Die Mathe-Redaktion - 23.01.2020 03:47 - Registrieren/Login
Auswahl
ListenpunktHome
ListenpunktAktuell und Interessant ai
ListenpunktArtikelübersicht/-suche
ListenpunktAlle Links / Mathe-Links
ListenpunktFach- & Sachbücher
ListenpunktMitglieder / Karte / Top 15
ListenpunktRegistrieren/Login
ListenpunktArbeitsgruppen
Listenpunkt? im neuen Schwätz
ListenpunktWerde Mathe-Millionär!
ListenpunktAward-Abstimmung ab 1.1.
ListenpunktFormeleditor fedgeo
Schwarzes Brett
Aktion im Forum
Suche
Stichwortsuche in Artikeln und Links von Matheplanet
Suchen im Forum
Suchtipps

Bücher
Englische Bücher
Software
Suchbegriffe:
Mathematik bei amazon
Naturwissenschaft & Technik
In Partnerschaft mit Amazon.de
Kontakt
Mail an Matroid
[Keine Übungsaufgaben!]
Impressum

Bitte beachten Sie unsere Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, unsere Datenschutzerklärung und
die Forumregeln.

Sie können Mitglied werden. Mitglieder können den Matheplanet-Newsletter bestellen, der etwa alle 2 Monate erscheint.

Der Newsletter Okt. 2017

Für Mitglieder
Mathematisch für Anfänger
Wer ist Online
Aktuell sind 120 Gäste und 2 Mitglieder online.

Sie können Mitglied werden:
Klick hier.

Über Matheplanet
 
 
Suchwörter   (werden UND-verknüpft)
Keines der folgenden   keine eigenen Beiträge
Name des Autors 
resp. Themenstellers 

nur dessen Startbeiträge
auch in Antworten dazu
Forum 
 Suchrichtung  Auf  Ab Suchmethode  Sendezeit Empfehlungbeta [?]
       Die Suche erfolgt nach den angegebenen Worten oder Wortteilen.   [Suchtipps]

Link auf dieses Suchergebnis hier

Forum
Thema Eingetragen
Autor

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Dimension eines Funktionenraumes  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-21 18:27
Newmath2012
 

Aja, du hast Recht, wir betrachten ja Linearkombinationen.

Stimmt, das ist okay, weil wir nur über die Binomialkoeffizienten summieren, wo höchstens $\frac{n}{2}$ der Faktoren im Monom den Exponenten 1 haben, alle anderen 0. Und daher erhalten wir insgesamt weniger als $2^n$, richtig?

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Dimension eines Funktionenraumes  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-21 16:27
Newmath2012
 

Hallo ochen,
ja, du hast es schon richtig erkannt, unter Monomen wird (hier) verstanden, dass jeder Exponent höchstens 1 ist.
Impliziert das dann nicht eigentlich auch, dass nur auf die Elemente 0 und 1 des Körpers F abgebildet wird? (Weil wir ja nur Multiplikationen von 0en und 1en haben, welche als Ergebnis nur 0 und 1 haben können?)

Also ich zähle mal die Monome, bei denen keines einen Exponenten größer als Eins hat:
$\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dotsc + \binom{n}{n} = 2^n$
Weil $\binom{n}{0}$ ist die Anzahl der Monome, bei denen alle Exponenten 0 sind, $\binom{n}{1}$ ist die Anzahl der MOnome, bei denen nur genau ein Exponent 1 ist usw.
Aber $2^n$ ist doch jetzt schon ein viel zu großes Ergebnis?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Ring der Funktionen von {0,1}^n in einen Ring  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-21 16:17
Newmath2012
 

Die Polynome zuzordnen, schaffe ich zwar, glaube ich, aber wie das die urspr. Frage klärt, verstehe ich noch nicht. Der Index bei $R_{\leq 1}$ bedeutet, dass die Variablen nur mit 0 oder 1 belegt werden dürfen, ja? Also:

00: 0
11: 1
22: 2
01: X
12: X+1
20: X+2
02: 2X
10: 2X+1
21: 2X+2

Vektorräume
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Dimension eines Funktionenraumes  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-19 18:58
Newmath2012
 

Hallo Leute,
ich hätte mal wieder eine kurze Frage, weil ich nicht weiß, welches Hintergrundwissen/Fachgebiet/Satz ich zu deren Beantwortung nachschlagen muss:
Wenn wir wissen, dass der Raum von Funktionen von einer Menge $D_n \subseteq \{0,1\}^n$ in einen Körper F aufgespannt wird von Monomen eines Grades kleiner oder gleich $\frac{n}{2} + o(\sqrt{n})$, wieso folgt dann für die Dimension des Raumes, dass $|D_n| \leq \sum\limits_{i = 0}^{\frac{n}{2} + o(\sqrt{n})}\binom{n}{i}$ ist?

