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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Zusammenhangskomponente, Homöomorphismus  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-03
LisaB
 

damit müsste die Aussage gezeigt sein, richtig?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Zusammenhangskomponente, Homöomorphismus  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-02
LisaB
 

Sei \( f: X \to Y \) ein Homöomorphismus und \( \bar{X}  \) eine Zusammenhangskomponente
von \( X \). Dann bildet \( \bar{X}  \) auf eine Zusammenhangskomponente von \( Y \) ab
(d.h. \(   f(\bar{X})  \) kann nicht 2 oder mehr Komponenten schneiden). Angenommen
\(   f(\bar{X})  \) schneidet die Zusammenhangskomponenten \( Y_1, ..., Y_n     \). Dann erhalten
wir \(  \bar{X} =  (f^{-1}(Y_1) \cap \bar{X}) \cup ... \cup (f^{-1}(Y_n) \cap \bar{X})   \). Jede Menge
in der Vereinigung ist relativ offen in \( \bar{X}  \) , sie sind disjunkt (da \( Y_i \) disjunkt ist) und alle
nicht leer. Folglich ist  \( \bar{X}  \)  nicht zusammenhängend und wir erhalten einen Widerspruch.

Ähnlich kann man dies auch zeigen für  \( f^{-1}: Y \to X \).

Folglich ist \( f \) eine Bijektion zwischen den Komponenten von \( X \) und \( Y \), somit müssen die
zwei Räume also auch dieselbe Anzahl an Komponenten haben.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Zusammenhangskomponente, Homöomorphismus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-30
LisaB
 

Hallo,

Ich bin ganz neu im Bereich Topologie und versuche die folgende Aussage in meinem Buch zu beweisen:

\(  (X, \tau) \approx (Y, \nu)  \), d.h. \(  f: X \to Y  \) ist ein Homöomorphismus.
Ist nun \( \infty > \#(X)  \) = Anzahl der Zusammenhangskomponenten von \( X \),
dann ist \( \infty > \#(Y)  \) = Anzahl der Zusammenhangskomponenten von \( Y \) und \(  \#(X) = \#(Y)  \).

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Produkt zweier Topologie erzeugt durch Mengen der Form { U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2 }  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-16
LisaB
 

Hallo zusammen,

Wir haben die Produkttopologie wie folgt definiert:
Die Produkttopologie \( \tau_1 \times \tau_2 \) ist die kleinste Topologie auf \( X \times Y \),
sodass die Projektionsabbildungen \( p_1(x,y) = x \) und \( p_2(x,y) = y \) stetig sind.

Meine Frage ist nun, dass ich versuche zu zeigen, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \{ U \times V : U \in \tau_1, V \in \tau_2  \} \) erzeugt wird.

Ich sehe sofort, dass dies äquivalent dazu ist, dass \( \tau_1 \times \tau_2 \) durch \( \mathcal{W} := \{ U \times Y : U \in \tau_2 \} \cup \{ X \times V : V \in \tau_2 \} \) erzeugt wird.
Außerdem sind die Projektionen stetig, denn \( p_1^{-1}(U) = U \times Y \in \tau_1 \times \tau_2 \) und \( p_2^{-1}(V) = X \times V \in \tau_1 \times \tau_2 \).
Es folgt weiter, dass \( \mathcal{W} = p_1^{-1}(\tau_1) \cup p_2^{-1}(\tau_2) \).
Ist mein Ansatz soweit in Ordnung ?

Vielen Dank!

Primzahlen - sonstiges
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
unendlich viele Primzahlen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-23
LisaB
J

Es ist \( 1=\text{ggT}(m!,1) = \text{ggt}(m!,m!-1) \), d.h. \( m!-1 \) und \( m! \) sind teilerfremd und damit besitzen sie nicht die gleichen Primfaktoren.
Folglich ist \( p \) kein Teiler von \( m! \). Ich sehe nun aber nicht so ganz, was daraus folgen soll.

