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Thema Eingetragen
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Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nekonomicon
Gerschgorinkreise mit Ähnlichkeitstransformationen  
Beitrag No.4 im Thread
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Nekonomicon
 

Hi,

ich hab das mal so interpretiert, dass die beiden rechten Grenzen gleich sein müssen. Stimmt das?

Wenn ja, dann habe ich folgende Gleichung gelöst:
\[
8 + \frac{4}{c} = -4 + 2c
\] Da kommen dann zwei Lösungen raus:
\[
3\pm\sqrt{11}
\] Von denen natürlich nur $c = 3+\sqrt{11}$ interessant ist, da ja $c > 0$.

Passt das so?

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nekonomicon
Gerschgorinkreise mit Ähnlichkeitstransformationen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-21
Nekonomicon
 

Hi Kitaktus,

Die Rechnungen habe ich mit sympy überprüft.

Danke für deine Antwort. In der tat habe ich bei a) und b) in meiner schriftlichen Lösung mehr geschrieben. Ich habe z.B. c=2.1 konkret gewählt und die Kreisscheiben explizit angegeben. Tut mir Leid dass ich das hier nicht genau genug angegeben habe.

Zu c): Ich denke die Idee kann ich verstehen, aber ich weiss leider nicht wie ich daran gehen soll. Könntest du das möglicherweise etwas genauer erklären? :) Kann ich einfach ein $c$ angeben sodass es passt, oder muss ich das analytisch begründen, z.B. in dem ich eine Funktion aufstelle und diese analysiere?

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nekonomicon
Gerschgorinkreise mit Ähnlichkeitstransformationen  
Themenstart
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Nekonomicon
 

Hallo!

Ich übe gerade für eine LA2 Klausur, und in einer Altklausur wurde folgende Aufgabe gestellt:


Betrachten sie die Matrix:
\[
A = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2\\
 -2 & 8 & 2\\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
\]
1) Nutzen sie die Gerschgorinkreise, um zu zeigen, dass $A$ exakt einen Eigenwert mit negativem Realteil hat.

2) Finden sie drei disjunkte Kreisscheiben, sodass in jeder exakt ein Eigenwert ist.

3) Geben sie eine möglichst optimale Annäherung an den größten Eigenwert an.

Hinweise: Nutzen sie für b) und c) die Tatsache, dass $\hat{A} = D^{-1}AD$ mit $D = diag(1,c,1),\; c>0$ die gleichen Eigenwerte wie $A$ hat, und finden sie für c) ein optimales $c$.



Ich hab mich also hingesetzt und $\hat{A} = D^{-1}AD$ ausgerechnet:
\[
\hat{A} = D^{-1}AD = \begin{pmatrix}4 & 0 & 2 \\ -\frac{2}{c} & 8 & \frac{2}{c}  \\ 0 & 2c & -4\end{pmatrix}
\]
Es ergeben sich also die folgenden Kreisscheiben (Mittelpunkt, Radius):
 a) $C_1 = (4, 2)$
 b) $C_2 = (8, \frac{4}{c})$
 c) $C_3 = (-4, 2c)$

Aus $C_3$ folgt direkt Teilaufgabe 1). Für Teilaufgabe 2) dürfen sich die Scheiben $C_1$ und $C_2$ nicht überschneiden, was der Fall für $c > 2$ ist. Auch super.

Ich weiss aber nicht wie ich an die dritte Teilaufgabe drangehen soll. Was ist hier die Strategie? Was genau muss ich eigentlich optimieren?

Vielen Dank!
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