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Ring der Funktionen von {0,1}^n in einen Ring  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-19 18:51
Newmath2012
 

Zu deinem Beispiel mit $R = \mathbb{Z}/3\mathbb{Z}$:
Ich hätte gedacht, es gibt $2^3$ Funktionen, weil wir 3 Möglichkeiten haben, die Funktionswerte zu den 2 Urbildern zu belegen. Aber wenn ich mir alle aufschreibe, komme ich auf folgende 9 (wobei die erste Spalte angibt, worauf 0 abgebildet wird, und die zweite, worauf 1):
00
01
02
10
20
11
12
21
22
Irgendwie muss es bei den $2^3$ also einen Haken geben...

Was die Polynome betrifft, weiß ich leider nicht genau, was du meinst. Ich würde aber sagen, es sind 0 und 1 Polynome vom Grad 0, x ist ein Polynom vom Grad 1, x + 0 ist ein Polynom vom Grad 1, x + 1 ist ein Polynom vom Grad 1 und x + 0 + 1 ist ein Polynom vom Grad 1. Das wären dann also 6?
Elementare Funktionen sind mir kein Begriff (wobei ich Ana3 aber gehört und abgeschlossen habe). Ich kenne Treppenfunktionen, die aus Indikatorfunktionen aufgebaut werden. Und ich habe den Wikipedia-Artikel zu "elementare Funktionen" gelesen, glaube aber nicht, dass es das ist, was du meinst.

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Ring der Funktionen von {0,1}^n in einen Ring  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-13 18:14
Newmath2012
 

Danke für deine Antworten, ochen! :)

1. Wie Boolesche Funktionen genau definiert sind, weiß ich leider auch nicht. Wikipedia zufolge scheint es mir aber schon so zu sein.



2. Das bedeutet aber, dass nur gilt, dass $x$ und $x^2$ das gleiche Element repräsentieren, wenn wir nur Funktionen betrachten, die nach $\{0_R,1_R\}$ abbilden und nicht nach ganz R?



3. An einem nicht trivialen Beispiel bastle ich derzeit noch...

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Ring der Funktionen von {0,1}^n in einen Ring  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-13 16:40
Newmath2012
 

Hallo Community,
hier vier kurze algebraische Fragen; es sieht nur komplizierter aus, weil ich auch gleich die Hintergründe dazu abgetippt habe:

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und sei $F_{R,n}$ die Menge aller Funktionen von $\{0,1\}^n$ nach R.
Dann ist $F_{R,n}$ selbst wieder ein kommutativer Ring unter punktweiser Addition und Multiplikation von Funktionen. --> 1. Frage: Ist das wieder ein Ring mit Eins?
Insbesondere enthält $F_{R,n}$ die Menge aller Booleschen Funktionen $f: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$ als Teilmenge.

Ein Polynom $P(x_1, \dotsc, x_n)$ mit Koeffizienten in R repräsentiert die Funktion in $F_{R,n}$, die durch $(a_1, \dotsc, a_n) \mapsto P(a_1, \dotsc, a_n)$ gegeben ist.
Ist $a = (a_1, \dotsc, a_n) \in \{0,1\}^n$, dann kann die Funktion $\chi_a: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}$, definiert durch $\chi_a(b) = \begin{cases}1, \quad \text{wenn a = b}\\0, \quad \text{sonst}\end{cases}$ durch das Polynom $(\prod\limits_{\{i: a_i = 1\}}x_i)(\prod\limits_{\{i: a_i \neq 1\}} (1-x_i))$ repräsentiert werden.
Ist $f \in F_{R,n}$, dann ist $f = \sum\limits_{a \in \{0,1\}}^n f(a) \chi_a$, also kann jede Funktion in $F_{R,n}$ durch ein Polynom repräsentiert werden.
Da $x_i^2$ und $x_i$ das gleiche Element von $F_{R,n}$ repräsentieren [--> 2. Frage: Wieso repräsentieren sie das gleiche Element, wie sieht man das?], kann jede Funktion durch eine R-lineare Kombination der Monome $X_I = \prod\limits_{i \in I}x_i$, wobei $I \subseteq \{1, \dotsc, n\}$ und $X_{\emptyset}:=1$ repräsentiert werden. --> 3. Frage: Wieso kann deshalb jede Funktion durch eine solche Kombination repräsentiert werden? (Hat jemand vlt. ein konkretes Beispiel dafür, das zum Verständnis beitragen könnte?)