Primzahlen - sonstiges
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
unendlich viele Primzahlen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-23
LisaB
J

Hallo,

ich versuche zu beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Folgender Tipp ist gegeben:
Angenommen es gibt nur endlich viele Primzahlen, die Größte sei gegeben
durch \(m > 2\). Betrachten Sie nun die Primfaktoren von \(m!-1\).

Über jeglichen Hinweis bedanke ich mich!

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
kleinstes n - Chinesischer Restsatz Anwendung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-06
LisaB
 

Hallo!

Ich versuche das kleinste $n \in \mathbb{N}\setminus \{ 0 \}$ zu finden, sodass $n = 2 x^2 = 3y^3 = 5 z^5$ für $x,y,z \in \mathbb{Z}$. Kann ich diese Aussage mit dem Chinesischen Restsatz beweisen ?

Vielen Dank !

Zahlen - Darstellbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
quadratfreie Zahl - Darstellung  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-02
LisaB
J

Vielen Vielen Dank, ich sehe jetzt ein, dass wir einen Widerspruch erhalten, weil wir eine größere Quadratzahl ( \( (n*m)^2  \) ) gefunden hätten, die \( a \) teilt und das ist nicht möglich, da \( n^2 \) bereits der maximalste Teiler ist...

Zahlen - Darstellbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
quadratfreie Zahl - Darstellung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-02
LisaB
J

Wir nehmen also an, dass \(  \frac{a}{n^2} \) nicht quadratfrei ist und damit folgern wir einen Widerspruch zur Maximalität von \(n^2\) ?
Die Schritte sehe ich hier leider nicht ganz ein ...

Zahlen - Darstellbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
quadratfreie Zahl - Darstellung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-01
LisaB
J

und wie kann ich von der eindeutigen Darstellung aus weitermachen? Mir ist bewusst, dass dann mindestens zwei Primfaktoren (da \(a\) nicht quadratfrei) existieren müssen, die gleich sind ...

Zahlen - Darstellbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
quadratfreie Zahl - Darstellung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-01
LisaB
J

Hallo!

\( \text{Sei } a \in \mathbb{Z} \setminus \{ 0 \}. \text{ Dann ist zu zeigen, dass } a =x n^{2} \text{, wobei } x \text{ eine quadratfreie Zahl und  } n \text{ eine natürliche Zahl ungleich Null ist}.   \)

Ich habe es mit einer Fallunterscheidung versucht, falls \(a\) eine quadratfreie Zahl ist, dann ist
\(a = a * 1^2\). Jetzt nehmen wir an, dass \(a\) nicht quadratfrei ist. Für jede Zahl \(> 1\) existiert dann eine eindeutige Darstellung als Produkt von Primzahlen, somit also auch für \(a\) ....
Kann ich denn mit diesem Ansatz weiterarbeiten?

Vielen Dank!

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Abrundungsfunktion Beweis  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-21
LisaB
 

Hallo AnnaKath,

die reellen Zahlen sollen dabei als archimedisch und total geordneter vollständiger Körper definiert werden...

LG

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Abrundungsfunktion Beweis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-21
LisaB
 


Hallo,

ich suche nach einem Ansatz wie ich folgende Aussage beweisen könnte:

\(   \text{Sei } x >0. \text{ Dann existieren genau } \left[ x \right] \text{ positive ganze Zahlen } \leq x , \text{  wobei } \left[ x \right]  \text{ die Abrundungsfunktion von } x \text{ ist.}          \)

Vielen Dank.

