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Stochastik und Statistik
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LehramtsStudi2016
Borelsche σ-Algebra über den reellen Zahlen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-18 20:26
Vercassivelaunos
 
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Hallo LehramtsStudi2016,

die Idee ist richtig, aber ausführen musst du sie schon. Im Prinzip kannst du sagen, dass wenn $A$ von den offenen Intervallen $\{I_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$ erzeugt wird, dann $A+x$ von den ebenfalls offenen Intervallen $\{I_\lambda+x\}_{\lambda\in\Lambda}$ erzeugt wird. Dazu musst du nur zeigen, dass die Translation $+x$ mit Komplementbildung sowie abzählbaren Vereinigungen vertauscht. Dass also $(I+x)^c=I^c+x$ und $\bigcup_{k=1}^\infty (I_k+x)=\left(\bigcup_{k=1}^\infty I_k\right)+x$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Informatik-Rentner
ist die Summenregel für konvergente Reihen ∞ oft anwendbar?  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-04-09 20:43
Vercassivelaunos
J
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Hallo Informatik-Rentner,

die allgemeine Antwort lautet: nein. Die speziellere Antwort lautet: ja, wenn gewisse Bedingungen erfüllt sind. Speziell geht es um den großen Umordnungssatz, und die Reihen, die du betrachtest, nennt man Doppelreihen.

Eine Doppelreihe ist eine Reihe der Form $\sum_{i=0}^\infty\sum_{j=0}^\infty a_{ij}$. Der große Umordnungssatz besagt:

Wenn es eine Schranke $M>0$ gibt, sodass $\sum_{i=0}^m\sum_{j=0}^n \vert a_{ij}\vert<M$ für alle $m,n\in\mathbb N$, dann gilt:

1. $\sum_{i=0}^\infty a_{ij}=:S_j$ konvergiert für alle $j\in\mathbb N$ absolut.
2. $\sum_{j=0}^\infty a_{ij}=:Z_i$ konvergiert für alle $i\in\mathbb N$ absolut.
3. Die Reihen $\sum_{i=0}^\infty Z_i$ und $\sum_{j=0}^\infty S_j$ konvergieren beide absolut und haben denselben Wert.

Speziell 3. ist die Aussage, die du suchst. Sie besagt nämlich, dass man auch die beiden unendlichen Summen vertauschen kann, so wie man endliche mit unendlichen Summen vertauschen kann.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Polynome
Beruf 
Thema eröffnet von: sulky
Kommutativität von Polynomen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-15
Vercassivelaunos
 
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Hallo sulky,

es gehört zur Definition einer $K$-Algebra, dass jedes Element der Algebra mit jedem Element von $K$ unter Multiplikation kommutiert. Hier hast du eine $\mathbb C$-Algebra, deren Elemente also mit jeder komplexen Zahl kommutieren. Untereinander müssen die Elemente nicht kommutieren, aber das ist auch egal, denn in das Polynom setzt du nur ein einziges Element ein, das ja mit sich selbst und mit den Koeffizienten des Polynoms kommutiert.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Jabaa2
Singularitäten, Residuum und Integral einer komplexwertigen Funktion  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-05
Vercassivelaunos
J
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Ja, die Lösung sieht beim Überfliegen so richtig aus.

Der Grund, warum die Faktoren bei der Bestimmung der Art der Singularität weggelassen werden dürfen, ist, dass sie in einer Umgebung der Singularität holomorph und ungleich $0$ sind. Hat nämlich die holomorphe Funktion $f=gh$ mit ebenfalls holomorphen Faktoren $g$ und $h$ eine Singularität in $z_0$ und ist $h$ holomorph in die Singularität fortsetzbar mit $h(z_0)\neq0$, dann gilt:

1. $f$ ist genau dann stetig (und damit holomorph) nach $z_0$ fortsetzbar, wenn $g$ stetig (und damit holomorph) nach $z_0$ fortsetzbar ist.
2. Gleiches gilt für $(z-z_0)^mf(z)$ und $(z-z_0)^m g(z)$.

