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Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Kraft ist konservativ mit Wegintegral zeigen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-08-02
Sambucus
J

Danke für eure weiteren, hilfreichen Antworten :) Hatte leider erst jetzt Zeit mich wieder damit zu beschäftigen.

Definiere: $|\vec r | = r $

2020-07-30 12:34 - PhysikRabe in Beitrag No. 4 schreibt:
2020-07-30 10:07 - Sambucus in Beitrag No. 3 schreibt:
Sei $\gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3, t \mapsto \gamma (t) $ ein beliebiger parametisierten Weg zwischen zwei beliebigen Punkten $\vec r_1,\vec r_2 $, dann kann man mit $\gamma (a)= \vec r_1$ und $\gamma (b)=\vec r_2$  folgendes berechnen:

$\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{a}^{b}\vec F(\gamma (t)) \dot \gamma(t) dt =\int_{a}^{b} \vec r (\gamma (t)) \dot \gamma(t)dt$

Das ergibt in dieser Form jetzt noch nicht wirklich Sinn. Was ist denn $\vec r (\gamma (t))$? Beachte, dass $\vec F(\vec r) \equiv \vec r$, und dass dann die Integration über $\vec r$ durch das Parameterintegral ersetzt wird (d.h. $\vec r$ wird durch $\gamma(t)$ substituiert, womit $\vec F(\gamma (t)) = \gamma(t)$). Falls du dir hier unsicher bist, lies nochmal über Wegintegrale nach. Der Rest des Beweises ist im Grunde ein Einzeiler.


$\vec F(\gamma (t)) = \gamma(t)$, das ist der Fall, weil man die einzelnen Komponenten von $\gamma(t)$ in das Kraftfeld einsetzt, habe ich nicht dran gedacht beim aufschreiben.

Ich habe mich an dieser Defintion orientiert:

Ich hatte bis jetzt nur diese Methode kennen gelernt, bei allen Aufgaben war entweder ein konkreten parametrisierten Weg abhängig von der Zeit gegeben oder musste konstruiert werden.
Dabei ging es nur darum, das Wegintegral für diesen konkreten Weg zu bilden, nicht etwas zu beweisen.
Bei einer Kreisbahn habe ich mal berechnet, dass die geleistete Arbeit bzgl. eines bestimmten Kraftfelds innerhalb einer Periode gleich null ist, aber das war ja sozusagen auch nur für einen konkreten geschlossenen Weg.

Also dachte ich mir: Um zu zeigen, dass dieses Kraftfeld $\vec F(\vec r) \equiv \vec r$ konservativ ist, muss ich einen abstrakten, zeitabhängigen Weg nehmen, und dann zeigen dass die geleistete Arbeit, unabhängig von der Form des Weges für feste Start-/Endpunkte ist.  

$\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{a}^{b}\vec F(\gamma (t)) \dot \gamma(t) dt =\int_{a}^{b} \gamma (t) \dot \gamma(t) dt=[\frac{\gamma (t)^2}{2}]_{a}^{b} =\frac{\gamma (b)^2-\gamma (a)^2}{2}=\frac{r_{2}^2-r_{1}^2}{2} $

Dabei habe ich die umgekehrte Kettenregel benutzt, und $\vec{r}^2  = r^2 $
---


Hoffe folgendes ist richtig von mir beschrieben:

An Kugelkoordinaten habe ich gar nicht gedacht, dann wären die Basisvektoren $\vec e_{\phi}$ und $\vec e_{\theta}$ per Definition immer orthogonal zu $\vec e_{r}$, und für das Kraftfeld $\vec F$ gilt, da es sich um ein Zentralkraftfeld handelt, $\vec F(\vec r) = \vec r = r \vec e_{r}$
Also: $\vec F(\vec r) \cdot \vec e_{\phi} = r (\vec e_{r}\cdot \vec e_{\phi})=r\cdot 0=0$.
Analog für $\vec e_{\theta}$.
Am Ende bleibt ein eindimensionales Integral übrig: $\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr}=\int_{r_1}^{r_2} r dr= \frac{r_2^2-r_1^2}{2} $

