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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Motivation für das Eckmann-Hilton Argument  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-06 23:58
PhysikRabe
 

2020-07-06 20:07 - Kezer im Themenstart schreibt:
Meine Frage ist, wie man motiviert, dass die Fundamentalgruppe topologischer Gruppen mit Eckmann-Hilton zu tun haben könnte. Wieso bekommt man diese Struktur, wenn man topologische Gruppen betrachtet? A priori finde ich es nämlich nicht klar, dass man hier Eckmann-Hilton einsetzen sollte.

Das war für die höheren Homotopiegruppen auch tatsächlich nicht unmittelbar offensichtlich, wie du im geschichtlichen Abschnitt des Wiki-Artikel nachlesen kannst.

Generell kann man zwei verschiedene Monoid-Strukturen für die Homotopiegruppen definieren. Das Bild dahinter ist, dass man Homotopien auf verschiedene Weisen zusammensetzen kann, nämlich "vertikal" und "horizontal" (das kann man für $\pi_2$ auch ganz gut aufzeichnen).

Für die Fundamentalgruppe ist es einfach die Erkenntnis, dass man zwei Schleifen entweder mittels der Multiplikation der topologischen Gruppe, oder durch Konkatenation (nacheinander durchlaufen) miteinander verknüpfen kann. Das sind beides naheliegende und wohldefinierte Begriffe für das Produkt zweier Elemente der Fundamentalgruppe. Die zugehörigen Äquivalenzklassen stimmen überein, d.h. das durch die Gruppenmultiplikation induzierte Produkt zweier Schleifen ist homotop zur Konkatenation. Das führt genau auf das Eckmann-Hilton-Argument im einfachsten Fall.

Grüße,
PhysikRabe

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Norm eines Operators  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-18 08:07
PhysikRabe
J

2020-06-17 13:42 - Pter87 in Beitrag No. 11 schreibt:
$||f|| = \sup\limits_{x \in \mathbb{R}^2/\{0\}} \frac{|\langle v, (x,y) \rangle |}{||(x,y)||_2} \leq \sup\limits_{x \in \mathbb{R}^2/\{0\}} \frac{||v||_2 \cdot ||(x,y)||_2}{||(x,y)||_2} = \sup\limits_{x \in \mathbb{R}^2/\{0\}} ||v||_2 = ||v||_2$

Vorsicht bei der Notation: Einmal schreibst du den Vektor im $\mathbb R^2$, auf den $f$ angewendet wird, als $(x,y)$, dann aber nur als $x$ unterhalb von $\sup$.

Ansonsten stimmt aber alles.

Grüße,
PhysikRabe

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Tom_Bombadil
Ringe und Moduln in Physik  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-23
PhysikRabe
 

Willkommen auf dem Matheplaneten, Tom_Bombadil!

Ring- und Modultheorie tauchen (wie die meisten anderen algebraischen Strukturen) beinahe überall in der (theoretischen bzw. mathematischen) Physik auf, aber die meisten wirklich spannenden Anwendungen sind bereits sehr fortgeschritten.

Ich kenne deinen Physik-Hintergrund nicht, aber ein paar Bemerkungen und Stichworte dazu (in der Hoffnung, dich nicht damit abzuschrecken):

Beispielsweise sind Operatoralgebren (C*- und von Neumann-Algebren) Ringe; sie tauchen bei Quantisierungen und axiomatischen Zugängen zur Quantenmechanik und Quantenfeldtheorie auf. Die Darstellungstheorie von Gruppen (z.B. Symmetriegruppen) lässt sich mithilfe von Moduln über der Gruppenalgebra (ein Ring) beschreiben. Generell tauchen Ringe und Moduln in der einen oder anderen Form oft dann auf, wenn es um Darstellungen bestimmter algebraischer Strukturen geht, und solche gibt es in der Physik zuhauf. In der konformen Feldtheorie betrachtet man Vertex-Algebren und deren Darstellungen. In etwas verallgemeinerter ("kategorifizierter") Form sind Ringe und Moduln die fundamentalen Objekte in topologischer Quantenfeldtheorie. Auch in supersymmetrischen Theorien und der Stringtheorie gibt es da einiges (Stichwort "K-Theorie"), aber da weiß ich kaum etwas darüber.

