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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Complex Analysis  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
 

Also kann ich daraus direkt folgern, dass die Aussage falsch ist?

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Complex Analysis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
 

Hallo,
ich soll entscheiden, ob eine Funktion existiert, die holomorph auf einer Umgebung von 0 ist und an den Stellen $\{ z_n = \frac{1}{n} \}$ die Werte
$ 1, \frac{1}{8}, ..., \frac{1}{n^3}, ... $ annimmt.
Zudem soll $f(z_n) = f(-z_n)$ gelten.

Wäre die letztere Bedingung nicht gegeben, wäre $f(z)=z^3$ ja ein recht sinnvoller Kandidat.
So weiß ich allerdings nicht, wie ich an die Aufgabe herangehen soll.
Auf mich wirkt das ein bisschen so, als sollte man hier den Identitätssatz verwenden. Allerdings weiß ich nicht genau, wie.

Danke schon mal. :)

klassische Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Zweig des Logarithmus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
 

Hallo,
gibt es auf $G \setminus \{iy: y \leq 0\}$ einen Zweig des Logarithmus mit $1^{1/2} = -1$?
Mir fehlt ein bisschen der Ansatz. Ich denke, dass es einen solchen Zweig nicht gibt und habe versucht, das Ganze irgendwie mithilfe der e-Funktion zu widerlegen, da ja $e^{\log{z}}=z$ sein muss. Aber irgendwie komme ich damit nicht weit.
Hat jemand eine Idee?

Danke schon mal :)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Holomorphe Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
J

Stimmt, das wird der Grund sein. Vielen Dank!

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Pfadintegral  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
J

Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen! :)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Pfadintegral  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-19
Physics1997
J

Hallo,
ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Sei $\gamma:[-\pi, \pi] \rightarrow \mathbb{C}$, $\gamma(t) = e^{it}$. Dann gilt:
$\int_\gamma \sin(e^{iz}) dz = \int_\gamma \frac{\sin{e^{w}}}{w^2} dw$.

Ich habe versucht, das Ganze durch Substitution zu lösen mit $w = \frac{1}{z}$, allerdings komme ich dann auf das negative Integral. Gibt es hier irgendeinen Trick, den ich übersehe?

Danke schon mal! :)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Holomorphe Funktion  
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Physics1997
J

Hallo,
ich habe in einer Altklausur folgende Aufgabe bekommen:
In welchen Punkten ist $f(x+iy) = x^3 y^2 + i x^2 y^3$ komplex differenzierbar? Was ist die maximale Teilmenge von $\mathbb{C}$, auf der f holomorph ist?

Ich habe mithilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen herausgefunden (wenn ich mich nicht verrechnet habe), dass f in $z_1 = 0 + iy$, $z_2 = x + i \cdot 0 $ sowie $z_3 = x \pm ix $ komplex differenzierbar ist.
Nun bin ich mir allerdings nicht sicher, wo/ob f holomorph ist.
Die $z_3$ ist ja eine Art "Diagonale" und $z_1$ und $z_2$ beschreiben alle Punkte, die auf der imaginären bzw. reellen Achse liegen. Wenn f also auf der imaginären und reellen Achse überall komplex differenzierbar ist, müsste f doch dann auf diesen beiden Achsen holomorph sein, oder habe ich dort einen Denkfehler?
Und genauso auf der "Diagonalen"?

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Laurentreihe  
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Physics1997
 