@jacha2 den Post musste ich mir erstmal in Ruhe durchlesen, danke für die Ausführlichkeit :)

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Kraft ist konservativ mit Wegintegral zeigen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-30
Sambucus
J

Danke an euch beide :)

Zu Ansatz 1:

2020-07-29 23:08 - traveller in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo,

Schreib doch mal aus, wie so ein Wegintegral für einen Weg $\gamma$ definiert ist. Du wirst auf einen Integranden stossen, welcher eine Stammfunktion besitzt, was die Aussage zeigt.

Sei $\gamma : [a,b] \rightarrow \mathbb{R}^3, t \mapsto \gamma (t) $ ein beliebiger parametisierten Weg zwischen zwei beliebigen Punkten $\vec r_1,\vec r_2 $, dann kann man mit $\gamma (a)= \vec r_1$ und $\gamma (b)=\vec r_2$  folgendes berechnen:

$\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{a}^{b}\vec F(\gamma (t)) \dot \gamma(t) dt =\int_{a}^{b} \vec r (\gamma (t)) \dot \gamma(t)dt$

Aber ich muss nun zeigen dass das Ergebnis vom Integral für jeden Weg $\gamma $ gleich ist. Wie formuliere ich einen so allgemeinen Weg?


----------------------------
Zu Ansatz 2:

2020-07-29 21:33 - jacha2 in Beitrag No. 1 schreibt:

2020-07-29 19:39 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Gegeben sei die Kraft $\vec F(\vec r) = \vec r$....
(i) Betrachte zwei beliebigen Punkten $\vec r_1,\vec r_2 $, dann ist das Wegintegral $\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec r \vec {dr}$ wegunabhängig.
...besteht darin, daß man den Integranden \(\vec F = \vec r\) und das Differential \(\vec{}dr\) zusammen als infinitesimales Skalarprodukt auffaßt, für das überall gilt \(\vec r\cdot\vec{dr}=r dr\cdot\cos(\theta)\), wobei θ den Winkel zwischen beiden darstellt.
Also:
$\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec r \vec {dr}=\int_{r_1}^{r_2} r dr\cdot\cos(\theta)$


2020-07-29 21:33 - jacha2 in Beitrag No. 1 schreibt:

Damit ist der Betrag dieses Skalarprodukts zwischen zwei Punkten o.B.d.A. nur davon abhängig, um wieviel sich der Betrag des Ortsvektors, denn das ist \(\vec r\) schließlich, ändert, aber nicht, auf welchem Pfade.


Aber was ist mit dem Winkel $\theta $, der ist doch nun auch eine Variable welche man beachten müsste, oder nicht? ich erkenne nicht den Grund, warum das infinitesimale Wegelement $\vec dr $ parallel zu $\vec r $ sein sollte?

Außerdem beschreibt $\vec r $ hier ein Kraftfeld, also handelt es sich nicht um einen Ortsvektor, da wir keinen festen Bezugspunkt haben, sondern der Vektor wird am jeweiligen Punkt mit Koordinaten $(x,y,z)$ angelegt - glaube ich -.

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Kraft ist konservativ mit Wegintegral zeigen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-29
Sambucus
J

Gegeben sei die Kraft $\vec F(\vec r) = \vec r$.
Nun möchte ich zeigen, dass die Kraft konservativ ist, aber weder durch Berechnung der Rotation noch durch die Tatsache dass sich die Kraft als Gradient eines Potentials schreiben lässt, sondern ich möchte folgendes zeigen:

(i) Betrachte zwei beliebigen Punkten $\vec r_1,\vec r_2 $, dann ist das Wegintegral $\int_{\vec r_1}^{\vec r_2}\vec F(\vec r) \vec {dr} =\int_{\vec r_1}^{\vec r_2} \vec r \vec {dr}$ wegunabhängig.

