2021-01-26 17:08 - Kezer in Beitrag No. 15 schreibt:
Es ist nicht "nicht notwendig", sondern es ist schlicht unmöglich. Lese Beitrag No. 11 bitte genauer.
Stimmt, das war dann mein Fehler. Es müsste n² - n + 1 = 5 · X(n) + y, mit 1<y<5 sein. Hast Du so einen Term? Schreib ihn hin oder eben nicht. Bist Du der Meinung, dass ist eh alles unnütz? Dann lass mich bitte in Ruhe.
Freunde, ich frage -rein interessehalber- nach der Aufgabenstellung mit einem ganzzahligen Term X(n), der n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1 genügt. Aber mehrere Leute wollen mit mir -auf verschiedene Weisen- diskutieren, dass es nicht notwendig ist, nach einen solchen Term zu suchen, da man die Ausgangsaufgabe auch Hauptsache irgendwie beweisen konnte. Also ich hätte schon Besseres zu tun, als so eine überflüssige Debatte.
2021-01-26 14:20 - tactac in Beitrag No. 11 schreibt:
n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1
ist äquivalent zu
n² - n = 5 · X(n).
Und das bedeutet: n² - n ist durch 5 teilbar.
Gut, vergessen wir's. Vielleicht kommt es mir irgendwann zugeflogen, dann schreibe ich es auf. Es gibt interessantere Themen, als Endlosdebatten über Formalien.
2021-01-26 13:47 - tactac in Beitrag No. 9 schreibt:
@Wario Es ist in #0 schon festgestellt worden, dass $n^2-n$ nicht immer durch 5 teilbar ist.
Das ist mir alles klar. Ich frage mich, rein interessehalber, ob sich
n² - n + 1 = 5 · X(n) + 1,
mit einem ganzzahligen Ausdruck X(n), darstellen lässt.
Anders gesagt: es geht mir nicht um "Hauptsache irgendwie bewiesen", es geht mir um die genannte spezielle Aufgabenstellung. \(\endgroup\)
2021-01-26 13:15 - Wario in Beitrag No. 6 schreibt:
Mich hätte hier mehr interessiert: Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
Naja, du solltest spezifizieren, was du mit "darstellen" meinst, offenbar ist $n^2 - n + 1 = 5 \frac{n^2-n}{5} + 1$...
Naja, so versimpelt natürlich nicht. Ich ging, davon aus, dass es klar ist, dass mit "(...)" ein grundsätzlich ganzzahliger Ausdruck gemeint ist. Der Einwand mag formal berechtigt sein, aber ich wollte jetzt eigentlich weniger irgendwelche Haarspaltereien diskutieren. \(\endgroup\)
Man könnte evtl. auch n²-n+1 betrachten, was nicht durch 5 teilbar ist.
Einen Beweis kann man sich dafür schnell raussuchen.
Mich hätte hier mehr interessiert: Kann man den Term in der Form n²-n+1 = 5·(...)+1 darstellen?
Ich vermute, das darin dann irgendwelche Binomialkoeffizienten vorkommen.
\(\begingroup\)\(\newcommand\d{\mathop{}\!\mathrm{d}}\)
(0a) Immer vollständige, lauffähige Minimalbeispiele angeben (sonst muss der Helfer das alles selbst ergänzen).
(0b) Möglichst alles beseitigen, was mit dem Problem nichts zu tun hat.
(1a) Möglichst mit Koordinaten arbeiten (s.u.).
(1b) Alles schön in Bearbeitungsblöcke aufteilen:
1. Koordinaten, 2. Konstruktionen, 3. Annotationen, ....
(1c) Nicht alles an Ort und Stelle in den Code schreiben, sondern mehrfach Verwendetes als globalen style definieren.
(2) Das Problem hier ist, dass nodes verwendet werden, obwohl coordinates gewünscht sind.
nodes haben Längenmaße, coordinates sind nur Positionen.
2021-01-21 21:58 - rlk in Beitrag No. 3 schreibt:
Ich vermute, dass bei dem Modell aus deiner Frage eine ausreichende Menge Wasser die Mikrowellen absorbiert.
Aha. Wichtig wäre eben, dass das ein echter Dampfgarer ist. Weil "mikrowellendünsten" ist eine andere Garmethode.
2021-01-21 18:29 - haegar90 in Beitrag No. 1 schreibt:
Die Mikrowellen wirken auf alles was sich in dem Kunstoffbehälter befindet.