$f$ hat also genau dann eine hebbare Singularität, wenn $g$ das hat, genau dann einen Pol der Ordnung $k$, wenn $g$ ihn hat, und damit automatisch genau dann eine wesentliche Singularität, wenn $g$ auch eine hat. Punkt 1 zu zeigen ist eine leichte Übungsaufgabe, und Punkt 2 funktioniert exakt gleich, nur dass man im Beweis überall noch den Faktor $(z-z_0)^m$ mitschleppt.
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Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Nichtvollständiger Raum (Analysis)  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-05
Vercassivelaunos
 
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Wie man drauf kommt, war bei mir erstmal reine Intuition: Der Grenzwert der Folgen, bei denen immer ein Glied der Form $\frac1k$ mehr dazu kommt, ist die Folge, bei der alle Glieder der Form $\frac1k$ da sind. Zu beweisen, dass sie tatsächlich der Grenzwert ist, ist dann standard:

\[\Vert (a^{(n)})-(b)\Vert=\sqrt{\sum_{k=0}^\infty (a^{(n)}_k-b_k)^2}=\sqrt{\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k^2}}.\]
Außerdem ist $\sum_{k=n+1}^\infty\frac{1}{k^2}$ das Restglied der Reihe $\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2}$, die bekanntermaßen konvergiert. Das Restglied muss dann gegen 0 konvergieren. Die Wurzel des Restgliedes entsprechend auch. Also gilt $\Vert (a^{(n)})-(b)\Vert\to0$, und damit $(a^{(n)})\to (b)$.
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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Jabaa2
Singularitäten, Residuum und Integral einer komplexwertigen Funktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-05
Vercassivelaunos
J
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Dass das Residuum bei $z=-3$ wesentlich ist, stimmt zwar, aber die Laurentreihe, mit der du das bewerkstelligt hast, ist nicht richtig. Die Exponentialfunktion hat die Reihendarstellung $\mathrm e^z=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}$, entsprechend hat deine Funktion die Reihendarstellung
\[\mathrm e^{\frac{1}{z+3}}=\mathrm e^{(z+3)^{-1}}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(z+3)^{-k}}{k!}.\]
Bei den anderen beiden Singularitäten musst du außerdem noch besser begründen, wieso du einfach den jeweils anderen Faktor weglassen darfst. Faktoren wegzulassen ist etwas anderes, als Summanden wegzulassen. Beispielsweise hat $\frac{z^2}{z}$ eine hebbare Singularität bei $z=0$, aber wenn man den holomorphen Faktor $z^2$ entfernt, dann hat man $\frac1z$, was eine Polstelle hat.

Was den Indexshift angeht: Das Residuum hängt nicht davon ab, wie man die Reihe aufschreibt. Wichtig ist nur, dass das Residuum der Koeffizient zum Term $(z-z_0)^{-1}$ ist. Ob das bei $k=-1$ der Fall ist, weil man die Reihe in der Form $\sum_{k=-\infty}^\infty a_k(z-z_0)^k$ aufschreibt, oder bei $k=1$, weil sie die Form $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^{-k}$ hat, ist dafür nicht relevant. Zu seiner Berechnung würde ich dir in diesem Fall aber ohnehin nicht die Laurentreihe empfehlen. Das geht viel einfacher mit der Cauchyschen Integralformel. Die besagt nämlich, dass
\[\frac{1}{2\pi\mathrm i}\int_{\vert z-1\vert=\frac{1}{2}}\frac{\sin z}{z(z-1)}\mathrm dz=\frac{\sin 1}{1}.\] Nach Residuensatz ist das aber auch gerade das Residuum.
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Funktionalanalysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: servus1991
Nichtvollständiger Raum (Analysis)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-04
Vercassivelaunos
 
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Hallo servus1991,

1) Skalarprodukte definieren eine Norm, und damit eine Metrik. Nämlich ist die Norm $\Vert x\Vert:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$, und dann ist die Metrik $d(x,y):=\Vert x-y\Vert$. In diesem konkreten Fall ist also $\Vert a\Vert=\sqrt{\sum_{k=0}^\infty a_k^2}$.

