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Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: theresia22
Primideal in Z[sqrt(-5)]  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-08 18:02
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo theresia22,

ich weiß nicht ob man es "direkt" nachrechnen kann, d.h. man zeigt $\IZ[\sqrt{-5}]/p$ ist isomorph zu gewissem Integritätsbereich (in der Tat zu $\mathbb{F}_3$).

Im Skript (faculty.math.illinois.edu/~r-ash/Ant/AntChapter4.pdf) findet man zwei indirekte Wege.

1. Rechne die Idealnorm $N(p)$. Wenn $N(p)$ eine Primzahl ist, dann ist $p$ ein Primideal wegen der Multiplikativität der Norm. Die Letztere lässt sich durch gewisse Determinante (oder Diskriminante, wenn der Zahlring einfach erzeugt ist wie im deinen Beispiel) ausdrücken, s. 4.2.5.

2. Folge dem Algorithmus angedeutet in 4.3.1.
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nzimme10
Cauchy's Integralsatz: Verschiedene Versionen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-07 17:19
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo Nico,

tut mir leid, ich war einfach zu naiv (mit der Definition der Randkurven), und der Literaturhinweis ist irrelevant zu deiner Frage.

Eine halbwegs Antwort: Man kann nullhomologe Zyklen mit den 1-Rändern der singulären Homologiegruppen identifizieren, s. Prop. 8.16 vom Skript (www.maths.tcd.ie/~zaitsev/3423-2017/wedhorn-Complex%20Analysis.pdf). Jetzt könnte deine Frage eben in diesen topologischen Kontext übersetzt werden... (Ich bin nicht sicher, wo "Randkurven" einzuorden sind. Wenn sie das Bild gewisses 2-Simplex $K$ im Gebiet $G$ unter dem Randoperator ist, dann sind wir fertig.)
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Divisorklassengruppe von Produkt der Varietäten  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-07 14:58
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2021-04-06 16:15 - kurtg in Beitrag No. 1 schreibt:
Die erste Chowgruppe, für normale Varietäten isomorph zur Cartierdivisorklassengruppe und Picardgruppe, eines Produktes $X \times_k Y$ ist $\operatorname{pr}_1^*\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Alb}_X, \mathbf{Pic}^0_{Y/k}) \times \operatorname{pr}_2^*\operatorname{Pic}(Y)$. Idee: Du kannst Zykel auf $X$ und $Y$ auf $X \times_k Y$ zurückziehen und Homomorphismen zwischen den Jacobivarietäten entsprechen geeigneten Korrespondenzen auf $X \times_k Y$. (Das sollte im Artikel von Milne über Jacobische in [Cornell-Silverman] stehen, der auch auf www.jmilne.org/math ist.)

Jede glatte rationale Varietät hat triviale Albanesevarietät nach der universellen Eigenschaft der Albanesevarietät, weil Morphismen rationaler Varietäten in abelsche Varietäten konstant sind. (Das gilt sogar für unirationale Varietäten. Einen Beweis findest du im Artikel von Milne über abelsche Varietäten in [Cornell-Silverman], der auch auf www.jmilne.org/math ist.) Also ist die Hom-Gruppe 0.
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Könntest du die genauen Stellen von Milnes Artikeln nennen?

Ich hatte mal den AV-Artikel von Milne gelesen, meiner Erinnerung nach werden rationale Varietäten nicht diskutiert, eine kurze Suche gerade liefert auch nichts... Aber der Beweis hierzu (der 2. Paragraf) ist vielleicht nicht schwer, wenn man die universelle Eigenschaft verstanden habe (tue ich nachher).

Im Jacobischen Aritkel findet ich auch keinen explizit behaupteten Isomorphismus
$$\operatorname{Pic}(X\times_k Y)\cong\operatorname{pr}_1^*\operatorname{Pic}(X) \times \operatorname{Hom}_k(\operatorname{Alb}_X, \mathbf{Pic}^0_{Y/k}) \times \operatorname{pr}_2^*\operatorname{Pic}(Y).$$ Ich weiß nicht ob der Beweis eine Routine-Verifikation ist...
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: nzimme10
Cauchy's Integralsatz: Verschiedene Versionen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-07 14:42
Saki17
J

Hallo nzimme10,

ich denke es soll sich um strikte Verallgemeinerung handeln (ich nehme die offenbare Definition für Randkurven), denn ein nullhomologer Zyklus kann aus mehreren disjunkten geschlossen Kurven bestehen. Schau mal Abschnitt 3.1 vom Skript www.mi.uni-koeln.de/geometrische_analysis/FKT_THEO/Vorles_fkt.pdf
oder Fischer-Liebs "Einführung in die Komplexe Analysis", Kap. 4.1.

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Divisorklassengruppe von Produkt der Varietäten  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-06 18:34
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Danke für deine informative Antwort! Das werde ich noch ausarbeiten.