Dann ist das aber kein echter Dampfkocher. Diese Konstruktion ist an sich schon möglich: Stichwort "Mikrowelleneierkocher"; dort werden die Mirkowellen vom Ei abgeschirmt und nur das Wasser erhitzt.
2021-01-20 14:25 - bananachraumschiff im Themenstart schreibt:
folgendes ist z.z.: K ist ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt M, F ist der Lotfußpunkt von M auf Gerade g. Dann gilt:
(i) Der Abstand von M zu F ist kleiner als r, gdw. g und K zwei Schnittpunkte haben.
(ii) Der Abstand von M zu F ist genauso groß wie r, wenn g und K einen Schnittpunkt haben.
(iii) Der Abstand von M zu F ist größer als r, gdw. g und K keine Schnittpunkte haben.
Die Fälle sehen so aus:
Rein geometrisch würde ich, mit Hilfe eines Hilfspunktes $P$, jeweils damit argumentieren, dass die Hypotenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist; und dazu bei Bedarf einen Widerspruchsbeweis formulieren.
1b.) Lege im Spiel bei 'Options - Control Setup' deine Tasten / Joypad fest.
1c.) Teste Deine Einstellungen in einem 'Time Attack' Einzelspiel.
2) Für ein Netplay wähle 'Multiplayer' und gebe unter 'Specify IPV4 Adress' eine der IP-Adressen von aqua.fyi/srb2kart/browser/
ein.
PS:
· Meistens hängen die Serverersteller zusätzlich Maps etc. an. Diese werden Dir dann automatisch runtergeladen. Sollte das nicht klappen, fehlt deren Download-Link; wähle dann einen anderen Server.
· Notfalls kann man auch einen eigenen Server hosten, das ist aber meistens nicht notwendig, da es auch viele leere Server gibt.
=========================
2021-01-13 04:47 - Wario im Themenstart schreibt:
Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:
Sei $F=\dfrac12 s^2 \sin(60^\circ)$ die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks und seien $F_1, F_2,\dots, F_n$ die Teilschnittflächen oberhalb der Geraden mit den gleichseitigen Dreiecken bei den Punkten $P_1, P_2,\dots, P_n$.
Dann entliest man aus der Strahlensatzfigur mit Scheitelpunkt $P_1$ für die Kanten $x_k$ und $y_k$ (mit $k=1,2,\dots,n$) der Teildreiecke
Berechnung der Summe $\sum\limits_{k=1}^{N} k^2$ entspricht der Berechung des Volumens $V$ der folgenden Blockpyramide (im
Beispiel $N=5$), die sich aus Würfeln der Kantenlänge $1$ zusammensetzt.
Mit der Ergänzung von Eckpyramiden und Kantensäulen ergibt sich eine Vergleichspyramide:
Das Volumen der Vergleichspyramide berechnet sich zu
$V_\text{Py} =\frac13 G h =\frac13 \cdot (N+1)^2 \cdot (N+1)
=\dfrac{(N+1)^3}{3}.$
Das Gesamtvolumen aller Kantensäulen berechnet sich zu
$V_\text{KS}
=2\sum\limits_{k=1}^{N} V_\text{KS}(k)
=2\sum\limits_{k=1}^{N} \frac12 k
=\sum\limits_{k=1}^{N} k
=\dfrac{N(N+1)}{2}
$
da $\boxed{ \sum\limits_{k=1}^{N} k=\dfrac{N(N+1)}{2} }$
Es seien $n\geq 2$ gleichseitige Dreiecke der Kantenlänge $s$ wie in folgender Abbildung nebeneinander angeordnet, die, wie gezeigt, von einer Geraden geschnitten werden:
Berechne die hervorgehobene Gesamtfläche.
Vollständige Lösungen der Rätselaufgabe hier im Hide-Rahmen.
2021-01-10 22:24 - Sarah0507 im Themenstart schreibt:
$\alpha, \beta$ dürften die Winkel sein, die die Zeiger im Einheitskreis mit der positiven $x$-Halbachse einschließen (nach üblicher Konvention).
Die Aufgabe dürfte vielfach lösbar sein, auch elegant geometrisch. Eine Lösung dürfte sich ergeben, wenn geklärt ist, wie sich $K_{\frac\alpha2}$ ausdrücken lässt.