(ii) Und dass alle Kurvenintegrale über das Kraftfeld verschwinden $\oint \vec F(\vec r) \vec {dr} = 0$

Ich habe irgendwie keine zielführende Idee, kann mir jemand helfen?



Mathematische Physik
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Thema eröffnet von: Sambucus
Taylorentwicklung um kleine Störung,verstehe die Umformung nicht  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-27
Sambucus
J

2020-07-27 19:15 - zippy in Beitrag No. 1 schreibt:
2020-07-27 19:09 - Sambucus im Themenstart schreibt:
Kann mir jemand erklären, wie hier die Taylor-Entwicklung durchgeführt wird?

 Wichtig aber sowohl für diesen Weg als auch für die Taylor-Entwicklung: Entwickelt wird nicht nach $x$, sondern nach $t:=\frac{2m\delta V}{x}$.

Also $f(t)=(1+t)^{1/2}$ mit $t:=-\frac{2m\delta V}{x}$
und somit $\frac{df(t)}{dt}=\frac{1}{2}(1+t)^{-1/2}$

Mit $t_0=0$ als Entwicklungspunkt gilt dann: $f(0)=1,\frac{df(t)}{dt}_{|_{t_0}}=\frac{1}{2}$
Und dann $f(x)=f(t)\approx 1+\frac{1}{2}t=1-\frac{m\delta V}{x}$

Ergebnis stimmt, vielen Dank für die Hilfe !:)

Mathematische Physik
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Thema eröffnet von: Sambucus
Taylorentwicklung um kleine Störung,verstehe die Umformung nicht  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-27
Sambucus
J

Es geht bei der Aufgabe um die "Periheldrehung", welche durch die Störung des Potentials $V(r)$ verursacht wird.
Die Störung des Potentials ist $\delta V$.
Aber das ist vermutlich nicht so wichtig, ansonsten füge ich noch Infos hinzu, sagt mir nur welche.

Zu einem gewissen Zeitpunkt kann man jedenfalls einen Term der folgenden Form identifizieren: $\sqrt{x-2m\delta V}=\sqrt{x}\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}$

Wobei $x$ ein Term abhängig von mehreren physikalischen Größen ist.

Dann wird in einer Musterlösung für diesen Term $ \sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}
 $ eine Taylorentwicklung nach $\delta V $ bis zur ersten Ordnung durchgeführt.
Man erhält:  $ \sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}\approx 1-\frac{m\delta V}{x}
 $
Ich kapiere überhaupt nicht, wie es zu dieser Gleichung kommt. Kann mir jemand erklären, wie hier die Taylor-Entwicklung durchgeführt wird?

Mein gescheiterter Rechtfertigungsversuch:
$f(x):=\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}\\
f'(x)=\frac{2m\delta V}{x^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2m\delta V}{x}}}$

$f(\delta V)=\sqrt{1-2m}\\ f'(\delta V)=\frac{2m}{\delta V}\frac{1}{\sqrt{1-2m}}$

$f(x)\approx \sqrt{1-2m} +\frac{2m}{\delta V}\frac{1}{\sqrt{1-2m}}(x-\delta V)$

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Wieso wird bei Lagrange-Fkt. ein Vektor scheinbar wie eine einfache Ableitungsvariable betrachtet?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-30
Sambucus
J

Hallo, danke an euch beide für die jeweils hilfreiche Antwort ! :)


2020-06-30 15:39 - Orangenschale in Beitrag No. 2 schreibt:

Zudem werden die meisten Rechnungen deutlich einfacher und übersichtlicher wenn man die Summenkonvention verwendet. Vielleicht nicht gerade bei diesen leichten Aufgaben, aber definitiv wenn z.B. Kreuzprodukte, Rotationen, Divergenzen und Gradienten vorkommen, wie in der Elektrodynamik. Ich würde dir sehr empfehlen, dich mit dieser Notation vertraut zu machen, da sie viele Dinge so viel extrem vereinfacht.  


Den Tipp werde ich mir für die Vorbereitung auf das nächste Semester merken.

