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Algorithmen / Datenstrukturen
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Punktewolke  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-29
Uaaah
J

YES! Wie krass. Es gibt ein ganzes Fachgebiet namens Clustering oder Cluster-Analyse für die Analyse der Verteilungen von Punkten in n-dimensionalen Räumen.

Manche Algorithmen verwenden offenbar die beliebte Methode "Wir berechnen mal eben die Entfernungsmatrix, kostet ja nur 0.5 n² Speicher, da die Matrix symmetrisch ist."
Bei n = 1 Million würde ich in double precision allerdings 4 TB brauchen nur um die Matrix zu speichern, wär als RAM nach dem aktuellen Stand der Technik n etwas teures Hobby.

Eine beliebte Bibliothek für solche Aufgaben scheint ELKI zu sein.
Ist ranziges Gammel-Java und wiegt fast 80 MB, geht aber vielleicht schneller als selber was zu basteln und liefert gleich n vollständigen Satz an Algorithmen zur Auswahl.

Danke!

Algorithmen / Datenstrukturen
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Punktewolke  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-22
Uaaah
J

Ich kapiers nicht.   ☹️

Bei einem einzigen strengen schwachen Ordnungskriterium komme ich noch mit.
Wenn ich z.B. nach 1 Kriterium: n Abstände zu 1 Ursprung sortieren wollte,
würde ich 1x die n Abstände zu 1 Ursprung berechnen und hätte damit n Abstandsberechnungen.
In der Praxis würde ich zu den d Spalten meiner d Dimensionen eine (d+1)ste Spalte "Abstand zum Ursprung"
hinzu fügen, dann ein Mergesort auf Spalte (d+1) drüber laufen lassen und wär
nach n Abstandsberechnungen und n*log(n) Vergleichen von Einträgen in
Spalte (d+1) und etwas Speicherschieberei für die d+1 Spalten fertig.
Mein Entscheidungsbaum mit n*log(n) Laufzeit wäre im Mergesort implementiert.

Ich habe aber nicht 1 strenges schwaches Ordnungskriterium wie z.B. n Abstände zu 1 Ursprung
sondern n strenge schwache Ordnungskriterien:
1. Berechne Abstände von n Punkten zum Ursprung Punkt 0 => nächster Punkt ist Punkt 1 mit dem kleinsten Abstand zum Punkt 0
2. Berechne Abstände von n-1 Punkten zum Punkt 1 => nächster Punkt ist Punkt 2 mit dem kleinsten Abstand zum Punkt 1
3. Berechne Abstände von n-2 Punkten zum Punkt 2 => nächster Punkt ist Punkt 3 mit dem kleinsten Abstand zum Punkt 2
...
Das Ordnungskriterium "Abstand der verbliebenen Punkte zum letzten sortierten Punkt" ändert sich mit jedem Schritt.
Allein die Bestimmung aller Ordnungskriterien aller Punkte würde mich n² Abstandsberechnungen kosten.
Durch Nutzung der Information "welche Punkte sind bereits sortiert" spare ich davon 0.5 n².

Wie kann ich da einen Entscheidungsbaum aufbauen der nur n*log(n) kostet?  😵

Algorithmen / Datenstrukturen
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Punktewolke  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-22
Uaaah
J

Es sei eine Anzahl n (z.B. n = 1 Million) von Punkten in einem d-dimensionalen (z.B. d = 8) Raum.
Die Punkte befinden sich in allen Dimensionen innerhalb eines normierten Intervalls [-1,1].

Mehr ist über die Punkte noch nicht bekannt, es wird jedoch angenommen, dass eine inhomogene Verteilung vorläge.
Beispielsweise könnte die Punktdichte variieren oder die Punkte könnten Gruppen bilden, wie "Sterne" in "Galaxien".

Gesucht werden numerische Verfahren, um mehr Informationen über die Verteilung der Punkte zu gewinnen.
Die Punkte sind in einer Liste in einem unsortierten Zustand.

