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Thema Eingetragen
Autor

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dreadwar
Konvergenznachweis Potenzreihe  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-07 09:46
Vercassivelaunos
J
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Die Idee ist genau richtig. Nur am Schluss beim Lösen der Ungleichung ist dir ein Fehler unterlaufen: aus $z^2<R$ nicht $z<\pm\sqrt R$, sondern $\vert z\vert<\sqrt R$. Außerdem ist nur dann $\vert z^2\vert=z^2$, wenn $z$ reell ist. Aber $z$ steht meistens für eine komplexe Zahl, ich gehe also davon aus, dass ihr im Komplexen rechnet. In dem Fall solltest du den Zwischenschritt zu $z^2<R$ durch $\vert z\vert^2<R$ ersetzen.
\(\endgroup\)

Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Dreadwar
Konvergenznachweis Potenzreihe  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-06 23:45
Vercassivelaunos
J
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Hallo Dreadwar,

die Voraussetzung $a_k\neq0$ gilt nur für Euler, nicht aber für Hadamard. Die Formel von Hadamard ist ja $R=\left(\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{\vert a_k\vert}\right)^{-1}$. Den $\limsup$ kann man auch berechnen, wenn in der Wurzel Nullen stehen.
Außerdem ist im Kontext von Potenzreihen $0^0:=1$, denn der Term $a_0z^0$ soll eine Konstante sein. Für die Notation ist es aber einfacher, das $z^0$ mitzuschleppen, weil man dann keine Ausnahme für den 0-ten Term machen muss.

Zur eigentlichen Aufgabe: Du solltest versuchen, die Potenzreihe in die Form $\sum_k a_kx^k$ zu bringen. Am besten solltest du die Hilfsvariable (ich nenne sie mal $x$) also so wählen, dass die Potenzreihe genau diese Form annimmt.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shurian
Defekt-Ungleichung Komposition  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-06 14:07
Vercassivelaunos
J

Stimmt, ich hatte die Ungleichung falschrum gelesen. Mein Fehler.

Lineare Abbildungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Shurian
Defekt-Ungleichung Komposition  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-06 13:59
Vercassivelaunos
J
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Hallo Shurian,

du musst im Prinzip nur noch zeigen, dass $\dim(\im(g))-\dim(\im(g\circ f))\geq0$, was widerum äquivalent zu $\dim(\im(g))\geq\dim(\im(g\circ f))$ ist. Das solltest du relativ einfach zeigen können.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
\(\endgroup\)

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Was ist eine beschränkte Komponente mit verschwindender Umlaufzahl ?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-06 11:26
Vercassivelaunos
 

Hallo Pter87,

um ein Beispiel für eine dieser von Kampfpudel erwähnten Kurven zu nennen: Stell dir zwei einander überlappende Kreise vor, von denen einer im Uhrzeigersinn durchlaufen wird, und der andere entgegen dem Uhrzeigersinn. Eine „Kurve“, welche diese beiden Kreise durchläuft, hat um jeden Punkt, der im Überlappungsbereich liegt, Umlaufzahl 0. Natürlich ist das keine echte Kurve, weil sie nicht stetig parametrisiert werden kann. Das lässt sich umgehen, indem man die Kreise aufschneidet und miteinander verbindet. Die Umlaufzahl ändert sich dadurch nicht.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos

Determinanten
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LineareAlgebruh
Determinante einer Matrix bestimmen, welche Sinus- und Cosinus enthält?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-04 00:00
Vercassivelaunos
 
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Hallo LineareAlgebruh,

nur als kleine Anmerkung, die nicht nur direkt auf diese Aufgabe anzuwenden ist: die Regel von Sarrus ist einfach nur die Leibnizsche Summenformel für den Spezialfall von $3\times3$-Matrizen. Falls ihr diese Summenformel kennt, dann kennt ihr also auch die Regel von Sarrus.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-12-03 21:43
Vercassivelaunos
 
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Sorry, mit deutlicher Verspätung:

Die leere Menge ist nicht die einzige Nullmenge. Jede abzählbare Menge ist eine Nullmenge bezüglich des Lebesguemaßes. Nicht nur das, es gibt sogar überabzählbare Mengen, die Nullmengen sind, beispielsweise die Cantor-Menge. Das reicht also nicht um zu zeigen, dass eine dieser Mengen keine Nullmenge ist.
Überleg mal eher so: wenn $\lambda(A_{\varepsilon_k})=0$ für alle $k$, wie groß wäre denn dann $\lambda(X)$?
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.13 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-26 18:33
Vercassivelaunos
 