Ist R ein Körper, dann hat $F_{R,n}$ auch die Struktur eines Vektorraumes über R und ist eine R-Algebra der Dimension $2^n$. In diesem Fall bilden die Monome $X_I$ eine Vektorraumbasis. --> 4. Frage: Aus welchen Sätzen o.Ä. folgt das mit dem Vektorraum und der R-Algebra und wie überlegt man sich das mit der Dimension und der Vektorraumbasis?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Fragen zum Galoiskörper GF(p^m) und zu Z_p  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-09 19:11
Newmath2012
 

Danke für deine Hilfe, xiao_shi_tou_!

Das mit der multiplikativen Gruppe ist allerdings anders gemeint, glaube ich. Es scheint mir um die multiplikative Gruppe von $GF(p^m)$ zu gehen und das ist doch nicht $\mathbb{F}_q^{\times}$, sondern $\mathbb{F}_p^{\times}$?  
Und die Behauptung, dass es eine $q$-te Primitivwurzel, also eine Wurzel wie zu Beginn in 3) beschrieben, gibt, ist auch sicher kein Tippfehler, weil das dann die ganze Zeit weiterverwendet wird.  

Das mit $x_i = 1$ ist wirklich komisch, denn der Ausdruck taucht später noch einmal in genau der gleichen (mutmaßlich falschen) Weise auf. Aber gut, vlt. wurde da ein Tippfehler gecopypastet... Aber deine Version macht mehr Sinn. :$

Ist "Einheitengruppe" nur ein anderer Ausdruck für "multiplikative Gruppe"?

Und kannst du auch noch etwas zu 4) und 7) sagen bzw. fehlt dir zur Einschätzung noch irgendeine Information?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Fragen zum Galoiskörper GF(p^m) und zu Z_p  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-08 17:44
Newmath2012
 

Hallo Leute, kann bitte noch jemand weiter auf die Fragen eingehen? :)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Fragen zum Galoiskörper GF(p^m) und zu Z_p  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-07 01:37
Newmath2012
 

Hallo xiao_shi_tou_, danke für deine Antwort und den Buchtipp. Ich habe zwar mittlerweile schon in mehreren Quellen gelesen, dass auch in $GF(p^m)$ die Bedeutung von Charakteristik die gleiche ist (also bei Charakteristik p die p-fache Addition jeden Elements Null ergibt), aber darunter vorstellen kann ich mir noch nichts. Ich werde es erst einmal so hinnehmen.
In 6) ist es nicht so gemeint wie in deinem Vorschlag, sondern so, wie ich es geschrieben habe. Zumindest ist das die Form, die im Buch steht. Es kann sich natürlich dort um einen Tippfehler handeln...
g ist dabei die in 3) gefundene q-te Primitivwurzel von 1 und $x_i$ ein Input, der den Wert 0 oder 1 haben kann.


Hallo qwertzusername, danke für deine Antworten.
Könntest du das in 2) bitte noch ein wenig nachvollziehbarer begründen, also z.B. einen entsprechenden Satz nennen oder so?
3) Ja, genau! :) Aber dass $q|p^m - 1$ war mir schon klar und ich weiß eben nicht, wie daraus die Existenz einer q-ten Primitivwurzel folgt?
$x_1 \cdots x_n$ ist ein Polynom vom Grad n, das die UND-Funktion repräsentiert, weil $x_i = 0$ oder $x_i = 1$ für $1 \leq i \leq n$ gilt und die UND-Funktion ja genau 1 ausgibt, wenn alle Werte gleich 1 sind und sonst 0, was auch dieses Polynom leistet. Ansonsten gibt es dazu nicht mehr Vorwissen. Wo genau fehlt dir denn noch Information?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Fragen zum Galoiskörper GF(p^m) und zu Z_p  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-05 16:51
Newmath2012
 

Hallo qwertzusername, danke für deine Hilfe!

1) Wie würdest du die Elemente von $GF(p^m)$ denn sonst benennen? Und was bedeutet denn nun Charakteristik in diesem Zusammenhang, also in $GF(p^m)$?

