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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Elemente in der Permutationsgruppe S_5  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-03 22:45
Parmenides
J

Stimmt 🙂, ich kann ja jedes Element der Permutationsgruppe in disjunkte Zyklen zerlegen. Und aus der Primzahleigenschaft folgt mit dieser Beziehung dann, dass die Zerlegung nur aus einem Zyklus bestehen kann. Danke!

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Elemente in der Permutationsgruppe S_5  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-03 21:49
Parmenides
J

Jeder 5-Zyklus in \(S_5\) ist ein Element der Ordnung 5. Gibt es weitere Elemente in \(S_5\) der Ordnung 5?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Multiplikative Gruppe eines Körpers  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-16
Parmenides
J

Danke Triceratops für deinen Beweis!

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Multiplikative Gruppe eines Körpers  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-15
Parmenides
J

Ja, jetzt sehe ich meinen Fehler. Ich hatte angenommen \(<a> = \{a^n | n\in \mathbb{N}^+\}\) statt \(<a> = \{a^n | n\in \mathbb{Z}\}\).
Danke euch!

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Multiplikative Gruppe eines Körpers  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-15
Parmenides
J

Thanks! Warum braucht man die Fallunterscheidung nach der Charakteristik? Könnte man nicht ganz einfach so argumentieren:

Jeder Körper hat ja neben dem neutralen Element \(0\) der Addition, ein neutrales Element \(1 \neq 0\) der Multiplikation. Wenn \(K - \{0\}\) zyklisch wäre, gäbe es ein Generator \(\alpha \in K - \{0\}\) mit \(K - \{0\} = <\alpha>\). Wegen \(1 \in K - \{0\}\) gibt es insbesondere ein \(n\) mit \(1 = \alpha^n\). Betrachtet man jetzt die Folge \(1, \alpha^1, \alpha^2, ..., \alpha^n, ...\), so muss diese sich an der n'ten Stelle wiederholen, kann also nur endlich viele verschiedene Elemente enthalten. Damit hat man einen Widerspruch zur vorausgesetzten Unendlichkeit von \(K\).

Mir erscheint die Argumentation so einfach, dass ich fast glaube irgendetwas übersehen zu haben... Oder?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Multiplikative Gruppe eines Körpers  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-15
Parmenides
J

Danke. Das beantwortet die Frage. Was ist mit der schwächeren Behauptung:

In einem unendlichen Körper \(K\) ist die multiplikative Gruppe \(K−\{0\}\) nicht zyklisch.

Stimmt das?

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Multiplikative Gruppe eines Körpers  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-15
Parmenides
J

Stimmt das? In einem unendlichen Körper \(K\) ist jede Untergruppe der multiplikativen Gruppe \(K-\{0\}\) nicht zyklisch.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-24
Parmenides
 

Hallo Triceratops, ja Abel hat als erster einen vollständigen Beweis geliefert. Diesen Beweis zu folgen finde ich aber auch nicht einfach. Auch den Ausführungen von Galois selbst zu folgen, bevor die "moderne" Galoistheorie formuliert wurde, finde ich schwer. (Wie etwa in dem Buch Galois Theory von Harold M. Edwards dargestellt).
Der topologische Beweis von Arnold, in der Variante wie Bar-Natan ihn in dem Video vorführt, ist bis jetzt das einfachste was ich zu dem Thema gefunden habe. Scheint aber leider nur als Video zu existieren.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Unlösbarkeit der allgemeinen Gleichung 5. Grades  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-24
Parmenides
 

Die allgemeinen Gleichungen 2., 3. und 4. Grades sind durch Formeln lösbar. Die allgemeine Gleichung 5. Grades dagegen nicht mehr. Warum nicht?

Der übliche Weg das zu zeigen, geht über die Galoistheorie. (Die Gleichung ist genau dann durch Radikale lösbar, wenn ihre Galoisgruppe auflösbar ist. Diese ist für die allgemeine Gleichung isomorph zur Permutationsgruppe \(S_n\). Und diese ist für \(n>4\) eben nicht auflösbar.)

Aber was für ein Aufwand! Man braucht ein ganzes Semester Galoistheorie. Als ich das zum ersten mal gesehen habe, fühlte ich mich irgendwie betrogen. Denn wirklich "verstanden" warum es nicht geht, habe ich nicht. Die Begründung steckt "irgendwie" in dieser komplizierten Galoistheorie.

