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Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mhipp
Ableitung nicht Null => Vorzeichenwechsel  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-22 20:36
PhysikRabe
 

2020-10-22 15:56 - mhipp in Beitrag No. 11 schreibt:
Sei f stetig, diffbar.

"Stetig und differenzierbar" ist nicht das selbe wie "stetig differenzierbar", und strikt positive Ableitung in einem offenen Intervall (wie im Mittelwertsatz) und strikt positive Ableitung in einem Punkt sind ebenfalls unterschiedlich zu behandeln. Ich empfehle das Gegenbeispiel in zippys Link.

Grüße,
PhysikRabe

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Funktionalableitung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21 08:39
PhysikRabe
J

2020-10-20 22:27 - sonnenschein96 in Beitrag No. 1 schreibt:
Dir muss aber klar sein, dass diese Rechnung mathematisch gesehen vollkommen unsinnig ist, da die Delta Distribution von Physikern einfach wie eine Funktion verwendet wird, was falsch ist.

Nein, das ist ein weit verbreitetes Missverständnis im Zusammenhang mit "Delta-Funktionen". Notation darf nicht mit fehlender mathematischer Strenge verwechselt werden. Die Rechnung ist absolut rigoros, wenn die Ausdrücke (wie es sein sollte) symbolisch verstanden werden -- man sagt "im Sinne von Distributionen", d.h. die Ausdrücke werden als Integralkerne aufgefasst, und die Integration gegen Testfunktionen wird implizit verstanden.

Richtig ist natürlich, dass das die wenigsten Physiker wissen bzw. sich für diese mathematischen Feinheiten interessieren. Das ist aber unabhängig von der Tatsache, dass die Rechnung mathematisch sehr wohl sinnvoll ist, wenn man den Ausdrücken die richtige Bedeutung zuschreibt. Und dies geschieht keineswegs willkürlich, sondern folgt einem exakten, konsistenten "Regelwerk". So ist das bei jeder Art von Notation.

Grüße,
PhysikRabe

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Unschlüssigkeit Definition Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:48
PhysikRabe
J

2020-10-19 16:40 - Spedex in Beitrag No. 8 schreibt:
Aber ist es nicht synonym gebräuchlich, wie PhysikRabe schon gesagt hat , dass wenn eine Folge in einer Menge konvergiert, sie ja sowieso einen Grenzwert haben muss, der auch Teil der Folge ist?

Vorsicht, das habe ich nicht gesagt. "Konvergiert in einer Menge" heißt, dass der Limes in der Menge liegt. Der Limes ist nicht notwendigerweise Teil der Folge. (Falls die Folge ab einem gewissen Index konstant wird, ist der Limes trivialerweise "Teil" der Folge. Aber im Allgemeinen ist das natürlich nicht so; siehe die Definition des Grenzwertes einer Folge!)

Nochmal zur Klarstellung: Sei $(a_n)$ eine Folge, und $M\subset\mathbb R$.
"$(a_n)$ ist eine Folge in $M$" bedeutet: $a_n \in M$ für alle $n$.
"$(a_n)$ ist konvergent" bedeutet: Es existiert $\lim a_n \in \mathbb R$.
"$(a_n)$ konvergiert in $M$" bedeutet: $(a_n)$ ist konvergent, und $\lim a_n \in M$.

Grüße,
PhysikRabe

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Unschlüssigkeit Definition Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:34
PhysikRabe
J

2020-10-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Wenn wir uns jetzt dann doch die Menge \(\left(a,\infty\right)\) anschauen sowie eine Folge \(\left(a_n\right)=a+\frac{1}{n}\), dann ist die Menge trotzdem nicht abgeschlossen, nicht?

Natürlich nicht. Die Folge konvergiert zwar in $\mathbb R$, aber ihr Limes $a$ liegt nicht in \(\left(a,\infty\right)\).

2020-10-19 16:29 - Spedex in Beitrag No. 5 schreibt:
Was ist mit jeder konvergenten Folge gemeint? Also in Bezug auf das "jeder".

Naja, "jede" eben. Alternativ kann man auch "alle" sagen. Kannst du genauer erklären, was dich daran verwirrt?