2) Also weil $0$ die einzige Nicht-Einheit in $GF(p^m)$ ist und nicht $p \equiv 0 \, mod \, q$ gilt, ist $p$ automatisch ein Element der Einheitengruppe modulo $q$?

3) Mit F ist $GF(p^m)$ gemeint. Und die Definition der Primitivwurzel, die du angibst, enstpricht nicht der, die in dem Buch gemeint ist, also, welche ich hingeschrieben habe. Ich versuche, die Frage anders zu formulieren:
Wieso gilt, dass es in $GF(p^m)$ sicher ein Element $g$ gibt, sodass $g^q = 1$ und $g^r \neq 1$ für $1 \neq r < q$, wenn $q$ eine von der Primzahl $p$ verschiedene Primzahl ist. (Erinnerung, falls relevant: $m$ wurde so gewählt, dass $p^m \equiv 1$(mod q))

4, 6, 7) F ist $GF(p^m)$. Es geht immer um den speziellen in 1) gewählten Körper.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Fragen zum Galoiskörper GF(p^m) und zu Z_p  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-04 23:06
Newmath2012
 

Hallo allerseits,

beim Lesen eines Buches der theoretischen Informatik werden einige algebraische Dinge als bekannt vorausgesetzt, deren Gültigkeit mir allerdings nicht klar ist. Daher würde ich mich freuen, wenn jemand hier Licht ins Dunkel bringen könnte. Im Folgenden sind p und q immer zwei unterschiedliche Primzahlen.

1) "Für alle $m>0$ gibt es einen Körper $F = GF(p^m)$ der Charakteristik $p$ und Kardinalität $p^m$. Dieser Körper enthält $\mathbb{Z}_p$ als Unterkörper."
Soweit ich mich erinnern kann bzw. es nachgelesen habe, ist die Kardinalität in diesem Zusammenhang die Anzahl der enthaltenen Elemente, das heißt, die Elemente von F sind $\{0,1,2, ..., p^m-1\}$?
Was genau Charakteristik p hier bedeutet, konnte ich allerdings nicht herausfinden. Bei einem unitären Ring würde es bedeuten, dass p die kleinste Zahl $\geq 1$ ist, deren p-fache Summe von 1en Null ergibt. Ist hier auch die p-fache Summe von 1en gleich Null, weil wir in $GF(p^m)$ alles modulo p betrachten? Aber dann hätte F ja nur die Elemente {0, ..., p-1}?

2) "Da p ein Element der "group of units modulo q" (ich weiß nicht, ob die Übersetzung als "Einheitengruppe modulo q" korrekt wäre?) ist, gibt es ein m>0, sodass $p^m \equiv 1 \,(mod \,q)$."
Wieso wissen wir automatisch, dass p ein Element der Einheitengruppe modulo q ist? Gilt das immer, wenn man zwei verschiedene Primzahlen hat?

3) "Da die multiplikative Gruppe eines endlichen Körpers zyklisch ist, impliziert das, dass F eine q-te Primitivwurzel von 1 enthält, das heißt, ein Element $g$, sodass $g^q = 1$ und $g^r \neq 1$ für $1 \leq r < q$."
Dass die multiplikative Gruppe zyklisch ist, ist mir bekannt, und das bedeutet ja, dass sie von einem einzigen Element erzeugt wird. Wieso aber enthält F dann sicher auch eine ausgerechnet $\textbf{q-te}$ Primitivwurzel von 1?

4) "Ist x = 0 oder x = 1, dann ist $x = h(g^x-1)$, wobei $h = (g-1)^{-1}$. Daher kann das Polynom $x_1\cdots x_n$ (das die UND-Funktion repräsentiert, wo also die x_i jeweils den Wert 0 oder 1 haben) als F-lineare Kombination $\sum\limits_{I \subseteq \{1, \dotsc, n\}}c_Ig^{u_I}$ für $c_I \in F$ und $u_I = (\sum_{i \in I} x_i)\,mod\,q$ geschrieben werden."
Ich nehme an, $(g-1)^{-1}$ bezeichnet hier die in F liegende multiplikative Inverse von $(g-1)$?
Mir ist nicht klar, wie sich die Darstellung als jene Linearkombination ausgeht und ich komme nicht alleine darauf, wie die Zwischenschritte dorthin aussehen.

5) "$GF(p^m)$ ist ein Vektorraum der Dimension $m$ über $\mathbb{Z}_p$."
Hier interessiert mich, wie dieser Vektorraum aussieht. Soweit ich es nachgelesen habe, müsste er aus Polynomen mit Koeffizienten in $\mathbb{Z}_p$ bestehen?

