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Atom-, Kern-, Quantenphysik
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Thema eröffnet von: Thomas1990
Beweis, dass Wellenfunktion die Schrödingergleichung erfüllt  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-05-06 08:49
Thomas1990
 

Moin, ich habe folgende Wellenfunktion der Form gegeben
\(
\psi(\vec{r}, t)=\frac{A}{r} e^{i(k r-\omega t)}, \quad r=|\vec{r}| .
\)
Hierbei sind \( k \) und \( \omega \) reelle Konstanten, während die Konstante \( A \) komplex sein kann.
(a) Zeigen Sie, dass diese Wellenfunktion \( \psi \) die freie Schrödingergleichung erfüllt, wenn \( k \) und \( \omega \) durch die Dispersionsrelation verknüpft sind.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte \( \rho(\vec{r}, t) \) und den Strom \( \vec{j}(\vec{r}, t) . \) Bestimmen Sie \( A \) so, dass die Normierungsbedingung

\( \int \limits_{\mathbb{R}^{3}}|\psi(\vec{r}, t)|^{2} d^{3} \vec{r}=1 \)

erfüllt ist. Hinweis: Laplace- und Gradient-Operator in Kugelkoordinaten können als bekannt vorausgesetzt werden.

Hat jemand einer Vorstellung, wie ich das zeige?

Physik
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Thema eröffnet von: Thomas1990
Mit Hamiltonschen Gleichungen rechnen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-22 10:46
Thomas1990
 

In der klassischen Mechanik wird einem Teilchen der Masse \( m \), das sich nur entlang der \( x \) -Achse bewegt und das sich in einem Potential \( V(x) \) befindet, die Lagrangefunktion
\(
L(x, \dot{x})=\frac{m}{2} \dot{x}^{2}-V(x)
\)
zugeordnet. Wir betrachten hier das Potential des harmonischen Oszillators, \( V(x)=\frac{k}{2} x^{2} \) mit einer positiven Konstanten \( k \).
(a) Geben Sie den zur Koordinate \( x \) kanonisch konjugierten Impuls \( p \) und die Hamiltonfunktion \( H(x, p) \) an. Integrieren Sie die Hamiltonschen Gleichungen. Die Lösung \( x(t), p(t) \) muss zwei freie Konstanten enthalten.
(b) Bestimmen Sie die durch die Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Bedingung
\(
\frac{1}{2 \pi} \oint p d x=n \hbar, \quad n \in \mathbb{N}
\)
erlaubten Energiewerte \( E_{n} \), ausgedrückt durch die Eigenfrequenz \( \omega=\sqrt{k / m} \) des Oszillators.

Dabei bezeichnet q eine generalisierte Koordinate – im vorliegenden Fall zweckmäßigerweise einen Winkel – und p den zugehörigen kanonisch konjugierten Impuls. Man muss also den Hamiltonformalismus verwenden, den wir hier und im Folgenden als bekannt voraussetzen. Die sogenannte Bohr-(Wilson-)Sommerfeld-Quantisierungsregel kann ja nicht nur auf die Bewegung im 1/r-Potential angewendet werden, sondern auch auf andere Bewegungsprobleme, die eine Hamiltonsche Formulierung zulassen und periodische Lösungen besitzen, also zum Beispiel auf den harmonischen Oszillator. Kann mir jemand sagen, wie man anhand dessen dann diese Koordinate in a) bestimmt sowie diese Energiewerte in b)

Danke!


Mathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Mantelfläche des Kreiszylinders  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-04
Thomas1990
 

Vielen Dank!

Mathematik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Mantelfläche des Kreiszylinders  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-21
Thomas1990
 

Wie lässt sich die Mantelfläche eines Kreiszylinders mit Hilfe eines Oberflächenintegrals
lösen?

Physik
Ausbildung 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Euler-Lagrange-Gleichung, Vergleich der Lorentzkraft  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-10
Thomas1990
 


Aufgabe:
Für einen Massenpunkt der Masse \( m \) lautet die Lagrangefunktion in kartesischen Koordinaten \( \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \)
\(
L\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dot{x}_{1}, \dot{x}_{2}, \dot{x}_{3}\right)=\frac{m}{2} \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i}^{2}+q \sum \limits_{i=1}^{3} \dot{x}_{i} A_{i}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)
\)
mit einer Konstanten \( q \) und einem Vektorfeld \( \vec{A}=\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}\right) \)

(a) Schreiben Sie die Euler-Lagrange-Gleichungen aus. Vergleichen Sie mit der Lorentzkraft \( \vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B}, \) die auf ein Teilchen mit elektrischer Ladung \( q \) in einem Magnetfeld \( \vec{B} \) wirkt.

