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Topologie  | |
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Mengenlehre | |
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Mit Fundamenten der Mathematik hat das hier meiner Ansicht nach nichts zu tun. Auch musst du nicht mit mengentheoretischem Denken aufhören. Was aber hilft, ist parallel auch kategorientheoretisch zu denken.
Sei $K$ ein Körper; oder irgendein Ring, wobei wir dann also von Moduln anstelle von Vektorräumen sprechen. Ich bezeichne mit $U(V)$ die Trägermenge eines $K$-Vektorraumes $V$ (oftmals mit $V$ "abgekürzt", siehe dazu auch  Vergissfunktoren sollten nicht vergessen werden). Eine Basis von $V$ ist eine Abbildung $i : B \to U(V)$ derart, dass es für jeden $K$-Vektorraum $W$ und jede Abbildung $f : B \to U(W)$ genau eine lineare Abbildung $\overline{f} : V \to W$ gibt mit $U(\overline{f}) \circ i = f$. Äquivalent dazu ist, dass $i$ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist; die üblichen Definitionen dieser Begriffe kann man problemlos von Teilmengen auf Abbildungen "verallgemeinern" (siehe auch meine Antwort in deinem vorigen Thread Falsche Definition von Körpererweiterung), wobei die Abbildungen hier nicht einmal injektiv sein müssen. Für Erzeugendensysteme von Gruppen wird das im Artikel Konzepte der Gruppentheorie 2 auch explizit gemacht. Eigentlich ist das auch nichts Besonderes, wenn man bedenkt, dass Abbildungen nichts anderes als Familien sind und die Familien-Definitionen für Basis usw. bekannt sind.
Für jede Menge $B$ gibt es nun einen Vektorraum $V$ mit einer Basis $i : B \to U(V)$. Zum Beispiel kann man die direkte Summe $V := \bigoplus_{b \in B} K$ mit der Basis $i : B \to U(V)$, $i(b)(c) :=\delta_{b,c}$ nehmen. |
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Gruppen | |
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Hier noch eine ganze Klasse von Beispielen: Sei $M$ ein Monoid mit einem idempotenten Element $e \in M$. Dann ist $eMe$ ein Monoid mit der Multiplikation von $M$ und dem neutralem Element $e$. Die Inklusion $eMe \to M$ ist also multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (sofern $e \neq 1$).
Und tactacs Beispiel lässt sich so verallgemeinern: Seien $M,N$ Monoide, und $0 \in N$ sei ein absorbierendes Element. Dann ist $M \to N$, $m \mapsto 0$ multiplikativ, erhält aber nicht das neutrale Element (außer wenn $N= \{0\}$). |
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Körper und Galois-Theorie | |
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Ich stimme _Red absolut zu. Eine Körpererweiterung von $K$ sollte als ein Homomorphismus von Körpern $K \hookrightarrow L$ definiert werden.
Aber es liegt schon daran, dass auch die übliche Definition einer Teilmenge nicht sinnvoll ist und oftmals durch injektive Abbildungen (Monomorphismen) ersetzt werden sollte. Wir schreiben zum Beispiel $\mathbb{N} \subseteq \mathbb{Z}$, auch wenn das aus der üblichen Konstruktion von $\mathbb{Z}$ (Äquivalenzklassen geordneter Paare natürlicher Zahlen) gar nicht hervorgeht. Das übliche Spiel mit den Identifikationen oder gar mit geschickter Komplementbildung (völlig fehl am Platz meiner Ansicht nach) ist aber überflüssig. Wichtig ist vor allem, dass man eine injektive Abbildung
$i : \mathbb{N} \hookrightarrow \mathbb{Z}$
hat (die zudem eine universelle Eigenschaft aufweist). Weil man die aber nicht immer hinschreiben will, unterschlägt man sie in der Notation.
Ich habe zu diesem Thema übrigens auf dem Matheplaneten bereits sehr viele Beiträge geschrieben (und vielleicht sollte ich die alten Threads einmal heraussuchen, bevor ich mich wiederhole), und ebenfalls ausführlich in Abschnitt 6.7 (ab Definition 6.7.15) in meinem Buch Einführung in die Kategorientheorie.
Es ist letztlich ein Feature von strukturellen Mengenlehren wie ZFC, dass wir eine Teilmengenrelation zwischen zwei beliebigen Mengen haben können. Wir würden damit sagen, dass jedes Element der einen Menge identisch mit einem Element der anderen Menge ist, aber die Gleichheit von solchen Elementen ergibt keinen Sinn, wenn sie unterschiedliche Typen besitzen. In ZFC kann man zum Beispiel unsinnige Formeln wie $\IF_2(x) \subseteq \IR$ bilden (und vielleicht sind sie manchmal sogar richtig, aber selbst wenn, es ist ohne Belang).
