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Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Satz von Stokes Satz von Gauß  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-26
Maren_Knappig
 

Ich habe ein paar Fragen zu Kurven-, Oberflächen- und Volumenintegralen.

Integralsatz von Strokes:

was genau rechnet mir der Satz von Stokes aus? Wenn ich eine Halbkugelfläche im Raum habe wird dann nur die Fläche der Halbkugel oder auch deren "Boden" als Fläche ( für Fluss) berechnet?
Oft wird nämlich von geschlossenen Fläche gesprochen.

Nehmen wir an ich habe eine Oberfläche f(x,y,z) im R^3 gegeben z.B. eine Halbkugelschale. Diese wird auf der x-y-Ebene mit einer Kreiskurve r(t) berandet.

Wenn ich die positive Orientierung prüfen möchte, muss ich dann den Normalvektor der Randkurve r(t) oder den der in der Randkurve eingeschlossenen "Grundfläche" r(u,v) berechnen, die eine Schnittfläche in der x-y-Ebene darstellt?

Wenn ich den Normalenvektor einer Randkurve r(t) berechne, dann kann dieser nur nach x oder y zeigen also nicht einschätzbar bezüglich der Orientierung (3-Finger-Regel Zeigefinger: Tangentialvektor, Mittelfinger: zur Fläche, Daumen: Normalenvektor), oder?

Bei einer KreisFLÄCHE kann ich relativ einfach die Fläche r(u,v) berechnen, die von Radius und Winkel abhängt. Wenn ich nun den Normalenvektor berechne steht dieser Orthogonal auf der KreisFLÄCHE. Damit kann ich die Orientierung der Kurve, die diesen berandet mit der 3 Finger regel bestimmen.

Aber wie sieht es denn nun bei einer Halbkugelfläche aus, die nach oben oder unten geöffnet ist? Wird mit Strokes nur die fläche der "geöffneten" Halbkugelfläche berechnet oder ebenfalls auch der Grundfläche??

Wie mache ich es dann?  Schließlich müsste der Normalvektor am Rand doch nach Aussenzeigen aber wie komme ich dann mit der 3 Fingerregel an die Orientierung? Richtet sich die Orientierung nur an die Randkurve in den punkten der Randkurve?

Wie unterscheidet sich das Ergebnis bei gleicher Paramterdarstellung bei nach unten und nach oben oder seitlich geöffneter halbkugel? Muss ich dazu die Parameterreihenfolge ändern?

Was genau wird dann von der Halbkugel berechnet? Der Fluss eiens gegeben Vektorfeldes durch die Fläche, die durch die Randkurve berandet wird? Ich verstehe den Vorteil hier nicht zum normalen Oberflächenintegral 2Art (Vektoriell). Der rechenaufwand ist doch der selbe, oder?

Man sagt, dass dieser Fluss gleich einem Kurvenintegral (Arbeitsintegral) der umrandenen Fläche ist. Dann müsste ich dieses Flächenintegral gar nicht ausrechnen, sondern nur das Kurvenintegral, oder? Aber woher weiß die Formel, was zwischen dem Rand passiert?




Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Charakteristikenverfahren Anfangskurve  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-23
Maren_Knappig
 




2019-06-12 21:17 - Maren_Knappig im Themenstart schreibt:
Hallo,

kann mir jemand beim Verständnis beim lösen von PDGL mit dem Charakteristkenverfahren weiterhelfen? Die Methode selbst kann ich durchführen, doch mir fehlt das tatsächliche Verständis.

Ich würde grundsätzlich erst einmal verstehen wollen, was genau mit der Anfangskurve und mit Charakteristiken gemeint ist. Alleine unter den Wörter kann ich mir nichts vorstellen.

Grundsätzlich stelle ich mir einen Raum vor u(x,y). In Abhängigkeit von y und x habe ich einen bestimmten Funktionswert. Dadurch wird eine Fläche aufgespannt. Wenn ich nun das Charakteristiken verfahren anwende werden die x(t,s) und y(t,s) von t, und s abhängig gemacht. Wie kann ich mir dies im Raum nun noch vorstellen? Es gibt keine s oder t Achse. t kann ich mir noch als zeitlichen Verlauf vorstellen, wie einen Punkt, der durch den Raum läuft und sich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befindet, doch bei s hört es bei mir dann auf.

