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Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: 6Incognito9
Normal ordering vom H und der Impuls cut-off  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-17 22:34
Rathalos
J

Hallo 6Incognito9,

Dabei solltest du beachten, dass \(n = a^\dagger a\) die Teichenzahl darstellt. Bei endlicher Teilchenzahl ist das Integral dann auch endlich (endlich viele q Moden).

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Injektive lineare Abbildung - Basis  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-11
Rathalos
J

Mallo MePep,

Dann hast du, dass du \(\phi(v)\) als Summe darstellen kannst. Wären nun \(\phi(v_1) = (1,0,0), \phi(v_2) = (2, 0, 0) ,...\) kannst du alle Vektoren der Form \(w = (x, 0, 0)\) darstellen. Du sollst ja gerade nicht verwenden, dass \(\phi\) surjektiv ist.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MePep
Injektive lineare Abbildung - Basis  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-11
Rathalos
J

Hallo MePep,



Nimmt man an es gäbe für einen beliebigen Vektor $w \in \mathbb{R}^{3}$ zwei verschiedene Darstellungen, so würde gelten:
$w = r_{1} \cdot w_{1} + r_{2} \cdot w_{2} + r_{3} \cdot w_{3} = r_{1}' \cdot w_{1} + r_{2}' \cdot w_{2} + r_{3}' \cdot w_{3}\\
\Leftrightarrow (r_{1} - r_{1}')w_{1} + (r_{2}-r_{2}')w_{2} + (r_{3} - r_{3}')w_{3} = 0$


Wieso kannst du den Vektor \(w\) in \(w_1, w_2, w_3\) zerlegen?

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mbInfoStudent
Taylorfunktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-17
Rathalos
J

Hallo mbInfoStudent,


Es ist die folgende Funktion gegeben:
$$q(v):=g^T v+ \frac{1}{2}v^TQ v$$

Es handelt sich um eine mehrdimensionale Funktion. Hilfreich könnte die Komponentenschreibweise sein. \[q(v) = \sum_{i,j} g_i v_i + 0.5 v_i Q_{ij}v_j\]

$$\Sigma_{n=2}^{\infty}\frac{q^{(n)}(v^k)}{n!}(s)^n=\frac{1}{2}s^TQs$$ Ich kann das aber nicht nachvollziehen.

Was bedeutet \(s^n \) für den Vektor s? Ich glaube stark, dass du die eindimensionale Taylorreihe ansetzt, obwohl die Funktion Mehrdimensional ist. Die Taylorglied zweiter Ordnung wäre \(0.5\sum_{m,n}\frac{\partial^2q(v)}{\partial v_m \partial v_n}s_m s_n = 0.5^2 s^T(Q + Q^T)s\). Mit \(Q^T = Q \) ergibt sich dann die Formel



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: max200
Energieerhaltung aus Lagrange Funktion  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Rathalos
 

Hallo Max,

Die Aufgabe dreht sich nicht um Hamilton Funktionen. Du sollst eine Erhaltungsgröße aufgrund einer Symmetrie (Zeitinvarianz) bestimmen. Das Noerther Theorem sagt dir nun, dass \(Q = \partial_{\dot q_i } L\cdot \dot q_i - L \) die erhaltene Größe ist (Dies kannst du auch ohne Noerther Theorem nachrechnen indem du nach der Zeit ableitest). Man sieht, dass dies auch die Form der Hamilton Funktion besitzt und schließt, daher darauf, dass die erhaltene Größe die Energie ist. Dies war alles noch ganz allgemein und gilt immer wenn die Lagrange Funktion nicht explizit zeitabhängig ist.

Der nächste Schritt ist nun für dein konkret gegebenes System den Ausdruck und die Erhaltungsgröße \(Q = \partial_{\dot q_i } L\cdot \dot q_i - L \) zu berechnen.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: max200
Energieerhaltung aus Lagrange Funktion  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Rathalos
 

Hallo max200,

Nein warum willst du die Hamilton Funktion aufstellen, du solltest einfach
\(\partial_{\dot q}L \cdot \dot q - L \) berechnen für deine Lagrange Funktion. Da deine Erhaltungsgröße die Energie ist, erwarten wir, dass die kinetische Energie \(0.5 m\vec v ^2\) dabei herauskommt.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: max200
Energieerhaltung aus Lagrange Funktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Rathalos
 

Hallo max200,

Ja das wäre zu zeigen und du solltest natürlich die Erhaltungsgröße noch explizit an deinem Beispiel berechnen.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: max200
Energieerhaltung aus Lagrange Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Rathalos
 

Hallo max200,

Das hört sich doch gut an. Die formale Rechnung wäre über das Noether Theorem und die Erhaltungsgröße ist die Energie \(\partial_{\dot q}  L \cdot \dot q - L\). Am besten bei Fragen über den Rechenweg mal deinen Versuch posten.

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobias150801
Transpositionsabbildung stetig  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Rathalos
J

Hallo tobias150801,

Die Definition ist eigentlich Analog zum eindimensionalen Fall, dh \(\forall \epsilon > 0 \exists \delta >0:\forall A,B\) \[||A-B|| < \delta \implies \hspace{1cm}  ||A^T-B^T|| < \epsilon\].