Eine kurze Frage erst: Reicht die Normalität der Varietät $X$ dafür, dass $CH^1(X)\cong Pic(X)$? Görtz-Wedhorn sagt dass es zunächst nur eine Injektion $Pic(X)=CaCl(X)\hookrightarrow CH^1(X)$ gibt.
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Divisorklassengruppe von Produkt der Varietäten  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-06 04:23
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,

es geht um eine Verallgemeinerung der Formel $CH^1(X\times_k \mathbb{P}^n_k)\cong CH^1(X) \times \IZ$. Hier bezeichnet $CH^1(X)$ die (Weil-)Divisorklassengruppe einer (geometrisch integrale und separierte) normale Varietät $X$.

Sei $X$ eine normale Varietät über einem Körper $k$ und $S$ eine glatte rationale Varietät (birational äquivalent zu gewissem $\mathbb{P}^n_k$) über $k$. Es wird behauptet, dass es einen Isomorphismus $$CH^1(X\times_k S)\cong CH^1(X)\times CH^1(S)$$ gibt, welcher durch die beiden Projektionen $X\times_k S\to X, S$ induziert.

Habt ihr eine Idee, wie man das beweisen kann? (Lässt sich die Behauptung auf  $CH^1(X\times_k \mathbb{P}^n_k)\cong CH^1(X) \times \IZ$ zurückführen*? Literaturhinweis würde auch ausreichen.)

*: Dazu braucht man wahrscheinlich einige Fakten über rationale Varietäten sowie über das Verhalten von $CH^1$ zu Blow-up und Blow-down (die ich nicht genau weiß)...

Das Ziel ist zu zeigen, wenn es einen Cartier-Divisor $D$ auf $X\times_k S$ mit Träger $X\not\subset |D|$ gibt ($X, S$ als früher), dann gilt $D_s=D_t$ in $CH^1(X)$, wobei $t, s$ zwei beliebige $k$-Punkte von $S$ und $D_s$ die Restriktion von $D$ auf $X\times_k \{s\}\cong X$ (Gleiches für $D_t$) sind.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: s-amalgh
Galois-Gruppe bestimmen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-03 00:20
Saki17
 

Sorry, ich war verwirrt :(.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: s-amalgh
Galois-Gruppe bestimmen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-02 22:09
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Tipp: Was ist der Körpergrad der Galoiserweiterung (hier ist der Fehler!) $\IQ(\sqrt[3]{2})/\IQ$? Sei $n$ der Körpergrad, welche Gruppe(n) ist/sind von dieser Ordnung $n$?
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-02 16:15
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2021-04-02 14:34 - kurtg in Beitrag No. 9 schreibt:
Diese proendliche Gruppe hat eine Bezeichnung, nämlich?
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Ja, ich denke man bezeichnet diese Gruppe mit $\hat{\IZ}$.
Danke für die Hilfe soweit!
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-02 13:53
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Die Galoisgruppe $G_e$ von $k((t^{1/e}))/k((t))$ ist eine zyklische Gruppe der Ordnung $e$ (da char(k)=0). Also ist die absolute Galoisgruppe $G$ formell gegeben durch das Limit $G=\lim_{e>0} G_e$.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-01 20:51
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Achso, es ist Neukirch [II.7.7]; da char($k$)=0, ist jede endliche Erweiterung von $k((t))$ zahm verzweigt.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-01 01:52
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Neukirch II ist mir ein bisschen lange her. Nach kurzem Umblättern von Serres Buch denke ich, man könnte den Satz verwenden, der besagt dass endliche unverzweigte Erweiterungen von einem lokal Körper $K$ unkehrbar eindeutig den endlichen separablen Erweiterung von der Restklassenkörper $k$ entsprechen.

Im unserem Fall ist $k$ schon algebraisch abgeschlossen, also gibt es keine nichttriviale unverzweigte Erweiterung von $K':=k((t))$. Nach der Gradformel $[F:K']=ef$ ist jede endliche Erweiterung von $K'$ total verzweigt und damit von dem Typ $F=k((t^{1/e}))$ für $e\in \IN_{>0}$.
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-30 22:25
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Danke dir! Ich gehe davon aus, dass das $K$ in deiner Antwort das $k$ in meiner Frage heißen soll.

Mit dem Hensels Lemma habe ich es verstanden. Peinlicherweise weiß ich nicht, wie man die absolute Galoisgruppe von $k((t))$ bestimmen kann...
\(\endgroup\)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Verzweigung, Funktionenkörper  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-29 15:09
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,

betrachten wir eine Körpererweiterung $K/k$, wobei $k$ algebraisch abgeschlossen in $K$ und $K:=k(t)$ ein Funktionenkörper in einer Variable seien. Einfachheitshalber nehmen wir zusätzlich an, dass char($k$)=0 gilt, sodass jede Erweiterung von $K$ separabel ist. Betrachte dann ein element $\sigma(t):=\sqrt{t(t+1)}$ und sei $F$ die minimale Erweiterung von $K$, die $\sigma(t)$ enthält (Kann man einfach $F:=K(\sqrt{t},\sqrt{t+1})$ nehmen?).