2) Die Vervollständigung dieses Raums ist der Raum $\ell^2$ der quadratsummierbaren Folgen, also Folgen $a_k$ mit $\sum_{k=0}^\infty a_k^2<\infty$. In diesem Raum wäre der Grenzwert der genannten Folge ganz schlicht die Folge $b_k=\frac 1k$.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Integration
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Jabaa2
Singularitäten, Residuum und Integral einer komplexwertigen Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-04
Vercassivelaunos
J
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Hallo Jabaa2,

grundsätzlich ist es so, dass wenn eine Funktion $f$ auf einem Ringgebiet mit Mittelpunkt $z_0$ holomorph ist, sie sich auf diesem Ringgebiet durch eine Laurentreihe mit Entwicklungspunkt $z_0$ darstellen lässt. Das gilt getrennt für jedes Ringgebiet, auf dem die Funktion holomorph ist. Du hast ja für deine Funktion beispielsweise schon drei Ringgebiete mit Mittelpunkt $0$ gefunden, auf denen $f$ jeweils holomorph ist. Für jedes dieser Ringgebiete gibt es eine eigene Laurentreihe. Zur Bestimmung des Typs der Singularität eigenet sich ausschließlich jene Laurentreihe, die für die punktierte Scheibe direkt um die Singularität herum gilt. Ein instruktives Gegenbeispiel für die anderen Fälle wäre beispielsweise die Funktion $f(z)=\frac{1}{z-1}+\frac{1}{z+1}$. Sie ist auf dem Ringgebiet $\{z\in\mathbb C~\vert~\vert z\vert>2\}$ holomorph, und besitzt dort also eine Laurentreihe mit Entwicklungszentrum $z_0=0$. Ein Integral entlang eines Kreises, der einmal entgegen dem Uhrzeigersinn um das Loch dieses Ringgebiets läuft, ergibt laut Residuensatz $4\pi\mathrm i$ (die Residuen in den beiden Singularitäten sind beide 1). Dann muss der $(z-z_0)^{-1}$-Term in der Laurentreihe den Koeffizienten 2 haben. Wenn wir nach Laurentreihe gingen, hätten wir also mindestens einen Pol in $z_0$, wenn nicht gar eine wesentliche Singularität. Aber $f$ ist ja stetig in $z_0=0$, es kann also beides nicht sein.

Wenn du also die Art der Singularität in $z_0=-3$ durch eine Laurentreihe herausfinden willst, dann musst du die Laurentreihe für das Ringgebiet $\{z\in\mathbb C~\vert~0<\vert z+3\vert<3\}$ bestimmen.

Ein weiterer Tipp: der Summand $\frac{\sin z}{z(z-1)}$ ist holomorph in einer Umgebung von $-3$, hat also keinen Einfluss auf die Art der Singularität dort. Es reicht also, die Art der Singularität von $\exp\left(\frac{1}{z+3}\right)$ zu bestimmen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wie finde ich alle konformen Abbildungen ?  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-03-02
Vercassivelaunos
 

Ja, Umkehrfunktionen von im Großen konformen Abbildungen sind ebenfalls im Großen konform (was ja auch wichtig für die Idee ist, dass es sich um Isomorphismen handelt, denn die Inverse eines Isomorphismus sollte selbst auch ein Homomorphismus sein!). Was ja auf den ersten Blick überraschend ist, denn beispielsweise sind Umkehrfunktionen bijektiver, differenzierbarer Funktionen nicht unbedingt differenzierbar. Die Umkehrfunktionen bijektiver, holomorpher Funktionen aber schon. Das hat mit der Eigenschaft zu tun, dass holomorphe Funktionen genau dann lokal injektiv sind, wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Deswegen lässt sich die globale Version des Satzes von der Umkehrfunktion auf alle im Großen konforme Abbildungen anwenden (und die lokale Version auf alle im Kleinen konforme Abbildungen).

Und auch ganz richtig, im Großen konforme Abbildungen sind genau die biholomorphen Funktionen. Zu denen natürlich auch die Möbiustranformationen zählen.

Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wie finde ich alle konformen Abbildungen ?  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-28
Vercassivelaunos
 
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Es gibt im Prinzip zwei verschiedene Arten konformer Abbildung, die leider beide konform genannt werden. Ich möchte das hier umgehen, indem ich von "im Kleinen konform" und "im Großen konform" rede (so nennen es beispielsweise auch Busam & Freitag).