@Orangenschale Vielen Dank dass du dir so viel Mühe gemacht hast, deine Antwort war sehr informativ und gut strukturiert!

Gruß Sambucus

Mathematische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Wieso wird bei Lagrange-Fkt. ein Vektor scheinbar wie eine einfache Ableitungsvariable betrachtet?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-30
Sambucus
J

In kartesischen Koordinaten gilt für die Lagrange Funktion im dreidimensionalen Raum $L=(\vec r, \dot{\vec r}, t)$ mit $\vec r = \begin{pmatrix} r_1 \\ r_2 \\ r_3 \end{pmatrix}$

Sei $T$ die kinetische Energie, für ein nicht relativistisches freies Teilchen in einem abgeschlossenen System ist dann: $L=T=\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 $, da das Potential für ein freies Teilchen gleich null ist.

Okay, jetzt muss man unter Anderem für die Euler-Lagrange-Gleichung folgendes Berechnen: $\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r}}= \nabla_{\dot{\vec r}} L$ und $\frac{\partial L}{\partial \vec r}=\nabla_{\vec r} L$

--------
Hinweis:
Ich weiß nicht ob die Notation $\nabla_{\dot{\vec r}} $ korrekt ist? Damit meine ich dass nach den einzelnen Komponenten von $\dot r_1,\dot r_2,\dot r_3$ partiell abgeleitet wird, also $\nabla_{\dot{\vec r}} L = \begin{pmatrix}\frac{\partial L}{\partial \dot r_1}\\\frac{\partial L}{\partial \dot r_2}\\\frac{\partial L}{\partial \dot r_3}\end{pmatrix}$.
Nach diesem Schema gilt dann analog:

$\nabla_{\vec r} L = \begin{pmatrix}\frac{\partial L}{\partial  r_1}\\\frac{\partial L}{\partial  r_2}\\\frac{\partial L}{\partial  r_3}\end{pmatrix}$.

-------------

Weiter mit der eigentlichen Frage, warum gilt folgendes?

i) $\frac{\partial L}{\partial \dot{\vec r}}=\frac{\partial }{\partial \dot{\vec r}}\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 = m\dot{\vec r}$

ii) $\frac{\partial L}{\partial \vec r}=\frac{\partial }{\partial \vec r}\frac{m}{2}\dot{\vec r}^2 = 0$


Hier wird abgeleitet, als wenn $r$ einfach irgendeine eindimensionale Variable wäre und kein Vektor.
Als wenn man bei einer differenzierbaren Funktion $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}, x\mapsto f(x)$, einfach nur $\frac{df}{dx}$ berechnet.

Warum kann man das hier so extrem abkürzen? Könnte es nicht sein, dass zum Beispiel $\frac{\partial \dot{\vec r}^2}{\partial r_1} \neq 0 $ gilt?

Mir fällt dafür zwar gerade kein Beispiel ein, aber auch kein formulierbares Argument, warum das nicht gelten kann...

Oder verstehe ich etwas komplett falsch?

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Annäherung mit Taylor-Formel (mehrere Variablen): Kann ich Variablen als Entwicklungspunkte nehmen?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-29
Sambucus
J
\(\begingroup\)\(\usepackage{braket}\)
2020-06-28 20:52 - Orangenschale in Beitrag No. 1 schreibt:

$$ f(y) \approx f(y_0) + \left.\frac{df}{dy}\right|_{y=y_0}\cdot(y-y_0) + \frac{1}{2!} \left.\frac{d^2f}{dy^2}\right|_{y=y_0}\cdot (y-y_0)^2 + \ldots
$$ Gut. Jetzt macht man nichts weiter als
$$ y=x+\Delta x\\
y_0 = x
$$ einzusetzen und man erhält sofort die Gleichung von oben.



Danke für deine Antwort ! :)
Ich habe einen Tag gewartet, da ich mir noch immer nicht zu 100% im Klaren bin, warum $y_0=x$ gesetzt werden kann, und ich das nochmal durchdenken wollte.