Beispiele

a) Der Raum könnte in ein Raster unterteilt werden und die in einzelnen Regionen befindlichen Punkte gezählt werden.
   Primitiv, kostet aber massig RAM wenn das Raster fein sein soll.

b) Ein Sortieralgorithmus könnte die Punkte so sortieren, dass jeweils der Punkt mit dem
   kleinsten Abstand folgt. Größere Sprünge entlang dieses Pfades würden auf eine geringere
   Punktdichte oder auf einen Sprung in eine benachbarte "Galaxis" hindeuten.

c) Mit radialen Basisfunktionen um die Punkte könnte eine Art kumulatives "Gravitationsfeld" ermittelt
   werden, wobei sich lokale Anhäufungen in einer stärkeren "Gravitation" äußern würden.
   Die "Gravitation" könnte auch dazu verwendet werden, um die Punkte in einem Zeitschrittverfahren zu
   lokalen Zentren zusammenfallen zu lassen... allerdings müsste dafür eine Hintergrund-Gravitation
   des Umgebenden Universums hingepfuscht werden, sonst bliebe nur noch ein einzelner Haufen übrig.
   Außerdem stellt sich die Frage ob die "Gravitationskraft" in einem d-dimensionalen Raum
   proportional zu r^(1-d) sein sollte oder die Pseudo-Gravitation auch bei d=8 ganz prima mit r^(-2) funktioniert.

d) Die Punktedichte, die z.B. mit dem Verfahren unter Beispiel (a) gewonnen wurde,
   wird im Rahmen einer Visualisierung in jeweils 2 Dimensionen in Bilder umgewandelt und
   an brain.exe übergeben, in der Hoffnung, dass brain.exe dort etwas Interessantes findet.

Erbitte Vorschläge um das Problem zu behandeln.

Erbitte z.B. einen guten Algorithmus für Verfahren (b).
Mit "hänge von den Punkten die noch nicht sortiert sind jeweils den nächsten Punkt dran;
ermittle diesen nächsten Punkt indem Du Abstände zu allen verbliebenen Punkten berechnest."
komme ich auf eine Komplexität von 0.5 n² Abstandsberechnungen.
Wenn ich diese Strategie mit nem divide & conquer Ansatz kopple indem ich erstmal einzelne
Raumregionen sortiere programmier ich mir die Finger wund um die sortierten Raumregionen
zu vereinen um bestenfalls auf 0.25 n² zu kommen.
Kennt jemand nen besseren Algorithmus für diese Art von Sortierung?

Thermodynamik & Statistische Physik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Ambra
Aufgabe Verdichter, ideales Gas  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2016-10-22
Uaaah
 

Gilt das als Leichenschändung bei nem Thread der schon 2 Monate rumgammelt?
Egal, wie bereits bemerkt:
fed-Code einblenden
muss heißen
fed-Code einblenden
Für ein bestimmtes Druckverhältnis ergibt sich ein Temperaturverhältnis für die entsprechende Verdichtung.
Das Symbol T_2s steht hier für die Endtemperatur eines isentropen Verdichtungsprozesses, d.h. eines (idealen, perfekten, verlustfreien) Verdichtungsprozesses mit Wirkungsgrad 1.
Das Druckverhältnis wird aus zwei Absolutdrücken gebildet, die Temperatur ist als absolute Temperatur anzusetzen.

Wie weiterhin bereits bemerkt, fehlt die Angabe von T_1.
Da hier vermutet werden könnte, dass Luft aus Umgebungsbedingungen verdichtet werden soll, nehmen wir mal 20°C an, das sind 293.15 K.

Für ein perfektes Gas, das in der Aufgabenstellung als ideales Gas bezeichnet wird, ist
fed-Code einblenden
Für diesen Fall kann man mit o.g. Zusammenhang die isentrope Endtemperatur T_2s für eine adiabate Verdichtung bestimmen.
Als Differenz zur Ausgangstemperatur erhalten wir
fed-Code einblenden
Der reale verlustbehaftete Prozess mit Wirkungsgrad fed-Code einblenden äußert sich in einer größeren Temperaturerhöhung:
fed-Code einblenden
Die reale spezifische Enthalpiedifferenz für den Wirkungsgrad fed-Code einblenden ist dann
fed-Code einblenden
Wenn man diese spezifische Enthalpiedifferenz mit einem Massenstrom multipliziert, kommt ne Leistung raus.
Gefragt wurde nach einer spezifischen Leistung, also ist wahrscheinlich die spezifische Enthalpiedifferenz gemeint.

Der Betrieb im stationären Zustand bedeutet hier nur, dass die Parameter gleich bleiben.

a) Bei einem Druckverhältnis von 20 erhalte ich für T_1 = 293.15 K:
fed-Code einblenden

b) Das Druckverhältnis von 20 wird jetzt symmetrisch auf zwei Stufen verteilt:
fed-Code einblenden
Mit diesem Druckverhältnis verdichte ich zuerst
von 20°C ausgehend in der ersten Stufe und
- nach der Zwischenkühlung zwischen Stufe 1 und 2-
von 30°C bzw. 303.15 K ausgehend in der zweiten Stufe.
fed-Code einblenden
Die zweistufige Verdichtung mit Zwischenkühlung ist besser.
Mit der Zwischenkühlung spare ich ca. 20% (spezifische) Leistung.

