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Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 17:28
Wario
J

2021-01-26 17:27 - Red_ in Beitrag No. 17 schreibt:
Dann lassen wir dich in Ruhe.

Danke.

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.16 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 17:15
Wario
J

2021-01-26 17:08 - Kezer in Beitrag No. 15 schreibt:
Es ist nicht "nicht notwendig", sondern es ist schlicht unmöglich. Lese Beitrag No. 11 bitte genauer.

Stimmt, das war dann mein Fehler. Es müsste n² - n + 1 = 5 · X(n) + y, mit 1<y<5 sein. Hast Du so einen Term? Schreib ihn hin oder eben nicht. Bist Du der Meinung, dass ist eh alles unnütz? Dann lass mich bitte in Ruhe.

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.14 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 17:03
Wario
J

Freunde, ich frage -rein interessehalber- nach der Aufgabenstellung mit einem ganzzahligen Term X(n), der n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1 genügt. Aber mehrere Leute wollen mit mir -auf verschiedene Weisen- diskutieren, dass es nicht notwendig ist, nach einen solchen Term zu suchen, da man die Ausgangsaufgabe auch Hauptsache irgendwie beweisen konnte. Also ich hätte schon Besseres zu tun, als so eine überflüssige Debatte.

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 15:21
Wario
J

2021-01-26 14:20 - tactac in Beitrag No. 11 schreibt:
   n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1
ist äquivalent zu
   n² - n = 5 · X(n).
Und das bedeutet: n² - n ist durch 5 teilbar.

Gut, vergessen wir's. Vielleicht kommt es mir irgendwann zugeflogen, dann schreibe ich es auf. Es gibt interessantere Themen, als Endlosdebatten über Formalien.

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 14:18
Wario
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]} \newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner} \newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}\)
2021-01-26 13:47 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
@Wario Es ist in #0 schon festgestellt worden, dass $n^2-n$ nicht immer durch 5 teilbar ist.

Das ist mir alles klar. Ich frage mich, rein interessehalber, ob sich
n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1,
mit einem ganzzahligen Ausdruck  X(n), darstellen lässt.

Anders gesagt: es geht mir nicht um "Hauptsache irgendwie bewiesen", es geht mir um die genannte spezielle Aufgabenstellung.
\(\endgroup\)

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 13:40
Wario
J
\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}\)
2021-01-26 13:25 - Kezer in Beitrag No. 7 schreibt:
2021-01-26 13:15 - Wario in Beitrag No. 6 schreibt:
Mich hätte hier mehr interessiert:
Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?

Naja, du solltest spezifizieren, was du mit "darstellen" meinst, offenbar ist $n^2 - n + 1 = 5 \frac{n^2-n}{5} + 1$...

Naja, so versimpelt natürlich nicht. Ich ging, davon aus, dass es klar ist, dass mit "(...)" ein grundsätzlich ganzzahliger Ausdruck gemeint ist. Der Einwand mag formal berechtigt sein, aber ich wollte jetzt eigentlich weniger irgendwelche Haarspaltereien diskutieren.  
\(\endgroup\)

Teilbarkeit
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Phoensie
n²-n ist nicht durch 5 teilbar  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-26 13:15
Wario
J

Man könnte evtl. auch n²-n+1 betrachten, was nicht durch 5 teilbar ist.
Einen Beweis kann man sich dafür schnell raussuchen.

Mich hätte hier mehr interessiert:
Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
Ich vermute, das darin dann irgendwelche Binomialkoeffizienten vorkommen.

Textsatz mit LaTeX
  
Thema eröffnet von: viertel
TikZ Fehler?  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24 18:19
Wario
 

2021-01-24 17:27 - viertel in Beitrag No. 5 schreibt:
Das Beispiel ist vollständig lauffähig – auf dem Matheplaneten.

Der Helfer probiert normalerweise nicht, den Code auf dem MP zu übersetzen (spezielles LaTeX), sondern in seinem Editor (normales LaTeX).

Textsatz mit LaTeX
  
Thema eröffnet von: viertel
TikZ Fehler?  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24 16:56
Wario
 
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
(0a) Immer vollständige, lauffähige Minimalbeispiele angeben (sonst muss der Helfer das alles selbst ergänzen).