Es ist sinnvoller, Abbildungen zu nutzen, um Mengen miteinander in Beziehung zu setzen. Das entspricht dem Grundgedanken der Kategorientheorie. Injektive Abbildungen können wir also als den "kategoriellen" Ersatz für Teilmengen betrachten. In strukturellen Mengenlehren wie ETCS gibt es auch nichts anderes. Hier wird man also gleich auf die "richtige" Sichtweise gestoßen.
Für Körper und ihre Homomorphismen gilt genau dasselbe. Beziehungsweise, für jede Kategorie: Ein Unterobjekt eines Objektes $X$ ist ein Monomorphismus
$U \hookrightarrow X.$
Eine Erweiterung eines Objektes $U$ kann man entsprechend als einen Monomorphismus $U \hookrightarrow X$ definieren. (Etwas verwirrend ist, dass man in der Gruppentheorie den dualen Begriff nimmt: Eine Erweiterung von $U$ ist hier ein Epimorphismus $X \twoheadrightarrow U$.)
Wir sagen also nicht, dass $U$ "irgendwie" ein Unterobjekt von $X$ ist (es ist keine Relation!), sondern merken uns, auf welche Weise $U$ als Unterobjekt als $X$ aufgefasst werden kann: nämlich mit einem Monomorphismus $U \hookrightarrow X$.
Ein Morphismus zwischen zwei Erweiterungen $U \hookrightarrow X$, $U \hookrightarrow Y$ ist natürlich ein kommutatives Dreieck
![<math>\begin{tikzcd}[column sep=20pt, row sep=25pt]
& U \ar[hook]{dl} \ar[hook]{dr} & \\ X \ar{rr} && Y \end{tikzcd}</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/8774b7c37be4d69fc9ec6baea0a16a79.png "\begin{tikzcd}[column sep=20pt, row sep=25pt]
& U \ar[hook]{dl} \ar[hook]{dr} & \\ X \ar{rr} && Y \end{tikzcd}")
Die Erweiterungen eines Objektes $U \in \mathcal{C}$ bilden also eine volle Unterkategorie $U / \mathcal{C}$. Es gibt keine Notwendigkeit (weder in speziellen Beispielen, und schon gar nicht in dieser Allgemeinheit, wo es gar nicht möglich ist), diese Erweiterungen in irgendein mengentheoretisches Korsett reinzupressen.
Analog bilden die Unterobjekte von $X$ eine volle Unterkategorie von $\mathcal{C} / X$, die nun sogar dünn ist (siehe auch Lemma 6.7.16 in meinem Buch). Daher können wir also sagen, wann ein Unterobjekt $U \hookrightarrow X$ in einem anderen Unterobjekt $V \hookrightarrow X$ enthalten ist. Wir haben also immer noch eine solche Relation, sofern ein "gemeinsamer Kontext" in Form eines Objektes $X$ gegeben ist. Damit werden die eingangs erwähnten Typfehler verhindert.
Im Startbeitrag wurde auch das Beispiel einer Erweiterung der Form $K \hookrightarrow K$ angesprochen. Es gibt dafür auch ein wichtiges Beispiel in der Körpertheorie: Der Frobenius
$\Phi : K \hookrightarrow K, ~ \Phi(a) := a^p$
für Körper der Charakteristik $p$. Natürlich ist $\Phi$ isomorph zur "Inklusion" $K^p \hookrightarrow K$, aber diese Ersetzung muss man nicht vornehmen, und außerdem hat sich zumindest mir spätestens beim Studium des relativen Frobenius von Schemata gezeigt, dass das kontraproduktiv und verwirrend sein kann. Ich habe oben "Inklusion" geschrieben, weil ich hier auch keine Inklusion im üblichen ZFC-Sinne meine, sondern einfach die kategorielle Bild-Faktorisierung
$K \twoheadrightarrow K^p \hookrightarrow K,$
und $K^p \hookrightarrow K$ muss in dieser Sichtweise lediglich ein Monomorphismus sein. (Aber weil $\Phi$ ja bereits ein Monomorphismus ist, ist diese Zerlegung gar nicht nötig, also $\Phi$ ist bereits zerlegt und $\Phi$ ist sein eigenes Bild.)