Eine Funktion $f:G\to\mathbb C$ ist im Kleinen konform, wenn sie in jedem Punkt winkelerhaltend ist. Eine Funktion ist im Großen konform, wenn sie zusätzlich auch noch bijektiv ist, womit es sich um eine winkeltreue Transformation handelt. Definitionsbereich und Bild einer im Großen konformen Abbildung heißen dann konform äquivalent, das heißt, sie lassen sich so ineinander transformieren, dass dabei alle Winkel erhalten bleiben. Im Kleinen konforme Abbildungen sind also eine Art Homomorphismus, denn sie erhalten einen Teil der Struktur von Gebieten, nämlich die Winkelstruktur (man sagt dazu auch konforme Struktur), so wie Gruppenhomomorphismen die Gruppenstruktur erhalten, und Vektorraumhomomorphismen die Vektorraumstruktur erhalten. Im Großen konforme Abbildungen sind dann die zugehörigen Isomorphismen.

Es stellt sich nun heraus, dass eine Funktion genau dann im Kleinen konform ist, wenn sie holomorph ist und ihre Ableitung nirgends verschwindet. Es stellt sich auch heraus, dass eine holomorphe Funktion genau dann lokal injektiv ist (also in ausreichend kleinen offenen Teilmengen von $G$ injektiv), wenn ihre Ableitung nirgends verschwindet. Also ist eine Funktion genau dann im Kleinen konform, wenn sie holomorph und lokal injektiv ist. Im Großen konform ist sie entsprechend genau dann, wenn sie holomorph und bijektiv ist, und dann sind $G$ und $f(G)$ konform äquivalent.
Dein Dozent erhebt jetzt diese letzte Charakterisierung zur Definition, indem er im Endeffekt sagt, eine Abbildung sei (im Großen) konform, wenn sie holomorph und bijektiv ist.
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Holomorphie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Wie finde ich alle konformen Abbildungen ?  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-27
Vercassivelaunos
 
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Hallo Pter87,

der Riemannsche Abbildungssatz ist hier nur insofern nötig, dass er dir genau klassifiziert, wie $G$ überhaupt aussehen darf. Also wenn $G$ kein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet ist, dann gibt es gar keine solche konforme Abbildung. Ist $G$ jedoch ein nichtleeres, einfach zusammenhängendes Gebiet, so gibt es eine konforme Abbildung $\varphi:\mathbb D\to G$ (die nicht unbedingt $a\mapsto b$ abbildet). Für mehr braucht man den Satz hier nicht.

Sei nun $c:=\varphi^{-1}(b)$. Außerdem sei $\varphi_{ac}$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ und $c$ vertauscht (darfst du gegebenenfalls selbst bestimmen). Dann ist $\psi:=\varphi\circ\varphi_{ac}$ eine konforme Abbildung $\mathbb D\to G$, die $a\mapsto b$ abbildet.

Sei nun $f:\mathbb D\to G$ eine weitere konforme Abbildung mit $f(a)=b$. Dann ist $\eta:=f^{-1}\circ\psi$ ein Automorphismus von $\mathbb D$, der $a$ fixiert. Eine Klassifizierung solcher Automorphismen könntest du kennen oder dir selbst überlegen. Mit diesen Informationen kannst du dann $f$ isolieren, und hast dann dessen allgemeine Form, wenn du die allgemeine Form von $\eta$ kennst.

Anmerkung: $\varphi$ wirst du im Allgemeinen nicht angeben können, da der Riemannsche Abbildungssatz nicht konstruktiv vorgeht. Wenn $G$ aber schon gegeben ist, dann kannst du dir eventuell einen speziellen solchen Automorphismus aussuchen. Dann brauchst du den Abbildungssatz überhaupt nicht.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Mehrdim. Differentialrechnung
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Thema eröffnet von: Pter87
Partielle Ableitung einer harmonischen Funktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-22
Vercassivelaunos
J

Die Reihenfolge welcher Ableitungen welcher Funktion meinst du?

