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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Metrik Wahrscheinlichkeitsmaß  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
J

Hallo sonnenschein96!
2021-06-09 17:50 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
was genau ist \(c\) bei Dir? Einfach ein Wahrscheinlichkeitsmaß? Falls auch \(f_{a*c}(x)=\int_{\mathbb{R}}f_a(x-y)\,dc(y)\) gilt

Genau, $c \in M^1(\mathbb{R})$ ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß und die Kommutativität habe ich leider vergessen in meinem Beitrag zu erwähnen, also $a\ast b = b\ast a$.

Verwendet wurde die Linearität, Monotonie und Dreiecksungleichung für Integrale, der Satz von Fubini, die Transformationsformel und \(c(\mathbb{R})=1\). Eigentlich ist das aber doch schon fast genau das, was Du Dir schon überlegt hattest...?

Ja irgendwie war ich mit den Beträgen verwirrt und habe nicht genau gesehen, wie ich Fubini günstig anwenden kann... vielen Dank!

\(c(\mathbb{R})=1\)
$c$ ist ja ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wir haben keine Dichte gegeben. Warum können wir $c(\mathbb{R})=1$ sagen? Ich denke du meinst damit im letzten Schritt $\int_{\mathbb{R}}1dc(y)$? Ist das weil $\int_{\mathbb{R}}1dc(y)$ gerade die Wahrscheinlichkeit $P(\mathbb{R})=1$, da $c$ Wahrscheinlichkeitsmaß?

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Metrik Wahrscheinlichkeitsmaß  
Themenstart
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MalibuRazz
J

Moin, ich habe bei folgender Aufgabe Schwierigkeiten:

Ich soll zeigen: für $a,b$ Wahrscheinlichkeitsmaße auf $(\mathbb{R}, B(\mathbb{R}))$ mit Lebesguedichten $f_a, f_b$ gilt:

$d(a\ast c, b\ast c) \leq d(a,b) $ $\forall c \in M^1(\mathbb{R})$ mit der Metrik $d(a,b) = \int_{\mathbb{R}}|f_a(x)-f_b(x)|dx$

Ansatz:
Wir haben definiert: $a \ast b$ hat Lebesguedichte $f_a \ast f_b(x)=\int_{\mathbb{R}}f_b(x-y)f_a(y)d\lambda(y)$, falls beide eine Dichte haben.

Heißt ich muss zeigen: $d(a\ast c, b\ast c) = \int_{\mathbb{R}}|\int_{\mathbb{R}}f_c(x-y)f_a(y)d\lambda(y)-\int_{\mathbb{R}}f_c(x-y)f_b(y)d\lambda(y)|dx \leq \int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}|f_c(x-y)(f_a(y)-f_b(y))|d\lambda(y)dx = \textbf{...} \leq \int_{\mathbb{R}}|f_a(x)-f_b(x)|dx=d(a,b) $

Ich dachte man kann das mit der Dreiecksungleichung für Integrale, Fubini, der Eigenschaft $\int_{\mathbb{R}}f_x(x)dx=1$ da Dichte und eventuell Substitution von $z:=x-y$ zeigen... Es gilt ja auch die Kommutativität der Faltung

Danke für jede Hilfe!

P.S. wir wissen ja nicht, ob $c$ eine Dichte hat, dann steht im Skript, dass $f_{a\ast b}(x)=\int_{\mathbb{R}}f_b(x-y)d a(y)$ gilt, wenn nur $b$ eine Dichte hat.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Standardnormalverteilung abschätzen  
Beitrag No.4 im Thread
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MalibuRazz
J

2021-06-03 15:48 - sonnenschein96 in Beitrag No. 3 schreibt:
es gilt doch
\[1-\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\varepsilon e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_\varepsilon^\infty\frac{t}{\varepsilon} e^{-\frac{t^2}{2}}\,dt.\] Das letzte Integral kannst Du einfach ausrechnen.

Vielen Dank! Durch Integration durch Substitution komme ich genau auf den zu zeigenden Term

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Standardnormalverteilung abschätzen  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
J

Hallo Luis,

vermutlich ist $\epsilon>0$ ...

