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Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Loesungsmenge
bester Algorithmus für Minimum einer konvexen Funktion?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-16
Shaqrament
 

Hallo Loesungsmenge,
wenn deine Hesse-Matrix fast singulär ist, würde ich auf deren Verwendung einfach verzichten. Ein einfaches Gradientenverfahren mit Armijo-Schrittweitensuche würde sicherlich konvergieren.

Noch besser würde wohl ein BFGS-Verfahren funktionieren.

Beste Grüße

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dachprodukt
Lipschitz-Stetigkeit  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-14
Shaqrament
J

Hallo noch einmal Dachprodukt,
bei der Ableitung hast du dich leicht verzettelt. Es müsste
<math>f"(x)</math> <math>
= \begin{cases}
- 2 \alpha x & ,~x \geq 0\\
2 \alpha x & ,~ x<0
\end{cases}
</math>
heißen. Vermutlich nur ein Tippfehler. Und ja, hier existiert in der Tat der Limes <math>\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 0</math>. Die Differenzierbarkeit in der <math>0</math> ist aber nicht zu hundert Prozent trivial. Man erhält sie aus der Berechnung des Grenzwerts
<math>
\displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \frac{h \lvert h \rvert}{h} = \displaystyle \lim_{h \rightarrow 0} \lvert h \rvert = 0.
</math>
Auf <math>\mathbb{R} \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> ist die Differenzierbarkeit natürlich sehr wohl trivial.

Beste Grüße

Stetigkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dachprodukt
Lipschitz-Stetigkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-14
Shaqrament
J

Hallo Dachprodukt,
bist du dir sicher, dass <math>f</math> nicht stetig differenzierbar ist? Ich bin da nämlich anderer Meinung.

Beste Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
General Disjunctive Programming  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-01-14
Shaqrament
 

Hallo zusammen,
ich beschäftige mich derzeit mit dem Buch "Optimierung von Versorgungsnetzen" von Schewe und Schmidt. In Kapitel 12.3 bin ich dabei über eine Problemklasse gestoßen, die ich vorher noch nie gesehen habe: "General Disjunctive Programs"
<math>\begin{array}{ll}
\min & \displaystyle \sum_{i \in \mathcal{C}} \gamma_i\\
\text{s.t.} & \displaystyle\bigvee_{i \in \mathcal{C}}
\begin{pmatrix}
z_i \\
c_{\mathcal{E}, i}(x) = 0,\\
c_{\mathcal{I}, i}(x) \geq 0,\\
\gamma_i = f_i(x)
\end{pmatrix} \\
~ & \displaystyle \sum_{i \in \mathcal{C}} z_i = 1
\end{array}</math>
Dabei sind <math>\mathcal{C}</math>, <math>\mathcal{I}</math> und <math>\mathcal{E}</math> endliche Indexmengen. Die <math>c_i</math> und <math>f_i</math> werden nicht näher spezifiziert, sind aber wohl einfache skalarwertige Abbildungen. Leider werden die <math>z_i</math> auch nicht weiter definiert. Ich vermute, dass sie aus <math>\lbrace 0 , 1 \rbrace</math> stammen, bin mir aber nicht sicher. Wäre dem so, dann würden die <math>z_i</math> ja immer nur genau einen Teil der Disjunktion auswählen. Das sähe mir etwas zu einfach aus. Die Literatur, auf der das Kapitel aufbaut, hilft mir leider auch nicht weiter, sondern erschwert das Verständnis vielmehr, da Schewe und Schmidt das Problem vergleichsweise vereinfacht darstellen.
Deshalb meine Frage: Was kann ich mir unter solch einem Problem vorstellen und was sind die <math>z_i</math>? Die Autoren schreiben hierzu nur, dass die <math>z_i</math> den entsprechenden Teil der Disjunktion aktivieren bzw. deaktivieren.

Für Hilfe wäre ich dankbar.
Viele Grüße!

