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Elektrodynamik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: NIck1234
Spiegelladungsmethode: Green Funktion für zwei leitende Ebenen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-22
Orangenschale
 

Hallo NIck1234,

wie lautet denn die gegebene Ladungsdichte und/oder Potentiale auf dem Rand des Gebietes? Noch besser wäre der Originalwortlaut der Aufgabe, da ich das Gefühl habe, dass hier Informationen fehlen.

Viele Grüße
OS

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Wieso wird bei Lagrange-Fkt. ein Vektor scheinbar wie eine einfache Ableitungsvariable betrachtet?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-30
Orangenschale
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Sambucus,

ich kenne die Notation $\frac{\partial L}{\partial \vec r}$ noch aus der Experimentalphysikvorlesung, aber ehrlich gesagt finde ich das keinen guten Stil, weil es eben zu solchen Verwirrungen kommen kann.

In der Regel schreibt man auch nicht $\vec r = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$, sdondern $\vec r = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$.
Der Grund ist, dass $r_i$ häufig für den Betrag eines Vektors $\vec r_i$ verwendet wird.

Zudem werden die meisten Rechnungen deutlich einfacher und übersichtlicher wenn man die Summenkonvention verwendet. Vielleicht nicht gerade bei diesen leichten Aufgaben, aber definitiv wenn z.B. Kreuzprodukte, Rotationen, Divergenzen und Gradienten vorkommen, wie in der Elektrodynamik. Ich würde dir sehr empfehlen, dich mit dieser Notation vertraut zu machen, da sie viele Dinge so extrem vereinfacht.  
 

Als Beispiel würde ich zum Beispiel die erste Aufgabe so lösen (sehr ausführliche Erklärung!!):
(i) $L=\frac12 m \vec {\dot r}^2$
Umschreiben unter Zuhilfenahme von Summen, also $\vec {\dot r}^2 = \sum_{i=1}^3 {\dot x_i}^2 $ was man mit der Summenkonvention noch weiter vereinfachen kann zu $\vec {\dot r}^2=\dot x_i \dot x_i$, wobei bekanntlich über doppelte Indizes summiert wird. Das ist der einzige Grund (!) warum wir nicht ${\dot x_i}^2$ schreiben sondern $\dot x_i \dot x_i$. Die Lagrangefunktion kann man also auch schreiben als
$$ L=\frac12 m \dot x_i \dot x_i\,.
$$
Wollen wir nun die Bewegungsgleichungen bestimmen, also die Differentialgleichungen für die drei Koordinaten $x_i$, dann können wir das nun in einer Zeile erledigen. Die Bewegungsgleichung im Lagrangeformalismus ist gegeben durch
$$ \frac{d}{d t} \frac{\partial L}{\partial \dot x_i}-\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0
$$ Berechnen wir nun was gefragt ist:
$$ \frac{\partial L}{\partial \dot x_i} = \frac{\partial }{\partial \dot x_i} \left(\frac12 m \dot x_j \dot x_j\right) = \frac12 m (\delta_{ij} \dot x_j + \dot x_j \delta_{ij}) = m\dot x_i
$$ Drei Dinge sollten dir auffallen:
(1) Ich habe den Index $i$ in der Lagrangefunktion durch $j$ ersetzt, weil wir nach $\dot x_i$ ableiten wollen, und somit der Index $i$ schon vergeben war.
(2) Beim Ableiten des Produkts $\dot x_j \dot x_j$ habe ich einfach die Produktregel verwendet
(3) Für die partielle Ableitung gilt $\frac{\partial \dot x_j}{\partial \dot x_i} = \delta_{ij}$. Diese Relation kannst du dir leicht klar machen.

Ansonten wird über doppelte Indizes summiert, deswegen liest man z.B. in obiger Gleichung $\delta_{ij}\dot x_j$ immernoch als Summe über $j$, aber nicht über $i$ (dieser Index ist fest vorgegeben). Demnach $\delta_{ij}\dot x_j = \sum_{j=1}^3 \delta_{ij}\dot x_j = \dot x_i$.

Die zweite Aufgabe ist trivial, da die Lagrangefunktion nicht vom Ort sondern nur von den Geschwindigkeiten abhängt.