Ja genau, hab ich vergessen vorauszusetzen! Es gilt $\epsilon > 0$

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Standardnormalverteilung abschätzen  
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MalibuRazz
J

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Sei $X$ eine standardnormalverteilte Zufallsvariable. Zeige:   $P(X\geq \epsilon) \leq \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \frac{1}{\epsilon} e^{-\frac{\epsilon^2}{2}}$

Als Hinweis ist gegeben, dass wir die Wahrscheinlichkeit als Integral über die Dichte $f(x)$ schreiben sollen und das Integral nach oben abschätzen, indem wir die Dichte mit $\frac{x}{\epsilon}$ multiplizieren.

Ansatz: Es gilt ja wegen Standardnormalverteilung $P(X\leq \epsilon) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\epsilon}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$, also
$P(X\geq \epsilon) = 1-P(X\leq \epsilon) = 1- \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\epsilon}e^{-\frac{t^2}{2}}dt$.

Nun weiß ich nicht weiter und der Hinweis hilft mir nicht wirklich... danke!

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Verteilungsdichte  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
J

Hallo sonnenschein96,

erstmal danke für deine Hilfe!

2021-06-02 19:15 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Der Punkt über dem \(x\) hat dort nichts verloren und \(\alpha\) soll wohl \(a\) sein.

Genau, sorry, habe anstatt \ cdot nur \dot geschrieben... und $a$ statt $\alpha$.


Dass \(b\leq\frac{1}{a^4}\) sein muss und damit auch \(\frac{5(a-1)}{a^5}\leq\frac{1}{a^4}\). Dies kannst Du nach \(a\) umstellen.

Ich erhalte $b = \frac{5(a-1)}{a^5}$ mit $a \leq \frac{5}{4}$ nach dem Umstellen. Heißt $b\leq \frac{256}{625}$ (unabhängig von $a$), aber ich brauche doch eine Relation von $a$ und $b$...

Und ist mein Ansatz zum Erwartungswert und zur Varianz korrekt? Ich hätte ja "nur" das Integral berechnet und $b = \frac{5(a-1)}{a^5}$ eingesetzt. Es muss ja nur von $a$ abhängen. Was bringen mir dann die $a \leq \frac{5}{4}$ ?

Danke!

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Verteilungsdichte  
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MalibuRazz
J

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

X Zeit (in Minuten), die eine Person zu früh kommt. Die Dichte der Verteilung ist gegeben durch

$f(x) = (-b x^4 + 1) \mathcal{X}_{[0,a]}(x)$

(1) welche Beziehung muss zwischen $a,b$ gelten, damit $f$ wirklich eine Dichte ist?
(2) Bestimme Erwartungswert und Varianz von $X$ in Abhängigkeit von $a$

Idee: (1) es muss ja $\int_{\mathbb{R}}f(x)dx = 1$ und $f(x) \geq 0$ gelten, damit $f$ eine Dichte ist. Ich habe nun $\int_0^a(-b x^4 + 1)dx=1 \iff b=\frac{5(a-1)}{a^5}$ berechnet und auch $f(x)=-bx^4+1 \geq 0 \iff b \leq \frac{1}{x^4}$ mit $x \in [0,a]$. Was sagt mir letzteres?

(2) wir haben so viele Definitionen vom Erwartungswert $E(X)$... ich habe jetzt $E(X)= \int_{\mathbb{R}} x \cdot f(x)dx=\int_0^a x\dot(-b \dot x^4 + 1)dx = ... = a^2(\frac{1}{2}-\frac{b}{6}a^4)$ mit normaler Stammfunktionbildung berechnet. Ist das so richtig? Soll ich nun mein $b$ aus (1) einfach einsetzen?

Hätte die Varianz analog gemacht mit $Var(X) = E(X^2)-E(X)^2$

Danke für jede Hilfe!