Dies ist zuzeigen, natürlich kannst du auch es mit deiner Folgendefinition versuchen.

Nun wäre ja eine Abschätzung der Form \(||A^T-B^T|| < a \cdot ||A-B||\) wünschenswert, damit du das Delta bestimmen kannst, oder ausnutzen kannst, dass \(||A_n-A|| \rightarrow 0\) bei deiner Folgendefinition. Daher wäre der nächste Schritt mal nachzuschauen, welche Normen es gibt und wie du ||A^T|| in dieser berechnest? (Hinweiß: \(||A^T|| = ||A||\) gilt bei manchen Normen)

Elektrodynamik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: peterpacult
Energiedichte des elektromagnetischen Feldes in cgs-Einheiten  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Rathalos
 

Hallo peterpacult,

Bist du sicher, dass der Vorfaktor \(1/8\pi\) im SI System ist? Meiner Kenntnis nach gilt z.B. für das elektrische Feld \(u_{el} = 1/2 \vec E \cdot \vec D = \frac{\epsilon_0}{2 } \vec E^2\). Diese Formel ist auch relativ bekannt und wird auch hier angegeben .
Ich glaube das im cgs System der Vorfaktor \(1/8\pi \) ist, also \(k_r = 1\).

Du kommst aufjedenfall auf die Vorfaktoren, wenn die Energiedichte herleitest aus den Maxwellgleichungen (Poynting's theorem).
Anscheinend gibt es aber auch Merkregeln wie man die Felder ineinander umrechnet z.B. \(E^G/E^{SI} = \sqrt{4\pi \epsilon_0}\).  Für weitere Regeln kannst du hier nachschauen:

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: tobias150801
Transpositionsabbildung stetig  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Rathalos
J

Hi tobias150801,

Hattet ihr schon gezeigt, dass lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Vektorräumen stetig sind?
Wenn ja zeige einfach, dass die Abbildung linear ist.

Ansonsten schreibe doch erstmal die Definition der Stetigkeit für die Abbildung hin und versuche dies zu zeigen bzw. wo genau dann dein Problem liegt.  


Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathescience
Nullstellen von xⁿ + nx - 1  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-24
Rathalos
 

Hi Mathescience,

Es gilt \(p_n(0) =  -1\) und \(p_n(1) = n > 0\). Daher haben wir aufgrund der Stetigkeit schon eine Nullstelle. Wenn du nun zeigst, dass p streng monoton ist, dann folgt ja, dass p nur eine Nullstelle hat.

Es sollte ja mit der Aussage von oben \(x_n \in (0,1)\) gelten. Überlege dir mal was dann für \( x^n\) passiert im Grenzwert.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Zwangskräfte: Verständnisprobleme bei der Herleitung der Formel in einem Artikel  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Rathalos
J

Hallo Sambucus,

Erstmal habe ich ein Fehler gemacht. Ich habe von \(\sum_j \partial_{x_j}f \delta x_j \) auf \(\partial_{x_j}f = 0\) geschlossen. Dies war leider nicht korrekt, da nicht beliebige virtuelle Verrückungen erlaubt sind. Virtuelle Verrückungen sind ja bewegungen, die die Zwangsbedingungen nicht verletzen, dh ich darf den letzten Schritt nicht machen.

a)
Alles was du geschrieben hast ist richtig.

b)
Man brauch garkeine Ableitungen oder sonstiges . Wir haben schon m Gleichungen mit \( f_m(x_1, y_1 , ... , z_N) =0\) die uns m-Koordinaten eliminieren.

Dabei sollte man noch anmerken, dass die Zwangsbedingungen unabhängig sind.
Als einfaches Beispiel zum Verständnis kann man ja eine Bewegung auf dem Kreis betrachten im zweidimensionalen dh. \(x^2 + y^2 -r^2 = 0\). Nun kannst du doch die Zwangsbedingung auflösen z.B. \( x = \pm \sqrt{r^2-y^2}\). Das ist die prinzipelle Idee, dh du brauchst nur die x Koordinate und kannst immer sagen, was y ist.
Die mathematische Rechtfertigung und wann genau, dies funktioniert ist natürlich eine andere Sache und mir fällt da nur der Satz über implizite Funktionen ein. Vielleicht gibt es aber auch weitere, dass wäre aber eine Frage fürs Matheforum.

Optik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Physiker123
Dispersionsrelation freies Elektronengas  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Rathalos
J

Hi Physiker123,



Bei einer monochromatischer Welle müssten diese Ausdrücke doch gleich sein. Wieso ist das hier nicht der Fall?



Einfach weil dies nicht der Fall sein muss.

In einem Wellenleiter oder in der Quantenmechanik \(\omega = \frac{\hbar k^2}{2m} \) gilt dies doch auch nicht?

