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Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Integritätsbereiche werden isomorph nach Lokalisierung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-20 11:03
Saki17
J

cool!

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Integritätsbereiche werden isomorph nach Lokalisierung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 22:56
Saki17
J

2020-10-19 19:09 - Triceratops in Beitrag No. 2 schreibt:
Wenn $A,B$ beides $k$-Algebren sind für einen kommutativen Ring $k$ und $B$ endlich-erzeugt ist, dann gilt die Aussage natürlich.
Danke, das ist das Entscheidende.

Ich hoffe ich hab's kapiert: Unter der zusätzlichen zitierten Bedingung kann man die Erzeuger $b_j$ von $B$ zunächst als $Frac(A)$-lineare Kombinationen der $f^i$ schreiben, etwa $b_j=\sum_i c_{ij}f^i=\frac{1}{g_j}\sum_i a_{ij}f^i$, $a_{ij}\in A$ (Hauptnenner). Weil $B$ endlich-erzeugt ist und $A, B$ $k$-Algebren sind, folgt die Behauptung (betrachte den Hauptnenner der $g_j$).

Ringe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Integritätsbereiche werden isomorph nach Lokalisierung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-19 18:54
Saki17
J

Hallo,

gegeben seien zwei Integritätsbereiche $A$, $B$ so, dass es ein $f\in Frac(B)$ gibt sodass $A[f]\subset B$ und $Frac(B)=Frac(A)[f]$ (im Notfall nehme noch an, dass $Frac(B)$ separabel über $Frac(A)$ ist). Meine Frage ist, (wieso) gibt es ein $g\in A$ sodass $B\subset A_g[f]$? (es folgt dann $B_g=A_g[f]$)

Die Frage stammt aus einem konkreten Beweis, ich hoffe dass ich alle notwendigen Bedingungen genannt habe.

Sonstiges
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: PrinzessinEinhorn
Was lest ihr?  
Beitrag No.150 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-26
Saki17
 

Probiere mal "The Book of Sand" (eine Sammlung von 13 kurzen Erzählungen) von Borges.

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Gute Überdeckung einer glatten Mannigfaltigkeit  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-24
Saki17
 

Hallo,

als Zwischenschritt eines Theorems begegne ich folgende Behauptung:
"Jede glatte Mannigfaltigkeit (von endlicher Dimension $n$) $M$ besitzt eine gute Überdeckung."

Dabei heißt eine offene Überdeckung $\{U_i\}$ von $M$ gut, falls jeder Schnitt von den endlichen nichtleeren $U_i$ (aus der gegebenen Überdeckung) ($C^\infty$) diffeomorph zu $\IR^n$ ist.

Ich interessiere mich, ob es einen direkten Beweis dafür gibt.

Die Literatur wo ich die Behauptung gelesen habe verwendet die sog. "geodesically convex neighbourhood" (welche stabil unter endlicher Schnitt und zugleich diffeomorph zu $\IR^n$ ist), um die Existenz solcher Überdeckung zu zeigen. Dieser Ansatz ist elegant, allerdings kenne ich Riemmannischen Geometrie nicht und möchte sie deswegen vermeiden.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Warum weiß die (Ko-)Homologie etwas von der Geometrie?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-22
Saki17
 

@Triceratops
ich hatte einmal eine Herleitung der Serres Schnittszahl (in der algebraischen Schnitttheorie) gelesen, s. Abs. 8.6, insbesondere Exercise 28 von diesem Skript (ich hatte einmal nach der geometrischen Bedeutung von der Länge eines Moduln gefragt). Die so definierte Zahl "stimmt" mit der Vorstellung in elementaren Beispielen überein, etwa sollte die Schnittzahl von den Kurven $\{y=x^2\}\cap \{y=0\}$ auf der euklidischen Ebene 2 sein.

Allerdings ist die obige Heileitung etwas involviert (man verwendet u.a. Tor-Funktor bzw. deriviertes Tensorprodukt von Kettenkomplexen) und ich frage mich machmal, wie man auf diesartigen Formeln gekommen ist.

@Theodore_97, @Red_
Danke für eure Diskussion!

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: PrinzessinEinhorn
Lehrbuch: Algebraische Geometrie  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-18
Saki17
 

2020-09-15 20:59 - PrinzessinEinhorn in Beitrag No. 3 schreibt:
Ein bisschen Background: Ich suche eher etwas "kurzes", was man gut studieren kann um einen ersten Eindruck in die algebraische Geometrie zu bekommen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
Was wäre Boschs "Algebraic Geometry and Commutative Algebra"? Dieses Buch deckt mmN alle zentralen Themen bzw. Methoden der algebraischen Geometrie im ersten Studium in einem überschaubaren (?) Umfang (knapp 300 Seiten über den Teil der AG) ab. Wenn man also das Buch (zum großen Teil) erarbeitet hat, sollte man bereit sein fortgeschrittene Bücher wie Hartshorne einzulesen.