Hallo,
ich habe allgemein noch ein paar Probleme mit Aufgaben zu Laurentreihen und soll für folgende Funktion die Laurentreihe sowie deren Konvergenzbereich finden:
$ f(z) = sin(\frac{1}{z-1}) + (z-1) $.
Ich habe also den Sinus in Reihendarstellung umgeschrieben und das Ganze versucht, ein wenig umzuformen. Allerdings bin ich mir immer unsicher, ab wann ich "fertig" bin und zudem weiß ich hier nicht genau, wie ich in diesem Fall den Konvergenzbereich finde.
Im Endeffekt komme ich auf $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot (\frac{1}{z-1})^{2n+1} \cdot \frac{1}{(2n+1)!} = 1 + \sum_{n=-\infty}^{-1}(-1)^{-n} \cdot \frac{(z-1)^{2n-1}}{(-2n+1)!} + (z-1)$ = $ \sum_{n=-\infty}^{-2} (-1)^{n+1} \cdot \frac{(z-1)^{2n+1}}{(-2n)!} + z $.
Kann ich das noch weiter umformen oder reicht das aus bzw. stimmt das so?
Und dann wäre meine Frage, wie ich den Konvergenzbereich ermitteln kann. Ich habe mir überlegt, dass der rechte Term, also z, ja überall konvergieren müsste und es deshalb ausreicht, sich den linken Term, also den Sinus, anzuschauen. Dort habe ich dann mittels Cauchy-Hadamard den Konvergenzradius berechnet, allerdings wird der 0, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Divergiert die Reihe also überall?

Vielen Dank schon mal! :)

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Complex Analysis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-15
Physics1997
 

Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Sei $-\infty<a<Re(z)<b<\infty$ und S:=$\{ z \in \mathbb{C} : a < Re(z) < b \}$. Angenommen, $f: \bar{S} \rightarrow \mathbb{C} $ sei eine stetige Funktion und holomorph auf S, und zudem sei $|f(z)| \leq k $ für $z \in \delta S$ und $ |f(z)| \cdot e^{-|z|} \leq c $ für $z \in S $ mit Konstanten $c, k > 0$.
Zeigen Sie, dass $|f(z)| \leq k$ für alle $z \in S$ gilt.
Hinweis: Betrachten Sie $g_\epsilon: \bar{S} \rightarrow \mathbb{C}$ mit $g_\epsilon := f(z) \cdot e^{\epsilon \cdot z^2} $.

Mir fehlt hier ein bisschen der Ansatz. Ich hatte erst überlegt, mit dem Satz von Liouville zu arbeiten, allerdings sind die Funktionen ja nicht holomorph auf ganz $\mathbb{C}$, also geht das ja wahrscheinlich nicht so ohne weiteres. Außerdem weiß ich noch nicht wirklich etwas mit dem Hinweis anzufangen.

Hat jemand vielleicht eine Idee für mich, wie ich hier vorgehen könnte?

Vielen Dank schon mal! :)

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Zweig des Logarithmus  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-15
Physics1997
J

Vielen Dank für die Antwort! Das hat mir sehr geholfen.

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Zweig des Logarithmus  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-14
Physics1997
J

Hallo,
ich habe in einer Altklausur die Frage: „Existiert ein Zweig des Logarithmus auf $\mathbb{C}$ ohne $\mathbb{Z}$?“
Ich muss sagen, dass ich nicht wirklich einen Ansatz habe. Mein Gefühl sagt mir, dass es einen solchen Zweig nicht gibt, weil $\mathbb{Z}$ ja keinen Häufungspunkt in $\mathbb{C}$ besitzt. Aber wie ich damit weiterkomme, weiß ich leider nicht.
Ich wäre für einen Ansatz oder eine Idee dankbar!

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Sternförmige Menge  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-04
Physics1997
 

Vielen Dank für die Antworten! Ich habe es jetzt hinbekommen. :)

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Sternförmige Menge  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-04
Physics1997
 

Hallo,
danke schon mal für die Antworten!
Ich habe die Menge bereits gezeichnet und vermute, dass sie sternförmig ist. Wobei ich mir auch da nicht hundertprozentig sicher bin.
Wenn ich zeigen will, dass sie sternförmig ist, wäre es ja wahrscheinlich sinnvoll, sich als geeigneten Kandidaten einen Punkt auf der x-Achse zu wählen, so, dass alle Verbindungslinien aus den Ecken der Sichel zu diesem Punkt noch in der Menge liegen (denn dann müssten ja alle Verbindungslinien noch drin liegen).
Anschaulich kann ich mir das vorstellen, ich weiß nur nicht wirklich, wie ich das mathematisch zeigen kann.