Sei $(a_n)$ eine Folge in $M\subset\mathbb R$ mit $\lim a_n = a \in \mathbb R$ (d.h., $(a_n)$ ist eine konvergente Folge, die in $M$ liegt). Wenn nun $a\in M$, dann konvergiert die Folge in $M$. Gilt dies nun für alle solchen Folgen $(a_n)$ (also Folgen mit den genannten Eigenschaften), dann ist $M$ abgeschlossen. (Die Umkehrung gilt ebenso.)

Grüße,
PhysikRabe

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mhipp
Ableitung nicht Null => Vorzeichenwechsel  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:26
PhysikRabe
 

2020-10-19 16:25 - mhipp in Beitrag No. 4 schreibt:
Danke für Eure vielen Antowrten, allerdings stecke ich gerade etwas fest.
Ich habe tatsächlich schon versucht, mit dem Defferenzenquotienten zu arbeiten, aber es kommt bei mir nichts Brauchbares raus...

Solange du nicht genauer schreibst, was du versucht hast, können wir dir nicht weiterhelfen...

Grüße,
PhysikRabe

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Unschlüssigkeit Definition Abgeschlossene Menge  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:12
PhysikRabe
J

2020-10-19 16:08 - Spedex im Themenstart schreibt:
Wenn wir uns beispielsweise folgende Menge anschauen \(\left(a,\infty\right)\) und beispielsweise eine Folge wie \(\left(a_n\right)=1+\frac{1}{n}\), dann konvergiert diese Folge doch innerhalb der Menge,[...]

Nein. Die Folge (d.h. ihre Folgenglieder) liegt in der Menge. "Konvergiert innerhalb der Menge" ist gleichbedeutend mit "hat einen Limes in der Menge". In deinem Beispiel ist \(\left(a_n\right)=\left(1+\frac{1}{n}\right)\) eine Folge in \(\left(1,\infty\right)\subset \mathbb{R} \), ihr Limes existiert aber nicht in dieser Menge. Du hast also eine Folge gefunden, die zwar in $\mathbb R$ konvergent ist, deren Limes aber nicht in der Menge liegt, d.h. sie konvergiert nicht in der Menge. Also ist besagte Menge nicht abgeschlossen.

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mhipp
Ableitung nicht Null => Vorzeichenwechsel  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 16:03
PhysikRabe
 

Hallo Max,

nimm doch mal (im Widerspruch) an, die Funktion $f$ verschwindet zwar in $x_0$, macht dort aber keinen Vorzeichenwechsel. Was sagt das über das Monotonieverhalten der Funktion in einer Umgebung von $x_0$? (Den trivialen Fall $f=0$ können wir ausschließen.) Wie hängt das mit der Ableitung im Punkt $x_0$ zusammen?

Grüße,
PhysikRabe

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Kugelschiff fürs All  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 14:50
PhysikRabe
 

Ach ja, und außerdem gibt es auch noch was von den Xindi (Enterprise):

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Kugelschiff fürs All  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-18 18:09
PhysikRabe
 

2020-10-18 12:18 - gonz in Beitrag No. 3 schreibt:
Hier ist man noch nicht so weit (Star Trek, Borg Cube, by Cannikin1701)

Naja...
Borg-Sphäre...

Grüße,
PhysikRabe

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Fürstenberg-Topologie [war: Notation]  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-17 16:31
PhysikRabe
 

2020-10-17 15:10 - paulster in Beitrag No. 8 schreibt:
Danke euch beiden,
also kann ich die Unendlichkeit z.B. durch diese obige Bijektion begründen ?

Ja, natürlich. Es ist einfach die mathematische Formulierung der (gewissermaßen offensichtlichen) Aussage, dass die nicht-leeren Basismengen der Topologie aus unendlichen arithmetischen Folgen bestehen (so sind sie ja definiert), daher unendlich sein müssen.