(0b) Möglichst alles beseitigen, was mit dem Problem nichts zu tun hat.

(1a) Möglichst mit Koordinaten arbeiten (s.u.).

(1b) Alles schön in Bearbeitungsblöcke aufteilen:
1. Koordinaten, 2. Konstruktionen, 3. Annotationen, ....

(1c) Nicht alles an Ort und Stelle in den Code schreiben, sondern mehrfach Verwendetes als globalen style definieren.

(2) Das Problem hier ist, dass nodes verwendet werden, obwohl coordinates gewünscht sind.
nodes haben Längenmaße, coordinates sind nur Positionen.

<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
mypointstyle/.style={fill=red, inner sep=2pt},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]

\pgfmathsetmacro\c{17}      % Grundseite c
\pgfmathsetmacro{\H}{0.4*\c}  % Hhe H
\pgfmathsetmacro\Cx{0.6*\c} % Hhenfupunkt

\pgfmathsetmacro\ta{0.65}
\pgfmathsetmacro\tb{0.35}
\pgfmathsetmacro\tc{0.99}

% Koordinaten
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Cx,\H);

\coordinate[label={[below=1mm]:$R$}] (R) at (\Cx,0);
\coordinate[label=135:$A_1$] (A1) at ($(A)!\ta!(C)$);
\coordinate[label=45:$B_1$] (B1) at ($(B)!\ta!(C)$);

% Dreieck:
\draw[fill=lightgray!20] (A) -- (B) -- (C) --cycle;

% Hhe
\draw[dashed] (C) -- (R);

% Horizontale
\draw[] (A1) -- (B1);

% Punkte
\foreach \P in {A1, B1} \node[mypointstyle] at (\P) {};

\foreach \P in {R} \fill[] (\P) circle[radius=3.25pt];
\end{tikzpicture}
</math>

LaTeX
%\documentclass[]{article}
\documentclass[border=5mm]{standalone}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{calc}
 
\begin{document}
 
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
mypointstyle/.style={fill=red, inner sep=2pt}, 
]
 
\pgfmathsetmacro\c{17}      % Grundseite c
\pgfmathsetmacro{\H}{0.4*\c}  % Höhe H
\pgfmathsetmacro\Cx{0.6*\c} % Höhenfußpunkt
 
\pgfmathsetmacro\ta{0.65}
\pgfmathsetmacro\tb{0.35}
\pgfmathsetmacro\tc{0.99}
 
% Koordinaten
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Cx,\H);
 
\coordinate[label={[below=1mm]:$R$}] (R) at (\Cx,0);
\coordinate[label=135:$A_1$] (A1) at ($(A)!\ta!(C)$);
\coordinate[label=45:$B_1$] (B1) at ($(B)!\ta!(C)$);
 
% Dreieck: 
\draw[fill=lightgray!20] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
 
% Höhe
\draw[dashed] (C) -- (R);
 
% Horizontale
\draw[] (A1) -- (B1); 
 
% Punkte 
\foreach \P in {A1, B1} \node[mypointstyle] at (\P) {};
 
\foreach \P in {R} \fill[] (\P) circle[radius=3.25pt];
 
% Für das Problem unwichtig:
 
%\draw ($(A)!\ta!(C)$)
%% node[left,fill=red,inner sep=2pt,label=left:{$A_1$}] (A1) {}
%	-- ($ (B)!\ta!(C) $) %node[right] (B1) {$B_1$}
 
%%\draw[red] ($ (A)!\ta!(C) $) node[left,fill=red,inner sep=2pt] (A1) {}
%	-- ($ (B)!\ta!(C) $) node[right] (B1) {};
 
%\draw ($ (A)!\tb!(C) $) node[left] (A2) {$A_2$}
%	-- ($ (B)!\tb!(C) $) node[right] (B2) {$B_2$};
%\draw ($ (A)!\tc!(C) $) node[left] (A3) {$A_3$}
%	-- ($ (B)!\tc!(C) $) node[right] (B3) {$B_3 \quad H=\H$};
%\draw (0,-1) -- +(0,6);
%\draw[blue] (6.63,-1) -- +(0,6);
%\draw[red] (6,-1) -- +(0,6) node[above left] {$(6 \mid 5)$};
%\draw[red] (7,-1) -- +(0,6) node[above right] {$(7 \mid 5)$};
%\draw[green] (9,6.8) -- +(2,0);
\end{tikzpicture}
 