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
vollständiges Restsystem  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-19
LisaB
J

\(   \text{Ein vollständiges Restsystem mod } m \text{ ist eine Menge ganzer Zahlen, sodass jede ganze Zahl}   \)
\( \text{zu genau einer dieser Zahlen der Menge kongruent mod } m \text{ ist. Das würde doch implizieren, dass } \)
\( \text{ein } \bar{k} \in \{ x_1, ..., x_m \} \text{ existiert mit } \)
\( n \equiv \bar{k} \text{ mod } m. \)
\(  \text{Damit würde ähnlich wie oben direkt folgen, dass } m | (n-x_1)...(n-x_m) \text{ gilt, richtig? }                      \)

Kongruenzen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
vollständiges Restsystem  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-19
LisaB
J

Hallo! Die Fragestellung lautet:

\( \text{Sei } x_1, ..., x_m \text{ ein vollständiges Restsystem mod } m. \text{ Beweise, dass } m \text{ ein Teiler von } (n - x_1) (n - x_2) ... (n - x_m)    \text{ für jede ganze Zahl } n \text{ ist. (Zeige dies zunächst für den Fall } x_i = i \text{ für jedes } j \text{).}  \)

\( \text{Für den Fall } x_i = i \text{ kann ich ein Theorem mit folgender Aussage verwenden:}  \)

\( \text{Sei } m \text{ eine positive ganze Zahl. Dann existiert genau eine Zahl von } m \text{ aufeinanderfolgenden ganzen}       \)
\( \text{Zahlen mit } \equiv a  \text{ (mod } m) \text{, wobei } a \in \mathbb{Z}.     \)

\( \text{Für den Fall } x_i = i \text{ existiert folglich genau ein } k \in \{ 1, ..., m \} \text{, sodass } k \equiv n \text{ (mod } m). \text{ Damit gilt } m | k - n, \text{ also auch } m | n - k \text{ und wir erhalten } m | (n-1)(n-2) ...(n-m).      \)

Ich frage mich nun wie man den allgemeinen Fall beweisen kann.

Vielen Dank!

Zahlentheoretische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Gaußklammer Beweis  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-14
LisaB
J

\( \text{Vielen Dank! Habe jetzt } a \leq 1 \text{ gesetzt und erhalte somit also } \\ q \leq  \frac{m}{x} < q+1. \text{Wieso muss ich denn noch zeigen, dass } q \text{ eine ganze Zahl ist?} \)

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]

Zahlentheoretische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Gaußklammer Beweis  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-14
LisaB
J

an dieser Stelle beziehe ich mich auf das Abrunden ...

Zahlentheoretische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
Gaußklammer Beweis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-13
LisaB
J

Hallo, ich habe eine kurze Frage zu:

\( \text{Sei } m = q x + y \text{ mit } 0 \leq y \leq x-1. \text{ Dann gilt } q = \left[ \frac{m}{x} \right] \text{.}    \)

Wie kann ich diese Aussage denn zeigen ...?

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
größtes Vielfaches einer positiven ganzen Zahl  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-12
LisaB
J

Hallo an Alle,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

\( \text{Sei } x \in \mathbb{Z}_{>0} \text{ und } M >0. \text{ Wir setzen } k = \left[ \frac{M}{x} \right], \text{dann ist } kx \text{ größtes Vielfaches von } x \text{ mit } kx \leq M. \)

Über Hinweise jeglicher Art wäre ich sehr dankbar!

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LisaB
(paarweise) Teilerfremdheit  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-12
LisaB
J

\( \text{Angenommen ggT(} x,y,z \text{)} > 1 \text{, dann würde sofort folgen, dass der ggT(} x,y \text{), ggT(} y,z \text{) und ggT(} z,y \text{) echt größer 1 sind und wir erhalten einen Widerspruch.}  \)

\( \text{Für die andere Richtung nehmen wir an, dass } d= \text{ggT(} x,y \text{)} >1  \text{ (die anderen Fälle analog). Dann ist } d \text{ der Teiler von } x \text{ und } y \text{ und damit auch von } x+y = z. \text{ Folglich ist } d = \text{ggT(} x,y,z \text{)} >1 \text{ ,was ein Widerspruch ist.}  \)
 

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