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Sternförmige Menge  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-12-04
Physics1997
 

Hallo,
Ich habe eine Frage zu sternförmigen Mengen. Und zwar soll ich zeigen, ob $A=\{z \in \mathbb{C}: |z|<1 \, \, \mathrm{und} \,\, |z+1|> \sqrt2 \} $ sternförmig ist.
Dazu muss ich ja zeigen, ob es einen Punkt $z_0$ gibt, für den $ tz+(1-t)z_0 $ für alle z aus A in der Menge liegt. Nur weiß ich nicht wirklich, wie ich das anstellen soll.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
Danke im Voraus!

Elektrodynamik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Vektorpotential bei gegebener Stromdichte berechnen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-13
Physics1997
 

Hallo,
Ich rechne zurzeit zur Klausurvorbereitung ein paar Aufgaben in einem Buch (Nolting) zur Elektrodynamik. An der folgenden Aufgabe sitze ich nun schon eine Weile, da ich einige essenzielle Dinge nicht verstehe. Ich bin übrigens noch am Anfang der Klausurvorbereitung, weshalb einige Fragen möglicherweise trivial erscheinen.

Zur Aufgabe:
Berechnen Sie das Vektorpotential A(r) und die magnetische Induktion B(r) einer kreisförmigen Leiterschleife (Stromfaden). Die Stromdichte lautet in Zylinderkooridnaten ($ \rho, \phi$,z): j(r) = I $\delta(\rho - R) \delta (z) e_{\phi}$. Die Berechnung von A(r) führt auf ein elliptisches Integral, das nicht elementar gelöst werden kann. Schätzen Sie dieses für die Grenze $\rho << R$ Und $\rho >> R$ Mithilfe passender Taylorentwicklungen ab. Zeigen Sie, dass sich für $ \rho >> R$ Ein Dipolfeld ergibt. Geben Sie das entsprechende magnetische Dipolmoment an.

Zur Lösung:
1. Für den Einheitsvektor gilt: $e_{\phi}$=$(-sin \phi , cos \phi, 0)$. In der Lösung steht, dass es reicht, die y-Komponente des Vektorpotentials zu betrachten. An dieser Stelle verstehe ich nicht, warum das ausreichend ist.
Es wird deshalb $\phi$=0 gesetzt. Dann folgt:
$A_{y} = \frac{\mu_{0}}{2 \pi} \cdot \int d^{3}r‘ \frac{I \delta( \rho‘ - R) \delta (z‘) cos \phi‘}{|r-r‘|}$.
2. Es gilt in Zylinderkoordinaten für $\phi = 0$: r = $(\rho,0,z)$ und $r‘=(Rcos \phi‘, Rsin \phi‘, 0)$. Meine Frage hierzu ist: Warum ist z‘=0? Darf ich das willkürlich festlegen bzw. mein Koordinatensystem einfach so legen, dass es passt oder hat das einen speziellen nd, warum es Null sein muss?
3. Das Ganze wird dann in A eingesetzt und umgeformt. Dann wird die Abschätzung vorgenommen. In A haben wir einen Term $\frac{1}{\sqrt{R^2 + \rho^2 -2 \rho R cos \phi‘ +z^2}}$. Dieser wird dann erweitert mit $\frac{\sqrt{R^2+z^2}}{\sqrt{R^2+z^2}}$ und umgeformt, sodass gilt: $$ \frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}} \cdot \left(1+ \frac{\rho^2 -2 \rho R cos \phi‘}{R^2+z^2}\right)^{-1/2} $$. Dies wird dann abgeschätzt durch $\frac{1}{\sqrt{R^2+z^2}} \cdot \left(1-\frac{\rho^2 - 2 \rho R cos \phi‘}{2(R^2+z^2)}\right)$. Und genau diese Abschätzung verstehe ich nicht. Wie ist sie zustande gekommen ?
Mein Ansatz wäre es an dieser Stelle gewesen, eine Taylorentwicklung durchzuführen (wie es auch in der Aufgabe steht), aber ich erhalte etwas anderes dafür.

Vielen Dank im Voraus! :)

Physikalisches Praktikum
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Stern-Gerlach Versuch  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-11
Physics1997
 

Hallo,
ich habe eine Frage zum Stern-Gerlach-Versuch.
Ich weiß, dass es möglich ist, auch andere Elemente als das ursprünglich verwendete Silber zu benutzen, nämlich solche, die ein Elektron in ihrer äußersten Schale haben.
Nun ist meine Frage, ob man alle Atome, welche diese Eigenschaft erfüllen, verwenden kann, oder ob es auch Einschränkungen gibt (z.B., dass es nur für Metalle funktioniert oder ähnliches) und wenn ja, warum.