\end{document}



[Die Antwort wurde nach Beitrag No.2 begonnen.]
\(\endgroup\)

Terme und (Un-) Gleichungen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Makde
Umformung  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-24 14:21
Wario
 

2021-01-24 14:04 - Makde im Themenstart schreibt:
Hier wird (x+2b)^2-(x-2b)^2 zu [(x+2*b)-(x-2b)][(x+2*b)+(x-2b)] umgeformt.

fed-Code einblenden


[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]

Sonstiges
  
Thema eröffnet von: Wario
Mikrowellenundurchlässiger Kunststoff  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-23 12:44
Wario
 

2021-01-21 21:58 - rlk in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich vermute, dass bei dem Modell aus deiner Frage eine ausreichende Menge Wasser die Mikrowellen absorbiert.

Aha. Wichtig wäre eben, dass das ein echter Dampfgarer ist. Weil "mikrowellendünsten" ist eine andere Garmethode.

Sonstiges
  
Thema eröffnet von: Wario
Mikrowellenundurchlässiger Kunststoff  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 20:00
Wario
 

2021-01-21 18:29 - haegar90 in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Mikrowellen wirken auf alles was sich in dem Kunstoffbehälter befindet.

Dann ist das aber kein echter Dampfkocher. Diese Konstruktion ist an sich schon möglich: Stichwort "Mikrowelleneierkocher"; dort werden die Mirkowellen vom Ei abgeschirmt und nur das Wasser erhitzt.

Geometrie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: bananachraumschiff
g Sekante <=> Strecke zum Lotfußpunkt kleiner als Radius  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 19:41
Wario
 

2021-01-20 14:25 - bananachraumschiff im Themenstart schreibt:
folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.

Die Fälle sehen so aus:
<math>
\pgfmathsetmacro{\r}{2}
\pgfmathsetmacro{\a}{2.75}

\pgfmathsetmacro{\Xshift}{\a+0.125}

\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]

\newcommand{\kreisgerade}[1]{%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\v}{#1}
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate[label=above:$$] (T) at (133:\r);

\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\r];

\draw[] (M) -- ($(M)!\r cm + \v cm!(T)$) coordinate[label=above:$F$] (F);

\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!\a cm!90:(F)$) coordinate(A);
\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!-\a cm!90:(F)$) coordinate(B);
\path[name path=gerade] (A) -- (B);

\draw pic [draw, angle radius=2mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =M--F--B};


\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=S, total=\tot}, savevalue={\t}{\tot}];
\ifnum\t=2
\foreach\p/\Pos in {1/left, 2/above}{
\coordinate[label=\Pos:$S_\p$] (S\p) at (S-\p);    }
\fi

\pgfmathsetmacro{\test}{\v < 0 ? 1 : 0}
\ifnum\test=1
\draw[densely dashed] (M) -- (S1);
\draw[densely dashed] (M) -- (S2);
\else
\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(B)!0.25!(F)$);
\draw[densely dashed] (M) -- (P);
\fi

%% Punkte
\foreach \P in {M, F, S1, S2, P}{
\ifcoorddefined{\P}{  \draw[fill=black!1] (\P) circle[radius=1.5pt];  }{}
}
}%%%%%%%%%

\kreisgerade{0.65}

\begin{scope}[xshift=\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{-0.4}
\end{scope}

\begin{scope}[xshift=2*\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{0}
\end{scope}

\end{tikzpicture}
</math>

Rein geometrisch würde ich, mit Hilfe eines Hilfspunktes $P$, jeweils damit argumentieren, dass die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist; und dazu bei Bedarf einen Widerspruchsbeweis formulieren.

Sonstiges
  
Thema eröffnet von: Wario
Mikrowellenundurchlässiger Kunststoff  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-21 18:13
Wario
 

Kann ich bei dem Modell annehmen, dass das Gargut allein dem Wasserdampf ausgesetzt ist oder wird es auch mikrowellenbehandelt?


