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Thema Eingetragen
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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Zusammenhang Ableitung/Integral  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16
Sandrob
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo StrgAltEntf,
Stimmt, dann habe ich mich wohl ein bisschen vergriffen, dass Stammfunktionen bilden umgangssprachlich ist😁. Aber dann ist mir nun klarer, was mit dieser Wortwahl gemeint ist.

@Triceratops:

Gegenfrage: Was ist für dich "das bestimmte Integral"? Was ist für dich "Ableitung"? (Das muss man präzise beantworten, also insbesondere sagen, welche Abbildungen zwischen welchen Mengen genau gemeint sind. Eine Möglichkeit habe ich in Beitrag 2 skizziert.)


Mit dem bestimmten Integral meine ich das Riemann'sche Integral. Mit der Ableitung meine ich die Abbildung $D$, welche du im Beitrag No. 2 aufgeschrieben hast.

Für mich war bis jetzt einfach immer klar, was z.B. mit der Notation  $\int\limits_{1}^{3} x^2 \ dx$ gemeint ist. Dies bezeichnet doch eine Abbildung von den integrierbaren Funktionen nach $\mathbb{R}$, wobei die Funktion $f(x)=x^2$ auf die Zahl 8.666... geschickt wird. Doch die Notation des unbestimmten Integrals, also $\int f(x) dx$ wurde bei uns in der Vorlesung gar nicht richtig definiert. Für mich würde es jetzt aber nach deinem Beitrag No. 2 Sinn machen, dass dies eine Abbildung von $C^0[a,b]$ nach $C^1[a,b]$ ist, wobei die Funktion f auf die Funktion $x \mapsto \int_a^x f(t) \, dt$ geschickt wird. Verstehe ich das richtig?

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.6 begonnen.]
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Zusammenhang Ableitung/Integral  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-16
Sandrob
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
@Triceratops: Du hast in deinem ersten Beitrag erwähnt, dass zwei Abbildungen $f\colon X\to Y$ und $g\colon Y\to X$ zueinander invers sind, falls für alle $x\in X$ gilt, dass $g(f(x))=x$ und für alle $y\in Y$ gilt $f(g(y))=y$. Muss man dafür zwingend beide Bedingungen fordern oder würde es auch ausreichen zu fordern, dass für alle $x\in X:g(f(x))=x$ ?

Die Aufzählung von deinem letzten Beitrag ergibt für mich Sinn und ich glaube dies nachvollziehen zu können. Nun aber vielleicht um noch meinen letzten Zweifel wegzuräumen:

Dann ist also nicht das bestimmte Integral die inverse Operation zur Ableitung, sondern die Abbildung $I$, welche du im Beitrag No. 2 erwähnt hast?
Also das unbestimmte Integral zu bilden (umgangssprachlich eine Stammfunktion finden), ist eigentlich nicht anderes, als den Integraloperator auf eine gegeben Funktion $f$ anzuwenden. Habe ich das so richtig verstanden?
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Zusammenhang Ableitung/Integral  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15
Sandrob
 

Danke viel mals für eure Antworten. Mir erscheint nun einiges ein bisschen klarer, auch wenn ich den letzten Teil mit der Projektion ehrlichgsesagt nicht mehr ganz verstanden habe.

Doch betrachten wir in dem Sinne das Integral als die Abbildung I?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Zusammenhang Ableitung/Integral  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-11-15
Sandrob
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend zusammen🙂

In der letzten Analysis-Vorlesung haben wir gerade den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bewiesen und die Newton-Leibniz-Formel hergeleitet. Die Beweise habe ich meiner Einschätzung nach zum grössten Teil verstanden. Jedoch hat sich bei mir die Frage noch nicht geklärt, was nun genau der Zusammenhang zwischen der Ableitung und der Integration ist.