Ich war überrascht zu sehen, dass es einen viel einfacheren Beweis gibt - ohne Galoistheorie, und der im wesentlichen topologisch ist! In der Literatur scheint der aber weitgehend unbekannt zu sein. Leider! Bar-Natan führt ihn hier in diesem Video in 20 Minuten vor:


Es gibt ein paar ähnliche Beweise im Netz, die alle auf Ideen von Vladimir Arnold beruhen. Hier ein paar Links:

   
   
   
   
   
   
    Ein Schaubild der Mathematik, Dmitry Fuchs, Lecture 5
   

Gibt es irgendwo eine Darstellung des Beweises in einem Paper oder Buch, der genauso einfach und klar ist, wie in dem ersten Video? Ich hab nichts gefunden...


Rationale und reelle Zahlen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Konstruktion reeller Zahlen mittels Dezimalzahlen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-04
Parmenides
 

Was sind reelle Zahlen?
In der Schule lernt man, dass rationale Zahlen durch abbrechende oder nichtabbrechende periodische Dezimalzahlen dargestellt werden können. Die irrationalen Zahlen sind dann die nichtabbrechenden nichtperiodischen Dezimalzahlen.

Auf der Uni werden die reellen Zahlen dann meist nur axiomatisch eingeführt (Vollständigkeitsaxiom). Und wenn sie konstruiert werden, dann meist nur durch Dedekindsche Schnitte, oder Äquivalenzklassen von Cauchyfolgen oder Intervallschachtelungen. (Später wird dann gezeigt dass die so eingeführten Zahlen g-adische Entwicklungen besitzen) Aber eine direkte Konstruktion durch Dezimalzahlen findet man eher nie!

Kennt jemand gute Darstellungen wo dies mal sauber vorgeführt wird?

In dem paper von Singh wird dies mal versucht. Die ersten 7 Seiten lassen sich gut lesen. Aber ab Seite 7/8 komme ich ins Stocken. Den Beweis von Teil (1) in Theorem 1 verstehe ich gar nicht. (Was soll denn m in "m'th digit" sein?)
Versteht jemand diesen Teil? Oder ist der sogar fehlerhaft?

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Energie-Impuls-Tensor  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-09
Parmenides
 

Ich lerne gerade etwas GR aus dem Buch von Schutz. Online hier:



und verstehe eine Aufgabe zum Energie-Impuls-Tensor nicht so recht.

Schutz definiert diesen so:

-------------------------------------------------------------------------
The most convenient definition of the stress–energy tensor is in terms of its components in some (arbitrary) frame:

\(\mathbf T(\tilde{dx}^\alpha, \tilde{dx}^\beta) = T^{\alpha\beta}:=\) {flux of \(\alpha\) momentum across a surface of constant \(x^\beta\)}   (4.14)
-------------------------------------------------------------------------

In Aufgabe (5) soll dann gezeigt werden, dass dies tatsächlich ein Tensor ist:

-------------------------------------------------------------------------
Complete the proof that Eq. (4.14) defines a tensor by arguing that it must be linear in both its arguments.
-------------------------------------------------------------------------

Also mir ist nicht klar, wie das gemacht werden soll.

Schutz definiert doch erst mal nur diese 16 Komponenten \(T^{\alpha\beta}\). Ein Tensor aber ist eine multilineare Abbildung. Welche Abbildung ist hier also gemeint? Diese hier: \(\mathbf T = T^{\mu\nu} \vec{e}_\mu \otimes \vec{e}_\nu\)?


Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Pythagorean closure  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-24
Parmenides
J

Sieht gut aus. Vielen Dank!

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-19
Parmenides
J

Hallo zippy, danke für die ausführliche Antwort.
Ich versuche das mal zusammenzufassen und zu vereinfachen, so wie ich das jetzt verstehe. Ich werde dabei die Bezeichnungen etwas ändern, und Koordinatendifferentiale verwenden. Überall wo \(\mathrm dx^i\) oder \(\mathrm ds\) steht könnte man auch \(\frac{\mathrm dx^i}{\mathrm d\lambda}\) oder \(\frac{\mathrm ds}{\mathrm d\lambda}\) schreiben. Aber das mache ich nicht, sondern werde nur die Differentiale hinschreiben.

Also. Im System K hat man (mit Summenkonvention)
\[\mathrm ds^2 = \eta_{ij}\mathrm dx^i \mathrm dx^j\] und im System K' entsprechend
\[\begin{equation}\label{eq1} \mathrm ds'^2 = \eta_{ij}\mathrm dx'^i \mathrm dx'^j \end{equation} \] jeweils mit \[\eta = \operatorname{diag}(1, -1,-1,-1)\] Ich will zeigen, dass aus der Äquivalenz:
\[\mathrm ds^2 = 0 \Leftrightarrow\ \mathrm ds'^2 = 0\] die Proportionalität folgt:
\[\mathrm ds^2 = a \cdot \mathrm ds'^2\]  
mit einem \(a \neq 0\).