Differentialrechnung in IR
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Thema eröffnet von: MalibuRazz
konvexe Funktion Schock  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
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2021-05-07 17:03 - MalibuRazz in Beitrag No. 1 schreibt:
Hmm vielleicht kann mir ja einer sagen, warum bei glattem und strikt konvexem $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, also mit $u_r<u_l \iff f'(u_r)<f'(u_l)$, dann gilt: $f'(u_r)<\frac{f(u_l)-f(u_r)}{u_l-u_r}<f'(u_l)$ ?

EDIT: das folgt einfach aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, oder?

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
konvexe Funktion Schock  
Beitrag No.1 im Thread
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MalibuRazz
J

Hmm vielleicht kann mir ja einer sagen, warum bei glattem und strikt konvexem $f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$, also mit $u_r<u_l \iff f'(u_r)<f'(u_l)$, dann gilt: $f'(u_r)<\frac{f(u_l)-f(u_r)}{u_l-u_r}<f'(u_l)$ ?

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
konvexe Funktion Schock  
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MalibuRazz
J

Hallo,
ich habe Probleme bei folgender Aufgabe: es sei $u$ Lösung mit $u_l$ und $u_r$ auf beiden Seiten einer Schocklinie und $\lambda := \gamma'(t) = \frac{[f]}{[u]} = \frac{f(u_l)-f(u_r)}{u_l-u_r}$ die Geschwindigkeit des Schocks, $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ glatt und strikt konvex.

Nun soll ich die Äquivalenzen zeigen:
(1) $f'(u_l)>\lambda > f'(u_r)$
(2) $f'(u_l)>f'(u_r)$
(3) $u_l> u_r$

Ich habe das mit dem Ringschlussprinzip gezeigt, war bei (2) und (3) kein Problem wegen der Konvexität von $f$, jedoch habe ich Probleme (2)$\Rightarrow$(1) bzw (3)$\Rightarrow$(1) zu zeigen:

Sei $\gamma(t)$ der Schock und $\lambda := \gamma'(t) $ die Geschwindigkeit, dann gilt ja nach Def: $u_r<\gamma(t)<u_l$, also wegen Konvexität und den gezeigten Äquivalenzen: $f'(u_r)<f'(\gamma(t))<f'(u_l)$, nun erinnert die Definition von $\gamma'(t)$ etwas an den Differenzenquotienten. Wie komme ich nun auf (1), also insbesondere von $f'(\gamma(t))$ auf $\gamma'(t) =: \lambda$? Oder ist mein Ansatz falsch? Danke!

Maßtheorie
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Thema eröffnet von: MalibuRazz
Funktioneneigenschaften  
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MalibuRazz
J


Hallo, ich bins wieder mit einer ähnlichen Frage wie vorhin:

Gegeben sei $f: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$, $\mathcal{A} \subset \mathcal{P}(\Omega_1)$ und $f(\mathcal{A}) := \{B \subset \Omega_2 | \exists A \in \mathcal{A}: B = f(A)\}$

Ich habe bereits gezeigt, dass $f(\mathcal{A})$ nicht unbedingt durchschnittsstabil ist, wenn $\mathcal{A}$ durchschnittsstabil ist, da Funktionen ja nicht unbedingt abgeschlossen bezüglich Durchschnitten sind.

Nun sei $\mathcal{A}$ ein Dynkinsystem über $\Omega_1$. Ich weiß ich nicht, ob $f(\mathcal{A})$ dann auch eins über $\Omega_2$ ist, ich glaube nicht, denn dazu müsste $\Omega_2 \in f(\mathcal{A})$ liegen, was ja nicht sein muss, da $f$ nicht unbedingt surjektiv ist, heißt nicht jeder Punkt in $\Omega_2$ muss getroffen werden, oder? Zudem ist $f$ im allgemeinen ja "stabil" bezüglich Vereinigungen (also man kann Vereinigungen ins $f$ "reinziehen"), aber für das Komplement gilt das ja nicht, genauso wenig wie für den Schnitt, oder? Mir fallen leider dazu auch kein konkretes Gegenbeispiel ein... falls meine Überlegung überhaupt stimmt.

Danke für jede Hilfe!

