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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Integral über n-fachen Pol  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Aber wenn man den Residuensatz nimmt, dann entspricht das Integral einfach $Res_z f(w)/(z-w)^n$, also dem (-1)-ten Koeffizienten der Laurenreihenentwicklung von $(-1)^nf(w)/(w-z)^n$, richtig? Oder ist es hier der (-n)-te Koeffizient, weil der Pol Ordnung n und nicht 1 hat?
EDIT: Der letzte Teil der Frage hat sich erledigt, es gibt ja die Residuenformel für Pole, nach der man das Residuum eines Pols der Ordnung n über die (n-1)-te Ableitung bestimmen kann.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Integral über n-fachen Pol  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Hallo Wally,

danke für deine Antwort.

Ich weiß leider nicht, was du mit allgemeiner Causchyschen Integralformel meinst. Die allgemeinste im Buch ist die für Bilder von Rechtecken, die aber die Holomorphie des Integranden fordert und somit hier nicht anwendbar ist?

Dann gibt es noch den Laurenreihenentwicklungssatz, aber der ist wiederum nur für eine Kreisscheibe...?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Integral über n-fachen Pol  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Hallo Küstenkind,

was ein Zykel ist, ist mir schon klar, ich arbeite eh genau mit dem von dir verlinkten Buch.
Dort ist bei der Umlaufszahlversion der Cauchyschen Integralformel im Nenner aber nur n=1. Und falls wir, um sie anwenden zu können, die restlichen n-1 Faktoren zum Zähler dazuzählen, dann ist die entstehenden Funktion nicht mehr holomorph (weil sie ja dann eine (n-1)-fache Polstelle in z hat) und somit die Cauchysche Integralformel (wie eben in dem Buch von Jänich auf S. 72 angegeben) erst recht nicht mehr anwendbar.

Darum hatte ich gedacht, vlt. f in eine Potenzreihe zu entwickeln, die n Faktoren aus dem Nenner dazuzuziehen, wodurch man eine Laurentreihe bekommt und dann den Residuensatz anzuwenden. Klingt das sinnvoll?

Allerdings darf beim Residuensatz der Zykel $\gamma$ keine der Singularitäten treffen und hier ist nicht explizit angegeben, dass $\gamma$ w nicht trifft. Gibt es also auch eine Möglichkeit für die Berechnung im Falle, dass $\gamma$ w trifft?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Integral über n-fachen Pol  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Hallo Kuestenkind,

der verlinkte Thread hat meine Frage leider nicht beantwortet. Ich habe zwar gesehen, dass das Integral, wäre der Zykel einfach ein Kreisrand, die n-te Ableitung von f ergeben würde, aber für mein allgemeineres Beispiel hat es mich nicht weitergebracht.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Integral über n-fachen Pol  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Hallo,

gegeben das Integral [latex]\int_{\gamma}\frac{f(w)}{(z-w)^n}dw[/latex] mit holomorphen f und Zykel $\gamma$, wie berechnet man das Integral?

Der Residuensatz ist ja nicht anwendbar, weil da der Zykel keine Polstelle des Integranden treffen darf?
Vom Aussehen her erinnert es mich an die Umlaufszahlversion der Cauchyschen Integralformel, aber bei der steht im Nenner ja nur (z-a), also n=1 und nicht allgemeines n?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Beweisschritt - Funktionentheorie2 Freitag  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06
Newmath2012
 

Der Satz und Beweis, um den es geht und alles was dazugehört ist übrigens auch hier einsehbar:

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Beweisschritt - Funktionentheorie2 Freitag  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-05
Newmath2012
 

Niemand, der sich damit auskennt?

Ich denke eher, dass mein Unverständnis von einer Wissenslücke betreffend das Verhalten von Bildmengen (also wie sie in Relation zueinander stehen, was wann Teilmenge von wem usw.) herrührt. Vlt. Kann mir auf diese Weise jemand helfen?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Beweisschritt - Funktionentheorie2 Freitag  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-02
Newmath2012
 

Falls das Ausbleiben einer Antwort daran liegt, dass jemand nicht das entsprechend Buch hat - ich kann die relevanten Seiten gerne als pdf zukommen lassen. :)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Beweisschritt - Funktionentheorie2 Freitag  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-01
Newmath2012
 

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einem Beweis im Buch "Funktionentheorie 2" von Eberhard Freitag, von Satz 1.14, S.22:

Bei Beweis von Aussage 1) ist zu zeigen: es gibt höchstens eine stetige Abbildung F: $M \rightarrow \mathbb{C}$ mit $F(a) = b$, $f(p(z)) = p'(F(z))$ für alle $z \in M$. Er schreibt, "das ist trivial, wenn eine bezüglich L' kleine offene Teilmenge $U\subseteq \mathbb{C}, b \in U$, imt der Egenschaft $f(p(M)) \subseteq p'(U)$ existiert, denn F(M) muss aus Zusammenhangsgründen in U enthalten sein."
Hierbei verstehe ich einerseits nicht, warum F(M) in U enthalten sein muss und andererseits nicht, warum damit die Eindeutigkeit folgt.

Zum Schluss nimmt er auf diesen Beweisschritt noch einmal Bezug: Man bildet eine Unterteilung in Rechtecke R so lange, bis $f(p(R)) \subseteq p'(V)$ für ein bzgl. L' kleines V.
"Die Existenz einer Hochhebung ist dann trivial" (weil wir im kleinen Fall sind). Wieso? Im kleinen Fall hatten wir doch bislang nur die Eindeutigkeit gezeigt, nicht die Existenz?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Singularitäten charakterisieren  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-24
Newmath2012
 

Könnte mir bitte noch jemand weiterhelfen? Hätte eigentlich gedacht, dass das eher "Basiswissen" ist?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Singularitäten charakterisieren  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Newmath2012
 

Hallo Küstenkind,

danke für deine Antwort!

Das mit der Laurentreihe wusste ich schon, hab auch exp so aufgeschrieben, aber war nicht schlau genug, zu erkennen, dass es ja ein negativer Exponent ist, wenn z im Nenner steht ^^
Also zu den Beispielen:

$e^{1/z^4} = \sum_{n = - {\infty}}^0 z^{-4n+1}\frac{1}{(-n)!}$, woran man erkennt, dass der Hauptteil an der Stelle z=0 unendlich viele Summanden ungleich Null hat und es sich daher um eine wesentliche Singularität bei Null handelt.

Nun zum Sinus: $sin(\frac{\pi}{z^2+1}) = \sum\limits_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{\pi^{2k+1}}{(2k+1)!\sum\limits_{j=0}^{2k+1}\binom{2k+1}{j}z^{2j}}$
Reicht es, aus dieser Darstellung heraus einfach zu sagen, dass die Summanden des Hauptteils ebenfalls nicht verschwinden und daher eine wesentliche Singularität vorliegt? Ich denke nicht, weil man müsste ja eine Form bekommen, wo $(z-i)^n$ steht anstatt wie hier $z^n$. Das gelingt wohl mit Partialbruchzerlegung, aber ich weiß nicht, wie ich die hier anwenden kann.

[EDIT: Ich habe nun die Partialbruchzerlegung gleich zu Beginn durchgeführt, $sin(\frac{\pi}{z^2+1}) = sin(\frac{\pi}{2i(z-i)}-\frac{\pi}{2i(z+i)})$ Aber wie ich da jetzt die Laurentreihe bekomme, weiß ich nicht.]

Bei der Wurzelfunktion fehlt mir immer noch die Idee.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Singularitäten charakterisieren  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Newmath2012
 

Hallo allerseits,

bei der Bestimmung von Arten von Singularitäten hätte ich eine Frage zu folgenden Beispielen:

1) $sin(\frac{\pi}{z^2+1}), z_0 = i$
Ich weiß bereits, dass es sich um eine wesentliche Singularität handelt, aber ich weiß nicht, wie ich das zeigen kann. Als Hinweis habe ich bekommen, die Reihenentwicklung von sin zu betrachten, aber da sehe ich nicht, wie mir das das Gewünschte zeigt.
Um zu zeigen, dass es sich um einen Pol k-ter Ordnung handelt, habe ich gelernt, die Fkt mit $(z-z_0)^k$ zu multiplizieren, dann k-mal abzuleiten und zu zeigen, dass der Limes für $z \rightarrow z_0$ existiert. Wie man aber zeigt, dass es sich um eine wesentliche Singularität handelt, weiß ich nicht. (Es würde wohl genügen, zu zeigen, dass der Limes nicht existiert oder unendlich wird?)

