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Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Orthogonale und diagonale Matrix, Aufteilung  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22 21:43
Spedex
 

2021-04-22 10:48 - Diophant in Beitrag No. 7 schreibt:
Das ist dein nächster Denkfehler. Wenn man studiert, dann sollte man an sich selbst den Anspruch haben, sich für die Inhalte zu interessieren, die man da so absolviert.
Nun, ich interessiere mich für vielen Themen des Maschinenbaus, aber deswegen muss mich nicht alles interessieren. Es ist vermutlich gar nicht möglich, dass mich alles interessiert. Und selbst in der reinen Mathematik interessieren mich manche Sachen mehr und manche weniger, und man könnte sagen, dass zählt zu "eher weniger". (:

Mit deiner Buch-These, dass ich deutlich schneller fertig wäre, hätte ich ein Buch gelesen, gebe ich dir recht, was nicht unbedingt heißt, dass ich jetzt ein Buch lesen werde...

Liebe Grüße
Spedex

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Vielfaches Zeichen Begriffserklärung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22 11:17
Spedex
J

Ups, da war ich dann schon so auf das gemeinsame Vielfache fokussiert, dass ich nicht mehr an das Logik Symbol dachte.

Vielen Dank.

Liebe Grüße
Spedex

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Vielfaches Zeichen Begriffserklärung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22 11:04
Spedex
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, wenn etwas so geschrieben wird:
\[a=0\vee b=0\] Was heißt das dann ausgesprochen?
Ich weiß, dass das \(\vee\) Zeichen für das kleinste gemeinsame Vielfache steht.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Orthogonale und diagonale Matrix, Aufteilung  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22 09:30
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, ich habe mir jetzt das Kapitel "3.6.2 Diagonalisierung von Matrizen" mehrmals durchgelesen. Es ist bei meiner Ausgabe übrigens auf Seite 548.
Ob ich nun eine Antwort auf die Fragen gefunden habe, hm... weiß ich nicht.
Auf die erste Frage der Antwort c) habe ich geschrieben:
Es gibt genau dann eine Zerlegung \(A=T\cdot D\cdot T^{-1}\) mit \(D\) diagonal, wenn A diagonalisierbar ist. Keine Ahnung, ob das die gesuchte Antwort ist. Bezüglich der Frage, wann die Matrix \(T\) auch orthogonal gewählt werden kann, weiß ich keine Antwort. Allerdings wenn \(D\) diagonal ist und ich \(T=E\) also der Einheitsmatrix wähle, welche mMn auch eine orthogonale Matrix ist, dann ist ja \(A=D\), sprich ich kann \(A\) in \(T\cdot D\cdot T^{-1}\) aufspalten, mit \(T\) als orthogonale Matrix.
Vermutlich wird die gesuchte Antwort eine andere sein.

2021-04-22 02:56 - nzimme10 in Beitrag No. 5 schreibt:
Ich kann deine Sichtweise zwar irgendwo nachvollziehen auf der anderen Seite frage ich mich dann, was du genau erreichen möchtest durch deine Nachfragen. Möchtest du die Inhalte wirklich *verstehen*? Dann hilft in den meisten Fällen auch nur eine intensive Auseinandersetzung mit den Inhalten und das konsultieren von Lehrbüchern.

Möchtest du nur eine schnelle Antwort auf eine Frage? Dann hilft wohl auch oft ein Lehrbuch, gerade wenn die Sätze Standardaussagen sind. Du musst ja nicht das gesamte Buch lesen um eine Antwort auf deine Fragen zu erhalten.

Für mich wirkt das aber irgendwie manchmal ein bisschen wie ein grundlegender Interessenskonflikt und bin mir nicht ganz sicher, was du eigentlich genau erreichen möchtest.
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, ich kann schon verstehen, dass ein Lehrbuch helfen kann, auch für eine schnelle Antwort auf eine Frage, nur müsste ich dann wissen, wo ich suchen soll. Generell hab ich einfach keine erfolgreichen Erfahrungen damit gemacht, liegt sicher an mir. Bezüglich der Frage, ob ich die Inhalte wirklich verstehen möchte: Naja, vor allem nur in dem Maß, sodass ich die Test / die Prüfung bestehe. Die meisten Fragen die ich hier stelle sind bezogen auf eine gewisse Lehrveranstaltung, Mathematik 2 Übung. Dort bekommen wir jede Woche neue Aufgaben. Diese Aufgaben kann man ausarbeiten, wenn man möchte, das wird nicht bewertet. Genau diese Aufgaben poste ich immer hier, oder zumindest einen großen Teil davon. Jede Woche gibt es einen Test bezüglich diesem Stoffgebiet, zweimal im Semester gibt es größere Tests zu den letzten fünf Kapiteln. Simultan läuft Mathematik 2 Vorlesung, mit einer klassischen Prüfung am Ende. Ab und zu poste ich auch Altprüfungs-Fragen hier. Wie auch immer.