Letztenendes ist ja bereits der Raum der komplex- oder reellwertigen Funktionen (z.B. auf einer Mannigfaltigkeit) ein anwendungsnahes Beispiel für einen Ring, dem man in der Physik sehr oft begegnet. Mit etwas Aufwand ließe sich wohl eine beinahe endlose Liste an Anwendungsgebieten erstellen. ;-)

Grüße,
PhysikRabe


[Verschoben aus Forum 'Mathematische Physik' in Forum 'Mathematische Physik' von PhysikRabe]

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Es existiert keine stetige Bijektion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-16
PhysikRabe
 

Hallo Math_user,

eine bijektive stetige Abbildung zwischen kompakten Hausdorff-Räumen ist automatisch ein Homöomorphismus. Der Einheitswürfel $[0,1]^n$ wird (so gut wie immer) als mit der Spurtopologie des $\mathbb R^n$ versehen gedacht. Da $\mathbb R^n$ ein Hausdorff-Raum ist, folgt unmittelbar, dass $[0,1]^n$ ein kompakter Hausdorff-Raum ist.

Für den Widerspruchsbeweis nehme man also die Existenz eines Homöomorphismus $[0,1] \to [0,1]^n$ ($n\neq 1$) an und erinnere sich an Eigenschaften, die erhalten bleiben müssen. Vielleicht fällt dir ja dazu schon etwas ein.

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Bug- und Request-Tracker
  
Thema eröffnet von: Slash
Post wird unnötig gestreckt  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-04
PhysikRabe
J

Bei mir (Firefox, Win10) sieht es auch so aus wie bei Slash.

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Nito1398
Linksinvariantes Vektorfeld  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-04
PhysikRabe
 

Was möchtest du denn genau? Welche Gruppenwirkung betrachtest du für die Linksinvarianz? Es gibt haufenweise Beispiele, die du leicht in der Literatur finden kannst. Klarerweise liefert dir jede Lie-Gruppe Beispiele.

Ein ganz einfaches Beispiel: Die (abelsche) Lie-Gruppe $(\mathbb{R}^n,+)$ ($n\in\mathbb{N})$. Die linksinvarianten Vektorfelder sind dann genau die konstanten Vektorfelder (ordnet jedem Punkt den selben Vektor zu).

Grüße,
PhysikRabe

Funktionalanalysis
  
Thema eröffnet von: Roemer
Stetiger linearer Operator  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-30
PhysikRabe
J

2020-03-30 14:16 - Roemer in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich habe die Antwort bereits, man verwendet einfach die Linearität.
$\sup_{x\neq 0} \frac{||T(x)||}{||x||} = \sup_{x\neq 0} \frac{||Tx \frac{||x||}{||x||}||}{||x||} = \sup_{x\neq 0} \frac{||x|| \ ||T \frac{x}{||x||}||}{||x||} = ...$



Genau. Die Erweiterung ist aber nicht unbedingt nötig; du kannst die Linearität bereits im ersten Schritt verwenden:

$\sup_{x\neq 0} \frac{1}{\|x\|} \|Tx\| = \sup_{x\neq 0} \left\lVert T \frac{x}{\|x\|} \right\rVert$

Grüße,
PhysikRabe

Matheplanet
  
Thema eröffnet von: knaggix
[kna] Danke und Info zum Fernunterricht  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-15
PhysikRabe
J

2020-03-15 14:41 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Insofern würde das IMHO innerhalb unserer AG (wo das Forum ja ausschließlich zu organisatorischen Zwecken genutzt wird) auch schnell unübersichtlich werden.

Ich denke, dass es sinnvoll wäre, für jeden Lehrer, der den MP hier in diesem Sinne nutzen möchte, eine eigene AG zu haben (und knaggix möchte es ja im öffentlichen Forum versuchen, so wie ich ihn verstanden habe).

Das sehe ich auch so. Meine Bemerkung war lediglich als Hinweis zu einer weiteren Informationsquelle gedacht. Das könnte für die Schüler auch interessant sein.

