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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Folgenbeweis richtig?  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-27
Septime
J

Hi,

ich habe in einem Buch diese Aussage gesehen und versucht sie als Lemma auszuschreiben, daher bin ich nicht ganz sicher, ob alle Voraussetzungen stimmen. Im Buch steht, dass wir $x_n\to \infty$ ebenfalls als konvergente Folge ansehen.

Lemma:
Sei $(\epsilon_n)_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Funktionen $\epsilon_n: [0,\infty) \to \mathbb{R}$ mit $\lim_{n\to \infty} \epsilon_n(x_n) =0$ für jede konvergente Folge $x_n \to x \in [0,\infty]$.  Dann gilt $\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in [0,\infty)} \epsilon_n(x)=0$.


Mein Beweis:
Wir beweisen das Lemma mit einem Widerspruchsbeweis. Angenommen, es existiere ein $\delta>0$ und eine Teilfolge $(n_k)$, sodass $\sup_x \epsilon_{n_k}(x)\ge\delta$ ist für alle $k\in \mathbb{N}$. Daraus folgt, dass für jedes $n\in \mathbb{N}$ eine Teilfolge $x_{n_k}\in [0,\infty)$ existiert, sodass $\epsilon_{n_k}(x_{n_k})\ge\delta$ ist für alle $k\in \mathbb{N}$. Die Folge $(x_{n_k})_{k\in \mathbb{N}}$ hat nun eine monotone Teilfolge $(x_{n_{k_l}})_{l\in \mathbb{N}}$, die in $(0,\infty]$ konvergiert, sodass $\lim_{l \to \infty} \epsilon_{n_{k_l}}(x_{n_{k_l}}) \ge \delta$ ist. Das ist aber ein Widerspruch zur Voraussetzung $\lim_{n\to \infty} \epsilon_n(x_n) = 0.$ Also ist $\lim_{n\to \infty} \sup_{x\in [0,\infty)} \epsilon_n(x)=0$ für jede konvergente Folge.

Ich bin ehrlich gesagt nicht sicher, ob eine monotone Teilfolge existiert. Stimmt der Beweis argumentativ und formal?

Lg

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Terme im Integral abschätzen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-13
Septime
 

Hallo,

ich versuche gerade eine Sache aus der Vorlesung zu verstehen, aber irgendwie ist mir das nicht sonderlich klar.

Sei \(0\le K_N < N_{\gamma}\)~\(N\) und \(0<n<N_{\gamma}\). Für \(N\to\infty\) wollen wir zeigen, dass
\[ \int_{0}^{N_{\gamma}} \frac{1}{y}(1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}})(1-y/N_{\gamma})^{n-1}dy \sim log(N_\gamma)\].

Jetzt wird gesagt, dass \(K_n \to \infty\) langsam und wir unterteilen es in 3 Intervalle \([0,K_N],[K_N,N_{\gamma}/logN]\) und \([N\gamma/logN,N\gamma]\). Mit \((1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}}) \to 1\) außerhalb des ersten Intervalls und \((1-y/N_{\gamma})^{n-1} \to 1\) außerhalb des 3ten Intervalls ist das obere

\[O(K_N) + \int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy + O(loglogN)\].

Ich kann zum Beispiel verstehen, dass
\[\int_{K_N}^{N_\gamma/logN} \frac{1}{y}(1-(1-y/N_{\gamma})^{N_{\gamma}})(1-y/N_{\gamma})^{n-1}dy \le \int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy\] ist, weil die beiden Terme nach oben durch 1 abgeschätzt werden können, aber ich verstehe nicht, warum die beiden Integrale das gleiche sein sollen bzw. warum die beiden Terme ignoriert werden können und wir $$\int_{K_N}^{N_{\gamma}/log N} \frac{1}{y}dy$$ schreiben können ohne die Grenzen zu unendlich zu ändern.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Wahrscheinlichkeit ist gleich Grenzwert des Momentes der Zufallsvariablen beim Galton-Watson-Prozess  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-02-16
Septime
 

Alles klar, dann verstehe ich es jetzt. Aber eine Sache die mir noch unklar ist, ist die Tatsache, dass wir {1} als Menge wählen. In der anderen Gleichung macht es für mich Sinn, dass das Intervall $(0,1]$ rauskommt, weil $u<\infty$ ist. Bei uns wurde auch vorausgesetzt, dass $u>0$ ist. Aber ich sehe kein Problem $u\ge0$ vorauszusetzen. Kann man nicht einfach 0 einsetzen, wobei man dann $e^0=1$ erhalten würde?