(b) Bestimmen Sie die zu den \( x_{i} \) kanonisch konjugierten Impulse \( p_{i} \) und die Hamilton-
\(
\text { funktion } H\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, p_{1}, p_{2}, p_{3}\right) \text { . }
\)

Zu dieser Aufgabe habe ich ein Kapitel zu Poissonklammern und kanonischen Transformationen durchgearbeitet, was hier vielleicht hilfreich wäre.  Im Hamiltonformalismus führt man ja als mathematisches Hilfsmittel die Poissonklammern ein. Dabei handelt es sich um eine Abbildung, die zwei Funktionen auf dem Phasenraum wieder auf eine Funktion auf dem Phasenraum abbildet. Die Funktionen dürfen auch explizit von der Zeit abhängen. Leider kann ich daraus nicht ganz folgern, wie man daraus die kanonisch konjugierten Impulse bestimmt.

Ich wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!

Mechanik
Beruf 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Kräftefreier Kreisel, Diskussion für raumfesten Systemen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-29
Thomas1990
 

Ja hatte da probleme mit der euler gleichung, aber danke für die Hilfestellung, ich versuch es ab da mal!

Mechanik
Beruf 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Kräftefreier Kreisel, Diskussion für raumfesten Systemen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-28
Thomas1990
 

Aufgabe:

Für einen kräftefreien Kreisel \( \left(\vec{F}_{A}^{e}=\overrightarrow{0}\right) \) kann man den Schwerpunkt als Ursprung für das raumfeste und das körperfeste System wählen. Bestimmen Sie \( \vec{\omega}^{\prime}(t) \) durch Integration der Euler-Gleichung für einen kräftefreien Kreisel, der symmetrisch ist \( \left(\Theta_{1}^{\prime}=\Theta_{2}^{\prime} \neq \Theta_{3}^{\prime}\right), \) mit Anfangsbedingungen \( \omega_{1}^{\prime}(0), \omega_{2}^{\prime}(0)=0, \omega_{3}^{\prime}(0) . \) Diskutieren Sie,
wie sich der starre Körper im raumfesten System bewegt.


Ich habe als Ansatz, dass bei der Integration der Euler-Gleichung es zweckmäßig ist, erst die Gleichung für \( \omega_{3}^{\prime} \) zu integrieren und für die Integration der anderen beiden Komponentengleichungen die Größe \( \omega_{0}:=\omega_{3}^{\prime}\left(\Theta_{3}^{\prime}-\Theta_{1}^{\prime}\right) / \Theta_{1}^{\prime} \) einzuführen. Hat einer eine Idee, wie man das ab da fortführt?

Dynamik der Punktmassensysteme
Beruf 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Zweikörperprobleme, zwei Oszillatoren?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-18
Thomas1990
J

Moin Spock,

danke, dass ich hier willkommen bin! Ja hat sich schon erledigt, habe das mit den DGL dann ausgeführt. Danke!

Dynamik der Punktmassensysteme
Beruf 
Thema eröffnet von: Thomas1990
Zweikörperprobleme, zwei Oszillatoren?  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-14
Thomas1990
J

Guten Tag, ich beschäftige mich zurzeit mit der Aufgabe für Zweikörperprobleme:
Es geht um zwei gleichgroße Massen \( m_{1}=m_{2}=m \) , die wie in der Abbildung dargestellt werden
durch Federn miteinander verbunden. Die Federkonstante der mittleren Feder sei \( k^{\prime} \), die
der beiden anderen \( k \). Außer den Rückstellkräften der Federn sollen keine Kräfte wirken.
Wir betrachten kleine Auslenkungen aus der Ruhelage, so dass das Hookesche Gesetz gilt.
Die Ortsvektoren der Massen seien \( \vec{r}_{1}(t)=\left(x_{10}+x_{1}(t)\right) \vec{e} \) und \( \vec{r}_{2}(t)=\left(x_{20}+x_{2}(t)\right) \vec{e}, \)
wobei \( x_{10} \) bzw. \( x_{20} \) jeweils die Position in der Ruhelage bezeichnet.

Hier werden mir zwei Aufgaben genannt, die mir etwas Kopfschmerzen machen. Bei der ersten kann ich einigermaßen erahnen wie man die Bewegungsgleichung aufstellt:
(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichungen für die beiden Massen als Differentialgleichun-
gen für \( x_{1} \) und \( x_{2} \) auf.
(b) Integrieren Sie diese Gleichungen mit den Anfangsbedingungen \( x_{1}(0)=0, x_{2}(0)=\ell \),
\(
\dot{x}_{1}(0)=0, \dot{x}_{2}(0)=0 \text { . Geben Sie an, wie sich der Schwerpunkt bewegt. }
\)




Mein Ansatz wäre, dass man hier die Summe und die Differenz der beiden Bewegungsgleichungen betrachtet. Es handelt sich hierbei ja um gekoppelte Oszillatoren, ich denke man muss hier zu Anfang die spezielle Lösung  suchen der Form \( x_{1}(t)=\alpha_{1} e^{i \omega t}, \quad x_{2}(t)=\alpha_{2} e^{i \omega t} \), d. h. spezielle Schwingungen, bei denen beide Massenpunkte mit demselben zeitlichen Verhalten schwingen. Könnt ihr mir erklären, wie man ab da die bewegungsgleichung der DGL aufstellt?
Beim Integrieren weiß ich leider nicht, wie man das anhand der oben angeführten Anfangsbedingungen ausführt, hat jemand da eine Idee ???
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