Grüße,
PhysikRabe

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: paulster
Fürstenberg-Topologie [war: Notation]  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-17 13:17
PhysikRabe
 

2020-10-17 11:04 - paulster in Beitrag No. 5 schreibt:
Also im Prinzip ist es ja klar, dass eine solche Menge nicht endlich ist, aber wie zeigt man das am Besten 🤔
Oder ist das trivial ?

Wenn du dir noch nicht sicher bist, ob das trivial ist oder nicht, mach dir nochmal bewusst wie die nicht-leeren offenen Mengen der Topologie aussehen. (Es genügt, eine nicht-leere Basis-Menge zu betrachten.) Die wichtige Konsequenz der Aussage ist, dass endliche Mengen nicht offen sein können.

Für den Primzahlbeweis, folge der Anleitung:
2020-10-16 20:50 - paulster in Beitrag No. 2 schreibt:
Bestimme $\bigcup\{p\mathbb{Z}: p > 1, p \,Primzahl \}$
Welche Teilmenge von $\mathbb{Z}$ ist das? Um zu schließen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, musst du einerseits die oben gewonnene Aussage ausnutzen, und andererseits verwenden, dass die Basis-Mengen der Topologie sowohl offen als auch abgeschlossen sind (das ist ein anderer Teil deiner Aufgabe, den du ja vielleicht schon bewiesen hast).

Grüße,
PhysikRabe


[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von PhysikRabe]

Terme und (Un-) Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: Spedex
Quadratische Gleichung mit Betrag lösen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10 19:51
PhysikRabe
 

2020-10-10 19:49 - Scynja in Beitrag No. 4 schreibt:
\(
y=3x^3-2x^2-x-2
\)
und
\(
y=3x^3-2x^2+x-2
\)

Ja, das ist genau die von mir angesprochene Fallunterscheidung am Beispiel der Gleichung $y=3x^3-2x^2+\left|x\right|-2$. Man beachte hier aber, dass für die erste Gleichung $x<0$ angenommen wird, für die zweite aber $x\geq 0$. Das ist wichtig, um die richtigen Lösungen für die ursprünglich zu lösende Gleichung auswählen zu können.

Grüße,
PhysikRabe

Terme und (Un-) Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: Spedex
Quadratische Gleichung mit Betrag lösen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10 19:42
PhysikRabe
 

2020-10-10 19:28 - Spedex in Beitrag No. 2 schreibt:
Würde sich das Problem lösen lassen, wenn die Funktion nicht symmetrisch wäre (mit "einfachen" Mitteln)?

Selbstverständlich. Es kommt auf die Gleichung an, aber generell würde sich immer eine Fallunterscheidung nach der Betragsfunktion anbieten ($|x|=x$ für $x\geq 0$, und $|x|=-x$ für $x<0$). Daraus ergeben sich zwei separate Gleichungen (eine für $x\geq 0$ und eine für $x<0$), die man lösen muss.

Grüße,
PhysikRabe

Terme und (Un-) Gleichungen
Schule 
Thema eröffnet von: Spedex
Quadratische Gleichung mit Betrag lösen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-10 18:57
PhysikRabe
 

Hallo Spedex,

wesentlich ist die Erkenntnis, dass die Gleichung \(x^2+|x|-6=0\) symmetrisch in $x$ ist. Da \((-x)^2 = x^2\) und \(|-x|=|x|\), gilt: Ist $x$ eine Lösung, so auch $-x$.

Wenn du in der ursprünglichen Gleichung \(x^2+|x|-6=0\) annimmst, dass $x\geq 0$ ist, landest du bei \(x^2+x-6=0\) (für $x\geq 0$). Die einzige Lösung dieser Gleichung ist $x=2$. (Achtung: $x=-3$ ist keine Lösung, da $x\geq 0$ angenommen wurde.) Also muss $x=-2$ die zweite Lösung von \(x^2+|x|-6=0\) sein.

Grüße,
PhysikRabe

Zahlentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: TinoRitter
Request for discussion : Beal Conjecture  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-09 11:16
PhysikRabe
 

Hallo Tino,

ohne auf den mathematischen Inhalt einzugehen: Warum präsentierst du deine Arbeit nicht auf deutsch? Der englische Text ist leider so voller sprachlicher Fehler, dass es mühsam ist, ihn zu lesen.