Ohne die Zwischenkühlung würde ich im zweistufigen Prozess aber etwa 5% mehr (spezifische) Leistung benötigen als im einstufigen Prozess.
Der Grund hierfür liegt darin, dass ein bestimmtes Druckverhältnis ein bestimmtes Temperaturverhältnis zur Folge hat.
Wenn ich eine größere Eintrittstemperatur habe, erhalte ich eine größere Temperaturdifferenz,
und bei konstantem c_p demnach auch eine größere spezifische Enthalpiedifferenz.
Wenn die zweistufige Verdichtung mit nem Stufenwirkungsgrad schlechter als 1 erfolgt, kriegt die Stufe 2
bereits das durch die Verluste zusätzlich erwärmte Gas von Stufe 1 ab.


Geometrie
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Schnitt Kegel mit Zylinder  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-07-07
Uaaah
J

War gar nicht so schwierig.
Der Ansatz mit der Geradenschar mit nem Drehwinkel um die Kegelachse
als Scharparameter war zielführend und sehr viel einfacher
als mein erster Ansatz.
Das Ergebnis ist zudem allgemeiner.

Im Prinzip spannt man mit ein paar Kreuzprodukten und der Kegelachse
ein lokales Koordinatensystem auf.
Dann verarbeitet man den gewünschten Drehwinkel um die Kegelachse
zu nem Vektor, der senkrecht auf der Kegelachse steht.
Dann verarbeitet man den Kegelwinkel zu nem Richtungsvektor
für die eine spezielle Kegelgerade die dem Drehwinkel um die Kegelachse
entspricht.
Dann nimmt man die tumbe Formel für den Abstand Punkt von Gerade
wobei die Gerade die Zylinderachse ist, für den Abstand setzt
man den Radius des Zylinders, und für den Punkt
die Geradengleichung von o.g. Kegelgeraden.
Das löst man nach dem Parameter der Kegelgeraden auf
und bekommt ne quadratische Gleichung.
Die hat zwei Lösungen, weil ein Schnitt zwischen Gerade und Zylinder
normalerweise auch zwei Schnittpunkte ergibt.
Mit verschiedenen Drehwinkeln um die Kegelachse kann man sich dann
beliebig viele Schnittpunkte auf der Schnittkurve besorgen.

Für die Nachwelt hier meine erste Test-Funktion in C++.
Dafür braucht man noch ne einfache Vektor-Klasse (hier CVec3).
Dieses Werk steht unter BSD-Lizenz, falls es jemanden interessiert.
cpp
CVec3 calc_CutPointConeCylinder(double cylinderRadius, 
                                CVec3 cylinderPointOnAxis, 
                                CVec3 cylinderAxisDirection, 
                                double coneHalfAngleRadians,
                                CVec3 coneTipPoint, 
                                CVec3 coneAxisDirection,
                                double angleAroundConeAxisRadians) {
    CVec3 v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, resultVector1, resultVector2;
    double a, b, c, t1, t2;
    v1 = cylinderAxisDirection.CrossProduct(coneAxisDirection); 
    v1.Normalize();
    v2 = v1.CrossProduct(coneAxisDirection); 
    v2.Normalize();
    v3 = v2*cos(angleAroundConeAxisRadians) + v1*sin(angleAroundConeAxisRadians);
    v3.Normalize();
    v4 = coneAxisDirection*cos(coneHalfAngleRadians) + v3*sin(coneHalfAngleRadians);
    v4.Normalize();
    cylinderAxisDirection.Normalize();
    v5 = coneTipPoint.CrossProduct(cylinderAxisDirection);
    v6 = cylinderPointOnAxis.CrossProduct(cylinderAxisDirection);
    v7 = v5 - v6;
    v8 = v4.CrossProduct(cylinderAxisDirection);
    a = v8.Dot(v8);
    b = 2.0*v7.Dot(v8);
    c = v7.Dot(v7) - pow(cylinderRadius,2.0);
    t1 = ( -b + sqrtf( pow(b,2.0) - 4.0*a*c ) ) / (2.0*a);
    t2 = ( -b - sqrtf( pow(b,2.0) - 4.0*a*c ) ) / (2.0*a);
    resultVector1 = coneTipPoint + v4*t1;
    //resultVector2 = coneTipPoint + v4*t2;
    //printf("calc_CutPointConeCylinder: resultVector1 %f %f %f\n",resultVector1.x, resultVector1.y, resultVector1.z);
    //printf("calc_CutPointConeCylinder: resultVector2 %f %f %f\n",resultVector2.x, resultVector2.y, resultVector2.z);
    //if ( t1 >= t2 ) {
        return resultVector1;
    //} else {
    //  return resultVector2;
    //}
}

Geometrie
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Schnitt Kegel mit Zylinder  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-07-06
Uaaah
J

Danke für Deine Antwort und Dein schönes PovRay-Bild...
hab PovRay noch nie getestet, nehme eher Blender und Luxrender...