Bezüglich d) hatte ich mir ein allgemeines Schema überlegt, welches leider nicht funktioniert hat. Ich habe gesagt:
\[T=\bpm a && b && c \\ d && e && f \\ g && h && i \epm\] \[T^{-1}=T^T=\bpm a && d && g \\ b && e && h \\ c && f && i \epm\] \[T^T\cdot A\cdot T=\dots\]
Hier muss ich noch dazusagen:
\[A=\bpm 1 && 0 && 3 \\ 0 && 1 && 0 \\ 3 && 0 && 1 \epm \]
Auf jeden Fall kommt man dann auf eine Matrix bei \(\dots\), welche ziemlich komplizierte Einträge hat, als Gleichungen. Dort habe ich dann \(a=b=c=1\) gewählt und \(d=e=f=g=h=i=0\), wenn man das aber dann nachrechnet kommt man auf eine Matrix, welche nur aus 1en besteht...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Orthogonale und diagonale Matrix, Aufteilung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-21 23:04
Spedex
 

Ok, also kurz zu dieser Lehrbuch Thematik: Ich geht sich zeitlich einfach nicht aus, ein Buch darüber zu lesen. Ich kann verstehen, wenn man das nicht nachvollziehen kann. Sicher sieht es durch die Posts auf dem Matheplaneten so aus, als würde ich mich nur mit Mathematik beschäftigen, vorwiegend mache ich das auch, doch es ist eben nicht nur Mathematik. Ich habe wirklich viel Zeug zu tun im Studium, da zählt Mathematik natürlich dazu, aber es ist eben nicht nur Mathe. Vor allem aber weiß ich, dass ich in wenigen Wochen sowieso wieder ein neues Thema haben werde, dann ist das Lesen eines Lehrbuchs sozusagen keine sinnvolle Investition, hört sich komisch an, ich weiß, aber es ist so. Don't get me wrong: Ich bin sehr sehr dankbar über die Hilfe und Ratschläge in diesem Forum.

Nun wieder zum Thema. Ich habe das Buch (digital) herausgekramt, und das Kapitel "3.3.4.6 Orthogonale Matrizen" gelesen, ich weiß nicht, was du mit "erschöpfend behandelt" meinst, aber solltest du damit "ausgiebig" meinen, kann ich dem glaube ich nicht zustimmen, es sind ja auch nur 3 Seiten. Ich habe mir wie gesagt alles durchgelesen, allerdings nicht die Antwort auf die Frage gefunden. Natürlich muss die nicht in direkter Weise dastehen, aber auch indirekt habe ich nichts gefunden. Ich kenne "viele" allgemeine Eigenschaften der orthogonalen Matrix, allerdings keine, welche mir für dieses Problem hilft. Glaube ich zumindest...

Liebe Grüße
Spedex

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.22 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 23:59
Spedex
 

Gut, vielen Dank.

Liebe Grüße
Spedex

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 23:39
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Also, wenn ich mir \(S'x=x'\) anschaue, so bleiben die ersten beiden Koordinaten gleich, die dritte wird negiert.
Es wird die Abbildungsmatrix in der Basis der Eigenvektoren gesucht. S ist allerdings die Abbildungsmatrix in der Einheitsbasis.
Sprich es gilt: \(S'=B^{-1}\cdot S\cdot B\).
Sehe ich das richtig?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 22:52
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-20 22:42 - Diophant in Beitrag No. 17 schreibt:
Hallo Spedex,

du solltest nicht immer alles wortwörtlich nehmen, sondern über den Sinn der Hinweise nachdenken: die Matrix \(S'\) aus dem anderen Thread ist die gesuchte Matrix (oder zumindest eine von drei möglichen Matrizen).

Siehst du ein, weshalb?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, also ich suche hier in c) nicht S sondern S'?
Sprich ich suche:
\[\bpm 1 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && -1 \epm\]
Wieso, wüsste ich nicht...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Orthogonale und diagonale Matrix, Aufteilung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 22:27
Spedex
 

Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Es geht um c).
Ich habe schon hier geschaut: https://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#Inverse
Jedoch habe ich da nichts gefunden.