(Lies aber nicht nur ein einziges Buch zur alg. Geom.)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Warum weiß die (Ko-)Homologie etwas von der Geometrie?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-04
Saki17
 

Hallo,

die Frage habe ich im Titel gestellt. Ich bin bewusst dass die Frage sehr vage ist - ich interessiere mich also eher für die konzeptionellen Ideen...

Als erstes Beispiel denke ich an die Klassifikation kompakter zusammenhängender (2-dim.) Flächen via Euler-Charakteristik (welche sich als alternierende Summe von den Rängen der geeigneten Homologiegruppen beschreiben lässt).

Anderes Beispiel wäre die (Serres) Schnittzahl/Schnittformel (Schnitttheorie der Varietäten).

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Rationale Punkte induzieren Morphismen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-03
Saki17
 

@Seligman
Hindry&Silverman, "Diophantine Geometry", Seite 243.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Red_
Zusammenhang zwischen Galoistheorie und Zahlentheorie  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-02
Saki17
J

@Theodore_97
Zu den Aspekten die du in Beitrag 12 geschildert hast, was würdest du empfehlen zu lesen?

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Lokal-abgeschlossenes Unterschema und quasi-projektive Varietät  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-28
Saki17
J

Hallo,

ich bin etwas verwirrt mit den im Titel genannten Begriffen. Dabei bedeutet Varietäten im Sinne von Hartshorne (geometrisch-integral, separiert, von endlichem Typ) über einem (alg. abg.) Körper $K$.

Soweit ich gelesen habe, nennt man eine Varietät $X$ quasi-projektiv, wenn sie eine offene Untervarietät einer abgeschlossenen Varietät $V$ in einem projektiven Raum $Y=\mathbb{P}^n_K$ ist. Es besteht also ein Morphismus $f:=j\circ i$, wobei $i: X\to V$ offene Immersion und $j: V\to Y$ abgeschlossene Immersion sind.

Nach der üblichen Definition ($f$ soll als "offen Imm." $\circ$ "abg. Imm" faktoriesieren)  ist zunächst $f$ keine (lokal-abgeschlossene) Immersion (von Schemata). Also ist $X$ i.Allg. kein Unterschema von $Y$?

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
"Topology: A Categorical Approach"  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-25
Saki17
J

2020-08-25 13:28 - Triceratops in Beitrag No. 3 schreibt:
Aber man sollte sich vielleicht durch den Titel nicht irritieren lassen: es geht immer noch um ganz gewöhnliche topologische Räume (also nicht um kategorielle Umwälzungen oder Abstrahierungen der Topologie im Rahmen von Topostheorie, höhere Homotopietheorie, pointless topology, usw.), nur dass eben die überall normalerweise im Hintergrund stehenden kategoriellen Konzepte auch genannt werden. Entsprechend kann das Buch auch von Anfänger*innen gelesen werden.
Ja, ich hätte das vom Anfang an andeuten sollen.

Bücher & Links
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
"Topology: A Categorical Approach"  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-25
Saki17
J



vielleicht interessiert sich jemand :).

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Spec-Bilder unter Komplettierung  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-21
Saki17
J

Mit den Hilfsresultaten ist ja die anfängliche Behauptung gezeigt. Nun zu diesen Hilfsresultaten:

2020-08-20 23:57 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
(jeder endlich-erzeugte Körper der Charakteristik $0$ bettet sich in $\IC$ ein)
Benötigt man nicht weitere Einschränkungen? Wie wäre es mit $\IC(x)$ ($x$ sei eine Variabel; Verweist du auf eine Art "Lefschetzsches Prinzip"?)

2020-08-20 23:57 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
Sei $R$ ein $I$-adisch vollständiger kommutativer Ring, $r \in I$. Dann gibt es einen surjektiven Homomorphismus $R[[Y]] \to R$, $\sum_{n \geq 0} a_n Y^n \mapsto \sum_{n \geq 0} a_n r^n$, dessen Kern gleich $\langle Y - r \rangle$ ist.
Zur Sicherheit, verlangst du die Hausdorff-Bedingung ($\bigcap_{i\geq 0} I^i=0$) in deiner Definition für die $I$-adische Vollständigkeit? Ich denke diese Bedingung braucht man, um die zitierte Aussage zu beweisen.

2020-08-20 23:57 - Triceratops in Beitrag No. 4 schreibt:
Man muss als bekannt voraussetzen, dass die Exponentialfunktion $z \mapsto \exp(z)$ transzendent im Sinne der Analysis ist. Zwei Beweise findest du bei math.SE/186752.
Zeigt der Beweis von @ziggurism in math.SE/186752 schon, dass $\exp(X)\in K[[X]]$ transzendent über $K[X]$ ist?

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Spec-Bilder unter Komplettierung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-20
Saki17
J

Erst mal danke.