Das war jetzt vielleicht mit Kanonen auf Spatzen geschossen, aber ich wollte die Gelegenheit nutzen dir zu zeigen, wie man solche Aufgaben mit einer geschickten Konvention (Summenkonvention) effizient lösen kann und wie man mit diesem Handwerkzeug sehr gut auch für schwerere Probleme gerüstet ist.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Annäherung mit Taylor-Formel (mehrere Variablen): Kann ich Variablen als Entwicklungspunkte nehmen?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Orangenschale
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Sambucus,

du kannst das ganze an der Funktion $f(x)=e^x$ ausprobieren um eine Näherung für $f(x+\Delta x)$ zu bestimmen. Du wirst sehen, dass alles konsistent ist.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Annäherung mit Taylor-Formel (mehrere Variablen): Kann ich Variablen als Entwicklungspunkte nehmen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-28
Orangenschale
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hi Sambucus,

ich weiß genau was du meinst, damit hatte ich auch lange Probleme. :-)

Fangen wir mal so an, wie man sich das ganze logisch erschließen kann. Ich bleibe vorerst in einer Dimension:
Wenn man eine Funktion linearisiert, dann folgt in erster Ordnung
$$ f(x+\Delta x) \approx f(x) + f'(x)\Delta x\,.
$$ Diese Gleichung sollte intuitiv Sinn ergeben, sie gilt an einer beliebigen Stelle $x$ und zeigt uns, wie wir von da aus $f(x+\Delta x)$ annähern können. Im Grenzfall $\Delta x=0$ ist die Aussage trivial. Eine andere Sicht auf diese Gleichung folgt durch Umstellen:
$$ \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \approx f'(x)
$$ Also der bekannte Differenzenquotient für die erste Ableitung.

Mathematisch kann man sich die Gleichung (in einer und mehr Dimensionen) vielleicht so erschließen. Nehmen wir mal die Funktion $f(y)$ und berechnen die Taylorreihe an einer Stelle $y_0$ mit der bekannten Definition der Taylorreihe, dann erhalten wir
$$ f(y) \approx f(y_0) + \left.\frac{df}{dy}\right|_{y=y_0}\cdot(y-y_0) + \frac{1}{2!} \left.\frac{d^2f}{dy^2}\right|_{y=y_0}\cdot (y-y_0)^2 + \ldots
$$ Gut. Jetzt macht man nichts weiter als
$$ y=x+\Delta x\\
y_0 = x
$$ einzusetzen und man erhält sofort die Gleichung von oben.

Genauso läuft es dann bei mehrdimensionalen Funktionen. Nimm eine andere Variable als die die gegeben ist und ersetze erst zum Schluss.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Berechnung eines Reihengrenzwerts durch komplexe Integration  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-08
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo an alle,

diese Aufgabe hat mich in den letzten Tagen irgendwie beschäftigt und ich habe mich nochmal rangesetzt, um eine Lösung zu finden.

Das Problem kann darauf reduziert werden, dass zur erfolgreichen Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung der gegebenen unendlichen Summe das Verschwinden des Integrals
$$ \lim_{N\to\infty}\oint_{C_N} f(z) \pi\cot(\pi z)dz = 0
$$ zu zeigen ist. Dabei ist $C_N$ ein Kreis mit Radius $R=N+1/2$ in der komplexen Ebene, der gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen werden soll.

Nach reichlich Onlinerecherche bin ich immer nur auf die folgende, vergleichsweise leicht zu zeigende Abschätzung, gekommen:
Für Funktionen $f(z)$ mit $|f(z)| \leq \frac{|M|}{|z|^k}$ mit $k>1$ (!!!) und einer Konstanten $M\in\mathbb C$ findet man
$$ \lim_{N\to\infty}\oint_{C_N} |f(z) \pi\cot(\pi z)|dz = 0\,.
$$ wobei die Kontur in diesem Fall ein Quadrat mit halber Kantenlänge $R=N+1/2$ ist-
Nun ist aber das Problem, dass gerade für die in der Aufgabe gegebene Funktion $f(z)=\frac{1}{z_0-z}$ die Voraussetzung $k>1$ nicht erfüllt wird, da für $|z|>2|z_0|$ gilt $|f(z)|=\frac{1}{|z_0-z|}<\frac{1}{|z|-|z_0|} < \frac{1}{|z|-\frac12|z|} = \frac{2}{|z|} $. Demnach findet man also gerade den Fall $k=1$, der von der allgemeinen Abschätzung ausgeschlossen wird.

Ich habe dann versucht mit dem Tipp in der Aufgabe zu arbeiten, also sich die Funktion $\frac 1 z \pi\cot(\pi z)$ auf der gegebenen Kontur anzusehen. Stellt man das zu berechnende Integral über $C_N$ dar, so fällt sofort auf, dass das Integral symmetriebedingt identisch verschwindet, und zwar für alle $N\in\mathbb N_0$.  