Eine monochromatische Welle besitzt eine Frequenz und damit Wellenlänge. Jedoch kann die Dispersionsrelation beliebig sein.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Zwangskräfte: Verständnisprobleme bei der Herleitung der Formel in einem Artikel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Rathalos
J

Hallo Sambucus,

Zunächst einmal bin ich mir nicht sicher ob du mehrere Beschränkungsgleichungen \(f_k\) hast, da du dieses k an einigen Stellen weglässt und es an manchen stellen kein Sinn macht. Ich denke daher, dass du nur eine hast.


a)
Hier wird eine Tylorreihennäherungen vorgenommen und nach dem ersten Glied abgebrochen, da die virtuellen Verrückungen infestimal sind.

b)

Da die virtuellen Verschiebungen unabhängig gewählt werden können, hast du m Gleichungen
\(\partial_{x_j} f = 0\) Daher kannst du mit diesen m Gleichung auch m Koordinaten elimineren. Das geht dann in die Richtung vom Satz der impliziten Funktionen.

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Periode aus Potential berechnen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-19
Rathalos
 

Hi MontyPythagoras,

Vielen Dank für den Hinweiß und die Korrektur. Werde bei mir wenn ich Zeit habe nacher noch mal drüber schauen.

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kuckuck3
Periode aus Potential berechnen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-19
Rathalos
 

Hi kuckuck3


Die Aufgabe ist gibt dir doch vor was du substituieren sollst.

Du hast ja schon \[\Delta t = \sqrt{m/2E} \int \frac{dx}{\sqrt{1-U(x)/E}}\].

Nun setze \(U = E sin(\phi)^2\)  und du erhälst  \[x^2 = -1/\lambda \left (1- \sqrt{1-\frac{4E \lambda sin(\phi) ^2 }{k}} \right)\].

Nun entwickle deine Wurzel die klein ist bis zur zweiten Ordnung (erste Ordnung gibt nach meiner Rechnung den normalen harmonische Oszi), rechne x aus und bestimme dann dx. Bei den Integrale beachte das \(cos(x) = \sqrt{ 1-sin^2(x)}\) gilt.

Ich komme dann auf \[T = 2\pi \sqrt{m/k}\left(1-\frac{3\lambda E}{16k} \right)\]

Kinematik der Punktmasse
  
Thema eröffnet von: NicolasPhysik
Komponenten der Basisvektoren bei Geschwindigkeit / Beschleunigung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-24
Rathalos
 

Hallo,

Wahrscheinlich sollst du einfach die Komponenten in deinen neuen Koordinaten angeben. Z.B. gilt in Polarkoordinaten \(\ddot {\vec{ r} }= (\ddot r-r \dot \phi^2)\vec e_r + ...\). Also \(a_r =\ddot r-r \dot \phi^2 \)

Thermodynamik & Statistische Physik
  
Thema eröffnet von: Skalhoef
Variablen in der Thermodynamik am Beispiel von Kreisprozessen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-16
Rathalos
 

Hallo Skalhoef,

Ich bin mir nicht sicher,ob das Paar (V,p,N) ein System beschreibt. Ich kenne nur das du die extensiven Größen durch ihre konjugierten Kräfte ersetzen kannst, damit du immernoch 3 unabhängige Variablen (sind V, p unabhängig?) hast. Z.B sind die möglichen Potentiale hier und dort taucht deins nicht auf. (Übrigens sind alle Ensemble im thermodynamischen Limes äquivalent)

Ich glaube bei p-V-Diagrammen tut man einfach so also ob \(\langle p \rangle = p\) oder \(\langle V \rangle = V\)  genau bestimmt ist, da die relativen Schwankungen im thermodynamischen Limes verschwinden. Jedenfalls haben wir das in der Vorlesung bei fast allen Sachen gemacht.

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Skalhoef
Chemisches Potenzial für Bosonen und Fermionen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-03-16
Rathalos
 

Hallo Skalhoef,

Wenn du es an der Formel sehen möchtest, musst du schon das Beispiel konkret durchrechnen. Man wird aber bei der Berechnung das Großkanonische Ensemble nehmen, weil dort die Zustandssumme einfach berechnet werden kann. Ein ausfühliches Beispiel wäre z.B.

Auf konkretere Fragen lässt sich dann auch einfacher antworten.

Anschaulich :
Das für Fermionen \(\mu >0\) gilt, ist denke ich mal klar. Einbringen eines Partikels erhöht die Energie immer.

eher kritisch:
Bei Bosonen stellt man sich eine attraktive Kraft vor, die Partikel im Grundzustand bringen will.  
Dann ist klar, dass für T > 0 ein paar Partikel angeregt sind. Wenn ich nun Partikel hinzufüge, die höchstwahrscheinlich im Grundzustand landen, aber eine Kraft ausüben auf Partikel in den höher besetzten Zuständen, kann es ja dafür sorgen, dass das Partikel im höher besetzen Zustand zum Grundzustand wechselt durch die Kraft. Damit wäre ja aber die Energie reduziert also \(\mu < 0\). Für T = 0 muss alles im Grundzustand sein und weniger Partikel sind in angeregten Zuständen, sodass der Effekt nachlässt bis \(\mu = 0\) im Grundzustand.
 

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