Ich möchte die folgende Aussage verstehen: Die Körpererweiterung $F/K$ verzweigt an der Primstelle $v:=(t=-1)$.

Eine Möglichkeit, die obige Aussage umzuformulieren, soll lauten: Es gibt eine Primstelle $w$ von $F$, sodass der Verzweigungsindex $e_{w|v}>1$ ist ($w|v$ bedeutet: $w$ setzt $v$ fort.).

Mein erster Ansatz wäre Anwendung der Fundamentalgleichung der Bewertungstheorie: $$[F:K]:=\sum_{w|v}e_{w|v}f_{w|v}$$ ($f_{w|v}$ ist der Trägheitsgrad/Grad der Restklassenkörpererweiterung). Da $k$ algebraisch abgeschlossen ist, sind alle $f_{w|v}=1$. Freilich $[F:K]>1$, trotzdem können wir noch nicht schließen, dass mindestens ein $w$ mit $e_{w|v}>1$ gibt.

Wie könnte man weiter argumentieren? Gibt es noch weitere (offenbare) Relationen?

Ich hatte auch versucht, die Erweiterung der Komplettierung $F_w/K_v$ zu betrachten; da bin ich nicht sicher, warum $F_w/K_v$ nicht trivial sein kann für alle $w$ mit $w|v$ (wir haben $[F:K]=\sum_{w|v}[F_w:K_v]$).

(Ich hoffe dass ich die originale Behauptung richtig wiedergegeben habe.)

Korrektur. Ich war verwirrt. Der Körper $k$ soll "absolut" algebraisch abgeschlossen sein, also jede algebraische Erweiterung von $k$ gleich $k$.
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Kezer
Relativer Spec für offene Unterschemata affiner Schemata  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-26 10:18
Saki17
 

Im Görtz-Wedhorn (Prop. 11.1) findet man eine Konstruktion via darstellbare Funktoren (Thm. 8.9). Vermutlich gilt das Darstellbarkeitskriterium (Thm. 8.9) allgemeiner, also nicht nur für Garben auf Schemeta?

(Ich weiß nicht ob das derselbe Ansatz ist wie Triceratops oben genannt hat.)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Vereinigung, Schnitt und eine exakte Sequenz von Idealgarben  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-05
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
2021-03-04 11:47 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Die erste Frage verstehe ich nicht ganz. Alles was du da affin-lokal aufschreibst, gilt genauso global (und nicht einmal nur für Schemata, sondern für beliebige lokalgeringte Räume). Vielleicht hast du vergessen, dass man Quotienten auch für Garben bilden kann? Es ist $I_{Y \cup Z} = I_Y \cap I_Z$ und daher $I_Y / I_{Y \cup Z} = I_Y / (I_Y \cap I_Z)$. Wenn man möchte, kann man das noch zu $(I_Y + I_Z)/I_Z$ umschreiben. Weiter vereinfachen kann man das nicht.

Zur zweiten Frage: Die Notation $(i_Z)_* I_{Y \cap Z}$ ergibt keinen Sinn, weil $I_{Y \cap Z}$ nicht auf $ Z$, sondern auf $X$ definiert ist. Vielleicht ist $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z}$ gemeint. Nun gilt aber $I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}$ und allgemein $(i_Z)_* (i_Z)^* M = M \otimes \mathcal{O}_X/I_Z = M/I_Z M$, daher hat man $(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z} = I_{Y \cap Z}/I_Z I_{Y \cap Z} = \sqrt{I_Y + I_Z}/I_Z \sqrt{I_Y + I_Z}$, was mir nicht wie $(I_Y + I_Z)/I_Z$ aussieht.
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Im Prinzip erledigt diese Rechnung meine Fragen.

Übrigens habe ich meine letzte Post viel korrigiert und die Frage vorsichtiger formuliert.

Beobachtung. Wenn $\I_Y+\I_Z=\O_X$, dann hat man die gewünschte Gleichheit $$(i_Z)_* (i_Z)^* I_{Y \cap Z}=I_Y / I_{Y \cup Z}.$$ Und dies ist auch der Fall wenn $Z=\{x\}$ ist.
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Vereinigung, Schnitt und eine exakte Sequenz von Idealgarben  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-04
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Erstmal danke. Ich möchte den Hintergrund etwas klären, bevor ich zu deiner Antwort komme.

