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Thema Eingetragen
Autor

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: th57
n-te Ableitung der momenterzeugenden Funktion  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23 16:12
Triceratops
J

Nuramons Ansatz ist natürlich viel besser als meiner, aber ich wundere mich, dass ihr bei dem Ansatz noch Ableitungen ausrechnet. Man kann direkt die Reihe ausrechnen und dann anhand der Koeffizienten (mit Vorfaktor $\frac{1}{n!}$) die Ableitung ablesen:

$\begin{align*}
\exp\left(\frac{1}{2} x^2\right) &= \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!} \left(\frac{1}{2} x^2\right)^n \\
&= \sum_{n \geq 0} \frac{1}{2^n \cdot n!} x^{2n} \\
&= \sum_{n \geq 0 \text{ gerade}} \frac{1}{2^{n/2} \cdot (n/2)!} x^n \\
&= \sum_{n \geq 0 \text{ gerade}} \frac{1}{n!} \cdot (n-1)!! \cdot x^n
\end{align*}$

Im letzten Schritt benutzt man

$n! = 2^{n/2} \cdot (n/2)! \cdot (n-1)!!,$

was daran liegt, dass die Faktoren $k$ (für $k=1,2,\dotsc,n$) in $n!$ für ungerade $k$ zum Produkt $(n-1)!! = (n-1) \cdot (n-3) \cdots 1$ werden und für gerade $k$ die Form $2i$ mit $i=1,\dotsc,n/2$ haben.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Initialtopologie und Unterraumtopologie  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23 02:16
Triceratops
 

In dem einen Satz sagst du, dass alle offenen Teilmengen von $A$ offen in $A$ sind. Du meinst wohl etwas anderes. Und die falsche Gleichung ist mit (1) beschriftet. Jedenfalls bezieht sich deine Begründung wohl auf die Gleichung davor.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.23 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 23:22
Triceratops
 

Eine endliche konstruierbare Erweiterung hat Grad $2^n$ und hat für jedes $0 \leq k \leq n$ einen Zwischenkörper vom Grad $2^k$. Ich weiß nicht, was du so über konstruierbare Erweiterungen weißt, insofern kann ich dir nicht sagen, wie man das mit deinem Vorwissen beweist. Man kann es zum Beispiel mit dem Hauptsatz der Galoistheorie auf eine entsprechende gruppentheoretische Aussage zurückführen.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.21 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 22:35
Triceratops
 

Achso, du redest ja noch von $M$. Ich dachte an die Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $S_4$. Ok, aber dann folgt die Aussage eben direkt daraus (und ist äquivalent dazu), dass es keine echten Zwischenkörper gibt.

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lookingglassk_
Notation Bedeutung  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 22:33
Triceratops
J

@viertel: Interessant. Gibt es irgendein Buch, wo diese Notation in der Form eingeführt wird? Mir ist sie neu.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 19:21
Triceratops
 

2021-01-22 19:20 - Gengar in Beitrag No. 18 schreibt:
So war das nicht gemeint, ich bin nur sehr verwundert dass die Aufgabenstellung falsch ist.

Ich habe dir eben erklärt, wie man ein Gegenbeispiel konstruiert, weswegen die Aussage falsch ist.

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schokopudding
Stetiger Endomorphismus auf (kompaktem) metrischem Raum  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 19:18
Triceratops
 

Ja, aber vielleicht hatte der*die Autor*in ja aus irgendeinem Grund eine andere Kategorie im Sinn. Ohne Kontext können wir das hier nicht näher ergründen. Du hast ja nur einen halben Satz zitiert. Zum Beispiel gibt es eine Kategorie mit metrischen Räumen als Objekten und Quasi-Isometrien (oder ganz stumpf: allen Abbildungen der Trägermengen) als Morphismen, die müssen nicht stetig sein. Vielleicht sollte auch schlicht und ergreifend die Stetigkeit noch einmal betont werden.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 19:16
Triceratops
 

Ich kann lesen ;). Nimm dir irgendeinen echten Zwischenkörper, wähle davon ein primitives Element, fertig.

Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: th57
n-te Ableitung der momenterzeugenden Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 18:57
Triceratops
J

Es gilt $M'(x) = x M(x)$ $(*)$, und daher $ M''(x) = (1+x^2) M(x)$, usw. Berechne einmal ein paar weitere Ableitungen in dieser Form.

Definiere allgemeiner rekursiv ein Polynom $p_n(x) \in \IZ[x]$ durch $p_0(x)=1$ und $p_{n+1}(x) := p'_n(x) + p_n(x) x$. Zum Beispiel ist $p_1(x) = x$, $p_2(x) = 1+x^2$, $p_3(x) = x^3+3x$, $p_4(x) = x^4 + 6x^2+3$. Per Induktion, Produktregel und $(*)$ folgt ganz leicht

$M^{(n)}(x) = p_n(x) M(x)$

Wegen $M(0)=1$ musst du also lediglich zeigen, dass $p_n(0)=0$ für ungerade $n$ und $p_n(0)=(n-1)!!$ für gerade $n$. Um das per Induktion zu beweisen, muss man parallel auch noch die Formeln $p'_n(0)=0$ für gerade $n$ und $p'_n(0) = n!!$ für ungerade $n$ beweisen, dann geht es ganz leicht per rekursiven Definition von $p_n$.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 18:46
Triceratops
 

2021-01-22 16:10 - Gengar in Beitrag No. 13 schreibt:
Wie könnte man zeigen, dass jedes Element \(m\in\) \(M        \setminus\mathbb{Q}\) ein primitives Element von \(M\) ist?

Das ist falsch.

