Suchwörter   (werden UND-verknüpft)
Keines der folgenden   keine eigenen Beiträge
Name des Autors 
resp. Themenstellers 

nur dessen Startbeiträge
auch in Antworten dazu
Forum 
 Suchrichtung  Auf  Ab Suchmethode  Sendezeit Empfehlungbeta [?]
       Die Suche erfolgt nach den angegebenen Worten oder Wortteilen.   [Suchtipps]

Link auf dieses Suchergebnis hier

Forum
Thema Eingetragen
Autor

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Lundberg-Koeffizienten berechnen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
Massena
J

Die erste Gleichung ist falsch, denke ich.
\[E[e^{r(X-cW)}]
=E[e^{rX}e^{-rcW}]
=E[e^{rX}]E[e^{-rcW}]
\neq \frac{E[e^{rX}]}{E[e^{crW}]}.\] Es gilt im Allgemeinen
\[E[1/Y]\neq1/E[Y].\]

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Lundberg-Koeffizienten berechnen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
Massena
J

Tatsächlich dachte ich damit auch schon die Lösung gefunden zu haben. Aber es stimmt nicht, oder?

\[
\mathbb E\left[e^{r(X-cW)}\right]
= \mathbb E\left[e^{rX}\right] \mathbb E\left[e^{-cWr}\right]
= \frac{\beta^2}{(\beta- r)^2} \cdot \frac{\lambda}{\lambda + c r}
\]

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Lundberg-Koeffizienten berechnen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
Massena
J

Das hatte ich vergessen explizit zu erwähnen, aber die sind natürlich unabhängig.
Ich bin jetzt mehrmals drüber gegangen und bin ziemlich überzeugt, dass mein Ansatz und die Rechnung soweit korrekt sind. Nur wie ich die entstehende Gleichung korrekt behandle, weiß ich nicht.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Lundberg-Koeffizienten berechnen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
Massena
J

Hallo zusammen,

ich stecke bei einer Aufgabe fest, die eigentlich nicht so kompliziert sein sollte. Hoffentlich kann mir jemand weiterhelfen.

Gegeben seien zwei Zufallsvariablen \(X\)und \(W\). \(X\) folge einer Gammaverteilung mit Parametern \(2\) und \(\beta\) und \(W\) folge einer Exponentialverteilung mit Parameter \(\lambda\). Das heißt, wir haben die Dichtefunktionen \(f_X(x) = f(x) = \beta^2 x e^{-\beta x} \) und \(g_W(x) = g(x) = \lambda e^{- \lambda x} \).
Zusätzlich sei ein Parameter \(c>0\) gegeben. Gesucht ist ein \(r>0\), so dass
\[\mathbb E[e^{r(X-cW)}] = 1 \qquad (*)\] gilt unter der Nebenbedingung \(\frac{1}{\beta^2}<\frac{c}{\lambda}\).

Das Problem stammt aus der Ruintheorie. Man nennt \((*)\) auch die Lundberg-Bedingung und \(r\) den Lundberg-Koeffizienten zum gegebenen Modell: Nach einer Wartezeit \(W_i \overset{d}{=}W\) verursacht ein Schaden Kosten in Höhe von \(X_i\overset{d}{=}X\) und man möchte wissen, wie wahrscheinlich man mit einem gegebenen Startkapital \(u > 0\) bankrott geht. \(c\) ist die Rate der Einnahmen, die man im Laufe der Zeit erzielt.
Gegeben jeweils unabhängig identisch verteilte Kopien \(X_1, X_2\) usw. von \(X\) und \(W_1, W_2\) usw. von \(W\), dann kann man die Wahrscheinlichkeit des Ruins durch einen Random Walk \((S_n)_{n\in\mathbb N}\) modellieren mit \(S_n = \sum_{i=1}^n(X_i-cW_i))\). Dann tritt der Ruin ein, wenn \(u - S_n < 0\).
Der Lundberg-Koeffizient ermöglicht eine Abschätzung der Ruinwahrscheinlichkeit und er ist, sofern er existiert, eindeutig bestimmt.

Prinzipiell kann ich einfach beide Erwartungswerte in \((*)\) ausrechnen und die Gleichung nach \(r\) auflösen. Ich kommte dabei auf
\[\mathbb E[e^{-crW}]
= \int\limits_0^\infty e^{-crx} \lambda e^{- \lambda x} d x
= \frac{\lambda}{\lambda + c r}\] und
\[\mathbb E[e^{rX}]
= \int\limits_0^\infty e^{r x} \beta^2 x e^{-\beta x} d x
= \frac{\beta^2}{(\beta- r)^2}\].

