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Strukturen und Algebra  | |
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Ja, aber da bin ich mir jetzt auch unsicher, ob da die Formel für die Spur gilt.
Was hast du denn bisher beim Hinweis probiert?\(\endgroup\)
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Strukturen und Algebra | |
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Die Formel für die Spur gilt für jede endliche separable Erweiterung. Und $\overline{B}/k$ ist separabel, weil $k$ vollkommen ist.\(\endgroup\)
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Topologie | |
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Topologie | |
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2018-06-14 14:12 - Caddarina in Beitrag No. 2 schreibt:
Muss also dann h ein Isomorphsimus sein, f ein Monomorphismus und g ein Epimorphismus, damit h eindeutig und h=gof ist?
Nein.
(Daraus wird ersichtlich, dass dein Verständnisproblem nicht bei kommutativen Diagrammen liegt.)
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Kategorientheorie | |
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Aus den Gleichungen folgt die Exaktheit.\(\endgroup\)
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Stetigkeit | |
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2018-06-11 22:05 - StrgAltEntf in Beitrag No. 1 schreibt:
Wenn in der Aufgabe "stetig" statt "gleichmäßig stetig" gestanden hätte, wäre die Aufgabe tatsächlich trivial. Denn Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft.
Das "lokal" bezieht sich auf offene Überdeckungen. Hier geht es aber um abgeschlossene Intervalle. Bei den Randpunkten muss dann aufgepasst werden.\(\endgroup\)
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Matrizenrechnung | |
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Die Aufgabe besteht nicht darin, konkrete Matrizen zu finden, welche die Voraussetzungen erfüllen (was ohnehin trivial ist, man kann $A=B=0$ nehmen). Lies dir bitte die Aufgabenstellung noch einmal durch.
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Kategorientheorie | |
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Eine Folge $0 \to X \xrightarrow{i} M \xrightarrow{p} Y \to 0$ zerfällt genau dann, wenn es Morphismen $q : M \to X$ und $j : Y \to M$ gibt, welche die Gleichungen
$qi = id$
$pj = id$
$pi = 0$
$qj = 0$
$iq + jp = id$
erfüllen. Diese Gleichungen werden von additiven Funktoren erhalten.
Das ganze gilt nicht nur für Modulkategorien, sondern für beliebige additive Kategorien.\(\endgroup\)
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Matrizenrechnung | |
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So ist es gemeint: beliebige Matrizen, welche die Voraussetzungen erfüllen.
Ist das dein erster Beweis?\(\endgroup\)
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Matrizenrechnung | |
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Mit irgendwelchen. Du kannst $(A+B)^3$ einfach ausrechnen. Benutze den binomischen Lehrsatz dazu. Dieser ist anwendbar, weil $A,B$ kommutieren.
Es geht auch nicht um Matrizen, die Aussage gilt in jedem Ring. Es muss kein Matrixring sein.\(\endgroup\)
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Analysis | |
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Du begründest $\overline{Lin\{x\}} = \{ \lambda x : \lambda \in \overline{\mathbb{K}} \}$ nicht. (Und falls du mit $\overline{\mathbb{K}}$ den Abschluss von $\mathbb{K}$ meinst, in welchem Raum wird der Abschluss gebildet?)
Du kannst übrigens direkt zeigen, dass jeder $1$-dimensionale Unterraum von $X$ (als normierter Raum) zu $\IK$ isomorph ist (es reicht nicht, zu zeigen, dass die Isomorphie als Vektorräume besteht!). Also ist er vollständig, etc.\(\endgroup\)
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Mengentheoretische Topologie | |
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Zunächst sollte klar sein, dass $pr$ bez. der Quotiententopologie stetig ist.
Nun sei $\tau$ eine beliebige Topologie, bez. der $pr$ stetig ist. Das bedeutet per Definition ...
Zu zeigen ist, dass $\tau$ gröber ist als die Quotiententopologie, das bedeutet per Definition ...
Fülle diesen Lückentext aus, dann ist der Beweis fertig. Siehe auch: article.php?sid=1805\(\endgroup\)
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Analysis | |
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Tipp: Jede Permutation ist eine Verkettung aus Nachbartranspositionen, also solchen der Form $(i ~ i{+}1)$.\(\endgroup\)
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Analysis | |
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Die Begründung im Startpost ist unzureichend.\(\endgroup\)
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Mengentheoretische Topologie | |
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Hier fehlen Informationen. Vermutlich ist eine Äquivalenzrelation auf einem Raum $X$ gegeben, und $[X]$ meint den Raum der Äquivalenzklassen? Die Quotiententopologie bezieht sich also auf $[X]$, nicht auf $X$? Und die habt ihr vermutlich so definiert, dass eine Menge offen ist, wenn es ihr Urbild ist?
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.3 begonnen.]\(\endgroup\)
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Topologie | |
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Ihr habt zwar vereinbart, dass $f^*$ die zu $f$ adjungierte Abbildung ist, aber man sagt genauso, dass $f$ die zu $f^*$ adjungierte Abbildung ist.
Die zu $g$ adjungierte Abbildung hat also die Form $Y \times X \to Y$. Welche das ist, weißt du vermutlich.\(\endgroup\)
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Lineare Abbildungen | |
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Diese Schreibweise der Vektormultiplikation ist nur sinnvoll, wenn du $\IR^{2 \times 2}$ mit $\IR^4$ identifizierst.
Ganz allgemein permutiert die Transponierung $f : K^{n \times n} \to K^{n \times n}$ die Standardbasis $(E_{ij})_{1 \leq i,j \leq n}$: Es gilt $f(E_{ij}) = E_{ji}$. Die zugehörige Matrix ist also eine Permutationsmatrix. Für $n=2$ sieht sie z.B. so aus, wenn man die Anordnung $(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)$ wählt:
$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$\(\endgroup\)
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Strukturen und Algebra | |
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Ja, schau mal in das Algebra-Buch von Bosch. Das ist dort der erste Satz (von Artin) im Kapitel zur Galoistheorie.\(\endgroup\)
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Strukturen und Algebra | |
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Ok, also liegt ein offenes Unterschema vor. Auch hier hat die Aussage nichts mit Aufblasungen zu tun, und ich rate, sie entsprechend allgemein zu formulieren und zu beweisen. Also für jeden Morphismus $f: X' \to X$ und jedes offene Unterschema $U \subseteq X$ gilt $f^{-1}(U) = X' \times_X U$. (Es muss $U$ auch nicht affin sein.) Der einfachste Beweis sieht so aus, dass man einfach zeigt, dass das offene Unterschema $f^{-1}(U) \subseteq X'$ zusammen mit den Morphismen $f^{-1}(U) \hookrightarrow X'$ und $f^{-1}(U) \to U$ (von $f$ induziert) die universelle Eigenschaft des Faserproduktes $X' \times_X U$ erfüllt. (Das kann man sogar zeigen, ohne überhaupt von der allgemeinen Existenz von Faserprodukten von Schemata zu wissen, und ist eigentlich sogar die erste Hilfsaussage, um die Existenz zu zeigen.)
Den von dir genannten Satz kann man nicht anwenden, weil in deiner Situation $X' \to X$ keine offene Immersion ist.\(\endgroup\)
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Strukturen und Algebra | |
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Hast du es schon mit der üblichen Formel $\mathrm{tr}_{L/K} = \sum_{\sigma \in \mathrm{Hom}_K(L,\overline{L})} \sigma$ probiert?\(\endgroup\)
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