In der Schule (oder auch heute noch an der Uni) wird uns immer erzählt, dass die Ableitung und das Integral inverse Operationen sind. Jedoch haben wir in der Vorlesung das Riemann'sche Integral eingeführt und dies gibt ja bekanntlich eine Zahl (also Fläche unter dem Funktionsgraphen). Die Ableitung hingegen gibt uns eine neue Funktion als "Ergebnis". Im Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung haben wir bewiesen, dass falls $f\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ stetig ist, dann ist die Funktion $F\colon [a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ gegeben durch $x\mapsto \int_{a}^{x} f(x) \,dx$ eine Stammfunktion von f ist, d.h. $\forall x\in [a,b]: F'(x)=f(x)$.

Nun frage ich mich, wie man denn genau das Integral als Inversion der Ableitung verstehen kann?

Vielen Dank für eure Hilfe😄
\(\endgroup\)

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Stetigkeit der e-Funktion  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo liebe Matheplanet-Mitglieder,

Ich bin mir bewusst, dass diese Frage auch schon mehrmals in diesem Forum gestellt wurde, aber meine Beweisidee war in keinem Beitrag enthalten und deswegen möchte ich nun hier die Frage neu stellen. Ich möchte gerne die Stetigkeit der Funktion $\exp \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R_{>0}}$ beweisen.

Mein Beweis würde perfekt aufgehen, wenn ich die folgende Ungleichung irgendwie zeigen könnte (bin mir natürlich nicht sicher, ob diese überhaupt stimmt so):

$|\exp(q)-\exp(p)| \leq |\exp(p+\delta)-\exp(p)|$. Dabei möchte ich die Stetigkeit im Punkt $p\in \mathbb{R}$ zeigen. $q$ erfüllt dabei die Ungleichung $|q-p|\leq \delta$.

Falls ihr noch die ganze Beweisidee braucht fürs Verständnis meiner Überlegungen, kann ich dies sonst dann gerne noch beifügen.

Vielen lieben Dank jetzt schon für eure Hilfe!😄
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-21
Sandrob
J

Entschuldigung für meine sehr späte Antwort!

Deine Erklärung hat mir nun aber Licht ins Dunkle gebracht und ich verstehe meinen Denkfehler, danke vielmals😄

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-05
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend liebe Forumsmitglieder,

In der linearen Algebra wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit ja wie folgt definiert:

Sei $V$ ein $K$-Vektorraum. Eine endliche Familie $(v_1,\dots ,v_n)$ von Vektoren aus $V$ heisst linear unabhängig, falls gilt: Sind $\lambda_1,\dots \lambda_n \in K$ und ist $\lambda_1 v_1 +\dots \lambda_n v_n=0$, so folgt $\lambda_1=\dots \lambda_n=0$.

In einem Beweis für direkte Summen wird der Begriff der linearen Unabhängigkeit benötigt. Konkret geht es um folgendes Lemma:

Ist $V=W_1+W_2$, so sind die folgenden Bedingungen äquivalent:
$(i):W_1\cap W_2 = \{0\}$
$(ii):$Zwei von Null verschiedene Vektoren $w_1\in W_1$ und $w_2\in W_2$ sind linear unabhängig.

Der Beweis $(i)\Rightarrow(ii)$ ist mir klar. Nun aber bei der umgekehrten Richtung wird argumentiert, dass falls $0\neq v\in W_1\cap W_2$, so erhält man einen Widerspruch zu $(ii)$ durch $1v+(-1)v=0$. Nun ist mir hier aber unklar, wieso wir zwei Mal den Vektor $v$ verwenden dürfen, da sonst ja eigentlich jede beliebige Familie linear abhängig wäre, weil man den Nullvektor darstellen könnte als Linearkombination aus einem belieben Vektor der Familie plus minus diesen selben Vektor.