Vielen Dank im Voraus :)

Physikalisches Praktikum
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Stern-Gerlach Versuch  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-08
Physics1997
 

Hallo, danke schon mal für die Antwort.

Ich hatte später noch die Idee, dass vielleicht nicht die Atommasse das entscheidende Kriterium ist, sondern der Atomradius. Kalium ist ja wesentlich größer als Silber, so könnte die Aufspaltung "unscharf" werden. Ist das plausibel?

Wir wollen mithilfe des Stern-Gerlach Versuchs den Elektronenspin nachweisen, also ist es wichtig, dass wirklich nur ein einzelnes Elektron eine Auswirkung auf den Gesamtdrehimpuls hat.
Wenn ich also alle Elemente im Grundzustand betrachte, die nur ein Elektron in ihrer äußersten Schale haben, müsste das doch gehen oder?

Viele Grüße :)

Physikalisches Praktikum
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Stern-Gerlach Versuch  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-08
Physics1997
 

Hallo,
ich mache gerade die Versuchsvorbereitung zum Stern-Gerlach Versuch und soll einige Fragen beantworten, bei denen ich mir nicht ganz sicher bin, ob meine Gedanken dazu richtig sind.

In unserem Versuch wird Kalium anstatt Silber verwendet, wie es eigentlich gemacht wurde.
Nun sollen wir die Frage beantworten, warum wir Kalium benutzen und ob dies auch Nachteile hat.
Meine Überlegung dazu ist, dass Kalium einen wesentlich geringeren Siedepunkt als Silber hat und wir deshalb den Ofen um ca. 1000 Grad weniger heizen müssen.
Ein Nachteil könnte mit der Masse oder Größe der Atome zusammenhängen. Ich habe überlegt, ob durch die geringere Masse von Kalium vielleicht eine geringere Kraft auf die Atome wirkt und damit die Aufspaltung nicht ganz so deutlich ist wie bei Silber, da die Ablenkung der Atome geringer ist. Aber sicher bin ich mir da absolut nicht.

Wir sollen dann die Frage beantworten, welche Elemente man noch verwenden kann. Ich denke, dass man alle Atome verwenden kann, die nur ein Elektron in ihrer äußersten Schale haben, da dann nur das äußerste Elektron Auswirkungen auf den Gesamtdrehimpuls hat.
Ist das richtig? Oder gilt das möglicherweise nur für Metalle und falls ja, warum?

Weiterhin habe ich noch eine Frage zur Verteilung des Ionenstroms. Diesen kann man ja anhand von Gaußkurven nähern. Anschaulich ist das irgendwie klar, aber wie genau kann ich erklären, warum das ausgerechnet Gaußkurven sind?

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Untermannigfaltigkeit zeigen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-03-21
Physics1997
 

Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe aus einer Altklausur. Man soll dabei die Frage beantworten, ob eine Menge eine Untermannigfaltigkeit ist, aber ich weiß nicht genau, wie ich dabei herangehen soll. Bisher war es immer so, dass wir bei allen Aufgaben mit dem Satz vom regulären Wert arbeiten und argumentieren konnten. Hier bin ich mir aber nicht sicher, ob das überhaupt funtioniert:

fed-Code einblenden

Beim Satz vom regulären Wert hat oder definiert man sich ja in der Regel eine Funktionsvorschrift, mit der man dann weiterrechnen kann, hier bin ich aber nicht in der Lage, eine geeignete Funktion zu finden.

Vielen Dank im Voraus für eine Antwort!

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physics1997
Stetigkeit und Zwischenwertsatz  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-03-20
Physics1997
 

Hallo,
da Q dicht in R liegt, gibt es immer zwischen zwei Zahlen aus R eine Zahl, die aus Q ist. Zudem ist ja q<pn.
Also muss es doch eine $\epsilon$-Umgebung geben, in der so ein q‘ ungleich pn zu finden ist. Richtig?
 

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