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Wahrscheinlichkeit ist gleich Grenzwert des Momentes der Zufallsvariablen beim Galton-Watson-Prozess  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-02-16
Septime
 

Danke für die Antwort. Es scheint so, als würde ich das Konzept von Zufallsvariablen und punktweiser Konvergenz noch nicht so ganz verstehen. Für $$W:\Omega\to\Omega', W(x) := \lim_{n\to\infty}Z_n(x)/C_n$$ meint man mit punktweise $$\lim_{u\to\infty}e^{-uW(x)}=\mathbb{1}_{\{1\}}(e^{-W(x)})$$ für alle $x\in \Omega$ und die rechte Seite ist gleich $e^{-W(x)}$ für $x=1$ und 0 sonst, wenn ich es richtig verstehe. Jetzt verstehe ich nicht so recht, warum die rechte Seite rauskommt und nicht einfach 0.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Wahrscheinlichkeit ist gleich Grenzwert des Momentes der Zufallsvariablen beim Galton-Watson-Prozess  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-02-16
Septime
 

Hallo,

mein Prof hat in einem Beweis benutzt, dass

\[P(Y=1) = \lim_{u\to\infty}E(Y^u)\] (Grenzwert von unten) und

\[P(Y>0) = \lim_{u\to 0}E(Y^u)\] (Grenzwert von oben) gilt.

Hierbei sei \(Y=e^{-\lim_{n\to\infty}Z_n/C_n}\), wobei \((C_n)\) eine Folge von Konstanten ist und \((Z_n)\) eine Folge von Zufallsvariablen aus den natürlichen Zahlen ist (hier ist es der Galton-Watson Prozess).

Jetzt weiß ich nicht wie man auf die Gleichungen kommt. Es ist

\[E(Y^u) = \lim_{n\to\infty} E(e^{-uZ_n/C_n})=\lim_{n\to\infty} \sum_{j=0}^{\infty}P(Z_n=j)e^{-uj/C_n}\]
Wenn wir nun u gegen undlich laufen gehen lassen, bekommen wir als Lösung \(\lim_{n\to\infty} P(Z_n=0)\) raus und für u gegen 0 bekommen wir unendlich, was ja nicht sein kann.

Übersehe ich irgendwas ? Für meinen Prof. schien das ziemlich klar zu sein.


Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Relativer Erwartungswert eines Maximum-Likelihood-Schätzers  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2018-04-27
Septime
 

Hallo,

unzwar soll ich approximativ für große fed-Code einblenden den relativen Erwartungswert EN[T]/N berechnen, wobei T=\(\max_{{i=1,...,n}}x_i\) der MLS von der diskreten Gleichverteilung ist. Leider verstehe ich nicht was N[T] bedeuten soll. Soll es N[T] = \(\max_{{i=1,...,N}}x_i\) heißen ? Wenn ja, heißt es, dass EN[T]/N = 0 ist für N gegen unendlich ?

Meine zweite Frage ist, ob die Dichte einer diskreten Gleichverteilung "ohne zurücklegen" P(X)= fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Viele Grüße
Septime

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Eine Funktion g finden, so dass das Integral von f = C * Integral von g  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-26
Septime
J

Super, alles klar ! Vielen Dank ochen, du hast mir sehr weitergeholfen! :)

Gruß Septime

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Eine Funktion g finden, so dass das Integral von f = C * Integral von g  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-25
Septime
J

fed-Code einblenden
Jetzt müsste alles stimmen oder ?

Edit:
Ich habe noch einmal einen anderen Ansatz ausprobiert, kann mir jemand sagen, ob der auch stimmt ?

fed-Code einblenden

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Eine Funktion g finden, so dass das Integral von f = C * Integral von g  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-25
Septime
J

fed-Code einblenden
Welches E nehme ich hier ?

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Eine Funktion g finden, so dass das Integral von f = C * Integral von g  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-24
Septime
J

Hallo ochen,

dann bekomme ich
fed-Code einblenden
und wie gehe ich von hier weiter ? Die Funktion F ist ja im Allgemeinen nicht linear, aber das 1 durch D stört ..

Gruß Septime

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Eine Funktion g finden, so dass das Integral von f = C * Integral von g  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-24
Septime
J

Hallo,

die Aufgabe lautet
fed-Code einblenden

Ich habe probiert
fed-Code einblenden
zu nehmen, aber ich bin mir nicht sicher, ob ich a und b wählen kann und außerdem ist C auch von f abhängig.

Ich habe noch etwas anderes probiert, unzwar
fed-Code einblenden

Ich möchte <math>\phi</math> herausbekommen, indem ich rechte Seite der linken Seite abgleiche, aber ich weiß nicht mehr wie man hier sinnvoll weiterrechnet. Ich bin auch nicht hundertprozentig sicher, ob das zum Gewünschten führt.

Gruß
Septime


Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Stützstellen von Interpolationspolynom bestimmen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-19
Septime
 

2017-02-19 20:56 - ochen in Beitrag No. 5 schreibt:
Jedenfalls ist es ein Polynom vom Grad kleiner/gleich Eins und darf deshalb auch als Interpolationspolynom gewählt werden.
Kann man wirklich einfach ein Interpolationspolynom mit einem Grad von kleiner eins nehmen, wenn nach einem mit Grad 1 gesucht ist ?
Der Fehler wäre dann 1, da <math>|cos(x)| \le 1</math>.

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Stützstellen von Interpolationspolynom bestimmen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-19
Septime
 

2017-02-19 20:20 - viertel in Beitrag No. 3 schreibt:
Die Null-Funktion selbst ist keine lineare Funktion 😮 ?