Grüße,
PhysikRabe

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Nobelpreis für Physik 2020  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-06 21:26
PhysikRabe
 

2020-10-06 20:40 - traveller in Beitrag No. 4 schreibt:
Ich könnte mir auch vorstellen, dass man Penrose den Preis noch geben wollte, bevor er sich mit seinen seltsamen Bewusstseinstheorien selbst disqualifiziert ...

Ich kenne diese Theorien nicht im Detail, aber ich sehe den Zusammenhang nicht. Inwiefern vermindert seine aktuelle Arbeit frühere Erkenntnisse und Erfolge?

Grüße,
PhysikRabe

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Nobelpreis für Physik 2020  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-06 17:52
PhysikRabe
 

Da ich mich selbst als mathematischer Physiker sehe, freue ich mich sehr, dass Sir Roger Penrose endlich der Nobelpreis verliehen wurde. Das war in der Tat schon lange überfällig, und es kommt ohnehin viel zu selten vor, dass Theoretiker ausgezeichnet werden. Am 30.11.2012 hatte ich übrigens selbst die Ehre, Roger Penrose persönlich bei einer "Public Lecture" an der Fakultät für Physik der Universität Wien kennenzulernen (ich habe sogar ein Photo und ein Autogramm 😃). Umso mehr freut es mich, dass er für seine fantastische Arbeit diese Auszeichnung bekommt. Und ich freue mich auch für Reinhard Genzel und Andrea Ghez; letztere ist erst die vierte Frau, die den Nobelpreis bekommen hat.

Grüße,
PhysikRabe

Distributionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Darth_Vector
Delta Distribution: Definierende Eigenschaft nachweisen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-16
PhysikRabe
 

2020-09-16 09:04 - Darth_Vector in Beitrag No. 2 schreibt:
Das Kapitel im Skript ist immer noch leer. Ich kann also leider nicht mehr dazu sagen.

Was soll denn das heißen? Irgendwie müsst ihr die Delta-Distribution doch definiert haben, sonst ist die Aufgabe endgültig sinnlos. (Fragwürdig ist sie allemal, wie Vercassivelaunos schon angemerkt hat.)

Grüße,
PhysikRabe

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: peterpacult
Lorentz-Transformation von relativistischen Impuls und relativistischer kinetischer Energie  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-07
PhysikRabe
J

2020-09-07 11:33 - peterpacult in Beitrag No. 4 schreibt:
Dagegen ist die relativistische kinetische Energie beim Wechsel des Inertialsystems unverändert (Kompensation durch die Ruheenergie).

Nein. Wie ich bereits geschrieben habe, verschwindet die kinetische Energie im Ruhesystem des betrachteten Teilchens. Die Ruheenergie ist nicht Teil der kinetischen Energie, kann daher darauf gar keinen Einfluss haben.

Grüße,
PhysikRabe

Relativitätstheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: peterpacult
Lorentz-Transformation von relativistischen Impuls und relativistischer kinetischer Energie  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-04
PhysikRabe
J

Hallo Peter,

ich war etwas zu voreilig, sorry. Die kinetische Energie ist zwar ein Skalar im Euklidischen Kontext, aber die relativistische kinetische Energie hängt ja von der Geschwindigkeit ab (z.B verschwindet sie im Ruhesystem; deshalb muss man für Energieerhaltungssätze in ein und dem selben Bezugssystem bleiben), sie ist also kein Lorentz-Skalar. Richtig ist aber, dass die Gesamtenergie $E=\gamma mc^2$ (welche die relativistische kinetische Energie enthält) die Komponente eines Vierer-Vektors ist: dem relativistischen Impuls $(E/c,p)=(\gamma mc,\gamma mv)$. (Auch sie ist aber kein Lorentz-Skalar.)

Das, was du als $T_{rel}$ bezeichnet hast, ist die relativistische Gesamtenergie. Die relativistische kinetische Energie ist $\gamma mc^2 - mc^2$ (ist dir das klar?).

Grüße,
PhysikRabe
 

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