Dazu drücke ich zunächst die Koordinatendifferentiale in K durch die Koordinatendifferentiale in K' aus:
\[\mathrm dx^i = \frac{\partial \mathrm x^i}{\partial \mathrm x'^m} \mathrm dx'^m\] und setze das in den Ausdruck für \(\mathrm ds^2\) ein
\[\begin{equation}\label{eq2}\mathrm ds^2 = \mathrm g'_{mn} \mathrm dx'^m \mathrm dx'^n \end{equation}\] mit
\[\mathrm g'_{mn} = \eta_{ij} \frac{\partial x^i}{\partial x'^m} \frac{\partial x^j}{\partial x'^n}\] Dann hat man in (\(\ref{eq1}\)) bzw. (\(\ref{eq2}\)) zwei durch \(\eta_{ij}\) bzw. \(\mathrm g'_{mn}\) vermittelte quadratische Formen. (\(\mathrm g'_{mn}\) ist auch wieder symmetrisch)

Jetzt kommt ein Theorem aus der LA (was ich bisher nicht kannte!).
Siehe z.B. hier

THEORM. Two real quadratic forms on a real n dimensional vector space, respectively associated to the symmetric matrix
\[\eta = \operatorname{diag}(1, -1,...,-1)\] and to the symmtric matrix \(\eta'\), have the same zeros if and only if they are proportional, i.e.,
\[\eta' = c \cdot \eta\] for some \(c \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\).

Wendet man das auf die Formen (\(\ref{eq1}\)) und (\(\ref{eq2}\)) an, erhält man direkt die behauptete Proportionalität.
Ok so?

In dem obigen Artikel aus stackexchange wird noch die zusätzliche Voraussetzung gemacht, dass die Transformation von K nach K' linear ist (Was sie ja aus physikalischen Gründen auch sein muss). Dann kann man sich die ganze Sache mit den Differentialen sparen, und einfach zu endlichen Abständen übergehen.

Das hier ist auch noch ein interessanter Artikel zu dem Thema:


Ich frag mich welche Begründung wohl Landau selbst im Sinn hatte, als er besagte Beziehung in sein Buch niederschrieb???

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
Parmenides
J

Auch interessant: Jemand hat die gleiche Frage in einem anderen Forum mal gestellt:
So richtig zufriedenstellend finde ich die Antwort allerdings nicht (Was soll denn die "hidden variable x" physikalisch sein?

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
Parmenides
J

Hi zippy, sorry ich versteh's noch nicht.

In K bzw. K' habe ich also:
\[(\mathrm ds)^2=(\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h) = -h_1^2-h_2^2-h_3^2+h_4^2 = \mathsf h^TQ\,\mathsf h\] \[(\mathrm ds')^2=(\Delta s')^2(\mathsf x',\mathsf x'+\mathsf h') = -h_1^{'2}-h_2^{'2}-h_3^{'2}+h_4^{'2} = \mathsf h^{'T}Q'\,\mathsf h^{'}\] mit \(Q=Q'=\operatorname{diag}(-1,-1,-1, 1)\).

Und es gibt eine (später zu findende Lorentz)Transformation nach K nach K':
\[\mathsf x\mapsto\mathsf x' =: f(\mathsf x)\] bzw.
\[x'_i =: f_i(\mathsf x)\]
Wo kommt jetzt die Kettenregel und die zweite Ableitung ins Spiel???

Keine Ahnung ob du sowas meinst. Ich kann für \(f_i(\mathsf x+\mathsf h)\) jetzt eine Taylorentwicklung machen:
\[f_i(\mathsf x+\mathsf h)=f_i(\mathsf x) + (\frac{\partial f_i}{\partial x_j})h_j + \frac{1}{2}(\frac{\partial^2 f_i}{\partial x_j \partial x_k})h_j h_k + ... = (\mathsf x' + \mathsf h')_i = x'_i+h'_i\]
Dann folgt für \(h'_i\):
\[h'_i = (\operatorname{grad} f_i)\mathsf h + \frac{1}{2}(\mathsf h^T(\operatorname{Hess} f_i)\,\mathsf
 h) + ...\]
Hier hab ich dann eine quadratische Form. Aber was nützt mir das?