Also um nochmal kurz zusammenzufassen, welche Schritte man vermutlich gehen müsste:

Beweisskizze
1) Beweise, dass $\oint_{|z|=N+\frac12} \frac{1}{z} \pi \cot(\pi z)\,dz=0$ für alle $N$ aus Symmetriegründen. Dieser Schritt ist fast trivial.  
2) Beweise, dass $\oint_{|z|=N+\frac 12}f(z)\pi\cot(\pi z)\, dz\rightarrow 0$ für $N\rightarrow\infty$ für Funktionen $f(z)$ mit  $|f(z)|\leq\frac{|M|}{|z|^k}$ für $M\in\mathbb C$ und $k>1$. Dieser Schritt ist nicht so leicht, aber machbar. Allerdings bietet sich hier die eingangs erwähnte Quadratkontur an.
3) Jetzt kommt der leichte Teil. Schreibe das gegeben Integral minimal um, um die bisherigen Ergebnisse nutzen zu können:
$$ \oint_{|z|=N+\frac12} \frac{1}{z_0-z} \pi \cot(\pi z)\,dz
= \oint_{|z|=N+\frac12} -\frac 1 z \left(1-\frac{z_0}{z_0-z}\right) \pi \cot(\pi z)\,dz\,.
$$ Wir können demnach das Integral als Summe von zwei Integralen darstellen. Das erste verschwindet wegen 1), das zweite Integral hat genau die Eigenschaft, die in 2) vorausgesetzt wurde mit $k=2$ und verschwindet im Grenzwert $N\rightarrow\infty$.

Damit steht der Anwendung des Residuensatzes zur Berechnung der unendlichen Summe nichts mehr im Wege.

Vielleicht sieht jemand noch eine einfachere Lösung, das wäre natürlich praktisch. 🙂


Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Batman2708
Potentialwall Randbedingungen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-04
Orangenschale
J

Hallo Batman2708,

diese beiden Bedingungen beschreiben die Stetigkeit der Wellenfunktion und ihrer ersten Ableitung. Soweit ich weiß, setzt man die Stetigkeit der Wellenfunktion voraus weil sonst viele Dinge der Wahrscheinlichkeitsinterpretation der QM vermutlich keinen Sinn ergeben würden. Die Stetigkeit der ersten Ableitung folgt dann einfach aus der Schrödingergleichung, in dem man sie um einen kleinen Bereich um den endlichen Sprung im Potential integriert, dann diesen Bereich "gegen Null gehen lässt".

Wenn man nach der Frage googelt kommt man übrigens wieder zurück auf den Matheplaneten.

Viele Grüße
OS

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Orangenschale
Veröffentlichung von Musterlösungen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-03
Orangenschale
J

Vielen Dank an alle. Ich habe tatsächlich die beiden Platformen arxiv.org und archive.org verwechselt.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: phycomscience
Zweikörperprobleme - attraktive Potenziale  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-03
Orangenschale
J

Hallo phycomscience,

Attraktiv ist ein anderes Wort für anziehend. Jedes Gravitationspotential ist attraktiv. Coulombpotentiale können anziehend oder abstoßend sein, je nach Art der beteiligten Ladungen.

Viele Grüße
OS

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: maxmustermann9991
starrer Stab, sinusförmige Kraft; DGL ermitteln  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-03
Orangenschale
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo maxmustermann9991,

bei meiner Herleitung hatte ich implizit angenommen, dass das System der Schwerkraft unterliegt, daher erhielt ich noch einen Term $mg$. Wenn du diesen streichst solltest du auf die gewnschte Form der Differentialgleichung kommen.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Gravitation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Gravitationsenergie berechnen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-03
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo kuckuck3,

dein Integral sollte ungefähr so aussehen:
$$ U = -\frac G 2 \left( \frac M V\right)^2 (2\pi)^2  \int_0^\pi d\theta_2 \int_0^R dr_2 r_2^2 \sin\theta_2 \int_0^\pi d\theta_1 \int_0^R dr_1 r_1^2 \sin\theta_1 \frac{1}{\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2\cos\theta_1}}.
$$ Die Integrationen ber $\phi_1$ und $\phi_2$ habe ich schon ausgeführt, daher auch der Faktor $(2\pi)^2$. Dann ist es geschickt zuerst die Integrationen über $\theta_1$ und $\theta_2$ durchzufhren.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Gravitation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Gravitationsenergie berechnen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-02
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo kuckuck3,

das Ergebnis kann eigentlich nicht stimmen, das sieht man schon an den Einheiten. Da sollte irgendwo $(M/V)^2$ stehen, da die Ladungsdichte ja als Produkt vorkommt. Zudem sollte dein angegebenes Zwischenergebnis $r_2$ nicht mehr enthalten wenn du bloß noch über $r_1$ integrierst, denn zum Schluss solltest du eine Energie unabhängig von $r_1$ und $r_2$ erhalten.