2020-08-20 17:13 - Triceratops in Beitrag No. 1 schreibt:
Es gilt $\langle Y - \sum_{n \geq 1} X^n/n! \rangle \cap K[X,Y] = \langle 0 \rangle$. Das sieht man durch einen einfachen Koeffizientenvergleich.
Das sehe ich leider nicht so direkt. Zum Vergleich: Z.B. für $Q:=<y-u(x)>\in X$ gilt $Q\cap K[x,y]=<y^2-x^3-x^2>$, wobei $u(x):=\sqrt{x^3+x^2}\in K[[x]]$ (hier braucht man $char(K)\neq 2$) - wenn ich mich nicht irre. (Anscheinend ist $ \sum_{n \geq 1} X^n/n!$ "transzendenter" als $u(x)$, führt diese Transzendenz zum gewünschten Koeffizientenvergleich?)

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Spec-Bilder unter Komplettierung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-20
Saki17
J

Hallo,

ich interessiere mich für folgendes: Sei $K$ ein Körper und $T$ bezeichne eine Familie von $n$ Variablen. Betrachte das Schema $X:=Spec(K[[T]])$ bzw. den Morphismus $f: X\to \mathbb{A}^n_K$ induziert durch den kanonischen Morphismus $K[T]\to K[[T]]$. Was kann man über das Bild $f(X)$ (als Mengen) aussagen?

Konkret möchte ich wissen (sei nun $T=(x,y)$), warum der Punkt/das Primideal $P:=(y-\sum_{n\geq 1} x^n/n!)\in X$ auf den generischen Punkt von $\mathbb{A}^2_K$ unter $f$ abgebildet wird...

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Rationale Punkte induzieren Morphismen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-30
Saki17
 

Hallo,

ich lese folgenden Text(+eigene Übersetzung): Sei $V$ eine glatte projektive Varietät* über einem Funktionskörper $K:=k(C)$, wobei $k$ ein Körper und $C$ eine glatte projektive Kurve über $k$ sind (im Notfall nehme man an, dass $k$ alg. abgeschlossen ist). Man könne eine ("genügend glatte") projektive Varietät $V'$ über $k$ konstruieren mit der Eigenschaft, dass ein Morphismus $\pi: V'\to C$ existiert, sodass die generische Faser von $\pi$ $K$-isomorph zu $V$ ist.

Nun kommen die fraglichen Behauptungen: Sei $P\in V(K)$ ein $K$-rationaler Punkt.
1. Dann induziert $P$ eine rationale Abbildung $f_P: C\to V'$.
2. Tatsächlich ist $f_P$ ein Morphismus (von Varietäten), weil $C$ glatt und $V'$ projektiv sind.

Welche Fakten werden verwendet, um Beh. 1 & 2 zu zeigen? (Vielleicht liegt die Antwort in der Konstruktion von $V'$, die ich noch nicht gesehen habe.)

*: Mit "Varietäten" meine ich separierte und geometrisch integrale Schemata, die von endlichem Typ über Körper sind.

Polynome
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Hensel-Lift bei Polynomfaktorisierung unklar  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-25
Saki17
 

Ich kenne das Henselsche Lemma, wo man eine einfache Nullstelle "unten", gemeint im $\IF_p$, zu einer Nullstelle "oben", gemeint im Ring der $p$-adischen Zahlen $\IZ_p$ (i.Allg. nicht im $\IZ$) eines Polynoms mit $\IZ_p$ Koeffizienten liften. Der Beweis läuft formell wie Newtonsches Verfahren (s. [Serre, Local Fields, Prop. 7 von Kap. II]).

Vielleicht hilft dieser Artikel etwas

Algebraische Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Saki17
Einen étalen Morphismus verifizieren  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-25
Saki17
J

Sehr gründliche Antwort (danke!)

Ich melde mich wenn ich noch Fragen habe.

Hintergrund der Frage:
Die Behauptung wird verwendet, um den Fall Geschlecht 0 des Siegels Theorem über ganze (EN: integral) Punkte zu schließen. Man zeige zunächst das Theorem für Kurven des Geschlechts größer gleich 1. Dann impliziert ein Theorem von Chevalley und Weil (für Zahlkörper $K$) - hier geht die Voraussetzung étaler Morphismen ein -, dass $X_1\setminus \{0,1,\infty\}$ endlich viele ganze Punkte hat, wenn es $X_n\setminus\phi^{-1}(\{0,1,\infty\})$ ist. Nutze die Formel $(n-1)(n-2)/2
$ für Geschlecht der Kurven $X_n$ und wähle z.B. $n=3$, so sind wir fertig.


Algebraische Geometrie
  
Thema eröffnet von: Saki17
Unverzweigter Morphismus zwischen affinen Geraden  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-23
Saki17
J

Das ist mir jedenfalls viel klarer geworden, danke Triceratops!
 

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