Ich hab leider überhaupt keinen Denkansatz oder sowas, habt ihr da einen Tipp?

Liebe Grüße
Spedex

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 21:55
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Nun, für die Aufgabe a) und für die Aufgabe b) muss man ja gar nicht wissen, wie genau die Matrix S ausschaut.
Sprich ich vermute bei c) muss man einfach die Matrix S berechnen, was wir ja schon getan haben, oder nicht?
Diese Formulierung:
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-20 18:59 - Diophant in Beitrag No. 14 schreibt:
Hallo Spedex,

du könntest in dem alten Thread einmal ein wenig über die Bedeutung der Matrix \(S'\) nachgrübeln...
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hört sich nämlich so an, als wäre das nicht der Fall.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 18:58
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
2021-04-20 18:40 - nzimme10 in Beitrag No. 12 schreibt:
Naja, sei $B$ eine Basis und $E$ eine Basis aus Eigenvektoren. Dann brauchst du zunächst mal die Matrix bezüglich der Basis $B$. Da kannst du ja einfach die gegebene Matrix bezüglich der kanonischen Basis wählen. Nun gilt
$$ \mathcal M_E^E(S)=\mathcal M_E^B(\operatorname{id})\mathcal M_B^B(S)\mathcal M_B^E(\operatorname{id}).
$$
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)

Diese Symbole habe ich noch nie in meinem Leben gesehen, geschweige denn kenne ich ihre Bedeutung. :)

Im alten Thread steht ja \(S=T\cdot S'\cdot T^{-1}\). Ich kenne ja bereits \(S,T,S',T^{-1}\) bzw. hier würde ich es schreiben als \(S,B,S',B^{-1}\). Was genau such ich jetzt?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 18:37
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok. Gut.

Bezüglich c).
Hier wird von einer Basis der Eigenvektoren gesprochen. Wir haben ja festgestellt, dass es unendlich viele Eigenvektoren gibt.
Kann ich beispielsweise folgende Basis wählen?
\[B=\big{\{}  \bpm 1\\0\\-1 \epm, \bpm 0\\1\\2 \epm \bpm 1\\-2\\1 \epm \big{\}}\]
Wie gebe ich dann die Matrixdarstellung an?
Ich weiß ja, dass \(S\cdot B=B'\)
B' ist die Matrix der gespiegelten Vektoren.

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 18:25
Spedex
 

2021-04-20 17:49 - Diophant in Beitrag No. 6 schreibt:
Es muss also einen Eigenwert 1 geben, und dieser besitzt ganz offensichtlich die geometrische Vielfachhait 2 (warum?)
Woher erkennst du das offensichtlich sofort? Ich habe das über die Matrix gemacht, sehe, dass dort zwei Nullzeilen vorkommen, also ist die geometrische Vielfachheit gleich 2. Die algebraische Vielfachheit muss auch 2 sein, da die Matrix diagonalisierbar ist.

Liebe Grüße
Spedex

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 17:33
Spedex
 

Ok, wenn ein Vektor in der Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert 1, wenn ein Vektor normal zur Ebene liegt, hat dieser den Eigenwert -1. Aus der Polynomgleichung dritten Grades weiß ich ja, dass es maximal drei unterschiedliche Eigenwerte geben kann. Woher weiß ich denn nun, dass ich bereits alle Eigenwert gefunden habe, wenn ich die Polynomgleichung dritten Grades nicht lösen möchte? Bzw. habe ich bereits alle Eigenwert gefunden. Was ist mit Vektoren, welche irgendwie im "Raum" liegen, also nicht exakt normal zur Ebene oder in der Ebene, um welche gespiegelt wird, welchen Eigenwert hätte die?
Gibt es unendlich viele Eigenvektoren?

Liebe Grüße
Spedex

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenvektor und Eigenwerte bei Matrix mit Abbildungen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-20 16:56
Spedex
 
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hallo, folgende Aufgabenstellung:

Diese Aufgabe, auf die hier Bezug genommen wird, habe ich schonmal hier gepostet, auf jeden Fall ist Matrix S folgende:
\[S=\bpm \frac{2}{3}&\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& -\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\ -\frac{1}{3}&\frac{2}{3}&\frac{2}{3}\epm\] Ich würde gerne die Eigenwerte mittels charakteristischem Polynom finden.
Das charakteristische Polynom schaut bei mir wie folgt aus:
\[\(\frac{2}{3}-\lambda\) \cdot \( -\frac{1}{3} - \lambda \) \( \frac{2}{3}
- \lambda \) - \( \frac{2}{3} -\lambda \) - \frac{8}{27} = 0\]
Nun ist es also wieder eine Sache des Faktorisierens vermute ich mal, Problem jedoch ist, dass ich da echt keine Ahnung habe wie ich vorgehen soll.
Ich kann es zum Beispiel so schreiben:
\[\( \frac{2}{3} -\lambda\) \cdot \( \lambda^2 -\frac{\lambda}{3} - \frac{11}{9}\) -\frac{8}{27} = 0\]
Nur da springt mir dann auch nichts ins Auge...
Habt ihr da eine Idee?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenwert und Eigenvektor Matrix  
Beitrag No.22 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-19 20:59
Spedex
J

Sehr gut, dann vielen Dank für die Hilfe!

Liebe Grüße
Spedex

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenwert und Eigenvektor Matrix  
Beitrag No.20 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-19 20:41
Spedex
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ich komme dann auf folgenden Eigenvektor:
\[\vec{x}=t\cdot \bpm 1 \\ 0 \\ 1 \epm + s\cdot \bpm 1 \\ 1 \\ 0 \epm\]
Kann das stimmen?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenwert und Eigenvektor Matrix  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-19 19:38
Spedex
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Ok, da "siehst" du etwas deutlich leichter als ich, wie auch immer.

Wenn ich in die Matrix für \(\lambda=3\) einsetze komme ich auf:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \epm\] Sprich daraus kann man machen:
\[\bpm 1 && -1 && -1 \\ 0 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 0 \epm\]
Die geometrische Vielfachheit ist also meiner Meinung nach gleich 2.
Allerdings habe ich jetzt ein Problem beim Parametrisieren.
Ich sage \(z=t\), es gilt:
\[x-y-t=0\] Da kann ich jetzt aber nicht x und y beschreiben...

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenwert und Eigenvektor Matrix  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-19 19:26
Spedex
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
Hm, also das Faktorisieren kann ich natürlich mit dem CAS machen, aber würde es auch gern mal händisch probieren, da ja bei den Test auch kein CAS zugelassen ist, oder ähnliches.

Händisch bin ich jedoch echt schlecht im Faktorisieren...
Gibt es da einen Trick bezüglich dem Faktorisieren, was wäre eine geeignete Vorgehensweise?
Fairerweise könnte man hier sagen, dass man durch einmaliges Ausmultiplizieren sehen könnte, dass man \(-x^3+9x^2-27x+27\) faktorisieren kann als \(-1\cdot (3-x)^3\).

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)

Eigenwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Spedex
Eigenwert und Eigenvektor Matrix  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-19 18:54
Spedex
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)
\(\endgroup\)
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\)2021-04-19 18:41 - Diophant in Beitrag No. 10 schreibt:
Hallo Spedex,

du musst unbedingt diese Begriffe ersteinmal recherchieren (und verstehen). Die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts im Fall der Matrix B ist bspw. 1, nicht 0.

Und die Matrix C besitzt (einmal angenommen, der zugrundeligende Körper ist \(\IR\)) unendlich viele Eigenvektoren zum Eigenwert Null, nicht zwei. Aber die geometrische Vielfachheit ist 2, das ist richtig.

Warum?

Was sagt dir der Begriff des Eigenraums?


Gruß, Diophant
\(\endgroup\)\(\begingroup\)\(\newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\(}{\left(} \newcommand{\)}{\right)} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \)

Ok, bei der geometrischen Vielfachheit von der Matrix B habe ich mich verschrieben. Da habe ich gedanklich schon an die NULLzeile gedacht, daher kam das. Das mit den unendlich vielen Eigenvektoren ergibt natürlich Sinn, weil man den Vektor durch Multiplikation mit einer Matrix die nur aus Nullen besteht nicht in seiner Richtung verändern kann.

Eigenraum sagt mir etwas, aber nicht viel.

Bezüglich der Matrix E, wieder mal ein Nullstellenproblem:
Es ergibt sich folgende Gleichung für das charakteristische Polynom:
\[(4-\lambda)\cdot (2-\lambda)\cdot (3-\lambda) +3-\lambda =0\] Da ist offensichtlich 3 eine Nullstelle, aber tatsächlich ist es die einzige Nullstelle, woher weiß ich das?
Oder anders gefragt: Wie kann ich alle Nullstellen ermitteln (um dann draufzukommen, dass 3 die einzige Nullstelle ist)?

Liebe Grüße
Spedex
\(\endgroup\)
 

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