2) $e^{\frac{1}{z^4}}$
die Singularität ist wohl bei $z_0 = 0$ Ich habe versucht, exp als Reihe zu schreiben und mit $z^k$ zu multiplizieren und k-mal abzuleiten. Das sieht mir danach aus, dass es sich um eine wesentliche Singularität handelt. Aber auch hier weiß ich nicht, wie ich das noch formal begründen kann.

3) $\sqrt{z}$
Hier fehlt mir jede Idee. (außer evtl. mit $e^{1/2 ln(z)}$ zu arbeiten, aber dann müsste man ja einen Zweig für ln auswählen (z.B. den Hauptzweig, ginge das oder stört dann, dass die negative reelle Achse als Def.bereich fehlt? Wie man dann weitermacht, weiß ich jedenfalls auch nicht)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Definition "analytische Abbildung"  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-13
Newmath2012
J

Alles klar, mit bloßer "Klasse" kann ich was anfangen ;)

Vielen Dank für deine Hilfe! :)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Definition "analytische Abbildung"  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-13
Newmath2012
J

Ach, okay... Danke Kezer!
Wie geschrieben, ich kannte nur die oben erwähnten Definitionen im Zshg. mit Analytizität und war mir nicht sicher, ob sie einheitlich verwendet werden, darum wollte ich mich nicht auf Google verlassen.  

Eine Frage in dem Zusammenhang hätte ich noch (und stelle sie hier, weil es sich wsl. nicht lohnt, einen neuen Thread dafür aufzumachen):
In der Definition einer Riemannschen Fläche (auf S. 15) verwendet Freitag den Begriff "volle Klasse". Was wird damit denn gemeint sein? Gibt es auch "halbvolle Klassen" o.Ä.?

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Definition "analytische Abbildung"  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-13
Newmath2012
J

Hallo Kezer,

was hat die Potenzreihendarstellung mit analytischen Funktionen zu tun?
(Und ja, ich weiß bereits, dass auf $\mathbb{C}$ die holomorphen Funktionen genau die sind, die eine Potenzreihendarstellung haben. Ich kenne den Begriff der Holomorphie auch auf nichts anderem als $\mathbb{C}$.)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Definition "analytische Abbildung"  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-13
Newmath2012
J

Hallo Vercassivelaunos,

danke für deine flinke Antwort!
Ist Analytizität also "normalerweise" einfach ein Synonym für Holomorphie?

LG Newmath2012

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Definition "analytische Abbildung"  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-13
Newmath2012
J

Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einer Definition der Komplexen Analysis.
(Wer das Buch "Funktionentheorie 2" von Eberhard Freitag hat - es geht um Hilfssatz 1.7 und Definition 1.8 auf S. 16.)

Es beginnt mit dem Hilfssatz:
Sei $f:X\rightarrow Y$ eine stetige Abbildung topologischer Flächen. Auf X bzw. Y sei ein analytischer Atlas $\mathcal{A}$ bzw. $\mathcal{B}$ ausgezeichnet. Sei $a \in X$ ein fester Punkt und $b = f(a)$. Folgende beiden Bedingungen sind gleichbedeutend:

a) Es gibt ein Paar von Karten $\phi \in \mathcal{A}$ mit $a \in U_{\phi}$ und $\psi \in \mathcal{B}$ mit $b \in U_{\psi}$. Die Funktion $f_{\phi,\psi}$ [Anmerkung: diese ist auf S. 15 als $f{\phi,\psi} = \psi\circ f\circ \phi^{-1}$definiert] (,welche in einer offenen Umgebung von $\phi(a)$ definiert ist,) ist analytisch in einer offenen Umgebung von $\phi(a)$.

b) Die Bedingung a) gilt sinngemäß für jedes Paar von Karten $\phi \in \mathcal{A}$ mit $a \in U_{\phi}$ und $\psi \in \mathcal{B}$ mit $b \in U_{\psi}$.

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe, was in a) "$f_{\phi,\psi}$ ist analytisch bedeutet. Die einzigen Definitionen, die zuvor den Begriff analytisch miteinschließen, betreffen auf S. 14 die "analytische Verträglichkeit" zweier Karten (gdw die Kartentransformationsabbildung $\psi \circ \phi^{-1}$ biholomorph (=konform) ist)
und den "analytischen Atlas" (ein Atlas, von dem je zwei beliebige Karten miteinander analytisch verträglich sind).
Aber es wird nirgends definiert, was "$f_{\phi,\psi}$ ist analytisch" bedeutet.
Darum verstehe ich auch die nachfolgende Definition nicht:
Eine stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ Riemannscher Flächen $X = (X,\mathcal{A}), Y = (Y, \mathcal{B})$ heißt analytisch in einem Punkt $a \in X$, falls die im Hilfssatz formulierten Bedingungen a),b) erfüllt sind.

