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Riemann-Stieltjes-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: holzkopf13
Notation beim Riemann-Stieltjes-Integral  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-03-02
Redfrettchen
J

Wie willst du denn von Grenzwert sprechen, wenn du nur eine einzige Zerlegung betrachtest? Ja, jedes Folgenglied ist eine Zerlegung des Intervalls. Und für jedes Folgenglied bekommst du eine (endliche!) Riemann-Stieltjes-Summe. Du erhältst also eine Zahlenfolge mit Index <math>n</math> von diesen Summen. Und diese Zahlenfolge soll gegen <math>s</math> konvergieren für <math>n \to \infty</math>, und zwar für jede Zerlegungsfolge, deren Feinheit gegen <math>0</math> konvergiert. Die Feinheit ist für eine Zerlegung definiert, man erhält also für eine Folge von Zerlegungen wieder eine Zahlenfolge von Feinheiten, und nur eine Folge kann konvergieren, kein einzelner Wert.

Hast du denn meine Analogie zur Funktionenkonvergenz verstanden?

Riemann-Stieltjes-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: holzkopf13
Notation beim Riemann-Stieltjes-Integral  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-03-01
Redfrettchen
J

Nein, du schaust dir alle Zerlegungsfolgen <math>(Z_n)_n</math> an, deren Feinheit gegen <math>0</math> konvergiert für <math>n \to \infty</math>. Für eine beliebige solche Folge ist <math>Z_n</math> die <math>n</math>-te Zerlegung dieser Folge.

Schauen wir uns ein ähnliches Konzept an. Ist <math>U \subseteq \mathbb{R}</math> und <math>f\colon U \rightarrow \mathbb{R}</math> eine Funktion, gilt für einen Häufungspunkt <math>a</math> von <math>U</math>, dass <math>f(x) \to y_0</math>, <math>x \to a</math>, falls für jede Folge <math>(x_n)_n</math> von Elementen aus <math>U</math> mit <math>x_n \to a</math> gilt: <math>f(x_n) \to y_0</math>, <math>n \to \infty</math>.
Hier steht <math>x_n</math> für das <math>n</math>-te Element einer beliebig gewählten Folge von Elementen aus <math>U</math>, die gegen <math>a</math> konvergiert.

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]

Riemann-Stieltjes-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: holzkopf13
Notation beim Riemann-Stieltjes-Integral  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-02-28
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J

Hallo,

nein, dass <math>n</math> indiziert die Elemente einer beliebigen Zerlegungsfolge, deren Feinheit gegen <math>0</math> konvergiert. Die Aussage über die Konvergenz der Riemann-Stieltjes-Summen muss für alle solche Folgen gelten.

Der Grenzübergang <math>k \to \infty</math> ist falsch, die Summen müssen für <math>n \to \infty</math> gegen <math>s</math> konvergieren. Wenn du <math>k \to \infty</math> als Forderung für <math>n \to \infty</math> interpretierst, dann ja, das ist unnötig, wenn die Feinheit gegen <math>0</math> konvergiert.

Grüße

Thomas

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Sonstiges
  
Thema eröffnet von: mrdjv2
"in 2015" vs. "im Jahr 2015"  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-02-11
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Hallo,

das  Deutsche Wörterbuch gibt Belege dazu im Lemma zu »in«, Abschnitt B.I.2) a):
in dem funfzehenden jar des keiserthums keisers Tyberij. Luc. 3, 1; im jahr 1876; dafür im kaufmännischen geschäftsstil auch blosz in 1876, wol fremdem sprachgebrauche nachgeahmt, franz. en 1876, ital. nel 1876, engl. in 1876: die russischholländische anleihe begann in 1816 .. die griechische anleihe wurde noch in 1853 ausgezahlt. Weserzeitung 1854 no. 3413
Das Phänomen ist also nicht jung, sondern hat sich nur ausgeweitet. Siehe auch den Artikel vom Institut für deutsche Sprache.

2015-02-11 16:34 - fermat63 in Beitrag No. 4 schreibt:
Das "in 2015" ist Englisch kein Deutsch.
Es ist in jedem Fall deutsch, wenn es in einem deutschen Satz gesagt wird.