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: lalala0000
Umkehrfunktion einer lipschitzstetigen Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-22
Vercassivelaunos
 
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Hallo lalala0000,

nein, die Umkehrfunktion einer lipschitzstetigen Funktion muss nicht einmal stetig sein, wie die Funktion $f:[0,2\pi)\to S^1,~t\mapsto(\cos t,\sin t)$ zeigt. Dabei ist $S^1\subset\R^2$ der Einheitskreis. Der Radius des Kreises ist eine geeignete Lipschitzkonstante. Das kannst du dir mit Hilfe der Formel $s=2r\sin(\frac{\alpha}{2})$ für die Länge einer Kreissehne, die über den Kreisbogen mit Mittelpunktswinkel $\alpha$ und Radius $r$ gespannt ist, überlegen. Die Bogenlänge $\alpha r$ des Kreisbogens ist hier das $\Vert x-y\Vert$, und die Sehnenlänge ist das $\Vert f(x)-f(y)\Vert$ aus der Definition der Lipschitzstetigkeit.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Mehrdim. Differentialrechnung
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Thema eröffnet von: Pter87
Partielle Ableitung einer harmonischen Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-22
Vercassivelaunos
J
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Hallo Pter87,

$u_x$ ist der Realteil einer geeigneten analytischen Funktion $f:G\to\C$, wenn man $G$ als Teilmenge von $\C$ auffasst. Kannst du eine solche geeignete Funktion finden? Verwende dafür die Tatsache, dass eine Funktion $G\to\R$ genau dann harmonisch ist, wenn sie der Realteil einer analytischen Funktion $G\to\C$ ist.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Potenzreihenentwicklung einer komplexen Funktion  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-11
Vercassivelaunos
J
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Das ist richtig. Beim typischen Aufbau einer Funktionentheorievorlesung lernt man ja auch in dieser Reihenfolge:

1. Was holomorphe Funktionen sind
2. Dass Potenzreihen auf ihrer Konvergenzscheibe holomorph sind
3. Dass sogar jede holomorphe Funktion zumindest lokal wie eine Potenzreihe aussieht, und dass die zugehörige Potenzreihe genau die Taylorreihe ist.

Und ganz richtig, der Identitätssatz garantiert dann, dass es auch keine andere Potenzreihe gibt, welche die Funktion beschreibt. Wobei man dafür gar nicht den Identitätssatz bräuchte: Die Koeffizienten einer Potenzreihe stehen ja in einer 1-zu-1-Korrespondenz mit den Ableitungen der Potenzreihe in ihrem Zentrum. Wenn sich eine Funktion in einer kleinen Umgebung eines Punktes $z_0$ als Potenzreihe schreiben lässt, dann kann es nur eine geeignete Potenzreihe geben, denn das Verhalten der Funktion in besagter Umgebung bestimmt schon alle Ableitungen vollständig.
Der Identitätssatz ist ja viel stärker. Er besagt nämlich, dass es nicht einmal nötig ist, dass die beiden Potenzreihen in einer offenen Menge übereinstimmen, sondern dass es schon reicht, wenn sie in abzählbar vielen Punkten übereinstimmen, die sich im Entwicklungspunkt häufen.

Aber um es nochmal auf den Punkt zu bringen: Taylorentwicklung und Potenzreihenentwicklung sind im Endeffekt das gleiche, und werden im Sprachgebrauch auch synonym benutzt.
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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Potenzreihenentwicklung einer komplexen Funktion  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-08
Vercassivelaunos
J
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Tatsächlich konvergiert $f_k\to f$ nicht nur punktweise, sondern kompakt. Kompakte Konvergenz bedeutet, dass die Konvergenz auf kompakten Mengen gleichmäßig ist. Potenzreihen konvergieren auf ihrer Konvergenzscheibe kompakt. Insbesondere heißt das, dass sie auf allen Scheiben mit kleinerem Radius als dem Konvergenzradius gleichmäßig konvergieren, denn deren Abschluss ist kompakt und in der Konvergenzscheibe enthalten.

Der Konvergenzradius gibt also tatsächlich an, auf welcher Scheibe die Reihe punktweise konvergiert. Aber auf jeder kleineren Scheibe (und deren Teilmengen) ist die Konvergenz sogar gleichmäßig.
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Folgen und Reihen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Pter87
Potenzreihenentwicklung einer komplexen Funktion  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-02-08
Vercassivelaunos
J

Hallo Pter87,

kurz und knapp: ja, das kann man.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

Konvergenz
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Schnubelub
Konvergenz einer Funktionenfolge prüfen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
Vercassivelaunos
 
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Hallo Schnubelub,

setz mal $x=0$ ein und überprüfe die Konvergenz für diesen einen Punkt.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Topologie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: mathescience
Untermannigfaltigkeit  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-27
Vercassivelaunos
 