Grüße,
PhysikRabe

Matheplanet
  
Thema eröffnet von: knaggix
[kna] Danke und Info zum Fernunterricht  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-15
PhysikRabe
J

Ich möchte in diesem Zusammenhang auf die bereits etablierte und umfangreiche Arbeitsgruppe "Schulmathematik" hinweisen, die von Diophant geleitet wird: Notizbuch und Forum der Arbeitsgruppe werden von vielen fleißigen Usern betreut.

Grüße,
PhysikRabe

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Topologie, die durch eine Pseudo-Metrik induziert wird  
Beitrag No.24 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-03
PhysikRabe
J

2020-03-02 18:15 - Math_user in Beitrag No. 22 schreibt:
ich weiss nicht einmal genau was "induziert" heisst.

Die von der (Pseudo-)Metrik induzierte Topologie ist die Topologie, die aus den bezüglich der (Pseudo-)Metrik offenen Mengen besteht (also Mengen, in denen jeder Punkt eine umgebende $\varepsilon$-Kugel besitzt, die in der Menge enthalten ist).

2020-03-02 18:15 - Math_user in Beitrag No. 22 schreibt:
ich muss mir ein Buch zu legen und wollte fragen ob ihr eins empfehlen könnt.

Du meinst ein allgemeines, einführendes Buch zur mengentheoretischen Topologie? Da kann ich dir die Bücher von Boto von Querenburg, Klaus Jänich und René Bartsch empfehlen. Am besten blätterst du einmal in der Bibliothek hinein, und nimmst das Buch mit dem für dich passenden Schwerpunkt.

Grüße,
PhysikRabe

Klassische Feldtheorie & Quantenfeldtheorie
  
Thema eröffnet von: Skalhoef
Functional Field Integral und Transformationsformel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-26
PhysikRabe
 

Hallo Skalhoef,

das $\phi\equiv\phi(k)$ ist ja komplexwertig. Man möchte also eine Integration über die komplexe Ebene so durchführen, dass man quasi gleichzeitig Real- und Imaginärteil über die ganze reelle Achse integriert. Das führt zum Maß $d\mathrm{Re}(\phi(k))d\mathrm{Im}(\phi(k))$. Das ist jetzt natürlich nur einmal eine Anschauung und kein Beweis. Der Beweis dazu folgt aus der Tatsache, dass der Übergang von $\phi(x)$ zu $\phi(k)$ eine Fourier-Transformation ist, und Fourier-Transformationen sind (mit richtiger Normierung) bekanntermaßen unitär.

Grüße,
PhysikRabe

Graphentheorie
  
Thema eröffnet von: SomeOneSpecial
Gerichteter Graph?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-26
PhysikRabe
 

Willkommen auf dem Matheplaneten!

2020-02-26 01:02 - SomeOneSpecial im Themenstart schreibt:
Und zwar stell ich mir grad eine Matrix von Feldern vor, wobei jedes Feld ein Knoten darstellt.

Was ist eine "Matrix von Feldern"? Kannst du ein Beispiel angeben?

2020-02-26 01:02 - SomeOneSpecial im Themenstart schreibt:
Eine Kante gibt an, ob das der jeweilige Knoten mit dem anderen Knoten in Verbindung steht. Da diese Verbindung eben symmetrisch ist (oder?) geh ich davon aus, dass es sich hierbei um einen gerichteten Graphen handelt.

In einem gerichteten Graphen werden die Kanten durch geordnete Paare von Knoten angegeben, siehe hier. Wie sieht das denn in deinem Beispiel aus? Ist das der Fall? Falls ja, ist zu jeder Kante im Graphen auch die invertierte Kante enthalten (dann ist der Graph symmetrisch)?

Kurzum: Schreib doch einmal genau auf, wie der Graph den du betrachtest eigentlich definiert ist (nicht bloß in Worten).

Grüße,
PhysikRabe

Erfahrungsaustausch
  
Thema eröffnet von: sebp
Wo und Wie Forschungsergebnisse veröffentlichen?  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-25
PhysikRabe
J

2020-02-25 12:35 - sebp in Beitrag No. 9 schreibt:
Ich habe mir überlegt meine Arbeit (auf Deutsch) auf viXra hochzuladen,
wenn ich fertig bin. Dauert aber noch Wochen.