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-17
Parmenides
J

Hallo zippy, ich verstehe leider schon den Anfang der Argumentation nicht. Ist das eine Art Taylorentwicklung die du machst?
Was ist \((\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h)\)? Doch das raumzeitliche Abstandsquadrat zwischen einem fixierten Punkt \(\mathsf x\) und einem Punkt \(\mathsf x+\mathsf h\) in der Nachbarschaft, oder? Aber dann hätte man doch exakt \((\Delta s)^2(\mathsf x,\mathsf x+\mathsf h) = \mathsf h^TQ\,\mathsf h\) mit \(Q=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1)\). Richtig? Was ist nun \((\mathrm ds)^2\)?



Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
Parmenides
J

zippy hat Recht. Landau leitet die Lorentztransformation aus der Invarianz des Abstandes her.
Dass der Abstand invariant ist, ist eine physikalische Tatsache, die man auch durch physikalische Messungen bestätigen kann. Landau leitet diese Invarianz aus "höheren" Prinzipien her, wie Homogenität und Isotropie des Raumes, Gleichberechtigung aller Inertialsysteme, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Die ominöse Beziehung (I) ist ein Teil dieser Herleitung. Meine Frage bleibt also bestehen!

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
Parmenides
J

Yes - sorry, Schreibfehler! Aber an der Frage ändert sich nichts.

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Raumzeitlicher Abstand  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-16
Parmenides
J

Um die Frage stellen zu können, muß ich zunächst etwas Kontext bereitstellen:

Der raumzeitliche Abstand zwischen zwei Ereignissen
  fed-Code einblenden
ist ja gegeben durch
  fed-Code einblenden
Wir betrachten zwei Intertialsysteme K und K'. Da die Lichtgeschwindigkeit in allen Intertialsytemen gleich ist, folgt aus fed-Code einblenden auch fed-Code einblenden . Darüber hinaus gilt aber sogar fed-Code einblenden , und zwar auch dann wenn der raumzeitliche Abstand nicht 0 ist.

Warum ist das so? Landau gibt dazu in seinem Buch "Klassische Feldtheorie" () eine Begründung die ich nicht ganz verstehe. Er geht zunächst zu infinitesimalen Abständen fed-Code einblenden über und sagt, dass zwischen diesen die Beziehung (I) gilt:
fed-Code einblenden
mit einem Faktor a. Aus der Homogenität und Isotropie von Raum und Zeit folgert er dann, dass a nur von dem Betrag der Relativgeschwindigkeit von K und K' abhängen kann, und dann weiter daß a = 1 ist.

Aber warum aber gilt (I) überhaupt? Landau schreibt dazu auf Seite 4 folgendes:

"...As already shown, if ds=0 in one inertial system, then ds'=0 in any other system. On the other hand, ds and ds' are infinitesimals of the same order. From these two conditions it follows that ds^2 and ds'^2 must be proportional to each other..."

Also die Begründung verstehe ich nicht! Warum sind ds und ds' "infinitesimals of the same order"? Und was genau soll das eigentlich heißen? Kann man das mathematisch sauber definieren?



Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Parmenides
Normale Hülle  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-10
Parmenides
 

Hi, danke für eure Antworten!

@Creasy: Jetzt verstehe ich was du meinst. Das ist einfach ein Gegenbeispiel zu meiner obigen ursprünglichen Behauptung. Es sieht für mich absolut korrekt aus!

Das bedeutet meine Behauptung ist falsch, und der Beweisschritt in Zeile 19 im Buch ist falsch. (Klasse - man denkt man ist wieder zu blöd so einen einfachen Beweisschritt nachzuvollziehen. Und dann ist er falsch :))

Wie kann man den Beweis retten? Vielleicht geht es so:
Man verallgemeinert zunächst die Aussage das Satzs, indem man N nicht die Bedeutung der normalen Hülle von \(E: F\) gibt, sondern einfach sagt N ist eine beliebige normale endliche Erweiterung von F die E enthält. Dann funktioniert der Beweisschritt in Zeile 19. Denn wenn \(N : F\) normal ist, dann ist \(N : F(\alpha)\) auch normal. (Eine endliche Erweiterung \(L : K\) ist genau dann normal wenn sie Zerfällungskörper eines Polynoms in K ist).

Vom verallgemeinerten Satz kommt man dann wieder zur speziellen Version des Satzes, wo N die Bedeutung der normalen Hülle von \(E: F\) hat. Denn die normale Hülle einer endlichen Erweiterung ist eine spezielle endliche normale Erweiterung von F die E enthält.

Aber darüber muss ich auch noch mal genauer nachdenken...
 

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