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Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Energieerhaltung und Virialsatz  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
RogerKlotz
 

Hallo,

Ich hänge an folgender Aufgabe.



Erstmal zur a)

Die Energie ist erhalten wenn \(\frac{d}{dt} H = 0\)

Es ist:
\[\frac{\partial H}{\partial p} = \frac{p}{m}=\dot{x}  \] \[\frac{\partial H}{\partial x} = V^{'}(x) \] \[\Rightarrow \frac{d}{dt} H =\dot{x}\dot{p}+V^{'}(x)\dot{x}=\dot{x}(\dot{p}+V^{'}(x))\]
Aber wie kann ich jetzt zeigen, dass das 0 wird? 😖

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Kontinuitätsgleichung für ein Gaußpaket  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
RogerKlotz
J

Vielen Dank. Ich werde das dann so machen.

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Kontinuitätsgleichung für ein Gaußpaket  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
RogerKlotz
J

Meiner Meinung nach muss ich jetzt jeweils die Produkte in der Klammer bestimmen und dann auf das Ergebnis jeweils nochmal den Nabla Operator anwenden. Dabei jeweils immer nach x ableiten.

Stimmt das?

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Kontinuitätsgleichung für ein Gaußpaket  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
RogerKlotz
J

Ok. Oben habe ich es geändert.

Bessere Schreibweise:

\[\nabla\psi = - \frac{(2\pi^{3}a^{2})^{1/4}}{2\pi\sqrt{\frac{a^{2}}{4} +i\frac{\hbar t}{2m} } }exp({-\frac{(x-\frac{i}{2}k_{0}a^{2})^{2} }{4\alpha}-\delta })(\frac{x-\frac{i}{2}k_{0}a^{2} }{2\alpha})  \]
\[\psi^{*}= \frac{(2\pi^{3}a^{2})^{1/4}}{2\pi\sqrt{\frac{a^{2}}{4} -i\frac{\hbar t}{2m} } }exp({-\frac{(x+\frac{i}{2}k_{0}a^{2})^{2} }{4( \frac{a^{2}}{4}-i\frac{\hbar t}{2m} )}-\frac{a^{2}k_0^{2}}{4}) }\]
Hintergrund ist, dass nach Bestimmung der Stromdichte und der Wahrscheinlichkeitsdichte, die Kontinuitätsgleichung:

\[\frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial j}{\partial x} = 0  \]
verifiziert werden soll.

Dabei ist die Kontinuitätsgleichung laut Skript:

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Kontinuitätsgleichung für ein Gaußpaket  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-01
RogerKlotz
J

Hallo.

Ich habe beides gemacht. Ich komme auf folgende Ergebnisse:

\[\nabla\psi = - \frac{(2\pi^{3}a^{2})^{1/4}}{2\pi\sqrt{\frac{a^{2}}{4} +i\frac{\hbar t}{2m} } }e^{-\frac{(x-\frac{i}{2}k_{0}a^{2})^{2} }{4\alpha}-\delta }(\frac{x-\frac{i}{2}k_{0}a^{2} }{2\alpha})  \]
\[\psi^{*}= \frac{(2\pi^{3}a^{2})^{1/4}}{2\pi\sqrt{\frac{a^{2}}{4} -i\frac{\hbar t}{2m} } }e^{-\frac{(x+\frac{i}{2}k_{0}a^{2})^{2} }{4(2\pi\sqrt{\frac{a^{2}}{4} -i\frac{\hbar t}{2m} })}-\frac{a^{2}k_0^{2}}{4} }\]
Stimmen die?
Das müsste dann noch multipliziert werden.

LG

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Kontinuitätsgleichung für ein Gaußpaket  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-30
RogerKlotz
J

Hallo. Ich habe ein Verständnisproblem mit folgender Aufgabe:

Betrachten Sie das zeitabhängige eindimensionale Gaußsche Wellenpaket

[latex]\psi(x,t)=\frac{(2\pi^{3}a^{2})^{1/4}}{2\pi\sqrt{\alpha}}e^{\frac{-\gamma^{2}}{4\alpha}-\delta   } [/latex]
[latex]\alpha = \frac{a^{2}}{4}+i\frac{\hbar t}{2m} ; \gamma = x - \frac{i}{2}k_{0}a^{2};\delta=\frac{a^{2}}{4}k_0^{2}    [/latex]

Berechnen Sie die Stromdichte j(x,t) und die Wahrscheinlichkeitsdichte rho(x,t).


So..
also zuerst geht es mir um die Stromdichte.
Laut Skript:

[latex] \vec{j}(x,t)=\frac{\hbar}{2mi}(\psi^{*}\nabla\psi-\nabla\psi^{*}*\psi)[/latex]

Jetzt kommen wir zu meinem Problem. komplex konjugieren - da ändert sich das Vorzeichen vor den i's - richtig? Aber wie gehe ich mit dem Nabla Operator um?
Wende ich den auf die Wellenfunktion an, indem ich einmal nach x und nach t ableite? Denn ich bekomme da ja einen Vektor..das verstehe ich noch nicht so ganz. Es wäre toll, wenn mir einer weiterhelfen könnte.