Wenn ich den Kehrwert eines Terms nehme und gleichsetze, komme ich auf eine kubische Gleichung in \(r\), für die ich keine eindeutige Lösung finde. Hab ich etwas falsch gemacht? Falls nein, wie kann ich aus dieser Gleichung unter den angegebenen Nebenbedingungen \(r\) eindeutig bestimmen?


Vielen Dank für jede Hilfe!



[edit]
Da ich absolut keinen Fehler sehe, wird die resultierende kubische Gleichung wohl einfach stimmen. Da \(r=0\) eine offensichtliche Lösung ist, erhalte ich nach Division durch \(r\) einfach eine quadratische Gleichung, die ich mittels der anderen Bedingungen eindeutig auflösen kann.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Funktion gesucht / Limes superior und Limes inferior  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-01
Massena
J

Vielen Dank, war allein nicht mehr drauf gekommen.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Äquivalenz zwischen Erneuerungsprozess und Poisson-Prozess  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23
Massena
 

Hallo zusammen,

ich studiere gerade stochastische Prozesse und habe kürzlich Erneuerungsprozesse kennengelernt. Sie wurden als Verallgemeinerung des Poisson-Prozesses kennengelernt, indem man die Wartezeiten zwischen den Sprüngen beliebige Verteilungen annehmen lässt.
Damit ist per Definition jeder Poisson-Prozess ein Erneuerungsprozess.
Für einen Poisson\((\lambda)\)-Prozess beträgt die mittlere Anzahl der Erneuerungen \(\mathbb E[N(t)]\) bis zum Zeitpunkt \(t\) bekanntlich \(\lambda t\). Man nennt \(\mathbb E[N(t)]\) auch die Erneuerungsfunktion.

Folgende Bemerkung bereitet mir Kopfzerbrechen, da ich nicht (Übung) verstehe, wie man sie zeigen kann.

Man kann die Definition eines Erneuerungsprozesses zugrunde legen, wie hier:
de.wikipedia.org/wiki/Erneuerungsprozess#Definitionen
Und einen Poisson-Prozess als einen Erneuerungsprozess mit linearer Erneuerungsfunktion, also \(m(t)=\lambda t\) für ein \(\lambda > 0\) definieren.

Dazu müsste ich also zeigen, dass jeder Erneuerungsprozess mit linearer Erneuerungsfunktion exponentialverteilte Wartezeiten hat, also ein Poisson-Prozess ist.
Ich habe leider keine Idee, wie man das macht. Als Hinweis ist gegeben, dass man die Laplace-Transformation nutzen kann. Aber ich sehe nicht, wie.

Ich habe komischerweise zu der Aussage auch keine Referenz gefunden. Ist sie dazu zu trivial? Umso frustrierender, dass ich sie nicht beweisen kann.



Ich hoffe, jemand kann helfen. Vielen Dank!

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Massena
Funktion gesucht / Limes superior und Limes inferior  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-04
Massena
J

Ich suche eine Funktion \(f\), so dass für die Funktion
\[g(x) = c^x \int_x^\infty f(t) dt \] für alle \(c>1\) der Limes superior \(\infty\) und der Limes inferior \(0\) ist, jeweils für \(x \to \infty\).

Also \(\limsup_{x \to \infty} g(x) = \infty\) und \(\liminf_{x \to \infty} g(x) = 0.\)

Als Tip habe ich erhalten, dass man \(f\) "im Wesentlichen" als \(f(t) = 1/t^2\) wählen kann.
Ich verstehe nicht ganz, was darunter zu verstehen ist. Mit dieser Wahl von \(f\) erhalte ich \(g(x) = c^x/x\). Aber dann sind limp sup und lim in für \(x \to \infty\) jeweils \(\infty\).

Das Problem stammt eigentlich aus der Stochastik, aber mein Verständnis scheitert hier eher an der Anaylsis - die ist bei mir schon etwas länger her ...

Kann mir jemand erklären, was hier gemeint ist?
 [Anzahl der Suchergebnisse: 7]
Link auf dieses Suchergebnis hier

 
 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2021 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]

used time 0.014125