Meine Überlegung dazu:
Vlt. kann man $y_0=x$ setzen, da die einzige Voraussetzung an den Entwicklungspunkt zu sein scheint dass dieser im Definitionsbereich (muss ein offenes Intervall sein) der Funktion liegt.
Ob man nun einen konkreten festen Entwicklungspunkt oder eine Variable nimmt, bei der jeder einzelne mögliche Wert ein gültiger Entwicklungspunkt ist, ist vermutlich egal.
\(\endgroup\)

Taylorentwicklungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Annäherung mit Taylor-Formel (mehrere Variablen): Kann ich Variablen als Entwicklungspunkte nehmen?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-28
Sambucus
J

Kann mir jemand erklären wieso die folgende Annäherung für die Lagrangefunktion okay ist:
$L(x + \delta x, \dot{x}  + \delta \dot{x},t)\approx L(x,\dot{x},t)+   \frac{\partial L}{\partial x}\partial x  + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\partial \dot{x} $ ?


Wenn ich die Formel für die Taylor-Reihe in mehreren Variablen verwende, wie sie in diesem Artikel beschrieben wird  

erhalte ich:

$L(x + \delta x, \dot{x} +  \delta \dot{x},t)\approx L(a_1,a_2,a_3)+ \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial x }(x + \delta x -a_1) + \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial \dot{x} }(\dot{x} +  \delta \dot{x}-a_2) + \frac{\partial L(a_1,a_2,a_3)}{\partial t }(t-a_3)$

Wenn ich die Entwicklungspunkte wie folgt setze: $ a_1 = x, a_2 = \dot{x}, a_3 = t $, erhalte ich die obige Annäherung.

Ich sehe keinen anderen Weg, um die Annäherung zu erhalten, ABER $ x, \dot x $ und $ t $ sind keine festen Punkte, sondern Variablen.
Ich dachte, dass man einen !festen! Punkt als Entwicklungspunkt für eine Taylor-Reihe benötigt bzw. mehrere !feste! Punkte als Entwicklungspunkte wenn es um mehrere Variablen geht.

Wenn ich diese Variablen wirklich nur als Entwicklungspunkt festlegen muss, kann mir jemand erklären warum das möglich ist?

PS: $\delta x$ ist eine sehr kleine Verschiebung, deswegen ignoriert man für die Annährung höhere Potenzen von $\delta x$. Analog für $\delta \dot x$.

War mir nicht sicher bei Forum-Wahl, könnte auch zu mathematische Physik passen.

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Zwangskräfte: Verständnisprobleme bei der Herleitung der Formel in einem Artikel  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-24
Sambucus
J

2020-06-23 23:21 - Rathalos in Beitrag No. 3 schreibt:

b)
Man brauch garkeine Ableitungen oder sonstiges . Wir haben schon m Gleichungen mit \( f_m(x_1, y_1 , ... , z_N) =0\) die uns m-Koordinaten eliminieren.

Dabei sollte man noch anmerken, dass die Zwangsbedingungen unabhängig sind.
Als einfaches Beispiel zum Verständnis kann man ja eine Bewegung auf dem Kreis betrachten im zweidimensionalen dh. \(x^2 + y^2 -r^2 = 0\). Nun kannst du doch die Zwangsbedingung auflösen z.B. \( x = \pm \sqrt{r^2-y^2}\). Das ist die prinzipelle Idee, dh du brauchst nur die x Koordinate und kannst immer sagen, was y ist.


Das Beispiel war hilfreich um dein Argument nachzuvollziehen. Ich hake die Frage jetzt erstmal ab.

Nochmals vielen Dank für deine Hilfe ! :)

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Zwangskräfte: Verständnisprobleme bei der Herleitung der Formel in einem Artikel  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Sambucus
J

Danke für deine Antwort :)

2020-06-23 17:12 - Rathalos in Beitrag No. 1 schreibt:

Zunächst einmal bin ich mir nicht sicher ob du mehrere Beschränkungsgleichungen \(f_k\) hast, da du dieses k an einigen Stellen weglässt und es an manchen stellen kein Sinn macht. Ich denke daher, dass du nur eine hast.