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Das geht mit den Rechenregeln für Maße. $\sigma$-Additivität und $\sigma$-Subadditivität erlauben zum Beispiel, die Maße von Vereinigungen von Mengen zu bestimmen oder zumindest abzuschätzen. Ähnlich kann man auch die Maße von Schnitten von Mengen abschätzen. Oder von Mengendifferenzen. Zum Beispiel ist $\lambda(A\backslash B)=\lambda(A)-\lambda(B)$, falls $B\subset A$. Oder wenn $B=\bigcup_{n}A_n$, dann ist $\lambda(B)\geq\lambda(A_n)$ für alle $n$.
So kann man häufig die Maße von Mengen bestimmen oder abschätzen, wenn man sie aus anderen Mengen mit bekanntem Maß konstruieren kann.
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.11 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-26 14:04
Vercassivelaunos
 
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Leider kann $X$ durchaus vollständig unzusammenhängend sein. Zum Beispiel $[0,1]\backslash\Q$. Du wirst also gar nicht zeigen können, dass die Menge ein Intervall enthält, denn eventuell tut sie das gar nicht.

Versuch es mal so: Sei $A_\varepsilon:=\{x\in[0,1]~\vert~\textrm{Es gibt unendlich viele $k\in\Z$, sodass }f(x+k)>\varepsilon\}$. Versuche jetzt, die Menge $X:=\{x\in[0,1]~\vert~f(x+n)\textrm{ oder }f(x-n)\textrm{ konvergiert nicht gegen }0\}$ als eine abzählbare Vereinigung von Mengen der Form $A_\varepsilon$ darzustellen.
Wenn du zeigen kannst, dass eine dieser Mengen positives Maß hat, dann kannst du aus ihr eine passende Menge konstruieren, die unendliches Maß hat und auf der $f$ durch $\varepsilon$ nach unten beschränkt ist.
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-25 20:54
Vercassivelaunos
 
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Es geht auf jeden Fall schon in die richtige Richtung! Das Problem ist jetzt noch, dass das passende $\varepsilon$, sodass unendlich viele $f(x+n)>\varepsilon$ sind, von $x$ abhängt. Du müsstest noch zeigen, dass es ein $\varepsilon>0$ gibt, sodass deine gewählte Menge eine Nicht-Nullmenge ist.
\(\endgroup\)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wann sind beliebige Wege homotop zueinander ?  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-25 13:12
Vercassivelaunos
 
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Ich bin bisher wegen Pter87's voriger Frage zur Funktionentheorie von einer Teilmenge von $\C$ mit der entsprechenden Topologie ausgegangen. War das so gemeint, Pter87?
\(\endgroup\)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wann sind beliebige Wege homotop zueinander ?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-25 11:42
Vercassivelaunos
 
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Ja, Wege mit der selben Kurve sind homotop. Eine simple Homotopie wäre, den ersten Weg entlang der Kurve in den Startpunkt zusammenzuziehen ($H(s,t)=\gamma_1(\frac{1}{2}-s)t)$ für $s\leq\frac{1}{2}$), und dann den zweiten Weg wieder entlang der Kurve auszufahren ($H(s,t)=\gamma_2((2s-1)t)$ danach).
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-25 00:04
Vercassivelaunos
 
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Die Menge muss ja kein Intervall sein. Es wird auch nicht zielführend sein, sie in so konkreter Form anzugeben.
Weiterer Hinweis:
Betrachte mal den Fall, dass für eine Nicht-Nullmenge $X\subseteq[0,1]$ gilt, dass NICHT $f(x+n)\to0$ für alle $x\in X$. Dann gibt es für jedes dieser $x$ ein $\varepsilon>0$, sodass es unendlich viele $n_k\in\N$ gibt, für die $f(x+n_k)>\varepsilon$ gilt.
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-24 14:08
Vercassivelaunos
 
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Ja, allerdings ist $f$ auf dieser Menge nicht zwingend durch eine positive Konstante nach unten beschränkt. Das Beispiel aus meinem ersten Post nimmt auf dieser Menge zum Beispiel auch den Wert 0 an. Du solltest eben auch benutzen, dass besagte Folgen nicht gegen 0 konvergieren.
\(\endgroup\)

Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-24 10:08
Vercassivelaunos
 
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Ja, für elementare Funktionen sieht das so aus, auch wenn es $f>C>0$ sein sollte. Es gilt aber ganz allgemein, dass $\int_A f\d\lambda\geq\inf_A(f)\lambda(A)$. Wenn $\lambda(A)=\infty$, dann ist natürlich auch das Integral unendlich, $f$ also nicht integrierbar. Das kannst du dann für den Widerspruchsbeweis benutzen: Wär eine der beiden Folgen nicht gegen 0 konvergent, dann gäbe es eine Menge $A\subset\R$ mit $\lambda(A)=\infty$, sodass $\inf_A(f)=C>0$, weshalb $\int_A f\d\lambda=\infty$, womit $f$ entgegen der Annahme nicht integrierbar wäre. Die Existenz der Menge $A$ musst du halt noch zeigen.
\(\endgroup\)

Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wann sind beliebige Wege homotop zueinander ?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-24 09:55
Vercassivelaunos
 
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Ja, die Homotopie $H$ von oben funktioniert nur in konvexen Mengen. In sternförmigen Mengen muss sie anders gewählt werden, zum Beispiel indem man die Kurve erst vollständig in ein Sternzentrum zusammenzieht, und dann wieder „ausfährt“. So etwa:

Sei $x_0$ ein Sternzentrum. Definiere $H:[0,1]^2\to X$ durch

\[H(t,s):=\cases{2sx_0+(1-2s)\gamma_1(t) & $s\leq\frac{1}{2}$\\
(2s-1)\gamma_2(t)+(2-2s)x_0 & $s>\frac{1}{2}$}\]
Bei komplizierteren Mengen wird es natürlich immer schwieriger. Da könnte man wohl versuchen, die Menge als Vereinigung von Sterngebieten darzustellen, deren Schnitte wieder Sterngebiete sind, um so die Kurve von Sterngebiet zu Sterngebiet zu transportieren. Das wird aber eine ziemliche Fummelei.
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Lebesgue-Integral
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: AlinAxyz99
Lebesgue-Integration  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23 22:36
Vercassivelaunos
 
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Hallo AlinAxyz99,

dein Ansatz funktioniert leider nicht. Betrachte zum Beispiel die charakteristische Funktion der Menge $\bigcup_{n\in\N_0}[n,n+\frac{1}{2^n})$. Du wirst beliebig große Zahlen finden, auf denen diese charakteristische Funktion den Wert 1 annimmt. Da die Intervalle aber immer kleiner werden, ist das Integral endlich, nämlich gerade gleich der Summe der Intervalllängen, sprich, $\sum_n\frac{1}{2^n}=2$.
Alternatives Vorgehen: Nimm an, eine der beiden Folgen würde doch nicht gegen 0 konvergieren. Dann konstruiere dir eine Menge mit Lebesguemaß $\infty$, auf der $f$ nach unten beschränkt ist (mit einer unteren Schranke $C>0$).

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wann sind beliebige Wege homotop zueinander ?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-23 21:00
Vercassivelaunos
 
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Hallo Pter87,

es reicht sogar schon, wenn $X$ einfach zusammenhängend ist. Per Definition ist das eher trivial, da einfach zusammenhängende Mengen gerade darüber definiert sind, dass geschlossene Kurven nullhomotop sind, was äquivalent dazu ist, dass je zwei Kurven mit gleichen Anfangs- und Endpunkten homotop sind. Bildlich werden lassen sich solche Mengen aber als Mengen ohne Loch charakterisieren.
Sterngebiete sind einfach zusammenhängend, also gilt die Aussage auch dort.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Anwendung der Cauchyschen Integralformel  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-21 23:20
Vercassivelaunos
J

Das hängt ganz von deinem Prof/Tutor ab. Bei so einfachen Kurven wie ein mehrfach durchlaufener Kreis werden das die meisten wohl nicht beanstanden, wenn du sagst, die Windungszahl sei offensichtlich. Mit der Formel wäre das aber ja auch schnell ausgerechnet.

Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Anwendung der Cauchyschen Integralformel  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-11-20 23:49
Vercassivelaunos
J
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Hallo Pter87,

in diesem Fall muss man die Integralformel erweitern:

\[\operatorname{W}_\gamma(z)f(z)=\frac{1}{2\pi\i}\int_\gamma\frac{f(w)}{w-z}\d w\]
mit der Windungszahl der Kurve $\gamma$ um $z$:

\[\operatorname{W}_\gamma(z):=\frac{1}{2\pi\i}\int_\gamma\frac{1}{z-w}\d w.\]
Die Windungszahl gibt im Endeffektnur an, wie oft die Kurve um $z$ herumläuft. Wenn sie häufiger drumrumläuft, dann ist das Integral entsprechend ein $\operatorname{W}_\gamma(z)$-faches Vielfaches von $f(z)$.

Viele Grüße,
Vercassivelaunos
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