Da du keine Zwischenschritten angegeben hast weiß ich leider nicht, wo du noch Fehler gemacht hast. Aber mit einem hast du ungefähr recht, irgendwann macht man eine Fallunterscheidung so wie es bei dir steht.

Die Aufgabe ist rein rechnerisch recht umfangreich mit großem Fehlerpotential (vor allem Vorzeichen), da muss man sich definitv ziemlich konzentrieren.
\(\endgroup\)

Gravitation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Gravitationsenergie berechnen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-02
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
$\rho$ ist doch in der Aufgabe vorgegeben.
Aber was du da genau mit den Volumenintegralen gemacht hast ist mir völlig unklar. Betrachte einmal nur das innere Integral über die Koordinaten $\vec r_1$ und behandle $\vec r_2$ (vorerst) als eine Konstante.
Wähle nun Kugelkoordinaten und lege sie so, dass für $\theta_1=0$ die Richtung von $\vec r_1$ mit der Richtung von $\vec r_2$ übereinstimmt. Das entspricht demnach den klassischen Kugelkoordinaten, wo $\theta_1$ den Winkel zwischen $\vec r_1$ und der $z$-Achse misst.
Daraus folgt
$$ |\vec r_2 - \vec r_1|^2 = r_1^2 + r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos\theta_1
$$
Das Volumenelement in Kugelkoordinaten solltest du kennen und verwenden.  

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Gravitation
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Gravitationsenergie berechnen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-02
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
2020-06-02 10:45 - kuckuck3 in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Roland,
danke für die Antwort. Ich weiß leider nicht wie ich anfangen soll. Vermutlich muss ich die Formel für die kontinuierliche Massendichteverteilung in Kugelkoordinaten umformen und dann weitermachen.

Genau!
Ich halte von der Aufgabe nicht viel, da sie im Prinzip nur eine reine Rechenübung ist. Das Vorgehen bei Doppelintegralen in Kugelkoordinaten ist meistens so, dass man die Koordinten so wählt, dass Vektor $\vec r_2$ als die $z$-Richtung des Koordinatensystem von $\vec r_1$ definiert wird. Dann vereinfacht sich der Abstand $|\vec r_2-\vec r_1|$ ganz erheblich.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Wiederholte Messungen in einem quantenmechanischen System  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-31
Orangenschale
 

Ich habe das Betragsquadrat vergessen. Ich ändere es gleich im Beitrag.

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Orangenschale
Veröffentlichung von Musterlösungen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-29
Orangenschale
J

Danke für eure Antworten. Ich gehe weiter unten auf alle Antworten ein, vielleicht hat noch jemand eine Meinung zu meiner ersten Frage. Also macht es überhaupt Sinn diese Lösungen irgendwo digital zur Verfügung zu stellen? Für einen Teil der Aufgaben habe ich sogar schon Lösungen online gefunden

@traveller: Ich wollte das Buch nicht nennen weil es eigentlich keine Rolle spielt und ich eine Diskussion vermeiden wollte, ob es das richtige für das Thema ist.

@gonz: Für einen Artikel ist es nicht "self contained". Es wäre tatsächlich nur die Lösungen der Aufgaben und sind mehr als ein Lösungsmanual zu verstehen. Ich bin nicht überzeugt, dass dieses Dokument qualitativ irgendeinen Standard bedienen kann.

@willyengland: Kann man das einfach so? Ich dachte immer, das wäre mehr für Preprints von Publikationen, oder liege ich da falsch.


@markusv: ohne die Aufgabentexte sollte es aber kein Problem sein, oder?


Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Orangenschale
Veröffentlichung von Musterlösungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-29
Orangenschale
J

Hallo an all,

ich habe mich in der Zeit des Lockdowns intensiv mit einem bestimmten Themengebiet der theoretischen Physik beschäftigt, das leider in meiner Studienzeit zu kurz gekommen ist aber ich schon immer interessant fand (nicht Relativitätstheorie). Dafür habe ich ein Buch durchgearbeitet und durchgerechnet, und auch einen Großteil der darin enthaltenen Aufgaben gelöst. Die Aufgaben die fehlen fand ich teilweise nicht interessant genug oder arteten in unfassbar lange Umformungen aus ohne das Verständnis zu fördern.