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Hallo mathescience,

es ist eigentlich gar nicht so wild, vieles von dem, was du schreibst, kennst du eigentlich aus der Schule. Die $x$-Achse besteht aus allen Punkten, deren $y$-Koordinate $0$ ist. Die $x$-Achse ist also die Lösungsmenge der Gleichung $y=0$, deshalb diese Darstellung von $A$.
$\Gamma$ ist der Graph der Funktion $f$, und Funktionsgraphen kennst du: Der Graph einer Funktion ist die Menge aller Punkte, die man bei der typischen graphischen Darstellung einer Funktion markiert. Der Graph der Funktion $f:\mathbb R\to\mathbb R,~x\mapsto x$ ist also beispielsweise die Gerade, welche den ersten und dritten Quadranten halbiert. Allgemein ist der Graph einer Funktion $f:\mathbb R\to\mathbb R$ die Menge $\{(x,f(x))~\vert~x\in\mathbb R\}$. So funktioniert ja die graphische Darstellung einer Funktion: man markiert zu jedem möglichen Element $x$ des Definitionsbereichs den Punkt, dessen $x$-Koordinate gerade $x$ ist, und dessen $y$-Koordinate $f(x)$ ist. Also alle Punkte der Form $(x,f(x))$.
Die Vereinigung $A\cup\Gamma$ ist dann einfach nur die ganz gewöhnliche Vereinigung von Mengen.

Viele Grüße
Vercassivelaunos
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Körper und Galois-Theorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: LamyOriginal
Zerfällungskörper über F_3  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-20
Vercassivelaunos
 
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2021-01-20 16:37 - LamyOriginal in Beitrag No. 4 schreibt:
Aber ich finde ja nicht mal eine Nullstelle...
\(\begingroup\)\(\newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\F}{\mathbb{F}} \newcommand{\K}{\mathbb{K}} \newcommand{\E}{\mathbb{E}} \newcommand{\H}{\mathbb{H}} \newcommand{\D}{\mathrm{D}} \newcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\span}{\operatorname{span}} \newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\grad}{\operatorname{grad}} \newcommand{\zyk}[1]{\Z/#1\Z} \newcommand{\matrix}[1]{\left(\begin{matrix}#1\end{matrix}\right)} \newcommand{\vector}[1]{\left(\begin{array}{c}#1\end{array}\right)} \newcommand{\align}[1]{\begin{align*}#1\end{align*}} \newcommand{\ket}[1]{\left\vert#1\right>} \newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right\vert} \newcommand{\braket}[2]{\left<#1\middle\vert#2\right>} \newcommand{\braketop}[3]{\left<#1\middle\vert#2\middle\vert#3\right>} \newcommand{\mean}[1]{\left<#1\right>} \newcommand{\lvert}{\left\vert} \newcommand{\rvert}{\right\vert} \newcommand{\lVert}{\left\Vert} \newcommand{\rVert}{\right\Vert} \newcommand{\Abb}{\operatorname{Abb}}\)

Hi LamyOriginal,

wie würdest du denn beispielsweise eine Nullstelle von $X^2-2\in\mathbb Q[X]$ finden? Und wenn du mir jetzt sagst, offensichtlich sei $\sqrt2$ eine, dann erkläre mir, was $\sqrt2$ sein soll wenn nicht einfach "eine Nullstelle von $X^2-2$".

Es geht mir hier darum zu sagen, dass es eigentlich unwesentlich ist, wie die Nullstelle deines Polynoms aussieht. Wesentlich ist nur, dass es eine gibt. Die Zahl $\sqrt2$ behandeln wir ja auch größtenteils nur darüber, dass sie eben eine Nullstelle von $X^2-2$ ist, und nicht indem wir eine konkrete Konstruktion angeben.

Wenn du aber eine konkrete Konstruktion willst: Falls $f$ irreduzibel ist, so ist die Restklasse von $X$ als Element von $\mathbb F_3[X]/(f)$ eine Nullstelle des Polynoms $f$ im Körper $\mathbb F_3[X]/(f)$. Ich empfehle dir aber, nicht damit zu rechnen. Es macht nämlich keinen Spaß und ist auch unwichtig.

Viele Grüße
Vercassivelaunos

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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