ durch eine invertierbare Matrix $X$ wechseln, dann ist die Matrix zur neuen Basis gegeben durch $XAX^T$.

Ich habe das nun aber zweimal nachgerechnet und erhalte immer $X^T A X$. Kommt ihr auch auf $X^T A X$?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LukasNiessen
Unterkörper mindestens Grad p  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 14:43
Kezer
J

Falls $[K(a):K] < p$, dann ist $[K(a):K] = 1$, daher $a \in K$ und somit $\varphi(a) = a$.

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Beweistechnik Reihe mit Wurzel  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 14:34
Kezer
 

Und bei dem ursprünglichen Ansatz entweder Äquivalenzumformungen bis es klar ist (wie eben in dem Link) oder ein wenig geschickter: $$ \frac{1}{\sqrt{n+1}} \geq \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \sqrt{n+1} - \sqrt{n}.$$ (Das erhält man durch Rückwärtsarbeiten.)

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Beweistechnik Reihe mit Wurzel  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 14:03
Kezer
 

Das ist ja schließlich dann noch zu beweisen.

(Der Beweis von DerEinfaeltige ist ohnehin viel schöner als der Induktionsansatz.)

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Beweistechnik Reihe mit Wurzel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 13:47
Kezer
 

Wenn du Induktion probierst, solltest du irgendwann die Induktionsvoraussetzung verwenden. Der naive Ansatz (wie du sie eigentlich schon dastehen hast) geht durch.

(Das ist eigentlich genau das, was du online gefunden hast. Man kann die Schlussfolgerung allerdings viel geschickter machen als der Antwortgeber dort.)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Wann A und A⁻¹ ähnlich?  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 08:58
Kezer
J

2020-10-20 08:06 - Gestath in Beitrag No. 12 schreibt:
2020-10-20 02:34 - Red_ in Beitrag No. 11 schreibt:
Wenn $K$ nicht algebraisch abgeschlossen ist, dann könntest du nicht unbedingt von Eigenwerten sprechen. Da du eine Aussage angibst die mit ,,für alle Eigenwerte" anfängt kann deine Aussage nicht stimmen ($A$ keine Eigenwerte und nicht ähnlich zu $A^{-1}$ wäre also ein Gegenbeispiel).
D.h. $K$ muss als algebraisch abgeschlossen angenommen werden.

Es könnte sein, dass dein Kriterium hinreichend ist (und vielleicht auch notwendig), aber ich möchte nicht die ganze JNF Theorie wiederholen ^^

Dann gib bitte ein Gegenbeispiel an. Das wäre von Interesse

Habe diesen Thread nicht genauer verfolgt, aber ein konkretes Gegenbeispiel geht z.B. so: Die Matrizen $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} \quad \text{und} \quad A^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -\frac12 \\ \frac12 & 0 \end{pmatrix}$$ haben jeweils keine Eigenwerte über $\mathbb{R}$, sind aber nicht ähnlich. Denn wären sie ähnlich über $\mathbb{R}$, so wären sie auch ähnlich über $\mathbb{C}$, wo sie aber unterschiedliche Eigenwerte haben.

Man sollte anmerken, dass es für ein solches Gegenbeispiel notwendig ist, dass die Matrizen nicht ähnlich über $\mathbb{C}$ sind. Siehe MP/248323 oder MSE/57242.

Induktion
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Alternativer Lösungsansatz für Induktionsbeispiel.  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 19:04
Kezer
 

2020-10-19 18:57 - cramilu in Beitrag No. 4 schreibt:
Für Deinen Schritt  "\(2^n\,\cdot\,(n+1)\: >\:2^n\,\cdot\,2
\)"  hätte man uns seinerzeit im Studium wohl mindestens einen halben Punkt für "mangelnde Sorgfalt" abgezogen, denn  "\(2^n\,\cdot\,(n+1)\: \geqq\:2^n\,\cdot\,2\)"  würde ausreichen!

Dann hättest du dich damals gerne beschweren können, denn offenbar ist die Aussage $2^n (n+1) > 2^n \cdot 2$ stärker als die Aussage $2^n (n+1) \geq 2^n \cdot 2$. Das hat nichts mit mangelnder Sorgfalt zu tun.

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Unschlüssigkeit Definition Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:11
Kezer
J

Wahrscheinlich meinst du $(1, \infty)$.

Was genau verstehst du nicht? Du hast doch hier bewiesen, dass $(1, \infty)$ nicht abgeschlossen ist.

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Elements of Infinity-Category Theory von Riehl, Verity  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-18 12:14
Kezer
J

Ein neues Werk zu $\infty$-Kategorien von Emily Riehl und Dominic Verity: Elements of $\infty$-Category Theory. Ist bestimmt ganz nett parallel zu Luries HTT zu lesen. :-)
 

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