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Urbild surjektiver Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
J

2021-05-05 15:23 - nzimme10 in Beitrag No. 1 schreibt:
Das ist die Definition einer Abbildung, dass jedes Element des Definitionsbereichs auf genau ein Element des Zielbereichs abgebildet wird.

Oh okay danke, peinlich 🙃

PS: Du meinst sicher $\mathcal A\subseteq \mathcal P(\Omega_2)$, oder?
Ja ich meinte Teilmenge, nicht Element 😁

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Urbild surjektiver Funktion  
Themenstart
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MalibuRazz
J

Hallo, ich habe folgende Frage zu einer Aufgabe:

Sei $f: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$ surjektiv, $\mathcal{A} \in \mathcal{P}(\Omega_2)$ und Dynkinsystem über $\Omega_2$, weiter sei
$f^{-1}(\mathcal{A}) := \{B\in \Omega_1 | \exists A \in \mathcal{A}: B=f^{-1}(A)\}$.
Ich soll zeigen oder widerlegen, dass $f^{-1}(\mathcal{A})$ dann auch ein Dynkinsystem über $\Omega_1$ ist. Ich habe die Axiome nachgerechnet, bei einem bin ich mir aber unsicher:

Ist $\Omega_1 \in f^{-1}(\mathcal{A})$?

f ist ja surjektiv, das heißt jedes Element in $\Omega_2$ hat ein nichtleeres Urbild. Aber wird auch jedes Element aus $\Omega_1$ nach $\Omega_2$ abgebildet?
Danke im Voraus

Elektrodynamik
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Thema eröffnet von: MalibuRazz
Maxwell-Gleichung  
Beitrag No.4 im Thread
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MalibuRazz
J

2021-04-30 19:34 - zippy in Beitrag No. 3 schreibt:

Du scheinst davon auszugehen, dass es einen Unterschied zwischen $\operatorname{div}_xE$ und $\operatorname{div}E$ gibt. Das sind aber nur zwei Bezeichnungen für denselben Operator.

Achso okay, super. Danke für deine Hilfe!

Elektrodynamik
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Thema eröffnet von: MalibuRazz
Maxwell-Gleichung  
Beitrag No.2 im Thread
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MalibuRazz
J


Danke für deine Hilfe!


$\partial_t(\operatorname{curl}B) =
\operatorname{curl}(\partial_tB)$

Gilt das nach der Regel von Schwarz? (diese erlaubt ja das Vertauschen der Reihenfolge von  partiellen Differentiationen bei differenzierbaren Funktionen mehrerer Variablen)


$\operatorname{curl}\operatorname{curl} =
\operatorname{grad}\operatorname{div}-\Delta$

Das war der erste Teil der Aufgabe, den hab ich bewiesen bekommen :)

Also komme ich auf $\partial_t^2 E = \Delta E - \operatorname{grad}\operatorname{div}E$. Ich weiß ja nur, dass $\operatorname{div}_xE = 0$ ist, also nach $x$ differenziert, dann ist ja auch der Gradient davon $0$, oder? Was weiß ich denn über $\operatorname{div}E$?

Elektrodynamik
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Maxwell-Gleichung  
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MalibuRazz
J

Hallo, ich habe noch einige Probleme mit mehrdimensionalen Funktionen und Variablen:

Ich soll zeigen, dass $E,B: \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^3, E=E(x,t), B=B(x,t)$ mit

      $div_xE = 0$,  $div_xB=0$,     $\frac{\partial E}{\partial t} = curl_x B,   \frac{\partial B}{\partial t} = - curl_x E$

die Wellengleichungen $\partial_t^2E - \Delta E = 0$ und $\partial_t^2B - \Delta B = 0$ erfüllen.