Es geht um eine exakte Sequenz von Garben bzw. $\O_X$-Moduln im Beweis von Serres Kriterium zu affinen Schemata (s. [Hartshorne, III.3.7] oder [Bosch, AG, 7.7/10]). Sei $X$ ein (nichtleeres) noethersches (oder qc) Schema sodass ein abg. Punkt $x\in X$ existiert. Sei $U$ eine affine offene Umgebung von $x$ und $Y:=X\setminus U$ das abg. Unterschema. Dann hat man eine exakte Sequenz (Notation wie am Anfang)
$$0\to \I_{Y\cup\{x\}}\to\I_Y\to \kappa(x)\to 0,$$ wobei $\kappa(x)$ die Wolkenkratzer-Garbe mit Träger in $x$ bezeichnet. Wenn ich die Notation richtig verstanden habe, dann ist dies nicht anders als der Quotient $\O_X/\I_{\{x\}}$.

Nun will ich die obige exakte Sequenz auf beliebige abg. Unterschema $Z\subset X$ anstatt einpunktige verallgemeinern. Wie geht das? Lässt sich der rechteste Term $\mathcal{F}$ in der anfänglichen kurzen exakten Sequenz als Pushforward von irgendwas schreiben?  

(Wenn nicht anders gesagt, sollen abg. Unterschemata mit der reduzierten Struktur versehen sein.)
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Vereinigung, Schnitt und eine exakte Sequenz von Idealgarben  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-03
Saki17
 
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}} \newcommand{\I}{\mathcal{I}}\)
Hallo,

zunächst einige Notationen. Sei $X$ ein Schema. Für ein abgeschlossenes Unterschema $Y$ bezeichnen wir $\I_Y$ die Idealgarbe, die zu $Y$ korrespondiert, und $i_Y$ die abg. Immersion $Y\to X$.

Nun seien $Y, Z$ zwei abg. Unterschemata von $X$. Meine Frage ist, was $\mathcal{F}$ sein soll in der exakten Sequenz der $\O_X$-Moduln
$$ 0\to \I_{Y\cup Z}\to \I_Y\to \mathcal{F}\to 0.$$ Wir erinnern uns, dass die (schema-theoretische) Vereinigung $Y\cup Z$ zum Ideal $\I_Y\cap \I_Z$ und den Schnitt $Y\cap Z$ zum $\I_Y+\I_Z$ korrespondieren. Schaut man affin-lokal, etwa $X=\spec A$, sollte man die gefragte Exaktheit auf die elementare exakte Sequenz $$0\to I\cap J\to I\to I/(I\cap J)\to 0$$ von $A$-Moduln zurückführen, wobei $Y=V(I), Z=V(J)$. Allerdings bin ich nicht sicher, welcher $\O_X$-Modul $\mathcal{F}$ dem $A$-Modul $I/(I\cap J)$ entspricht...

Nachtrag. Damit die Antwort eindeutiger wird, sollte ich die Frage umformulieren. Jemand schreibt, dass $\mathcal{F}=i_{Z,*}\I_{Y\cap Z}$ zur exakten Sequenz passt. Aber ich kann das nicht sehen, stimmt es wirklich?
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Kohärente Garbe auf quasi-projektivem Schema  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-28
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Ich habe gerade eine Übungsaufgabe von Hartshorne (III.6.8) gelesen. Neben Quasi-Projektivität besteht eine andere Möglichkeit, kohärente Garbe als Quotient lokal-freieren darzustellen:

"Satz von Kleiman". Sei $X$ ein noethersches, integrales, separiertes und lokal-faktorielles Schema. Dann ist jede kohärente Garbe auf $X$ ein Quotient lokal-freier Garbe vom endlichen Rang.

Btw., ein quasi-projektives Schema $X$ (in Hartshornes Sinne) über einem noetherschen Ring ist noethersch. Insbesondere ist jeder Morphismus aus $X$ qc.
\(\endgroup\)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Kohärente Garbe auf quasi-projektivem Schema  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-28
Saki17
J
\(\begingroup\)\(\DeclareMathOperator{\spec}{Spec} \newcommand{\O}{\mathcal{O}}\)
Morgen,

danke, das sieht gut aus.

Ich denke das $j_2$ ist qcqs. qs ist klar (jeder Mono ist separiert). Für qc würde ich so argumentieren: Die Komposition $j_1\circ j_2$ ist qc ([SP, 01OX] zweimal anwenden). Ferner ist $j_1$ separiert, also ist $j_2$ qc nach der üblichen Kürzungsregel.

Noch ein Wort zur Endlichkeit. Eine qc Immersion i.S.v. EGA, also erst abg. dann offen, lässt sich wie oben zerlegen, also erst offen dann abg.([SP, 01QV]). Nach Vakils Exercise 8.1.M. gilt auch die Umkehrung (ohne notwendigerweise qc zu sein).  
\(\endgroup\)
 

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