Das $k$ habe ich an einigen Stellen weggelassen, weil es wohl einen Fehler in dem Artikel gibt und dort das $k$ bei der Taylorentwicklung vergessen wurde. Es gibt $m$ Beschränkungsgleichungen im benannten Abschnitt des Artikels.


2020-06-23 17:12 - Rathalos in Beitrag No. 1 schreibt:

a)
Hier wird eine Tylorreihennäherungen vorgenommen und nach dem ersten Glied abgebrochen, da die virtuellen Verrückungen infestimal sind.

$ f_k(r_1+\delta r_1, ... , r_n+\delta r_n)\approx f_k(r_1, ... , r_n) + \sum \limits_{i=0}^{n} \frac{\partial f_k}{\partial r_i}\delta  r_i = 0$

Ist es korrekt dass $ f_k(r_1+\delta r_1, ... , r_n+\delta r_n) $ einfach nur eine Kurzschreibweise für $f_k(x_1+\delta x_1,...,x_n+\delta x_n,y_1+\delta y_1,...,y_n+\delta y_n,z_1+\delta z_1,...,z_n+\delta z_n) $
?
Gilt dann:
(iii)
$f_k(x_1+\delta x_1,...,x_n+\delta x_n,y_1+\delta y_1,...,y_n+\delta y_n,z_1+\delta z_1,...,z_n+\delta z_n) \approx f_k(x_1,...,x_n,y_1,...,y_n,z_1,...,z_n) + \sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial x_i}\delta  x_i + \sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial y_i}\delta  y_i + \sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial z_i}\delta  z_i = 0$  
?
2020-06-23 17:12 - Rathalos in Beitrag No. 1 schreibt:
b)

Da die virtuellen Verschiebungen unabhängig gewählt werden können, hast du m Gleichungen
\(\partial_{x_j} f = 0\) Daher kannst du mit diesen m Gleichung auch m Koordinaten elimineren. Das geht dann in die Richtung vom Satz der impliziten Funktionen.

Also weil es $m$ solcher Beschränkungsgleichungen gibt, erhalte ich auch $m$ Gleichungen der Form
$\sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial x_i}\delta  x_i + \sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial y_i}\delta  y_i + \sum \limits_{i=0}^n \frac{\partial f_k}{\partial z_i}\delta  z_i = 0$.
Also bei jeder dieser $m$ Gleichungen sind die Faktoren $\delta x_i, \delta y_i, \delta z_i$ gleich, aber die $\frac{\partial f_k}{\partial x_i},\frac{\partial f_k}{\partial y_i},\frac{\partial f_k}{\partial z_i}$ verändern sich je nachdem welche der $m$ Beschränkungsgleichungen man betrachtet, wobei $k=1,...,m$.
Da $\frac{\partial f_k}{\partial x_i},\frac{\partial f_k}{\partial y_i},\frac{\partial f_k}{\partial z_i}$ ja nicht unbedingt konstant sind, handelt es sich im Allgemeinen um kein lineares Gleichungssystem.
Würde ich ein lineares Gleichungssystem erhalten, dann wäre mir vielleicht auch klar, warum ich $m$ Koordinaten eliminieren könnte. Aber so kann ich es jetzt nicht unmittelbar nachvollziehen.

Werde mich dann demnächst mal mit dem Satz der impliziten Funktionen beschäftigen, dass ist wohl zum Verständnis notwendig.  

Theoretische Mechanik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Zwangskräfte: Verständnisprobleme bei der Herleitung der Formel in einem Artikel  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-23
Sambucus
J

Frage zu dem Artikel , genauer zum aufklappbaren Text "Vertiefung" im Abschnitt "Zwangskräfte".