Grüße

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

Spiel & Spaß
  
Thema eröffnet von: mire2
MP-Stilblüten etc. sammeln  
Beitrag No.743 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-23
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Leute, es gibt einen separaten Stilblütenthread.

Riemann-Stieltjes-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: StefanWK
Riemann-Stieltjes-Integral, monoton wachsender Integrator  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-22
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Hallo,

a priori kann man das Riemann-Stieltjes-Integral für beliebige Funktionen und Integratoren definieren, wenn man die Existenz von Grenzwerten der entsprechenden Riemannsummen voraussetzt. Es ist dann ein Satz, dass das Integral für stetige Funktionen und monoton wachsende Integratoren existiert. Diesen Satz kann man aber zum Beispiel auf Integratoren erweitern, die von beschränkter Variation sind.


Grüße

Thomas

Erfahrungsaustausch
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: roydebatzen
Promotion mit Bachelor  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-19
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Hallo,

direkt nach dem Bachelor stell ich mir das schwierig vor. Aber an der Berlin Mathematical School gibt es die Möglichkeit zu promovieren, nachdem du einige Vorlesungen besucht hast und ein Qualifying Exam abgelegt hast. Das Max-Planck-Institut für molekulare Genetik in Berlin hat auch so ein Programm, schau hier.


Grüße

Thomas

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cmpxchg2
Maßtheorie - Lebesgue-integrierbare Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-01-02
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Hallo,

deine Argumentation zur Messbarkeit funktioniert nur, wenn <math>f</math> stetig ist. Schlag stattdessen nach, was es bedeutet, das <math>f</math> messbar ist.

Für den zweiten Teil integriere die Ungleichung <math>f 1_{A_c} \geq c 1_{A_c}</math>.


Grüße

Thomas

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: kaotisch
Wieso erzeugt diese Metrik die Produkttopologie?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-25
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Hallo,

1. bedeutet, dass die bezüglich <math>d</math> offenen Mengen die Topologie <math>\tau</math> ausmachen. Das musst du nachrechnen, wobei du ja von beiden Topologien Subbasen kennst. 2. folgt dann aus dem Satz von Tychonoff.


Grüße

Thomas

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: brkn
Wie lautet die deutsche Übersetzung von "integral currents"  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-25
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J

Hallo,

auf deutsch heißt das integraler Strom, soweit ich weiß. Siehe zum Beispiel dieses Skript (PDF).


Grüße

Thomas

Sonstiges
  
Thema eröffnet von: Ex_Senior
Heißt es "entsprechend der oder den Prioritäten"?  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-17
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Hallo,

ach, ja, mal wieder angebliche Präpositionen, die den Genitiv regieren. So etwas gibt es nicht, echte Präpositionen regieren nur einen der beiden räumlichen Fälle, den Dativ oder den Akkusativ.

Der Satz ist ein schönes Beispiel für Powerdeutsch, und vermutlich ist das so gewollt. Da kommt man schnell dazu, schnöselige Genitive einzufügen. In alltäglicher gesprochenen Sprache verwendet man »koordinieren« nicht so, und »entsprechend« gar nicht. Mein Vorschlag ist: »Er erledigte wichtige Aufgaben zuerst.«


Grüße

Thomas

Stochastik und Statistik
  
Thema eröffnet von: oxymandias
Definition von Algebra  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-17
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Hallo,

wahrscheinlich ist es, wie cmpxchg2 schreibt, die Definition von Mengenalgebren soll der von Mengenringen ähneln.

Wenn man sich Mengenring als Ring mit symmetrischer Differenz als Addition und Durchschnitt als Multiplikation merkt, dann ist eine Mengenalgebra ein Ring mit Eins.


Grüße

Thomas

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-17
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Deine Indikatorfunktion hängt noch von <math>y</math> ab.