6) "Sei $y_i = g^{x_i}$. Dann ist $y_i^{-1} = g^{-x_i} = (g^{-1}-1)(g-1)(y_i-1) + 1$".
Kann hier jemand das zweite Gleichheitszeichen nachvollziehen?

7) "Sei $f: \{0,1\}^n \rightarrow F$. Sei $Q_n$ ein Polynom in n Variablen, das $f$ auf $D_n$ repräsentiert. Ersetzt man jedes Vorkommnis von $x_i$ in $Q_n$ durch $(g-1)^{-1}(y_i-1)$, dann erhält man eine F-lineare Kombination der Funktionen $Y_I = \prod_{i \in I}y_i$, wobei $I \subseteq \{1, \dotsc, n\}$."
Ähnlich wie in 4), ist mir hier auch unklar, wie sich die Umformung zu jener Linearkombination ausgehen soll...


Ich hoffe, meine Fragestellungen sind klar, ansonsten gebt bitte Bescheid. Auch für die Beantwortung nur einzelner Punkte wäre ich dankbar!

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Gleichung für Summe über Kantengewichte  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-10
Newmath2012
J

Hallo Triceratops,
ich habe dazu noch eine ganz ähnliche Umformung, die sich vmtl. auch mit dem Distributivgesetz erklären lässt. Ich sehe nur leider nicht, wie, und wäre froh, wenn du Licht ins Dunkel bringen könntest:

$\prod \limits_{i=2}^{r-1}\left(y_{i,i} \frac{x_1 + \dotsc + x_i}{x_i} + \sum \limits_{j = i+1}^{r}y_{i,j}\right) = \sum \limits_{g: \{r, \dotsc r-1\} \rightarrow \{2, \dotsc, r\} \\ \forall u \in \{2, \dotsc r-1\}: g(u) \geq u} \left( \left( \prod \limits_{i \in \{2, \dotsc, r-1\}\\g(i) > i} y_{i, g(i)} \right) \cdot \left(\prod \limits_{i \in \{2, \dotsc, r-1\}: \\g(i) = i}y_{i,i} \frac{x_1 + \dotsc + x_i}{x_i}\right)\right)$

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Gleichung für Summe über Kantengewichte  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-10
Newmath2012
J

Hallo Triceratops,
vielen Dank! Da war ich mit meinen Erklärungsversuchen auf dem Holzweg...
Wieso ist bei uns aber erfüllt, dass die Variablen einen Ring bilden? Sie haben doch nicht alle inverse Elemente?
Hast du vielleicht auch einen Link, wo ich dieses allgemeine Distributivgesetz nachlesen kann? Ich habe es via Google leider bislang nicht gefunden.  

Kombinatorik & Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Möbiusfunktion bestimmen, Teilmengenhalbordnung  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-10
Newmath2012
J

Danke Triceratops, dank dir habe ich es verstanden. :)

Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Gleichung für Summe über Kantengewichte  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-10
Newmath2012
J

Hallo allerseits, es geht um ungeordnete, aufsteigende (also die Kinder haben größere Labels als die Eltern) Wurzelbäume.
Sei T ein solcher Baum mit Knotenmenge $\{1, ..., r\}$. Bezeichne $h_T(v)$ die Menge bestehend aus allen Nachfolgerknoten von v (also auch Enkelknoten, Urenkelknoten etc) und v selbst.
$y_{v,u}$ seien formale Variablen, die für die Kantengewichte von v nach u stehen.
Dann gilt: $\prod \limits_{v=2}^{r} \sum \limits_{u \in h_T(v)} y_{v, u} = \sum \limits_{g: \{2, ..., r\} \rightarrow \{2, ..., r\} \\ \forall u \in \{2, ..., r\}: g(u) \in h_T(u)} \prod \limits_{i \in \{2, ..., r\}} y_{i, g(i)}$
Meine Frage ist nun, wie man sich überlegen kann, dass diese Gleichheit gilt. Ich habe mir schon für r = 2, r = 3 und r = 4 aufgeschrieben, wie jeweils die linke und rechte Seite aussieht und daran gesehen, dass für diese Werte von r die Gleichheit tatsächlich gilt. Mir ist allerdings trotzdem nicht klar, wie man sieht, dass sie eben generell gilt.
Würde mich über eine Erklärung dazu sehr freuen, danke im Voraus!