Ich habe schonmal etwas berechnet, wobei ich mir nicht sicher bin, ob das so stimmt:
$div_xE(x,t) = \frac{\partial}{\partial x_1} E_1(x,t) + \frac{\partial}{\partial x_2} E_2(x,t) + \frac{\partial}{\partial x_3}E_3(x,t) = 0$ und analog für $B$,

$\partial_t^2 E = \partial_t \partial_t E = \partial_t (curl_xB) = \Delta E$ mit $curl_x B= \left(
\begin{array}{ccc}
\partial_{x_2}B_3(x,t) - \partial_{x_3}B_2(x,t)\\
\partial_{x_3}B_1(x,t) - \partial_{x_1}B_3(x,t) \\
\partial_{x_1}B_2(x,t) - \partial_{x_2}B_1(x,t) \\
\end{array}
\right)$, oder?


Nun weiß ich leider nicht weiter, z.B. wie ich $\Delta E$ berechnen kann (ist ja gerade die Divergenz des Gradienten), da $E,B$ ja von $x\in \mathbb{R}^3, t \in \mathbb{R}$ abhängen... ich bitte um Hilfe, danke im Voraus!

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
endliche Vereinigung von Intervallen sigma-Algebra  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-14
MalibuRazz
 

UPDATE: ich glaube ich habe es geschafft die Mengenalgebra-Axiome zu zeigen. Jetzt muss ich nur noch überlegen, ob es auch eine $\sigma$-Algebra ist... ich glaube, dass es keine ist, sprich dass die abzählbar unendliche Vereinigung von $A \in \bar{A}$ nicht wieder in $\bar{A}$ enthalten ist, hat wer eventuell ein Gegenbeispiel oder kann mir Tipps geben? Danke!!

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
endliche Vereinigung von Intervallen sigma-Algebra  
Themenstart
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MalibuRazz
 

Hallo,

gegeben ist $\bar{\mathbb{R}}= \mathbb{R}\cup\{-\infty, \infty\}$ und die Menge aller Intervalle auf \mathbb{R} : $\Im := \{A \in P(\mathbb{R}) | \exists a,b \in \bar{\mathbb{R}}: A=(a,b),A=(a,b], A=[a,b) \vee A=[a,b] \}$ wobei das a bis a Intervall immer die leere Menge ist.

Entscheide ob: $\bar{A}:=\{A \in P(\mathbb{R})| \exists n\in \mathbb{N}, \exists I_1, ..., I_n \in \Im: A=\bigcup_{i=1}^n I_i disjunkt\}$ eine sigma-Algebra oder Mengenalgebra ist.

Mein grober Ansatz: Ich kann ja zum besseren Verständnis der Mengen das A in der Menge $\Im$ durch $I$ ersetzen, oder? Ich denke, dass es eine Mengenalgebra ist, dazu überprüfe ich ja die Axiome: die leere Menge ist da enthalten, da das Intervall von a bis a so definiert ist. Mein Problem: ich muss ja zeigen, dass auch die Vereinigung von zwei Elementen $A_1, A_2 \in \bar{A}$ wieder in der Menge enthalten ist, das ist ja gerade als die Vereinigung von Intervallen aus $\Im$ definiert. Zum Komplement: $A^C = \Omega \backslash A =\Omega \backslash \bigcup_{i=1}^n $. Ist das denn wieder enthalten? Für eine sigma-Algebra muss ja auch die abzählbar unendliche Vereinigung enthalten sein...

Würde mich über Hilfe freuen!

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-12
MalibuRazz
 

2021-04-12 12:53 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Für jeden metrischen Raum $(X,d)$ und jeden Punkt $x_0 \in X$ und jeden Radius $r$ ist $\overline{B}(x_0,r) =\{x \in X : d(x,x_0) \leq r\}$ abgeschlossen in $X$. Das kann man aus den Definitionen ableiten

Danke!

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MalibuRazz
Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-12
MalibuRazz
 

2021-04-12 12:49 - wladimir_1989 in Beitrag No. 1 schreibt:
mir ist nicht ganz klar, welche Menge gemeint ist. Da wir im \(\mathbb{R}^2\) sind, gehe ich davon aus, dass du eine Kugel um \(x_0\) mit Radius k meinst. Du schreibst aber von Intervallen, die ja eindimensionale Objekte sind.

Oh mein Fehler! $A(x_0) \subset \mathbb{R}$
 

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