Zudem frage ich mich wie die Anfangsbedingungen, des charakteristischen DGL systems ermittelt werden. In den meisten Aufgabenstellungen ist u(x,0)=2+x^2 oder ähnliches gegeben. Doch die Anfangsbedingungen wie x(t=0, s)=s, y(t=0,s)=1 sind offenbar eine vorrausetzung oder definition, die man immer wählt ausser sie sind vorgegeben. Allerdings verstehe ich nicht welchen Sinn diese haben sollen? Soll damit definiert werden, dass die Anfangspunkte der Anfangskurve immer bei t=0 beginnen bzw. wieso bei x=s und y=1?






Ich habe noch ein paar Fragen. Leider antwortet mein Professor nicht aber vielleicht kann mir doch jemand von euch hierbei helfen?








Mehrdim. Differentialrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Kettenregel Syntax  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-13
Maren_Knappig
 

2019-06-13 09:24 - hippias in Beitrag No. 2 schreibt:
Im folgenden Sinne liegt hier eine verkettete Funktion vor: Du hast eine Funktion <math>u=u(r,s)</math>, die von den beiden Veränderlichen <math>r,s</math> abhängt. Ferner  definiere ich eine Funktion <math>\gamma</math> mit <math>\gamma(t)= (x(t),t)</math>; sie hat also eine Veränderliche <math>t</math>, welche sie auf das Paar <math>(x(t),t)</math> abbildet.

Durch Einsetzen von <math>\gamma</math> in <math>u</math> entsteht eine neue Funktion <math>f(t)= u(\gamma(t)))= u(x(t), t)</math>. Somit liegt eine Verkettung von Funktionen vor.

Um die Ableitungsregel zu begründen kannst Du wie folgt vorgehen.

Es gilt <math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}= \frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>. Wer jetzt nicht aufpasst, kriegt die Motten, denn <math>u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t)= u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)+u(x(t), t+h)-u(x(t), t)</math>.
Damit folgt
<math>f"(t)= \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}+ \lim_{h\to 0}\frac{u(x(t), t+h)-u(x(t), t)}{h}</math>
Der zweite Grenzwert ist genau die Definition der Ableitung von <math>u</math> nach der zweiten Variablen an der Stelle <math>(x(t),t)</math>, also das, was Du <math>u_{t}</math> genannt hast.

Die ganze Zeit bin ich davon ausgegangen, dass alle beteiligten Funktion hinreichend gutartig sind, sodass alle Grenzwerte existieren. Unter solchen Voraussetzungen kann ich sagen, dass der erste Grenzwert in beiden Veränderlichen unabhängig gebildet werden kann:
<math>\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h,h"\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}= \lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h")-u(x(t), t+h")}{h}</math>.
Details findest Du in jedem Analysisbuch.

Man kann also bei fester 2. Variabler nach der 1. Variablen ableiten, was mit Hilfe der Schulkettenregel geschieht, und dann geht <math>h"</math> gegen <math>0</math>:
 <math>\lim_{h"\to 0}\lim_{h\to 0}\frac{u(x(t+h), t+h)-u(x(t), t+h)}{h}= \lim_{h"\to 0}u_{x}(x(t),t+h")x"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)</math>.

Insgesamt <math>f"(t)= u_{x}(x(t),t)x"(t)+u_{t}</math>.
Vielen Dank für die sehr ausführliche Darstellung. Das hat meine Gedanken bestätigt und ich kann mit dieser Notation etwas anfangen !!! danke nochmal

Mehrdim. Differentialrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Kettenregel Syntax  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-13
Maren_Knappig
 

2019-06-12 21:15 - Neymar in Beitrag No. 1 schreibt:
Ich versuche es mal, so haben wir das letztes Semester in Physik gemacht.

Wenn du ,,nach t ableiten" schreibst, so ist dies insofern vage, als du einmal ,,total" als auch ,,partiell" nach $t$ ableiten könntest.