Sonstiges
  
Thema eröffnet von: Wario
Linux Version einer Software (Sonic RB2 Kart)  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-20 13:43
Wario
 

Ist bei der Freeware hier (github) Source code (tar.gz) oder Source code (zip) die Datei, die der Linux-Nutzer runterladen (und installieren?) muss?

Bei Windoof geht es so:
=========================
Sonic Robo Blast 2 - Kart (entspricht Mario Kart)

1a.)  Lade  srb2kart-v13-Installer.exe runter von
github.com/STJr/Kart-Public/r...

1b.) Lege im Spiel  bei 'Options - Control Setup' deine Tasten / Joypad fest.

1c.) Teste Deine Einstellungen in einem 'Time Attack' Einzelspiel.

2) Für ein Netplay wähle 'Multiplayer'  und gebe unter 'Specify IPV4 Adress' eine der IP-Adressen von
aqua.fyi/srb2kart/browser/
ein.

PS:
· Meistens hängen die Serverersteller zusätzlich Maps etc. an. Diese werden Dir dann automatisch runtergeladen. Sollte das nicht klappen, fehlt deren Download-Link; wähle dann einen anderen Server.

· Notfalls kann man auch einen eigenen Server hosten, das ist aber meistens nicht notwendig, da es auch viele leere Server gibt.
=========================


Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: Wario
* Gleichseitige Dreiecke und Gerade  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-14 09:07
Wario
 

2021-01-13 04:47 - Wario im Themenstart schreibt:
Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:

<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!55}
\colorlet{oben}{yellow!55}



%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}

% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi

\end{tikzpicture}
</math>

Berechne die hervorgehobene Gesamtfläche.



Lösung.
<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{1}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}

\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};

\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>

Sei $F=\dfrac12 s^2 \sin(60^\circ)$ die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks und seien $F_1, F_2,\dots, F_n$ die Teilschnittflächen oberhalb der Geraden mit den gleichseitigen Dreiecken bei den Punkten $P_1, P_2,\dots, P_n$.

Dann entliest man aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $P_1$ für die Kanten $x_k$ und $y_k$ (mit $k=1,2,\dots,n$) der Teildreiecke

$\begin{array}{l l l l}
\dfrac{x_2}{s} =\dfrac{s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_2 = \dfrac{s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_2}{s} =\dfrac{s}{(n-1) s}
  &\Leftrightarrow~
      y_2 = \dfrac{s}{n-1}
         &\Rightarrow
          F_2 =\dfrac12 x_2 y_2 \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{s}{n} \dfrac{s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_2 =\dfrac{F}{n(n-1)} \\[1em]
%
\dfrac{x_3}{s} =\dfrac{2s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_3 = \dfrac{2s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_3}{s} =\dfrac{2s}{(n-1) s}
  &\Leftrightarrow~
      y_3 = \dfrac{2s}{n-1}
         &\Rightarrow
          F_3 =\dfrac12 x_3 y_3 \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{2s}{n} \dfrac{2s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_3 =\dfrac{2^2 F}{n(n-1)} \\[1em]
%
\hphantom{\dfrac{x_2}{s}}\vdots & \hphantom{\Leftrightarrow~}\vdots
& \hphantom{\Rightarrow~}\vdots  & \hphantom{\Leftrightarrow~}\vdots  \\[1em]
%
\dfrac{x_n}{s} =\dfrac{(n-1) s}{n s}
  &\Leftrightarrow~
      x_n = \dfrac{(n-1) s}{n} \\[1em]
\dfrac{y_n}{s} =\dfrac{n s}{n s} =1
  &\Leftrightarrow~
      y_n = s =\dfrac{(n-1) s}{(n-1)}
         &\Rightarrow
          F_n =\dfrac12 x_n y_n \sin(60^\circ)
                =\dfrac12 \dfrac{(n-1)s}{n} \dfrac{(n-1)s}{n-1} \sin(60^\circ)
&\Leftrightarrow~ F_n =\dfrac{(n-1)^2 F}{n(n-1)} \\[1em]
\end{array}$