Da ich die Lösungen im Wesentlichen in einer verkürzten Form (ohne alle Zwischenschritte) in TeX geschrieben habe würden mich zwei Dinge interessieren:
1. Wäre es sinnvoll die Lösungen auch anderen zur Verfügung zu stellen (es sind wirklich tolle Aufgaben dabei, die den Stoff ergänzen aber auch teilweise sehr viel Querdenken erfordern)?
2. Wo würde man ein derartiges Dokument hochladen oder ablegen, damit es auch gefunden werden kann?

Ich freue mich über eure Einschätzungen und Hinweise.

Viele Grüße
OS

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 3marco6
Doppelintegral (kleine Frage)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-28
Orangenschale
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hi 3marco6,

substituiere $z=x+y$ im inneren Integral und betrachte $y$ als einen Parameter.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Berechnung eines Reihengrenzwerts durch komplexe Integration  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-28
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Danke Wally.

So langsam verstehe ich die Aufgabe. Die Idee fußt auf der allgemeinen Beobachtung dass die Funktion
$$ g(z) = f(z) \pi \cot(\pi z)
$$ einfache Singularitäten an den Stellen z=n besitzt, wobei die Funktion  $f(z)$ Singularitäten haben darf, bloß nicht bei $z=n$. Die Residuen an den Stellen $z=n$ sind gerade $\text{Res}(g(z),z=n) = f(n)$ wie du mehr oder weniger am Spezialfall $f(z) = \frac{1}{z_0-z}$ gezeigt hast.

Der Residuensatz über die gegebene Kontur (ein Kreis mit Radius $R_N=N+1/2$) sagt demnach
$$ \oint_C g(z)\, dz = 2\pi i \left(\sum_{n=-N}^N f(n) + \sum_k \text{Res}(g(z),z=z_k) \right)
$$ wobei die zweite Summe über die Stellen $z_k$ läuft, an denen $f(z)$ Singularitäten besitzt.  

Ziel der Aufgabe ist es nun zu beweisen, dass das Integral auf der linken Seite verschwindet im Grenzfall $N\rightarrow\infty$, denn dann kann die unendliche Summe auf der der rechten Seite leicht durch Umstellen der Gleichung berechnet werden, also durch eine Summe über die endliche Anzahl der Singularitäten von $f(z)$ ausgedrückt werden.  

Vielleicht hilft dir das erstmal um die Idee hinter der Aufgabe zu verstehen.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Berechnung eines Reihengrenzwerts durch komplexe Integration  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-28
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
Hallo Mandacus,

Bei den Residuen auf der reellen Achse hast du immernoch einen Fehler, da sollte kein Faktor $\pi$ mehr vorkommen.

Mich wundert noch, dass es überhaupt möglich ist, die Summe dieser Reihe zu berechnen. Konvergiert sie überhaupt? Sie sieht doch so ähnlich aus wie die harmonische Reihe. Müsste für die Konvergenz der Reihe $\sum_n a_n$ nicht gelten $\lim_{n\to\infty}|a_n|<\frac{1}{|z|^k}$ mit $k>1$ ?

Das sollte sich mal ein Mathematiker anschauen.

Viele Grße
OS
\(\endgroup\)

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Mandacus
Wiederholte Messungen in einem quantenmechanischen System  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-28
Orangenschale
 
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)

2020-05-27 22:21 - Mandacus in Beitrag No. 8 schreibt:
Eine Merkwürdigkeit, die mir noch aufgefallen ist:

Man soll ja bei c) auch noch eine Grenzwertbetrachtung durchführen. Wenn ich aber mit der erarbeiteten Formel für die Wahrscheinlichkeit arbeite, bekomme ich

$$ \lim_{t \to 0} |\langle \phi_{\nu} | \phi_{\nu}(t) \rangle |^2
=| \sum_{k} | \langle \psi_k | \phi_{\nu} \rangle |^2 |^2
=1
$$
was ich eigenartig finde, da ich erwartet hätte, dass die Wahrscheinlichkeit in die für Teil a) errechnete übergehen würde.
Das ist doch aber genau das was man erwarten sollte. Die Wellenfunktion ist nach der Messung zum Zeitpunkt $t=0$ kollabiert, da der Wert der Observablen und damit die Wellenfunktion durch die Messung festgelegt wurde. Du kannst also durch eine erneute Messung (auch wenn du noch so schnell ein weiteres Mal misst) nicht mehr feststellen, wie der Zustand vor der Messung war.

Bei der Berecnnung des Grenzwertes für $t\rightarrow\infty$ würde mir im MOment auch nichts allgemeingültiges einfallen. Ich denk nochmal darüber nach.

Viele Grüße
OS
\(\endgroup\)
 

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