Ja, es ist leider so, dass es relativ wenig Literatur gibt, welche diesen Standpunkt einnimmt, dass Körpererweiterungen als Homomorphismen definiert werden. Es gibt sicherlich welche, aber ich kenne spontan keine (mehr). (Nebenbei: In meinem Artikel über den Hauptsatz der Galoistheorie wird dieser Standpunkt "implizit" verwendet (ganz gut zu sehen etwa bei Lemma 15, was du vermutlich in keinem Algebrabuch in der Form findest), leider nicht ganz so "explizit" wie ursprünglich geplant, weil ich dann doch die Grundbegriffe über Körpererweiterungen nicht wiederholen wollte.) Mein Eindruck ist allerdings, und in diesem Zusammenhang hatte ich es auch erstmals gelernt, und das wurde ja auch schon geäußert, dass die analoge Definition in der kommutativen Algebra viel üblicher ist. Und von kategorientheoretischen Texten müssen wir natürlich nicht sprechen. Ich vermute, der Grund ist einfach, dass es sich in der kommutativen Algebra viel schneller "rächt", die "falsche" Definition zu benutzen, wogegen man sich in der Körpertheorie recht gut durchschmuggeln kann. Ein schönes Beispiel für das oben genannte Prinzip in der kommutativen Algebra ist die Einbettung
$R \hookrightarrow R[X]$
eines Ringes in seinen Polynomring. Jede mir bekannte Konstruktion von $R[X]$, wenn man sie in ZFC formuliert, produziert keine Teilmenge, aber das ist wie gesagt auch völlig belanglos. Trotzdem möchte man sicherlich $R \hookrightarrow R[X]$ als Ringerweiterung ansehen.
Ein völlig anderes Thema, aber es wurde gefragt, welche Eigenschaften unter Äquivalenzen von Kategorien (nicht nur unter Isomorphismen von Kategorien) invariant sind. Die präzise Antwort steht in Beispiel 3.6.18 in meinem Buch, allerdings ohne Beweis. Die klassische Referenz ist Freyd, Properties invariant within equivalence types of categories (1976). Die Eigenschaften müssen, vereinfacht gesagt, so aussehen, dass Morphismen $f : A \to B$ immer nur in Verbindung mit ihren Objekten $A,B$ auftauchen, und dass die Formel $A = B$ für Objekte nicht erlaubt ist.
Auch ein anderes Thema, aber weil es angesprochen wurde: Den Morphismus
$\alpha : V^* \otimes W \to \mathrm{Hom}(V,W)$
für Vektorräume bzw. allgemeiner für $R$-Moduln $V,W$ kann man abstrakt konstruieren, dafür ist keine Basis nötig. Nur für den Nachweis, dass er ein Isomorphismus ist, braucht man eine Basis. Aber es gibt auch abstraktere Argumente: Es ist $\alpha$ natürlich in $V$ und $W$, und beide Seiten sind additiv in $V$ und $W$. Für $V=R$ ist $\alpha$ ein Isomorphismus. Es folgt daher aus formalen kategorientheoretischen Argumenten, dass $\alpha$ auch ein Isomorphismus ist, wenn $V$ eine endliche direkte Summe von Kopien von $R$, also endlich-erzeugt frei ist, und noch allgemeiner wenn $V$ ein direkter Summand eines solchen Moduls, sprich endlich-erzeugt projektiv ist. Über $W$ muss man nichts voraussetzen.
Das war dann wohl der 5555. Beitrag. 😎 |
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Gruppen | |
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Zunächst einmal gilt das für jede endliche Gruppe (nicht notwendig kommutativ), einfach wegen des (offenbar dir bekannten) Satz von Lagrange. Die Ordnung $o$ von $g$ teilt $|G|$, also gilt
\[g^o = 1 \implies g^{|G|}=1.\]
Aber wenn der Hinweis benutzt werden soll: Betrachte die Abbildung
\[f : G \to G, \quad f(x) := xg.\]
Dann ist $f$ also bijektiv. Man kann daher im (wohldefinierten!) Produkt
\[p := \prod_{x \in G} x\]
eine Umordnung vornehmen ... Reicht das als Tipp? |
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Diff.topologie/-geometrie | |
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Tipp: Jede offene Kugel in $\IR^n$ ist wegzusammenhängend. Du kannst die Karten so einrichten, dass sie auf offene Kugeln abbilden. |
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Topologie | |
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Ich schreibe auch einmal $\mathrm{Int}(A)$ für das Innere einer Menge $A$, weil es leichter zu tippen ist, und $\mathrm{Cl}(A)$ für den Abschluss einer Menge.