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: quadratur
punktweise Konvergenz konvexer Funktionen & ganze Funktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
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Hallo,

die magische Eigenschaft konvexer Funktionen <math>f</math> einer Variablen ist, dass <math>\frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}</math> in jeder der beiden Variablen monoton wächst. Daraus folgt
<math>\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(d) - f(c)}{d - c}</math>
für alle <math>a < b < x < y < c < d</math>. Da man für jede kompakte Menge <math>K</math> aus <math>\mathbb{R}</math> Zahlen <math>a,b,c,d</math> finden kann, die diese Ungleichungskette für alle <math>x < y</math> aus dieser Menge erfüllen, folgt die Lipschitzstetigkeit auf dieser kompakten Menge.
Konvergiert nun <math>(f_n)_n</math> punktweise gegen <math>f</math>, so hat man für fast alle <math>n</math>
<math>\displaystyle \frac{f(b) - f(a)}{b - a} - 1 \leq \frac{f_n(y) - f_n(x)}{y - x} \leq \frac{f(d) - f(c)}{d - c} + 1</math>
für alle <math>x,y \in K</math>. Die Folge ist also gleichgradig lipschitzstetig auf <math>K</math>. Nach dem Satz von Arzela-Ascoli gibt es eine gleichmäßig konvergente Teilfolge. Die muss aber wieder gegen <math>f</math> konvergieren. Da man das Argument mit jeder Teilfolge von <math>(f_n)_n</math> wiederholen kann, folgt aus dem Teilfolgenprinzip die gleichmäßige Konvergenz der gesamten Folge gegen <math>f</math>.

Das kann man irgendwie auf den Fall mehrerer Variablen ausdehnen, denke ich.


Grüße

Thomas

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
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Na ja, die Idee ist richtig, aber <math>1_{[y,1]}(z)</math> ist eine verwirrende Bezeichnung. Du meinst wahrscheinlich <math>1_{\{(u,v) \: \mid \: u \leq v \leq 1\}}(y,z)</math>.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
Redfrettchen
 

2014-12-16 16:09 - Michi86 in Beitrag No. 9 schreibt:
Nochmal zu deinen Verständnisfragen:
<math>
|\int_0^1(qu)(z)\text{min}(z,x)\text{d}z|\le\int_0^1|u(z)|\cdot|q(z)|\cdot|\text{min}(z,x)|\text{d}z\le\\
\int_0^1||u||\cdot|q(z)|\cdot|z|\text{d}z =||u||\int_0^1|zq(z)|\text{d}z
</math>
Es wurde unter anderem benutz:
<math>
|\text{min}(z,x)|\le|z|
</math>
Ok.

2014-12-16 16:09 - Michi86 in Beitrag No. 9 schreibt:
Fubini:
<math>
|\int_0^x\int_y^1(qu)(z)\text{d}z\text{d}y|=
</math>
Tja, da weiß ich jetzt nicht weiter....versuche mir das geometrisch vorzustellen.
Gute Idee. Wie sieht der Integrationsbereich in <math>[0,1]^2</math> aus?

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Toasten47
Das Integral nichtnegativer integrierbarer Funktionen auf einer Nullmenge ist Null  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
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Hallo,

ja, das sollte stimmen. <math>h</math> ist wahrscheinlich <math>1_N f</math>.


Grüße

Thomas

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
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Aber warum kann man mit einer Abschätzung innerhalb des Betrages den Betrag abschätzen?

Nein, das musst du selbst versuchen. Schreibe das Doppelintegrale mit Hilfe einer Indikatorfunktion als Doppelintegral über <math>[0,1]^2</math> und benutze dann Fubini.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
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Wenn dir klar ist, was du da gemacht hast. Warum kann man zum Beispiel das Minimum innerhalb des Betrags abschätzen?

Du hast den Satz von Fubini falsch benutzt. Das äußere Integral hat eine Grenze, die von der inneren Integrationsvariable abhängt.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Michi86
Umformung und Abschätzung eines Ausdrucks mit Integralen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2014-12-16
Redfrettchen
 

Hallo,

benutze den Satz von Fubini für die Umformung. Bei der Abschätzung muss man nur <math>|u|</math> durch seine Supremumsnorm und das Minimum gegen <math>z</math> abschätzen.


Grüße

Thomas
 

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