Weiß hier jemand, was mit der Analytizität im Hilfssatz gemeint ist?

Kombinatorik & Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Zshg. OGF und Erwartungswert  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-09
Newmath2012
 

Liebe Community,

bei der Lektüre eines papers von Flajolet kann ich mir folgende Gültigkeiten nicht erklären:

1) sei $A$ ein Alphabet und $Y_n$ die auf $A^n$ definierte Zufallsvariable, die die Anzahl von k-Hits (also mind. k-maliges Auftauchen ein- und desselben Buchstabens) in einer Reihe von n Versuchen angibt (also in einem Wort der Länge n); bezeichne $Pr(Y_n = q)$ die Wahrscheinlichkeit, dass es in einem Wort der Länge $n$ genau q k-Hits gibt
sei $H_q$ die Sprache, die aus Wörtern mit exakt q Buchstaben besteht und sei $h_q$ die OGF (= gewöhnliche erzeugende Funktion) von $H_q$

Wieso gilt dann: $\sum\limits_{n \geq 0} Pr\{Y_n = q\}= h_q(1)$?
(Das muss wohl irgendeine generelle Eigenschaft von erzeugenden Funktionen sein, aber ich weiß nicht, wo ich sie nachschlagen kann, habe sie online nirgends gefunden.)

2) Eine ganz ähnliche Eigenschaft der - diesmal markierenden - erzeugenden Funktion wird später nochmals verwendet:
sei $A(z;v)$ eine bivariate erzeugende Funktion, deren Parameter v spezielle Buchstabenblöcke (nennen wir sie "R-Blöcke") markiert
es ist also der Koeffizient $[z^nv^t]A(z;v)$ die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Wort der Länge n t-viele R-Blöcke hat

Wieso ist dann $[z^n]\frac{\partial}{\partial v}A(z;v)|_{v = 1}$ die erwartete Anzahl von R-Blöcken in einem Wort der Länge n?

Und ein zu 2) identisches Problem:
Sei B(z;v) eine bestimmte markierende erzeugende Funktion, sodass $[z^nv^c]B(z;v)$ die Wahrscheinlichkeit angibt, dass sich die Gesamtkosten für Referenzen eines bestimmten Items in einem zufälligen Wort der Länge n auf c belaufen
Wieso sind dann $[z^n]\frac{\partial A(z;v)}{\partial v}|_{v = 1}$ die erwarteten Kosten für Referenzen des Items in einem Wort der Länge n?


Und vor allem: Wieso wird bei 1) direkt 1 eingesetzt, bei 2) aber zunächst noch abgeleitet, um den jeweiligen Erwartungswert zu erhalten?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Residuum bestimmen mit Wegintegral  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-27
Newmath2012
J

Super, danke Kuestenkind! :)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Residuum bestimmen mit Wegintegral  
Beitrag No.4 im Thread
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Newmath2012
J

Hallo Kuestenkind,

danke für deine Antwort. Ich versuche noch einmal, meine Frage zu präzisieren:
Wenn ich zuerst über die Kurve $|z| = \epsilon$ integriere und dann $z = \frac{1}{t}$ substituiere, ändern sich - wie auch in deinem Beispiel - die Grenzen und ich integriere ab dann über $|t| = \frac{1}{\epsilon}$. Zusätzlich kommt wegen $dz = -t^{-2}$ ein Minus rein. Aber offenbar kommt auch noch das Minus wegen dem geänderten Umlaufsinn der Kurve, über die wir integrieren, dazu... - wie aber sehe ich, dass die Kurve $|t| = \frac{1}{\epsilon}$ einen anderen Umlaufsinn als $|z| = \epsilon$ hat? Sehe ich das daran, dass zuerst $z = R e^{i \Theta}$ war, nach Substitution aber $t = \frac{1}{R}e^{-i\Theta}$ und das letztere Theta ein anderes Vorzeichen hat als ersteres?
 

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