Da die virtuelle Verückung $\delta r_i$  so gewählt ist, dass die angepasste Bahn immernoch die Zwangsbedingungen erfüllt gilt für die Beschränkungsgleichung $f_k$:

$f_k(r_1 + \delta r_1, ... , r_n + \delta r_n)=0$

a)
Aber warum gilt (i): $f_k(r_1 + \delta r_1, ... , r_n + \delta r_n)=f(r_1,...,r_n)+\sum \limits_{i=0}^{m}\frac{\delta f_i}{\delta x_i}\delta x_i$
?*
Ich verstehe nicht woher dieser Zusammenhang kommt?

*Ich habe den Index in der Summe $m$ gesetzt, da es ja nur so viele Beschränkungsgleichungen geben kann

b)
Dann wird gefolgert, dass
(ii) $\sum \limits_{i=0}^{m}\frac{\delta f_i}{\delta x_i}\delta x_i=0$.
Da ich einfach mal davon ausgehe dass in (i) $f(r_1,...,r_n)$ auch eine Beschränkungsgleichung ist muss $f(r_1,...,r_n)=0$ gelten.
Dann folgt (ii) natürlich aus (i).

Warum folgt nun aus (ii) dass für $m$ Zwangsbedingungen und $n$ Teilchen nur $3n-m$ Koordinaten beliebig gewählt werden können?

Ich verstehe dass insgesamt $3n$ Koordinaten notwendig sind für $n$ Teilchen, da die Position jedes Teilchen im dreidimensionalen Raum durch drei Koordinaten identifiziert wird.

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Partielle Ableitung von skalaren Funktion mit verschiedenen Vektorfunktionen als Argumenten.  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-09
Sambucus
 

Sei $f: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ eine skalare Funktion.
Seien $g:\mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$ und $h: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n$
$f(g(x),h(x , y))$ mit $x,y\in \mathbb{R}^n $
Wie bilde ich jetzt die partielle Ableitung :$ \frac{\partial f}{\partial y_i}$ ?
Für ein beliebiges $ i\in \{1,...,n\}$.

Welche Regeln kann man hier nutzen?

Lineare DGL 2. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Allgemeine Lösung Schreibweise, können Konstanten komplex sein?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-19
Sambucus
J

Vielen Dank! Die Antwort war sehr hilfreich :)

Lineare DGL 2. Ordnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten: Allgemeine Lösung Schreibweise, können Konstanten komplex sein?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-18
Sambucus
J

Homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

Betrachte $y''+2ay'+b^2y(x)=0$ unter der Annahme, dass $a,b$ reelle Zahlen sind und $0<a<b$ gilt.
Dann ergibt sich $\lambda_{1,2}=-a\pm \sqrt{a^2-b^2} = -a\pm i\sqrt{b^2-a^2}=-a\pm i\cdot c$ mit $c:=\sqrt{b^2-a^2}$  als Lösung des charakteristischen Polynoms $ \lambda ^{2} +2a\lambda + b^2 $.
Normalerweise hätte ich jetzt einfach als allgemeine Lösung $e^{-a \cdot x}\cdot (K_1\cdot \cos(c \cdot x) + K_2\cdot \sin(c \cdot x)) $ angegeben, wobei $K_1, K_2 \in \mathbb{R} $Konstanten sind.
Nun habe ich aber folgende Lösung gesehen: $k_1\cdot e^{(-a+i\cdot c)\cdot x} + k_2\cdot e^{(-a-i\cdot c) \cdot x}$
Ich habe probiert von dieser alg. Lösung auf meine Lösung zu kommen:$k_1\cdot e^{(-a+i\cdot c)\cdot x} + k_2\cdot e^{(-a-i\cdot c) \cdot x}
= k_1\cdot e^{-a \cdot x}\cdot e^{i \cdot c \cdot x} + k_2\cdot e^{-a \cdot x}\cdot e^{-i \cdot c \cdot x}=e^{-a \cdot x}\cdot (k_1\cdot e^{i \cdot c \cdot x} + k_2\cdot e^{-i \cdot c \cdot x})=e^{-a \cdot x}\cdot ((k_1+k_2)\cdot \cos(c \cdot x) + i(k_1-k_2)\cdot \sin(c \cdot x)) $

Für $K_1:=(k_1 + k_2)$ ist reell, ABER $K_2:=i(k_1-k_2)$ wäre imaginär. Ich dachte $K_1$ und $K_2$ müssen reell sein?