Versteht ihr mein Problem?
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-10-01
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Also ich habe in meinem Induktionsbeweis nun so argumentiert, dass falls wir zeigen können, dass $\forall r\in \mathbb{N}$ die Teilfamilie $\left(f_r\right)_{r\in \{1,\dots r\}}$ linear unabhängig ist, dann auch die Familie $\left(f_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ linear unabhängig sein muss, da jede andere Teilfamilie, welche nicht von obiger Form ist, in einer dieser Teilfamilien enthalten sein muss und somit auch linear unabhängig ist. Demnach habe ich die Induktion schon gewissermassen über die Anzahl an Cosinus-Funktionen laufen lassen.

Weisst du was ich meine oder habe ich mich zu schwammig ausgedrückt?
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-30
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Jetzt habe ich es nun glaub ganz begriffen, habe mir über den Induktionsbeweis nochmals Gedanken gemacht und gemerkt, dass wir dann einfach den Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$ machen könnten und dann im Induktionsschritt unser Argument perfekt verwenden könnne.

Ich schreib mir das jetzt mal ein bisschen formaler auf, vielen lieben Dank nocheinmal!😄
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-30
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Jetzt geht bei mir ein Licht auf, danke vielmals!

Dieser Trick lässt sich natürlich solange wiederholen, bis wir für alle $\lambda_i$ mit $i\in \{1,\dots r\}$ gefunden haben, dass $\lambda_i=0$ gilt. Nun müssten wir ja Induktion über die Variable $n$ vornehmen und dies würde dann reichen, dass jede beliebige Teilmenge von $\left(f_n\right)_{n\in \mathbb{N}}$ linear unabhängig ist, da diese in einer Teilmenge $\left(f_n\right)_{n\in \{1,\dots ,n\}}$ enthalten ist. Also weisst du was ich mit diesem Argument ausdrücken möchte?

Beim Induktionsschritt müssten wir aber doch dann gar nicht unser Argument mit durch $n_r$ dividieren anwenden, oder nicht?
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-30
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
2020-09-29 20:07 - piquer in Beitrag No. 8 schreibt:
Was lässt dich daran zweifeln?
Also daran habe ich nun keine Zweifel mehr, aber was können wir dann genau daraus schliessen?
Weil falls nun dieser Faktor, also $\left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2 k}$, gleich null wird, haben wir doch nun die Gleichung $\lambda_rcos(n_rx)=0$ stehen. Doch daraus können wir doch nur auf $\lambda_r = 0$ schliessen und für die anderen $\lambda_i$ mit $i\neq r$ wissen wir nichts mehr.
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-29
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hmmm also so intuitiv hätte ich nun gesagt, dass dann der Faktor $\left( \frac{n_i}{n_r}\right)^{2k}$ zu $0$ wird, da wir $n_r$ so gewählt haben, dass $n_r>n_i$ gilt. Somit bleibt im Grenzwert nur noch $\lambda_r \cos(n_r x)=0$ stehen.

Bin ich auf dem richtigen Weg oder sind meine Argumente falsch?
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-28
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Sorry aber ich stehe wohl gerade auf der Leitung😁.

Also wir sprechen beide von der Gleichung:

$\lambda_{1}cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}cos(n_{r}x)=0$, welche wir nach $x$ ableiten möchten oder?
Weil ich bin mir nicht genau sicher, was du meinst mir dem grössten Wert der $(n_1, \dots, n_r)$ zu teilen?
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-28
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo Thorsten,

Hmmm, also von der Vandermonde-Matrix habe ich auch schon gehört. Das Problem ist nur, dass wir Matrizen bis jetzt in der Vorlesung noch gar nicht eingeführt haben. Deswegen wäre es wahrscheinlich komisch, wenn wir diese schon verwenden sollten, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Also wenn wir ja den Grenzwert der Ableitungen bilden, werden die jeweiligen $n_{i}:i\in \{1,...,r\}$ unendlich oft mit sich selber potenziert. Daraus müsste folgen, dass also die $\lambda_{i}$ unendlich klein werden müssen, damit die Gleichung mit 0 erfüllt ist. Meine Begründung ist jedoch sehr schwammig und unpräzise, denke ich😄.