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Beweis Diffeomorphismus  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-30
Shaqrament
J

Richtig. Vielleicht solltest du noch eben das Skalarprodukt in das Integral ziehen, damit man die Argumentation deutlicher sieht, also:
<math>\displaystyle\int_0^1 \langle y-x\vert H_u(sy+(1-s)x)(y-x) \rangle~\text{d}s</math>

Viele Grüße

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Beweis Diffeomorphismus  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-28
Shaqrament
J

Ja, die Surjektivität ist per Definition gegeben. Deine Rechtfertigung der Injektivität ist nur fast korrekt. Du musst mit dem Skalarprodukt argumentieren, weil positive Definitheit darüber definiert ist. Argumentiere also so: Gilt <math>f(x) = f(y)</math>, dann verschwindet das Skalarprodukt <math>\langle x-y \vert f(x) - f(y) \rangle</math>...
Die restliche Argumentation ist im Wesentlichen das, was du schon hast.

Beste Grüße,
Shaqrament

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lanaluise
Beweis Diffeomorphismus  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-27
Shaqrament
J

Hallo lanaluise,
ich denke, du könntest wie folgt anfangen: Schreibe mit dem Fundamentalsatz der Analysis:
<math> \displaystyle f(y) - f(x) = \nabla u(y) - \nabla u(x) = \int^1_0 H_u(sy+(1-s)x)(y-x)~\text{d}s</math>
Damit hast du innerhalb des Integrals auch die Konvexität verwendet. Dann muss die Definition der Injektivität, also, dass aus <math>f(x) = f(y)</math> auch <math>x=y</math> folgt, verifiziert werden.
Und ja, <math>f \in C^1</math> ist trivial.

Beste Grüße

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: MatheDude
Lineare Abbildung aus Erzeugendensystem gewinnen?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Shaqrament
 

Hallo MatheDude,
dein Ansatz ist eigentlich wunderbar. Vielleicht solltest du für beliebige <math>x_1, x_2 \in \mathbb{R}</math> einfach das Gleichungssystem
<math>\begin{pmatrix}
1 & 2 & 4\\
3 & 1 & 7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
a\\b\\c
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
x_1\\x_2
\end{pmatrix}
</math>
lösen. Du wirst feststellen, dass du dann eine Variable (vorzugsweise c) beliebig wählen kannst, da <math>S</math> linear abhängig ist. Damit weißt du, wie <math>a, b</math> und <math>c</math> von <math>x_1</math> und <math>x_2</math> abhängen. Verwende dann die Linearität von <math>\phi</math> und die Tatsache, dass du die Bilder deines Erzeugendensystems kennst.
Beste Grüße

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Shaqrament
 

Okay alles klar. Vielleicht finde ich es ja noch heraus. Ansonsten werde ich wohl über den Sprung hinwegsehen müssen. Falls jemand das Argument kennt, würde ich mich freuen, wenn es hier in diesem Thread hinterlassen würde.

Danke und Gruß

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Shaqrament
 

Hallo zippy,
das ist genau mein Problem. Warum genau darf man dann die Nullmengen ignorieren? Gibt es dafür eine einfache Erklärung? Ist das ein ökonomisches oder mathematisches Argument?

Danke und Gruß,
Shaqrament

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23
Shaqrament
 

Hallo zippy,
danke dir! Das ist eine Hilfe. Damit kann man die hinreichende Optimalitätsbedingung tatsächlich leicht nachrechnen. Spielen dann Nullmengen also überhaupt keine Rolle?

Gruß,
Shaqrament

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-22
Shaqrament
 

Hallo SabineMueller,
vielen Dank schonmal! So weit so gut. Kannst du (oder jemand anderes) mir erklären, warum ich differenzieren muss? Kann ich diese Optimalitätsbedingung irgendwo nachlesen? Außerdem: Wenn der Integrand fast überall verschwindet, warum springt Romer dann direkt zur Behauptung, dass er das überall tut?

Viele Grüße,
Shaqrament

Numerik & Optimierung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Optimierung auf Vektorräumen in der Volkswirtschaftslehre  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-22
Shaqrament
 