Ja, ich will ne analytische Lösung, möglichst ohne dumm numerisch rum zu iterieren...

Will da keine Schraube versenken, sondern nur den Rand entgraten.
Das mit der Schraube war nur zur Erläuterung gedacht.
Ich hätte vielleicht noch erwähnen sollen, dass ich nur den Sonderfall
mit der Nebenbedingung "überall ringsum wird was abgeschnitten"
brauche, damit wird die innere Kurve zu nem popeligen Kreis.
Die Eintauchtiefe ist bekannt wird in ner Ebene gemessen die
von Kegelachse und Zylinder aufgespannt wird, entspricht der maximalen
Eintauchtiefe, wenn man nicht gerade von innen in nem Rohr schneidet.

Teste gerade den Ansatz mit der Geradenschar...

Habe Vektor s von Zylinderachse zu Kegelspitze (der ist bekannt),
Vektor z als Zylinderachse, k als Vektor von Kegelspitze zu Kegelfläche.
Mit Gamma als halbem Kegelwinkel gilt

fed-Code einblenden

für alle Punkte der Kegelfläche.

Dann besorge ich mir ne Projektion p_k von k auf
ne Ebene senkrecht zum Kegel.

fed-Code einblenden

Der Winkel zur Zylinderachse ist dann

fed-Code einblenden

Wenn ich diesen Lindwurm auflösen kann, habe ich ne
Geradengleichung in Abhängigkeit des Drehwinkels um
die Kegelachse, die kann ich mit nem Zylinder schneiden...
es sei denn jemandem fällt irgendwas ganz Schlaues ein...





Geometrie
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Schnitt Kegel mit Zylinder  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-07-06
Uaaah
J

Hallo,


hab hier mal wieder ein Problem.
Ich will nen Kegel mit nem Zylinder schneiden.
Ich brauche eigentlich nur den Sonderfall, dass Kegelachse
die Zylinderachse schneidet, und Kegelachse senkrecht
zu Zylinderachse steht.
Ich will diese Schnittkurve mit nem Spline oder ner Polylinie
interpolieren und dabei ringsum z.B. 360 Stützpunkte haben.
Wir nachher programmiert.

Man stelle sich vor, dass man ein zylindrisches Loch in nen Zylinder
bohrt (senkrecht zur Achse), dann nimmt man ein kegelförmiges
Werkzeug um ne sogenannte "Fase" an die Schnittkante zu schneiden,
in der man beispielsweise nen kegelförmigen Schraubenkopf versenken kann.

Ich hab schon ne Lösung, je nachdem welche Größen bekannt sind
bekomme ich dabei Lindwürmer aus Gleichungen vierter
Ordnung, bin zu faul das alles hinzuschreiben.

Daher nur mein Ansatz:

1) Kegel als Skalarprodukt, Kegelachse zu Vektor zu beliebigen Punkten auf Kegelfläche, eingeschlossener Winkel ist der Kegelwinkel.

2) Dreieck in Ebene die senkrecht zum Zylinder steht, mit
1. Punkt in Zylinderachse,
2. Punkt auf (Gerade die durch Kegelspitze geht und parallel zur Zylinderachse ist),
3. Punkt ist der gesuchte Schnittpunkt zwischen Kegel und Zylinder.

Hatte dann Informationen zu Kegel und Zylinder und konnte beide dann
zu den bereits erwähnten Lindwürmern verknuddeln... mittlerweile
denke ich, dass es vielleicht besser wäre, den Kegel als Geradenschar
zu betrachten und mir für jeden Stützpunkt ne Gerade zu basteln und
die mit dem Zylinder zu schneiden.

Jetzt stellt sich mir als bekennender Mathe-Laie aber die Frage,
ob mein(e) Lösungsweg(e) nicht reichlich umständlich sind...
gibt es irgendwelche Verfahren mit denen sich sowas mit weniger
Nachdenken und Bleistiftabnutzung lösen lässt?


Danke schonmal fürs Lesen!
[ Nachricht wurde editiert von Uaaah am 06.07.2010 21:25:55 ]

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Numerisches Verfahren?
Meintest Du 1 bis 4 aus dem letzten Post?
Hatte ich nie ernsthaft im Sinn.