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Wie viele Möglichkeiten um Augensumme 10 mit drei Würfeln zu erhalten, Formel gesucht  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-06
Sambucus
J

Danke an beide, die Threads hätte ich alleine wohl nicht gefunden :)

Die Formel ist zwar nicht so knapp wie erhofft, aber jetzt weiß ich schon mal, dass es dem Anschein nach keine so einfache Überlegung gibt, welche meine Berechnung erheblich beschleunigt hätte.
 

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sambucus
Wie viele Möglichkeiten um Augensumme 10 mit drei Würfeln zu erhalten, Formel gesucht  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-06
Sambucus
J

Also ich will die Wahhrscheinlichkeit berechnen, dass beim Würfeln dreier Laplace-Würfel die Augensumme 10 heraus kommt.
Das ist nicht schwer (P(X=10)=27/216)

Was ich aber lästig fand, war die Anzahl der einzelnen Kombination für die Augensumme 10 zu berechnen.

Gibt es dafür eine knappe Formel?

Meine Vorgehensweise war, dass ich zunächst notiert habe:

10=1+3+6=1+4+5=2+2+6=2+3+5=2+4+4=3+3+4

Wenn man die einzelnen Summen als dreier-Tupel auffast, gibt es für drei paarweise unterschiedliche Zahlen 3! Anordnungsmöglichkeiten und bei einem dreier-Tupel mit genau zwei gleichen Zahlen 3 Anordnungsmöglichkeiten.

Also gibt es insgesamt 3*3!+3*3=27 Kombinationen mit Augensumme 10.

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Thema eröffnet von: Sambucus
Sei der metrische Raum X folgenkompakt, liegen dann alle Häufungspunkte in X?  
Beitrag No.4 im Thread
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Sambucus
J

2019-10-15 13:52 - Orthonom in Beitrag No. 3 schreibt:
Du hast recht, das kann mißverständlich sein und ist nicht ganz klar formuliert.
Aber bei folgenkompakt ist gemeint, dass auch dieser Häufungspunkt
in X liegen muß.

Super, danke für deine Hilfe :)

Analysis
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Thema eröffnet von: Sambucus
Sei der metrische Raum X folgenkompakt, liegen dann alle Häufungspunkte in X?  
Beitrag No.2 im Thread
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Sambucus
J

2019-10-15 13:38 - Orthonom in Beitrag No. 1 schreibt:
Beachte das Wörtchen "in" in "in X einen Häufungspunkt".

Ich dachte damit wäre einfach gemeint dass die Folgenglieder in $X$ enthalten sind...


Die gleiche Formulierung kenne ich halt, wenn man ausdrücken möchte, dass die einzelnen Folgenglieder in $X$ enthalten sind und sonst nichts weiter aussagt.
Findet ihr das nicht missverständlich?

Analysis
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Thema eröffnet von: Sambucus
Sei der metrische Raum X folgenkompakt, liegen dann alle Häufungspunkte in X?  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-10-15
Sambucus
J

Definition:
Ein metrischer Raum $X$ heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in $X$ einen Häufungspunkt besitzt.

Angenommen $X$ ist folgenkompakt.
Sei also $(a_n)$ eine beliebige Folge in $X$, dann gibt es aufgrund der Folgenkompaktheit von $X$ eine konvergente Teilfolge $(a_{n_{k}})$.
Definiere $a:=\lim\limits_{k \to \infty} a_{n_{k}} $.

In einem Beweis wurde nun benutzt, dass $a\in X$, aber warum soll im Allgemeinen der Häufungspunkt in $X$ liegen, wo steht das in der Definition???
 

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