Kombinatorik & Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Kombinatorische Umformungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-09
Newmath2012
 

Hallo Community,

ich habe eine Unklarheit zu zwei auf dem gleichen Prinzip basierenden Umformungen in folgendem paper (gleich zu Beginn, also ihr müsst nicht das ganze paper lesen, um die Frage beantworten zu können, keine Sorge).
arxiv.org/pdf/1310.4093.pdf

Und zwar bei Proposition 2.1.:  
Bei b) zunächst das, was bei "expanding the product in terms of dominating functions" rauskommt (vor allem irritiert mich sehr stark die Vertauschung von Summe und Produkt) und dann noch $\prod \limits_{i: g(i) = i} \frac{x_1 + \dotsc + x_i}{x_i} = \frac{1}{x_{\mu_2} \dotsc x_{\mu_{|\pi| - 1}}}\sum \limits_{c \in \mathcal{C}(\pi)} \omega(c, \pi)$

Wäre super, wenn mir da jemand erklären könnte, weil ich schaffe es nicht, mir das so aufzuschreiben, dass es kombinatorisch die behaupteten Gleichheiten liefert. Und wie schon erwähnt, irritieren mich die Summen- und Produktvertauschungen ganz besonders...

Freu mich auf eure Antworten! :)

Kombinatorik & Graphentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Möbiusfunktion bestimmen, Teilmengenhalbordnung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-03
Newmath2012
J

Hallo Triceratops,
also für die Faltung $\mu \ast \mu (A,B)$ habe ich jetzt allgemein (ohne die Annahme, dass $B \setminus A = n$ ist, herausbekommen: $\mu \ast \mu (A,B) = (-2)^{|B \setminus A|}$.
Stimmt das? :)

Erzeugende Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Koeffizienten bestimmen mittels Lagrange-Bürmann  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-02
Newmath2012
 

Hallo Triceratops,
ich habe es nun noch einmal "intuitiv, auf gut Glück" versucht und bin damit auf das richtige Ergebnis gekommen, glaube ich. Zumindest passen die Werte für n=2 und n=3. Und jene für n=0 und n=1 (die nicht passen), könnten ja Anfangswerte sein, sodass die Rekursion nur ab n=2 gilt oder? (Aber das klingt gerade schon seltsam, während ich es schreibe...)

Jedenfalls habe ich es so gemacht:
$T = e^{zT^2} \Leftrightarrow ln(T) = zT^2 \Leftrightarrow z = \frac{ln(T)}{T^2} =: \frac{w}{\Phi(w)}, \quad \Phi(w) = e^{2w}$
Damit gilt nun: $T_n = n![z^n]T(z) = n!\frac{1}{n}[w^{n-1}]e^w e^{2nw} = (n-1)![w^{n-1}]e^{w(2n+1)} = (n-1)![w^{n-1}]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(w(2n+1))^k}{k!} = (2n+1)^{n-1}$
Meinst du, das stimmt bzw. wenn ja, hast du eine mathematische Begründung dafür? (Ich sehe nämlich nicht, wie meine Wahl mit dem Satz zusammenpasst.)


EDIT: Ich habe mich da verrechnet, also die erhaltene Lösung gilt tatsächlich für alle $n \geq 0$, so, wie es zu erwarten war. Allerdings verstehe ich immer noch nicht, wie das, was ich gemacht habe, genau mit den Definitionen aus dem Satz zusammenpasst...

Erzeugende Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Newmath2012
Koeffizienten bestimmen mittels Lagrange-Bürmann  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-02
Newmath2012
 

Hallo Triceratops,

wenn man das direkt mit den Definitionen wie im Satz macht, ist dein Vorgehen bislang schon mal sehr nachvollziehbar.
Wie aber schaut dann $g^{-1}$ aus bzw. wie geht es weiter?
Ich denke, $g^{-1}$ müsste dann $\frac{1}{T^2}$ sein oder?
Aber dann wäre $\Phi(w) = w T^2(w)$ und das kann doch nicht sein oder?
 

Sie haben sehr viele Suchergebnisse
Bitte verfeinern Sie die Suchkriterien

[Die ersten 20 Suchergebnisse wurden ausgegeben]
Link auf dieses Suchergebnis hier
(noch mehr als 20 weitere Suchergebnisse)

-> [Suche im Forum fortsetzen]
 
 

 
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2019 by Matroids Matheplanet
This web site was made with PHP-Nuke, a web portal system written in PHP. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die Nutzungsbedingungen, die Distanzierung, die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]

used time 0.043777