Ich verstehe es so, dass hier total nach $t$ abgeleitet wird, siehe auch


So, du hast also erst einmal $du = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} dx + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} dt$

Aber jetzt möchtest du ja nach t ableiten, also wenn wir durch ,,dt" teilen (so würden wir das sicherlich in Physik machen, ob es mathematisch sauber bzw. gerechtfertigt ist, ist eine andere Sache):

$$\frac{du}{dt} = \frac{\partial u(x,y)}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial u(x,y)}{\partial t} \frac{dt}{dt}$$
Jetzt ,,kürzt" man noch $\frac{dt}{dt} = 1$ und führt $u_x := \frac{\partial u(x,y)}{\partial x}$ ein; diese Notation ist mir aus Mathe letztes Semester wohlbekannt, also macht man so.

Ich hoffe, es hilft, ob es was mit der Kettenregel zu tun hat, kann dir ja vielleicht jemand anderes erklären, auf jeden Fall nicht mit der Eindimensionalen Kettenregel, die man normalerweise in der Schule behandelt.


Gruß,
Neymar

Danke für Deine Antwort. Diese hat mir schon sehr geholfen.
Die Notation besagt, dass die Gleichung eine Funktion enthält, die von x(t) anhängt sprich:
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Wenn ich nun ableite, muss ich die Funktion f(x(t)) selbst erst einmal nach x ableiten, bevor ich sie nach t ableiten kann.

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Kann man sagen, dass die Notation u(x(t),t) bedeutet, dass f(x(t)) und t in der noch nicht definierten Gleichung additiv zusammen hängen?
Es könnte ja auch so etwas sein: x(t)*t anstatt f(x(t))+t?



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Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Charakteristikenverfahren Anfangskurve  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-12
Maren_Knappig
 

Hallo,

kann mir jemand beim Verständnis beim lösen von PDGL mit dem Charakteristkenverfahren weiterhelfen? Die Methode selbst kann ich durchführen, doch mir fehlt das tatsächliche Verständis.

Ich würde grundsätzlich erst einmal verstehen wollen, was genau mit der Anfangskurve und mit Charakteristiken gemeint ist. Alleine unter den Wörter kann ich mir nichts vorstellen.

Grundsätzlich stelle ich mir einen Raum vor u(x,y). In Abhängigkeit von y und x habe ich einen bestimmten Funktionswert. Dadurch wird eine Fläche aufgespannt. Wenn ich nun das Charakteristiken verfahren anwende werden die x(t,s) und y(t,s) von t, und s abhängig gemacht. Wie kann ich mir dies im Raum nun noch vorstellen? Es gibt keine s oder t Achse. t kann ich mir noch als zeitlichen Verlauf vorstellen, wie einen Punkt, der durch den Raum läuft und sich zu einem bestimmten Zeitpunkt an einem bestimmten Ort befindet, doch bei s hört es bei mir dann auf.

Zudem frage ich mich wie die Anfangsbedingungen, des charakteristischen DGL systems ermittelt werden. In den meisten Aufgabenstellungen ist u(x,0)=2+x^2 oder ähnliches gegeben. Doch die Anfangsbedingungen wie x(t=0, s)=s, y(t=0,s)=1 sind offenbar eine vorrausetzung oder definition, die man immer wählt ausser sie sind vorgegeben. Allerdings verstehe ich nicht welchen Sinn diese haben sollen? Soll damit definiert werden, dass die Anfangspunkte der Anfangskurve immer bei t=0 beginnen bzw. wieso bei x=s und y=1?





Mehrdim. Differentialrechnung
Schule 
Thema eröffnet von: Maren_Knappig
Kettenregel Syntax  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-12
Maren_Knappig
 

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Könnte mir hier jemand versuchen gedanklich auf die Sprünge zu helfen?

Partielle DGL
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mogelpoly
Charakteristiken-Methode: Verständnis  
Beitrag No.2 im Thread
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Maren_Knappig
 

2008-02-09 23:40 - theAy in Beitrag No. 1 schreibt:
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