LG

Elektrodynamik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Drei im Raum verteilte Punktladungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-29
RogerKlotz
 

Hallo, ich hänge momentan an folgendem Problem:

Gegeben seien drei im Raum verteile Punktladungen, mit Q(0, 0) = +2q, Q(0, a) = -q, und Q(2a, 0) = 3q, wobei die Zahlen in Klammern die raeumliche Position
(x, y) der Ladungen angeben und a eine beliebige Laengeneinheit darstellt.

a) Welche Kraft spuert man an den jeweiligen drei Punkten? Geben Sie die
Antwort vektoriell sowie als Betrag.
b)Wenn der Punkt am Ursprung fehlen wuerde, was waere dort der Wert des
elektrischen Feldes? Geben Sie auch hier den Betrag sowie die Richtung an.

Zu a) habe ich folgende Ideen:


Diese müssen doch jetzt nur noch addiert werden, oder?
Stimmt es so bis dahin?

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Satz von Gauß für einen Quader  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-27
RogerKlotz
 

Hallo,

ich hänge etwas an der folgenden Aufgabe:


Die Vektoren \(\vec{n} \) lauten:

\(\vec{n}_{1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{n}_{2} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\vec{n}_{3} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\\)
\(\vec{n}_{4} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \,\vec{n}_{5} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \,\vec{n}_{6} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}\)

Divergenz:
\[div(\vec{v(r)}) = x+2xy+x^{2}y\]
Das zu lösende Integral sieht dann so aus:

\[I=\int_{0}^{a} \! \int_{0}^{b} \! \int_{0}^{c} \!dx dy dz  \,  (x+2xy+x^{2}y)\]
Hier stehe ich jetzt etwas auf dem Schlauch. Ich bin etwas verwirrt, wie die Integrale nun zu bestimmen sind.
Meiner Meinung nach integriere ich zuerst nach z und setze dann die Grenzen ein und danach integriere ich nach y und setze wieder die Grenzen ein. Das Gleiche nochmal mit x und ich habe den Wert ermittelt, oder?

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Gruppengeschwindigkeit  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
RogerKlotz
 

Danke für die Hilfestellung.

Die rechte Seite sollte ich gelöst haben:

\[\int_{-\infty}^\infty \frac{dk}{2\pi}g(k)e^{i(kx-v_g kt)}=\int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{dk}{2\pi}e^{ik(x-v_{g}t)}   \,=\psi(x-v_g t,0)\]
bei der linken Seite operiere ich noch. Frage mich, ob ich die ganze Zeit, das Offensichtliche einfach nicht erkenne.

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Quantenzustand  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
RogerKlotz
 

Hallo. Vielen Dank für die Antwort.

Normierungsbedingung: \[\int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{dk}{2\pi} | g(k) |^{2}   \, = 1\]
2020-04-26 15:19 - rlk in Beitrag No. 1 schreibt:

Bei (c) soll vermutlich die Fouriertransformierte der Wellenfunktion $\psi(x)$ berechnet werden, statt $c^2$ sollte dann $c$ im Ergebnis stehen.

Mache ich das, steht dort  \(c^{2}\) im Ergebnis. Aber wieso steht dort \(c^{2}\) und nicht 1 im Ergebnis, so wie es oben bei der Bedingung steht?

Konkret sieht das so bei mir aus:

\[\int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{dk}{2\pi}  \frac{\sin^{2}(ak) }{(ak)^{2}}    \, = \frac{1}{2a} \] Aber das ist ja nun nicht 1.

Den Ausrdruck \( \frac{\sin^{2}(ak) }{(ak)^{2}}\) würde ich dann auch so bei der d) einsetzen um den Impulserwartungswert zu berechnen - richtig?

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Gruppengeschwindigkeit  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
RogerKlotz
 

Hallo,
danke für die Antwort!

Das müsste dann so aussehen.
\[\psi(x,t)= e^{-i(w(k_{0})+v_{g}k_{0}t)}\int_{-\infty }^{\infty } \!\frac{dk}{2\pi}g(k)e^{i(kx+v_g{g}kt)}    \, \]
sollte das so stimmen - ich sehe den Schritt zur Behauptung einfach nicht.

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Gruppengeschwindigkeit  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-26
RogerKlotz
 

Nochmals vielen dank.

Allerdings stehe ich jetzt etwas auf dem Schlauch.
Wenn ich das so einsetze erhalte ich ja:

\[\psi(x,t)=\int_{-\infty }^{\infty } \! \frac{dk}{2\pi}g(k)e^{i(kx-w(k_{0})+v_{g}(k-k_{0}))t}   \,  \]
Ich kenne \(g(k)\) nicht und weiß jetzt nicht so richtig, wie ich aus der Näherung Kapital schlagen kann.