Ist es möglich dann darüber hier zu diskutieren?

Natürlich!

2020-02-25 12:35 - sebp in Beitrag No. 9 schreibt:
Gibt es etwas besseres als viXra?

Ernsthaft? Ja, gibt es. viXra ist keine renommierte Datenbank für auch nur irgendwie vertrauenswürdige Arbeiten, und mit dem Hochladen deiner Arbeit verringerst du die Chancen, dass deine Arbeit in einem brauchbaren Journal angenommen wird, beträchtlich. Der Vorteil an viXra ist natürlich, dass jeder dort etwas hochladen kann, ohne besondere Qualitätskontrolle, nötiges Vorwissen oder "Endorsement"*. Es ist wohl Ansichtssache, ob das erstrebenswert ist.

Grüße,
PhysikRabe

* siehe Slashs Beitrag. Ich gebe keine arXiv-Endorsements ohne jemanden persönlich sowie dessen Arbeit und Werdegang zu kennen. Alles Andere würde dieses System ad absurdum führen.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]

Erfahrungsaustausch
  
Thema eröffnet von: sebp
Wo und Wie Forschungsergebnisse veröffentlichen?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-25
PhysikRabe
J

2020-02-24 14:16 - sebp in Beitrag No. 4 schreibt:
ich möchte nicht näher inhaltlich auf meine Forschung eingehen,
weil ich nicht weiß, ob das eine Veröffentlichung verhindern würde.

Nein, das würde es bestimmt nicht.

2020-02-24 14:16 - sebp in Beitrag No. 4 schreibt:
Es gibt in manchen Verträgen so komische Klauseln.

Solche Klauseln gibt es nicht. Es ist üblich, Forschungsergebnisse zu präsentieren (auch auf Konferenzen), bevor sie publiziert werden. Und es geht ja hier nicht darum, dass du deine gesamte Arbeit mit allen Details auf dem Matheplaneten veröffentlichst, sondern dass du deine Ergebnisse präsentierst und erklärst, was du gemacht hast. Letztenendes ist das Forum ein geschützter Rahmen, und ein hier stattfindender Diskurs könnte dich vor einer möglichen Blamage einem Journal gegenüber bewahren.

Grüße,
PhysikRabe

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mhipp
Einige Fragen zum Higgs u.ä.  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-25
PhysikRabe
J

2020-02-24 21:55 - mhipp in Beitrag No. 4 schreibt:
Wenn es normal ist, dass das Higgs in zwei B-Quarks zerfällt, dann muss es ja aus ihnen bestehen.

Das ist ein Trugschluss, siehe etwa hier. Nur weil ein Teilchen ein Elementarteilchen ist bedeutet das nicht, dass es nicht zerfallen kann, wie bereits von moep erwähnt. Der Zerfall eines Teilchens ist eine Folge von Wechselwirkung. Das ist unabhängig von der "Elementarität" eines Teilchens. Generell sagen Zerfälle nichts über die Zusammensetzung aus: Beispielsweise zerfällt das freie Neutron, das aus drei Quarks besteht, in ein Proton, Elektron, und Anti-Elektronneutrino (das ist der sogenannte "Beta-Zerfall").

Grüße,
PhysikRabe

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Volumenintegral über Zylinder  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-19
PhysikRabe
 

2020-02-19 09:23 - RogerKlotz in Beitrag No. 2 schreibt:
Warum müssen sie unbedingt positiv sein? mit einem -2 wäre ja der gleiche Effekt wie bei 2 vorhanden.

Die Radius-Koordinate $\rho$ in Zylinderkoordinaten ist immer positiv (schlage die Definition nach).

Zu deiner anderen Frage: Die Integrale werden einfach nacheinander berechnet. Wie lautet das Ergebnis der $z$-Integration?