Vielen Dank für deine Hilfe!
\(\endgroup\)

Lineare Unabhängigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Lineare Unabhängigkeit von cos-Funktionen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-09-28
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend zusammen😄,

In Lineare Algebra 1 müssen wir für diese Woche die lineare Abhängigkeit einer Familie im Funktionenraum $Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})$ zu zeigen. Konkret sieht die Aufgabe wie folgt aus:

Für jedes $n\in \mathbb{N}$ bezeichnen wir mit $f_{n}$ die Funktion von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$, die durch $f_{n}(x)=cos(nx)$ definiert ist. Ist die Familie $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ in $Abb(\mathbb{R},\mathbb{R})$ linear unabhängig?

Nun habe ich mir zunächst überlegt, dass die Familie $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ unendlich sein muss, da für keine $n,m\in \mathbb{N}$ gelten kann, dass $f_n=f_m$ ist. Eine unendliche Familie ist nach Definition linear unabhängig, wenn es jede endliche Teilfamilie davon ist. Wir wählen also endliche Teilfamilie von $(f_{n})_{n\in \mathbb{N}}$ aus, welche Kardinalität $r$ hat. Um nun die lineare Unabhängigkeit zu schliessen, müssen wir die folgende Implikation überprüfen:

$\lambda_{1}cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}cos(n_{r}x)\Rightarrow \lambda_{1}=...=\lambda_{r}.$

Nun habe ich mir überlegt, dass wir die Gleichung zwei Mal ableiten können, was uns dann zu folgender Gleichung bringt:

$\lambda_{1}{n_1}^2cos(n_{1}x)+...+\lambda_{r}{n_1}^rcos(n_{r}x)$. Nun könnten wir dies noch wiederholen, bis wir $n$ Gleichungen haben. Doch dann komme ich einfach nicht mehr weiter, also ich bin mir erstens nicht sicher, ob ich auf dem richtigen Weg bin (also einen guten Ansatz gewählt habe). Zweitens weiss ich dann nicht weiter, wie man von diesem linearen Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen nun auf $\lambda_{1}=...=\lambda_{r}$ schliessen kann.

Vielen Dank jetzt schon für eure Hilfe!
\(\endgroup\)

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Offene Bälle sind offen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-20
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo an alle, die mir eine Antwort gegeben haben,

Bitte entschuldigt meine verspätete Antwort. Ich habe bei der Definition durch 2 geteilt, damit mir dies persönlich ein "besseres" Gefühl gibt😁. So kann ich mir immer sicher sein, dass der Ball $B(y,\varepsilon)$ vollständig im offenen Ball $B(x,r)$ liegt.

Aber ihr habt natürlich völlig Recht, ohne diesen Schritt wäre der Beweis wohl einige Zeilen kürzer geworden😄.

2020-07-16 18:06 - Diophant in Beitrag No. 2 schreibt:
Hallo Sandrob,

für meine Begriffe ist das fast in Ordnung.

2020-07-16 17:50 - Sandrob im Themenstart schreibt:
...Dann behaupten wir, dass $B(y,\varepsilon)\subseteq B(x,r)$ gilt...

Hier sollte man wohl besser mit \(B(y,\varepsilon)\subset B(x,r)\) arbeiten.

Warum genau müsste man denn mit einem strikten Teilmengensymbol arbeiten?
\(\endgroup\)

Mengentheoretische Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Offene Bälle sind offen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Guten Abend miteinander,

Ich möchte für mich zur Wiederholung beweisen, dass offene Bälle in einem metrischen Raum $(X,d)$ selbst wiederum offen sind.

Sei also $B(x,r)=\{y\in X|d(x,y)<r\}$. Um nun die Offenheit vom Ball $B(x,r)$ zeigen zu können, müssen wir für jedes $y\in B(x,r)$ ein $\varepsilon>0$ finden, so dass $B(y,\varepsilon)\subseteq B(x,r)$ gilt.