Notationen, Zeichen, Begriffe
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Lookingglassk_
Notation Bedeutung  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 18:43
Triceratops
J

Ich vermute, das ist einfach ein Tippfehler, gemeint ist $i=1,\dotsc,n$. (Und das hat nichts mit DGLn zu tun.)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Bruce94
Ist H abelsch, so ist U ein Normalteiler  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 11:38
Triceratops
J

Du verwendest die falsche Definition von $\phi^{-1}$.

de.wikipedia.org/wiki/Urbild_(Mathematik)

Und wie man auf ein Element im Kern kommt: $\phi(a) = \phi(b) \iff \phi(a b^{-1})=1$.

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 00:52
Triceratops
 

Das ist äquivalent dazu, dass $H$ eine maximale Untergruppe von $S_4$ ist. Aber das ergibt sich aus eurer Klassifikation der Untergruppen von $S_4$. (Natürlich braucht man hier viel weniger. Zum Beispiel wäre ja aus Indexüberlegungen lediglich zu widerlegen, dass $S_3 \subseteq A_4$.)

Gruppen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Bruce94
Ist H abelsch, so ist U ein Normalteiler  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-22 00:50
Triceratops
J

Und ich hatte dir sogar genau die Voraussetzung geschrieben, die zu verwenden ist (und es ist ja auch die einzige, die man hier hat).

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 23:51
Triceratops
 

Ja, das ist richtig. (Nur meintest du $[M: L^H]$.)

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 23:20
Triceratops
 

Wie begründest du das denn?

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gast123
Lebesgue-Integral über ganz ℝ  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 19:39
Triceratops
 

1) $\IR$ ist eine (bis auf Nullmengen disjunkte) Vereinigung von solchen abgeschlossenen Intervallen. Das Integral ist entsprechend die Summe der Teilintegrale.

2) Sei $\mu$ ein Maß auf $X$. Die Einsfunktion ist genau dann in $L^p(\mu)$ enthalten, wenn $\mu(X) < \infty$.

3) Siehe 2).

Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Gengar
Galois-Erweiterungen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 19:35
Triceratops
 

Ich gehe davon aus, du meinst $\mathrm{Gal}(L/\IQ) \cong S_4$. Die Galoisgruppe ist also endlich und hat $24$ Elemente. Nun wirst du in jedem Algebra-Buch den folgenden Sachverhalt finden (im übrigen auch in meinem Artikel LinkEin einfacher Beweis für den Hauptsatz der Galoistheorie): Wenn $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung ist, dann ist $[L:K] = \mathrm{ord}(\mathrm{Gal}(L/K))$. Wenn du also wüsstest, dass $ L/\IQ$ endlich ist, weiß man sofort, dass der Grad ebenfalls $24$ ist. Nun angenommen, $L/\IQ$ ist eine unendliche Galoiserweiterung. Dann kann man zeigen, dass $\mathrm{Gal}(L/\IQ)$ ebenfalls unendlich ist, was hier also nicht der Fall ist. Das Argument geht so: Wenn $L/\IQ$ nicht endlich ist, gibt es eine echt aufsteigende Folge von endlichen Zwischenkörpern $\IQ = L_0 \subset L_1 \subset L_2 \subset \cdots \subseteq L$, wobei man jeweils $L_i / \IQ$ als Galoisch annehmen kann. Die Grade $[L_i : \IQ]$ sind also ebenfalls echt aufsteigend, sodass die Ordnungen der Galoisgruppen $\mathrm{Gal}(L_i/\IQ)$ es ebenfalls sind. Weil man aber einen surjektiven Homomorphismus von Gruppen $\mathrm{Gal}(L/\IQ) \to \mathrm{Gal}(L_i/\IQ)$ hat, folgt, dass die Ordnung von $\mathrm{Gal}(L/\IQ)$ größer als jede natürliche Zahl und damit unendlich ist.

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Math_user
Lagrange-Multiplikator und Existenz der Extremalwerte  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 16:34
Triceratops
 

Zeiche dir einmal die Menge $M$ auf. Dann siehst du, dass $M$ natürlich nicht beschränkt ist.

Übrigens sollst du nicht nur die Existenz der Extremalwerte beweisen, sondern diese Extremalwerte bestimmen. Und im Titel steht ja schon die Methode dafür. Was hast du damit probiert?
 
Weil die Nebenbedingung hier aber so einfach, kannst du das Problem ganz leicht auf die Maximierung einer Funktion einer Variablen herunterbrechen.

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: Magma93
Pfeile bei Funktionen/Mengen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 01:56
Triceratops
J

2021-01-21 00:40 - Magma93 in Beitrag No. 7 schreibt:
 Also habe ich es jetzt richtig verstanden, dass du gemeint hast, dass auch in der Mengenlehre der Pfeil \( \rightarrow \) für eine Implikation steht?

Nein. Vereinfacht gesagt, ist es eher umgekehrt: Du kannst Implikationen als Funktionen begreifen. Ersetze dafür "$x$ ist ein Element der Menge $X$" durch "$x$ ist ein Beweis für die Aussage $X$". Dann ist eine Funktion von einer Aussage $X$ in eine Aussage $Y$ also eine Zuordnung, die jedem Beweis von $X$ einen Beweis von $Y$ zuordnet. Das heißt, das ist ein Beweis für die Implikation von $X$ nach $Y$. Es sei dir aber versichert, dass diese Sichtweise auf Implikationen nichts ist, was man üblicherweise Anfänger*innen beibringt, und dass selbst viele Mathematiker*innen davon gar nichts wissen. Wenn es dich mehr verwirrt als es weiterhilft, würde ich raten, es einfach zu ignorieren.
 

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