CORDIC scheint letztendlich von der CPU bei trigonometrischen
Funktionen genutzt zu werden wenn ich Wikipedia trauen will.

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Danke!

Die weitere Vereinfachung war eher als Scherz gedacht.
Rein aufgrund der Performance wäre wie im Themenstart
bereits erwähnt sogar die Variante

1) Nehme ein halbwegs sinnvolles x
2) Berechne a*sin(x) + b*cos(x)
3) Vergleiche Ergebnis mit c
4) Nutze das Ergebnis für eine neue Iteration mit neuem x

vertretbar gewesen.
Aber nunmal völlig daneben, wenn's auch einfacher geht.

Den CORDIC-Algorithmus werde ich mir mal merken,
man weiß nie wann man sowas mal brauchen kann.

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Danke!

Hab auf der Wikipedia-Seite unter "Sinusoid"
sogar ne passendere Formulierung gefunden,
die meinem einfachen Gemüt sehr entgegen kommt:

fed-Code einblenden

bezogen auf mein Problem ergibt sich

fed-Code einblenden

Ich glaube, viel günstiger wird's nicht werden...
oder hat jemand noch ne Idee, wie ich die unglaublich
teuren trigonometrischen Funktionen, Divisionen und
die Wurzel ersetzen kann? wink

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Nach Beitrag 2 bekomme ich:

a*sin(x) + b*sqrt(1-sin^2(x)) = c

...

x = arcsin[ (2ac +- sqrt( 4a^2c^2 - 4(a^2+b)(c^2-b) ) ) / 2(a^2+b) ]

Ist ohne Gefrickel im Komplexen lösbar, falls

a^2 + b - c^2 >= 0

In meinem Programm wird das immer der Fall sein,
daher ziehe ich diese Lösung vor.
Die Lösung mit der komplexen e-Funktion ist allgemeiner,
für meine Zwecke reicht aber die eingeschränkte Version.

Vielen Dank! Hätte ich auch selber drauf kommen können,
wenn ich mir das im Nachhinein so ansehe... wink

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Danke Euch beiden!

Zu Beitrag 1:

y = exp(ix)

sin(x) = ( y - 1/y ) / 2i

cos(x) = ( y + 1/y ) / 2

a( y - 1/y )/2i + b(y + 1/y)/2 = c

(a/2i + b/2)y + (b/2 - a/2i)/y = c

(a/2i + b/2)y^2 - cy + (b/2 - a/2i) = 0

y1,2 = (+c +- sqrt(c^2 - 4x(a/2i + b/2)*(b/2 - a/2i) ) )/2*(a/2i + b/2)

y1,2 = ( c +- sqrt(c^2 - (a^2 + b^2) ) / (a/i + b)

Oder?

y ist zwar eine komplexe Zahl, ist aber ein-, äh, zweideutig berechenbar.
Könnte klappen, müsste nur mit komplexen Zahlen hantieren.
Ist aber ein möglicher Weg, und erfüllt auf jeden Fall die Anforderung
"analytische Lösung".
Danke!

Zu Beitrag 2:
Danke, werde ich mal probieren, vielleicht kann ich mir dann das Gefrickel mit den komplexen Zahlen sparen!


[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]

Analysis
  
Thema eröffnet von: Uaaah
Analytische Lösung für x aus : a*sin(x) + b*cos(x) = c  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2010-06-05
Uaaah
J

Hallo,


ich hab hier ein Problem,
welches mir persönlich nicht trivial erscheint,
und hoffe, dass jemand Lust hat, sich damit zu beschäftigen:

Ich hab ne Gleichung

a*sin(x) + b*cos(x) = c

wobei

a,b,c bekannte reelle Zahlen > 0 sind,

und ich will daraus den Winkel x berechnen.

Da ich das in nem Programm verwende, könnte ich die Gleichung
auch iterativ numerisch lösen, d.h. ein x als Startwert nehmen,
und solange "rumprobieren" bis der Fehler kleiner als irgendeine
Toleranz wird.
Der Perfomance-Nachteil wäre in dem Fall sogar erträglich.

Falls eine analytische Lösung existiert, wäre eine solche
Vorgehensweise allerdings voll daneben.

Daher meine Frage:
Kann die Gleichung so umgeformt werden, dass ich x mit Standard-Funktionen wie etwa arcsin, arctan, whatever berechnen kann?

Oder kann die Gleichung zumindest so umgeformt werden, dass eine rekursive Reihenentwicklung direkt zum Ergebnis führen würde, was immer noch eleganter wäre als o.g. iterative Methode?


Danke schonmal fürs Lesen!
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