Damit ergibt sich für die Summe $F_O$ der oberen Teilschnittflächen

$\begin{array}{l l}
F_O=F_1+F_2+\dots+F_n
 &=\dfrac{F}{n(n-1)}\left(1^2+2^2 +\dots+ (n-1)^2  \right) \\[1em]
 &=\dfrac{F}{n(n-1)} \dfrac{(n -1) n (2n -1)}{6} %\\[1em]
 %&
 =  \underline{\underline{ \dfrac{2n-1}{6} F  }}
\end{array}$

da $\displaystyle\boxed{  
\sum\limits_{k=1}^{N} k^2   =\dfrac{N(N+1)(2N+1)}{6}   }
$

Beweis.
Berechnung der Summe $\sum\limits_{k=1}^{N} k^2$  entspricht der Berechung des Volumens $V$ der folgenden Blockpyramide (im
Beispiel $N=5$), die sich aus Würfeln der Kantenlänge $1$ zusammensetzt.

 <math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{0}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S)

--(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1)

coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node

[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>



Mit der Ergänzung von Eckpyramiden und Kantensäulen ergibt sich eine Vergleichspyramide:

<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>

Das Volumen der Vergleichspyramide berechnet sich zu

$V_\text{Py} =\frac13 G h =\frac13 \cdot (N+1)^2 \cdot (N+1)
=\dfrac{(N+1)^3}{3}.$

Das Gesamtvolumen aller Kantensäulen berechnet sich zu

$V_\text{KS}  
=2\sum\limits_{k=1}^{N} V_\text{KS}(k)
=2\sum\limits_{k=1}^{N} \frac12 k
=\sum\limits_{k=1}^{N} k
=\dfrac{N(N+1)}{2}
$

da $\boxed{  \sum\limits_{k=1}^{N} k=\dfrac{N(N+1)}{2}  }$

Beweis.
$\begin{array}{l l l}
\hphantom{=+}\sum\limits_{k=1}^{N} k &= 1 +2 +3 +\dots +N \\
\hphantom{=}+\sum\limits_{k=1}^{N} k
        &= N +(N-1) +(N-2) +\dots +1 \\ \hline
=2\sum\limits_{k=1}^{N} k &= (N+1) + (N+1)  +\dots +(N+1) = N\cdot(N+1) \hspace{11mm}\square
%=2\sum\limits_{k=1}^{N} k &= N\cdot(N+1) \hspace{11mm}\square
\end{array}$


Das Gesamtvolumen aller Eckpyramiden berechnet sich zu

$V_\text{EPy}
=(N+1) \cdot V_\text{EPy0}
=(N+1) \cdot \dfrac13
=\dfrac{N+1}{3}.$

Damit ergibt sich für das Volumen der Blockpyramide

$\begin{array}{l l}
\sum\limits_{k=1}^{N} k^2 =V
=V_\text{Py} -V_\text{KS}  -V_\text{EPy}
&=\dfrac{(N+1)^3}{3} -\dfrac{N(N+1)}{2} -\dfrac{N+1}{3} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2(N+1)^2 -3N -2}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2(N^2+2N+1) -3N -2}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{2N^2 +N}{6} \\[1em]
&=(N+1)\cdot \dfrac{N(2N +1)}{6} \hspace{11mm}\square
\end{array}$


$\begin{array}{l l l}
\Leftrightarrow~
\displaystyle\sum\limits_{k=1}^{n-1} k^2  
 =\left( \sum\limits_{k=1}^{n} k^2 \right)  -n^2
 &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} -n^2 %\\
 &=\dfrac{n(n+1)(2n+1)-6n^2}{6}  \\
 &=n\dfrac{(n+1)(2n+1)-6n}{6}  %\\
 &=n\dfrac{2n^2+3n+1-6n}{6}  \\
 &=n\dfrac{2n^2-3n+1}{6}  %\\
  &=n\dfrac{2n^2-n -2n+1}{6}  \\[0.75em]
 &=n\dfrac{n(2n-1)-(2n-1)}{6} % \\
 &=\dfrac{(n -1) n (2n -1)}{6}  
\end{array}$

Die gesuchte Summe der unteren Teilschnittflächen $F_U$ ergibt sich entsprechend zu

$\begin{array}{l l l}
F_U=n F -F_O
 &=nF -\dfrac{2n-1}{6}F %\\[1em]
 &= \underline{\underline{ \dfrac{4n+1}{6} F  }}.
\end{array}$

Für die Verhältnisse der gesamten Schnittflächen zur Gesamtfläche aller Dreiecke erhält man