Hallo zusammen,
ich versuche gerade das Paper von Paul Romer "Endogenous Technological Change" zu erarbeiten und bin auf Seite 86 über ein Optimierungsproblem gestolpert. In der Hoffnung, dass ihr mir erklären könnt, was dort passiert, wende ich mich an den Planeten.
Wir haben Konstanten <math>\alpha, \beta, H_Y, L > 0</math> und eine integrierbare Abbildung <math>i \mapsto p(i)</math>. Zu lösen ist im Wesentlichen
<math> \max_{x \in C([0, \infty))}\displaystyle \int^{\infty}_0 H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{1 - \alpha - \beta} - p(i)x(i)~\text{d}i</math>, wenn ich alles richtig interpretiert habe. Es soll auch <math>x(i) \geq 0</math> auf <math>[0, \infty)</math> gelten. Romer spart leider sehr am Formalismus und schreibt einfach, dass Differenzieren unter dem Integralzeichen zu
<math>p(i) = (1-\alpha - \beta)H_Y^{\alpha}L^{\beta}x(i)^{-\alpha - \beta}</math>
führt. Nun ist für mich zwar klar, was er getan hat, aber warum ist das mathematisch so korrekt? Wieso darf ich nach <math>x</math> differenzieren beziehungsweise was passiert mit dem Integral (insbesondere auf den Nullmengen)? Leider bin ich weder ein Experte für Ökonomie, noch für Optimierung auf normierten Räumen, weshalb mir auch die Quelle, die Romer selbst verwendet hat, nicht weitergeholfen hat. Kann mir dennoch jemand von euch weiterhelfen?

Beste Grüße!

Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Bildungskind
Messbare Funktionen und Stetigkeit  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-13
Shaqrament
J

Hallo Bildungskind,
ja, das leuchtet ein. Den Ursprung des Denkfehlers hast du richtig geortet :D. Leider fällt mir spontan auch kein Beweis ein. Aber die stetigen Funktionen sind ja gerade diejenigen, die Urbilder offener Mengen als solche erhalten. Vielleicht kann man damit die Kontraposition deiner Aussage zeigen, aber auch das sollte sich schwierig gestalten.
An dieser Stelle ist es vielleicht besser, ich übergebe an den restlichen Matheplanet.
Beste Grüße


Maßtheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Bildungskind
Messbare Funktionen und Stetigkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-13
Shaqrament
J

Hallo Bildungskind,
ich vermute mal, du redest vom Lebesgue-Maß <math>\lambda^1</math>. Dann ist für mich unklar, warum eine Treppenfunktion deine erste Implikation widerlegen sollte. Eine Treppenfunktion hat (so vermute ich lautet deine Definition) höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen. Aber damit wäre sie Lebesgue-fast stetig, denn konstante Funktionen sind stetig und abzählbare Mengen Nullmengen.
Zweitens sieht deine zweite Implikation (zumindest auf den ersten Blick) äquivalent zur ersten aus. Denn bei zweimal "fast überall" reden wir von Vereinigungen von Nullmengen, die wieder Nullmengen sind.

Gruß,
Shaqrament

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Wie zeige ich diese Aussage mit limsup?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-10
Shaqrament
J

Hallo LineareAlgebruh,
vielleicht solltest du einen anderen Weg einschlagen. <math>\limsup</math> ist der größte Häufungspunkt einer Folge. Welches sind die Häufungspunkte von <math>a_n</math>? Warum folgt dann deine Aussage?

Beste Grüße,
Shaqrament

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: xxxyyy
Orthogonale Projektoren  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-10
Shaqrament
J

Völlig richtig, das ist die Definition einer Orthonormalbasis.

Viele Grüße,
Shaqrament

Bilinearformen&Skalarprodukte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: xxxyyy
Orthogonale Projektoren  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-09
Shaqrament
J

Hallo xxxyyy,
die Definition sieht mir falsch aus. <math>\delta_{ij}P_i</math> wäre korrekt. Dies folgt aus
<math>P_iP_j = q_i(q_i^Tq_j)q_j^T = q_i\delta_{ij}q_j^T = \delta_{ij}q_iq_j^T</math>.
Du kannst zum Beispiel den Fall <math>q:=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1)^T</math> betrachten. Hier gibt <math>qq^T</math> nicht die Einheitsmatrix. <math>\lbrace q \rbrace</math> könnte zB durch <math>p:=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,-1)</math> zur Orthonormalbasis ergänzt werden.

Beste Grüße

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Vollständigkeit  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-08
Shaqrament
J

Klingt logisch. Danke dir. Ich glaube, es verstanden zu haben!

Beste Grüße

Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shaqrament
Vollständigkeit  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-07
Shaqrament
J

Und noch einmal an Triceratops: Den Beweis habe ich tatsächlich in einem alten Skript gefunden. Danke noch einmal für den Hinweis!
 

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