Grüße,
PhysikRabe

Sonstiges
Schule 
Thema eröffnet von: mibe201067
Gibt es noch Forschung in Mathematik?  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
PhysikRabe
 

2020-02-18 02:08 - mibe201067 in Beitrag No. 7 schreibt:
Wenn sogar Hawking das nicht gelöst hat, schätze ich, dass es mindestens 200 Jahre dauert - oder sie wird vollständig widerlegt.

Auch hier muss ich kurz einhaken (und das ist nicht persönlich gemeint, sondern ein allgemeiner Kommentar): Entgegen medialer Darstellungen war Stephen Hawking nicht das Maß aller Dinge, und fachlich nicht kompetenter oder intelligenter als (zumindest) viele seiner Fachkollegen. Damit möchte ich Hawkings Leistungen nicht schmälern, und ich bin selbst ein Bewunderer seiner Arbeit. Aber die Tatsache, dass Hawking diese Probleme nicht lösen konnte hat keinerlei besondere Aussagekraft, und die Glorifizierung seiner Person ist fehl am Platz.

Tatsache ist aber auch, dass die von dir angesprochenen Probleme wirklich sehr, sehr schwierig sind, und ich denke auch, dass es bis zu deren Lösung noch lange dauern wird, falls das überhaupt je geschehen sollte. Die Mathematik ist aber ohne Zweifel das richtige (einzige) Werkzeug, um diese Probleme zu bearbeiten!  😄

Grüße,
PhysikRabe

Sonstiges
Schule 
Thema eröffnet von: mibe201067
Gibt es noch Forschung in Mathematik?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-17
PhysikRabe
 

2020-02-17 14:49 - hyperG in Beitrag No. 4 schreibt:
a2) Vermischung mit der theoretischen Physik
- mit Hilfe der theoretische Mathematik hat man es geschaft,
viele Teilgebiete der Physik mit dem Trick von 10+1 Dimensionen zu verbinden. Jedoch entfernt man sich auch damit immer mehr von der klassischen Physik, mit der eindeutige Vorhersagen möglich sind.
[...]
Der Bezug zur Realität sollte erhalten bleiben.

Die Realität wird aber nicht durch die klassische Physik beschrieben. Die "Entfernung" (ich würde es eher als "Erweiterung" bezeichnen) von der klassischen Physik ist wesentlich, und ist noch immer nicht in allen Aspekten vollzogen. Und die "Vermischung [von Mathematik] mit der theoretischen Physik" ist kein "Schubladendenken", sondern die effektive Anwendung einer exakten Sprache, um Naturphänomene zu beschreiben. Ich weiß also nicht wirklich, was du damit aussagen willst. (Ich bin übrigens selbst kein Freund der Stringtheorie, aber aus anderen Gründen.)

Grüße,
PhysikRabe

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Hayfish
Isomorphismus topologischer Vektorräume  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-15
PhysikRabe
J

2020-02-15 21:58 - Hayfish in Beitrag No. 3 schreibt:
Oder ist eventuell doch jeder homöomorphe Vektorraumisomorphismus, wobei die Topologien durch Normen erzeugt werden, eine Isometrie`?)

Nein, keineswegs: Die Identitätsabbildung $(\mathbb R^n,\|\cdot\|_2) \to (\mathbb R^n,\|\cdot\|_1)$ ist ein Homöomorphismus, aber keine Isometrie. Umgekehrt ist aber jede Isometrie ein Homöomorphismus.

Aber wo benötigst du genau im Beweis zur Reflexivität Isometrien? Ich befürchte, ich verstehe deine Frage nicht ganz...

Grüße,
PhysikRabe

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: daenerystargaryen
Drei paarweise orthogonale Vektoren im IR^2?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-12
PhysikRabe
 

2020-02-12 12:57 - daenerystargaryen im Themenstart schreibt:
"Gibt es ein Skalaraprodukt auf R^2 und drei Vektoren v1,v2,v3 aus R^2\{0}, so dass <v1,v2>=0,<v1,v3>=0 und <v2,v3>=0?"

Falls du dazu gar keine Idee hast, kannst du dir ja mal überlegen, was passiert wenn du das Standardskalarprodukt nimmst. Vielleicht bringt dich das weiter.

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
 

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