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Dynamik eines Quantenzustands  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-25
RogerKlotz
 

Hallo es geht um folgende Aufgabe:


Aus der Vorlesung ist bekannt:


Das löse ich zu: \[\psi(x,t)=\frac{(2\pi a)^{1/4}}{2\pi} e^{-\frac{a^{2}}{4}k_{0}^{2}  }\int_{-\infty }^{\infty } \! e^{-(\frac{a^{2}}{4}+\frac{i\hbar}{2m}t) k^{2}  } e^{ixk} \, dk  \] \[= \frac{(2\pi a)^{1/4}}{2\pi} e^{-\frac{a^{2}}{4}k_{0}^{2}  }\sqrt{\frac{\pi}{\frac{a^{2}}{4}+\frac{i\hbar}{2m}t   } }e^\frac{(ix)^{2}}{a^{2}+\frac{2i\hbar}{m}t } \]
Kann das stimmen? bei der b) soll ich ja das Betragsquadrat nehmen...
Mir kommt das sehr monströs vor. Liegt ein Fehler vor?

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Gruppengeschwindigkeit  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-25
RogerKlotz
 

Vielen Dank für die Antwort!

Demnach musste es dann so sein:

a) \[v_{g} = \frac{\hbar k_{0}  }{m} \] b) \[w(k)=\frac{\hbar k_{0}^{2}   }{2m}+\frac{\hbar k_{0}  }{m}(k-k_{0}) \]
Muss \(k_{0}\) nicht weiter bestimmt werden?

Bei der c) bin ich mir nicht sicher wie ich vorgehen soll.
Ich kenne den Anfangszustand nicht oder gibt es einen anderen weg?

Schwingungen und Wellen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Gruppengeschwindigkeit  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-25
RogerKlotz
 

Hallo.

Folgende Aufgaben muss ich bearbeiten.


Erstmal geht es mir um das Verständnis.

a) Heißt es, dass ich dort einfach nach k ableiten muss und in das Ergebnis k_0 einsetze?
b) Geht es dabei um eine Taylor Entwicklung? Was genau heißt in diesem Fall bis zur linearen Ordnung?

Es wäre toll, wenn mir die Fragen jemand beantworten könnte, bevor ich anfange die Aufgaben zu bearbeiten.

LG

Atom-, Kern-, Quantenphysik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Quantenzustand  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-04-25
RogerKlotz
 

Hallo Zusammen, ich muss folgende Aufgaben bearbeiten und hänge seit einiger Zeit an einem Punkt. Vielleicht kann mir hier ja geholfen werden 🤗


Hier meine Lösungen:


Und bei der c) weiß ich jetzt nicht weiter. Genauer gesagt, wie ich jetzt die Normierung verifizieren soll.
Es wäre toll, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte und mir sagen könnte, ob die Ergebnisse bis dahin schon einmal korrekt sind.

LG

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Volumenintegral über Zylinder  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-19
RogerKlotz
 

Guten Morgen. Danke für die Antwort.
Also für die Ungleichungskette wären das eigentlich sogar drei. Warum müssen sie unbedingt positiv sein? mit einem -2 wäre ja der gleiche Effekt wie bei 2 vorhanden. Ansonsten wären es 0 und 2.

Wenn ich zuerst das Integral über dz ausrechne, setze ich dann, sobald ich das Integral über rho ausrechne, dann auch dort die Grenzen ein?

Tatsächlich ist der Integrand z ein Schreibfehler.

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Volumenintegral über Zylinder  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
RogerKlotz
 

Hallo. Ich habe folgende Menge:

\[F= \left\{ (x,y,z)\in \mathbb R ^{3}:0\leq z\leq 4-x^{2}-y^{2}\right\} \]
Nach Wechsel auf Zylinderkoordinaten steht dort:

\[F= \left\{ (\rho,\phi,z)\in \mathbb R ^{3}:0\leq z\leq 4-\rho^{2}
\right\} \]
Jetzt soll ich folgendes Integral berechnen:

\[V_{F}= \int_{F}^{} \!  \, dV  \] \[= \int_{0}^{2\pi} \!  \, d\phi \int_{0}^{2} \! \rho \, d\rho \int_{0}^{4-\rho^{2} } \! z \, dz \]
Jetzt zu meinen Fragen:
Wie ermittle ich die Grenze des zweiten Integrals aus der obrigen Ungleichung und wie gehe ich mit der Grenze des letzten Integrals um?  😵

Ich habe ja am Ende dann sowas da stehen:

\[V_{F}=4\pi\cdot (4-\rho^{2})  \]
Es wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.

Fourierreihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Fourierkoeffizienten  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
RogerKlotz
J

Danke. Habe es nochmal gemacht. Stimmt.
Vielen Dank für die Antwort !!!

Fourierreihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: RogerKlotz
Fourierkoeffizienten  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-02-18
RogerKlotz
J

2020-02-18 12:04 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Du musst für jeden Summanden das $k$ an allen Stellen einsetzen. Am Ende darf also kein $k$ mehr da stehen.
ok. dann erhalte ich das:

\[\frac{1}{L}\sum_{k=-1}^1\tilde{f}_ke^{ikx}=\frac{1}{2\pi}(2\pi i+0-2\pi i)e^{ikx}=ie^{-ix} - ie^{ix}\] Das entspricht \[2\sin{x}\]
scheinbar einen Vorzeichenfehler eingefangen.
 

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