Dann gilt (das ergibt sich formal aus den Definitionen; überlege dir wieso)
$\mathrm{Int}(X \setminus A) = X \setminus \mathrm{Cl}(A).$
Die Behauptung ist daher äquivalent zu
$X = (X \setminus \mathrm{Cl}(B)) \cup \mathrm{Int}(A),$
und damit äquivalent zur Voraussetzung $\mathrm{Cl}(B) \subseteq \mathrm{Int}(A)$. |
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Funktionalanalysis | |
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Funktionalanalysis | |
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@Fabi: Stimmt.
@mpc: Eine stetige lineare Abbildung $f : V \to W$ zwischen normierten Räumen $(V,|~|)$, $(W,|~|)$ hat eine Norm $|f|$. Sie ist die kleinste nichtnegative reelle Zahl mit der Eigenschaft $|f(x)| \leq |f| \cdot |x|$ für alle $x \in V$. Insbesondere gilt $|x| \leq 1 \implies |f(x)| \leq |f|$.
Für $f \in (\ell^{\infty})'$ hat nun jede endliche Partialsumme von $\sum_k |f(e_k)|$ die Form $f(x)$ für ein $x \in \ell^{\infty}$ mit $|x| \leq 1$ (wieso?), ist also durch $|f|$ beschränkt. |
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Topologie | |
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Das war wirklich die Frage?
Wolltest du nicht vielleicht eher wissen, ob $\{X \times Y : X \in T_A, Y \in T_B\}$ eine Topologie auf $A \times B$ ist? Aber selbst dann lautet die Antwort "Nein", weil hier der Abschluss unter Vereinigungen nicht gegeben ist. Wie man es richtig macht, steht hier:
de.wikipedia.org/wiki/Produkttopologie |
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Topologie | |
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Die Frage ergibt leider keinen Sinn. Wann ist eine Menge "eine Topologie deren Grundmengen"? Bitte schreibe einmal genauer auf, was gegeben ist und was du wissen möchtest. Formelzeichen könnten dabei auch hilfreich sein. |
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Funktionalanalysis | |
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Ja, es ist anders herum. Es gilt $(\ell^1)' \cong \ell^{\infty}$, aber $(\ell^{\infty})'$ ist viel komplizierter und kann mit dem Raum der endlichen Borelmaße auf der Stone-Cech-Kompaktifizierung $\beta \IN$ identifiziert werden (siehe hier).
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.] |
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Kategorientheorie | |
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Die Frage ist unklar.
1) Hat $\mathscr{C}$ ein Nullobjekt?
2) Beachte, dass die Kategorie der punktierten Mengen ein Nullobjekt, Kerne und Kokerne hat. Interesierst du dich wirklich für solche Beispiele, oder hast du vielleicht noch weitere Annahmen vergessen?
3) Wie definierst du "zerspaltend" hier?
4) Was meinst du mit "konkrete Beschrebung" genau?
5) Semidirekte Produkte haben durchaus eine universelle Eigenschaft. Siehe Isomorphie der Diedergruppe |
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Körper und Galois-Theorie | |
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Komplemente haben hier nichts zu suchen. |
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Körper und Galois-Theorie | |
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Du kannst den (gerichteten) Kolimes in der Kategorie der Ringe bilden, der übrigens genau wie in der Kategorie der Mengen gebildet wird, mit den offensichtlichen Operationen (siehe etwa Satz 6.5.16 in diesem Buch, oder auch Example 11.28(4) in diesem Buch). Dieser ist hier dann sogar ein Körper, weil jedes Element $\neq 0$ bereits von einem der beteiligten Körper stammt, also dort invertierbar ist. Zwar besteht der Kolimes-Kokegel nicht unbedingt aus mengentheoretischen Inklusionen, aber die sind sowieso irrelevant; eine Körpererweiterung ist einfach ein Körperhomomorphismus. Wenn die $L_i \to L_{i+1}$ aber mengentheoretische Inklusionen sind (wolltest du das annehmen?), ist die ganz normale Vereinigungsmenge $L = \bigcup_i L_i$ der Kolimes in der Kategorie der Mengen, und darauf kannst du eine eindeutige Körperstruktur definieren derart, dass die Inklusionen $L_i \to L$ Homomorphismen werden. |
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Integraltransformationen | |
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Ein anderes Argument (mit einem konkreten Gegenbeispiel) findest du hier home.iitm.ac.in/mtnair/FS-Notes-3.pdf in Abschnitt 2.
Übrigens kann man immerhin zeigen, dass das Bild von $L^1(\IR)$ dicht in $C_0(\IR)$ ist. |
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Bücher & Links | |
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Lineare Abbildungen | |
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Du musst dir nichts überlegen. Du musst einfach nur die Definitionen einsetzen. Das hast du aber nicht getan. So entstehen dann die Fehler, wie von StrgAltEntf beschrieben. |
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Lineare Abbildungen | |
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