Ich meine mit der Funktion drehen, dass aus der Null-Funktion zum Beispiel <math>f(x) = 0,1x</math> entsteht.  😉

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Stützstellen von Interpolationspolynom bestimmen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-19
Septime
 

Hallo StefanVogel,

vielen Dank, deine Antwort hat mir sehr beim Verständnis geholfen!

Ich bin mir aber immer noch nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe. Wenn ich die Stützstellen <math>-\pi,0</math> wähle, dann erhalte ich als Interpolationspolynom <math>p(x) = -1 + 2(x+\pi)/\pi </math> und es gilt <math>p(\pi)=3</math>. Und wenn es richtig verstanden habe, dann ist der Fehler <math>\left\lVert f-p\right\rVert=|f(\pi)-p(\pi)|=4
</math> bezüglich der Supremumsnorm. Aber wenn ich zum Beispiel die Konstante Null-Funktion nehme und sie leicht drehe, sodass daraus eine lineare Funktion entsteht, dann ist der Fehler doch kleiner als 2, also insbesondere kleiner als 4 oder ?

Gruß
Septime

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Stützstellen von Interpolationspolynom bestimmen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-18
Septime
 

Hallo,

ich soll zu <math> f(x) = cos x </math> die Stützstellen des Interpolationspolynoms ersten Grades angeben, welches die Funktion auf <math>$[-\pi,\pi]$ </math> bestmöglich in der Supremumsnorm approximiert.

Nun habe ich das Problem, wenn ich zwei Stützstellen "errate", also zum Beispiel <math>-\pi,0</math>, dann habe ich die Funktion nur auf <math>$[-\pi,0]$ </math> approximiert. Wenn ich aber  <math>-\pi,0,\pi</math> wähle, dann ist das Polynom zweiten Grades. Außerdem denke ich, dass die Stellen <math>-\pi,\pi</math> zu ungenau wären. Wie geht man an so etwas heran ?

Außerdem habe ich noch eine zweite Frage. Wenn man z.B die Funktion  <math> f:[0,2\pi] \rightarrow  \mathbb{R} </math> hat und das Interpolationspolynom vierten Grades berechnen muss, muss man dann äquidistante Stützstellen wählen, dh. man kann nur die Stützstellen <math>0,\pi/2,\pi,3\pi/2,2\pi</math> wählen und sonst keine anderen?

Gruß
Septime

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Durchschnittliche Zeit von Ankunftszeiten von einem Poisson-Prozess berechnen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-02-05
Septime
 

Hallo,

fed-Code einblenden

Hier sind meine Versuche:
fed-Code einblenden
Ich freue mich auf jede Antwort.

Gruß Septime



Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Bedingungen für Messbarkeit  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-11-08
Septime
 

Hallo,

fed-Code einblenden

fed-Code einblenden

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Parametrisierung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-12-28
Septime
 

Hallo,

unzwar habe ich eine Frage zu Parametrisierung von Volumen. Ich verstehe nicht so ganz wie man auf die Werte kommt. Bei der Transformation über Kugelkoordinaten kann ich es mir nur über eine Abbildung erklären, mathematisch dagegen nicht. Gibt es für Kugelkoordinaten zum Beispiel einen mathematischen Weg?

Ein zweites Beispiel ist
ein Kegel mit Radius <math>R</math> und Höhe <math>h</math>. Dieser hat die Darstellung
<math>x=r\cos\varphi</math>
<math>y=r\sin\varphi</math>
<math>z=\lambda(1-\frac r R)</math>
mit den Grenzen
<math>0\le r \le R</math>
<math>0\le \varphi \le 2\pi</math>
<math>0\le \lambda \le h</math>.

Da weiß ich überhaupt nicht wie man auf den z Wert kommt. Beim Parametrisieren von Funktionen muss man ja einfach die Funktion nach x umstellen, aber hier gibt es keinen solchen Ansatz (bis auf ein Bild).

Gruß
Septime

Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Satz von Fubini  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-12-15
Septime
 

Hallo,

fed-Code einblenden

Viele Grüße
Septime

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Septime
Verallgemeinerung des Satzes über die monotone Konvergenz  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2015-11-22
Septime
 

Hallo, die Aufgabe ist
fed-Code einblenden

Nun weiß ich ersteinmal die Definition von "nichtfallende" Folge nicht. Lautet sie fed-Code einblenden oder ist das einfach ein anderer Begriff für monoton wachsend?

Wir haben den Satz von Beppo Levi bereits in der Vorlesung bewiesen und wenn die Definition oben so stimmt, kann man doch die eine Richtung aus der Monotonie des Integrals fed-Code einblenden folgern und für die Rückrichtung könnte man den Negativteil der Funktion ersteinmal ignorieren und dann eine Folge einfacher Funktionen bauen, die gegen dieses f konvergieren und kleiner als die fn's sind. Wenn nichtfallend heißt, dass die Funktionen monoton wachsend sind, wissen wir doch, dass das Integral des negativen Teils immer endlich ist und dann ist die rechte Seite definiert und dann folgt doch das Gewünschte oder nicht?

Ich bedanke mich im Voraus.

Gruß Septime


 

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