$\dfrac{F_U}{nF}
=\dfrac{\dfrac{4n+1}{6} F}{nF}
=\ \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{n}
$ bzw. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{F_U}{nF}
=\dfrac{2}{3}$

und $\dfrac{F_O}{nF}
=\dfrac{\dfrac{2n-1}{6} F}{nF}
=\ \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{n}
$ bzw. $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{F_O}{nF}
=\dfrac{1}{3}.$


<math>
\def\allgm{0}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}

\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};

\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>

<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}

% Einstellungen
\def\vglvol{0}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}

\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}

\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi

%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}

\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);

\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}

% Grund- und Deckflche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1)  -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k)  -- (C\k) ;

\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);

% Fllung der Wrfelflchen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}

\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k)  -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}

\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Fllung der Wrfelflchen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k)  -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}

% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}

\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;

% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q)  -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R)  -- (C\k1) --cycle;

% Kantensulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);

\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;

\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================

% Abschlupyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi

\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi

% Vergleichskrper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]

\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P)  -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$}  -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps)  -- (0,3,2) coordinate(Ss);

\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps)  --cycle;

\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);

\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{  \frac12 k =V_\text{KS}(k)  }$};
\end{scope}

\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);

\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1}  -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;

\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{  \frac13  =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================

\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);

\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;

\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;

\draw[] (A1) -- (B1)  -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);

\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{  1 =V_\text{W}  }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>


Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: Wario
* Gleichseitige Dreiecke und Gerade  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-13 12:17
Wario
 

Zum Vergleich: Ist $n=10$ und die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks gleich $6\text{cm}^2$, so ist die gesuchte Fläche gleich $41\text{cm}^2.$

Rätsel und Knobeleien (Knobelecke)
  
Thema eröffnet von: Wario
* Gleichseitige Dreiecke und Gerade  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-13 04:47
Wario
 

Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:

<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{0}

\pagecolor{black!1}
% Gegebene Gren
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}

\colorlet{unten}{orange!55}
\colorlet{oben}{yellow!55}



%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi

\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}

% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black}  }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi

% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}

\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]


\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten fllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}

% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi

% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);

\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben fllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}

% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);

% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns)  node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================

% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi

\end{tikzpicture}
</math>

Berechne die hervorgehobene Gesamtfläche.

<math>\hline</math>
Vollständige Lösungen der Rätselaufgabe hier im Hide-Rahmen.

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Sarah0507
Additionstheoreme  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-11 01:26
Wario
 

2021-01-10 22:24 - Sarah0507 im Themenstart schreibt:


$\alpha, \beta$ dürften die Winkel sein, die die Zeiger im Einheitskreis mit der positiven $x$-Halbachse einschließen (nach üblicher Konvention).

Die Aufgabe dürfte vielfach lösbar sein, auch elegant geometrisch. Eine Lösung dürfte sich ergeben, wenn geklärt ist, wie sich $K_{\frac\alpha2}$ ausdrücken lässt.

Geometrie
  
Thema eröffnet von: Wario
Seiten und Winkel in und an dem Höhenfußpunktdreieck im stumpfwinkligen Dreieck  
Beitrag No.34 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2021-01-01 18:38
Wario
 

2021-01-01 18:10 - Kuestenkind in Beitrag No. 33 schreibt:
Nenne es wie du möchtest - das ist mir ziemlich egal. Was du hier mit Thales willst ist mir unklar.


Ich nenne es nicht wie ich möchte, und es ist mir auch nicht egal. Wenn Du sagst "Sehnensatz" schaue ich bei wikipedia unter Sehnensatz nach. Wenn mich das dann in eine falsche Richtung führt, weil das jeder nennt wie er möchte und es ihm ziemlich egal ist, bin ich dann anscheinend selber Schuld...

Den Satz des Thales verwende ich im, um zu zeigen dass der untere Kreis in Beitrag No. 31 den dort so benannten Punkt $E$ enthält, da die Sehnen $|AE|$ und $|HE|$, über dem Durchmesser $|AH|$,  einen rechten Winkel einschließen. Wenn das mal wieder alles "trivial" ist, ist es auch ok, ich begründe es jetzt so.
 

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