Sei also $y\in B(x,r)$ beliebig und $\varepsilon =\frac{r-d(x,y)}{2}>0$. Dies gilt, da $r>d(x,y)\geq 0$ ist.

Dann behaupten wir, dass $B(y,\varepsilon)\subseteq B(x,r)$ gilt. Denn sei $z\in B(y,\varepsilon)$ beliebig. Es gilt dann $d(z,y)<\varepsilon =\frac{r-d(x,y)}{2}$. Multiplizieren wir diese Ungleichung mit 2 und addieren $d(x,y)$ kommen wir zu:

$2*d(z,y)+d(x,y)<r$

Diese Ungleichung können wir fortsetzen zu (mittels Dreiecksungleichung):

$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\leq 2*d(z,y)+d(x,y)<r$. Dies beweist uns, dass ein beliebiges $z\in B(y,\varepsilon)$ auch in $B(x,r)$ enthalten ist und somit $B(y,\varepsilon)\subseteq B(x,r)$ gilt.

Ist mein Beweis so vollständig oder habe ich etwas falsch gemacht?
\(\endgroup\)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Metrischer Raum  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo X3nion,

Ich hoffe, dass ich Kampfpudel nicht gerade ins "Wort falle" und meine Erläuterung auch passend ist😁:

Wir wissen ja, dass $d_{A}(x)\leq d(x,a)$ gilt für alle $a\in A$. Dies gilt deswegen, da $d_{a}(x)$ gerade als dem Infimum über alle a in A definiert ist. Mit der Dreiecksungleichung kommen wir dann zu $d_{A}(x)\leq d(x,y)+d(y,a)$. Diese Ungleichung gilt immer noch für alle $a\in A$. Nun können wir $d(x,y)$ subtrahieren und kommen zu:

$d_{A}(x)-d(x,y)\leq d(y,a)$ und zwar wichtig für alle a in A.
Genau weil diese Ungleichung nun für alle $a\in A$ erfüllt ist, folgt daraus, dass $d_{A}(x)-d(x,y)$ eine untere Schranke der Menge $\{d(y,a)|y\in A\}$.

Weisst du was ich meine🙂?
\(\endgroup\)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Metrischer Raum  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Sandrob
J

Danke viel viel mals für deine schnelle Hilfe. Genau diese Zwischenschritte haben mir in der Musterlösung gefehlt, um es zu verstehen. Danke dir für die Erleuchtung!😁👍

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sandrob
Metrischer Raum  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-16
Sandrob
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Test}{\mathbb{Q}}\)
Hallo zusammen,

Ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe aus Analysis I.
Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Für $A\subseteq X$ und $x\in X$ definiere die Abbildung $d_{A}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ durch $d_{A}(x)=\inf \{d(x,y)|y\in A\}$. Beweisen Sie die folgende Aussage:

(1): Die Abbildung $d_{A}\colon X\rightarrow \mathbb{R}$ ist stetig.

Nun möchte ich zeigen, dass die Abbildung Lipschitz-stetig ist. Ich sehe also, dass $d_{A}(x)\leq d(x,a)\forall a\in A$. Mithilfe der Dreiecksungleichung folgt dann:

$d_{A}(x)\leq d(x,y)+d(y,a)$. Dies gilt auch für alle $a\in A$. Nun habe ich kurz in die Musterlösungen gespickt und dort argumentieren sie jetzt weiter, dass auch $d_{A}(x)\leq d(x,y)+d_{A}(y)$ gilt, da wir $a\in A$ beliebig gewählt haben und somit dies auch für das Infimum gilt.

Dieser Schritt ist mir jedoch eher unklar, da wir doch nur wissen, dass $d_{A}(y)\leq d(y,a)\forall a\in A$ gilt?

Liebe Grüsse und vielen Dank für eure Antworten!😄
\(\endgroup\)
 

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