2021-01-01 18:10 - Kuestenkind in Beitrag No. 33 schreibt:
Nenne es wie du möchtest - das ist mir ziemlich egal. Was du hier mit Thales willst ist mir unklar.
Ich nenne es nicht wie ich möchte, und es ist mir auch nicht egal. Wenn Du sagst "Sehnensatz" schaue ich bei wikipedia unter Sehnensatz nach. Wenn mich das dann in eine falsche Richtung führt, weil das jeder nennt wie er möchte und es ihm ziemlich egal ist, bin ich dann anscheinend selber Schuld...
Den Satz des Thales verwende ich im, um zu zeigen dass der untere Kreis in Beitrag No. 31 den dort so benannten Punkt $E$ enthält, da die Sehnen $|AE|$ und $|HE|$, über dem Durchmesser $|AH|$, einen rechten Winkel einschließen. Wenn das mal wieder alles "trivial" ist, ist es auch ok, ich begründe es jetzt so.
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![<math>
\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
mypointstyle/.style={fill=red, inner sep=2pt},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\pgfmathsetmacro\c{17} % Grundseite c
\pgfmathsetmacro{\H}{0.4*\c} % Höhe H
\pgfmathsetmacro\Cx{0.6*\c} % Höhenfußpunkt
\pgfmathsetmacro\ta{0.65}
\pgfmathsetmacro\tb{0.35}
\pgfmathsetmacro\tc{0.99}
% Koordinaten
\coordinate[label=left:$A$] (A) at (0,0);
\coordinate[label=right:$B$] (B) at (\c,0);
\coordinate[label=$C$] (C) at (\Cx,\H);
\coordinate[label={[below=1mm]:$R$}] (R) at (\Cx,0);
\coordinate[label=135:$A_1$] (A1) at ($(A)!\ta!(C)$);
\coordinate[label=45:$B_1$] (B1) at ($(B)!\ta!(C)$);
% Dreieck:
\draw[fill=lightgray!20] (A) -- (B) -- (C) --cycle;
% Höhe
\draw[dashed] (C) -- (R);
% Horizontale
\draw[] (A1) -- (B1);
% Punkte
\foreach \P in {A1, B1} \node[mypointstyle] at (\P) {};
\foreach \P in {R} \fill[] (\P) circle[radius=3.25pt];
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/76d7729f2274db7d441e24a518381e70.png "\begin{tikzpicture}[scale=0.8,
mypointstyle/.style={fill=red, inner sep=2pt},
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\pgfmathsetmacro\c{17} % Grundseite c
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% Dreieck:
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![<math>
\pgfmathsetmacro{\r}{2}
\pgfmathsetmacro{\a}{2.75}
\pgfmathsetmacro{\Xshift}{\a+0.125}
\pgfkeys{/tikz/savevalue/.code 2 args={\global\edef#1{#2}}}
\makeatletter
\long\def\ifcoorddefined#1#2#3{%
\@ifundefined{pgf@sh@ns@#1}{#3}{#2}%
}
\makeatother
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
]
\newcommand{\kreisgerade}[1]{%%%%%%%%%
\pgfmathsetmacro{\v}{#1}
\coordinate[label=below:$M$] (M) at (0,0);
\coordinate[label=above:$$] (T) at (133:\r);
\draw[name path=kreis] (M) circle[radius=\r];
\draw[] (M) -- ($(M)!\r cm + \v cm!(T)$) coordinate[label=above:$F$] (F);
\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!\a cm!90:(F)$) coordinate(A);
\draw[] (F) -- ($($(M)!(F)!(F)$)!-\a cm!90:(F)$) coordinate(B);
\path[name path=gerade] (A) -- (B);
\draw pic [draw, angle radius=2mm, %angle eccentricity=1.3,
% pic text={$\Winkel$}, pic text options={},
"$\cdot$",
] {angle =M--F--B};
\path[name intersections={of=kreis and gerade, name=S, total=\tot}, savevalue={\t}{\tot}];
\ifnum\t=2
\foreach\p/\Pos in {1/left, 2/above}{
\coordinate[label=\Pos:$S_\p$] (S\p) at (S-\p); }
\fi
\pgfmathsetmacro{\test}{\v < 0 ? 1 : 0}
\ifnum\test=1
\draw[densely dashed] (M) -- (S1);
\draw[densely dashed] (M) -- (S2);
\else
\coordinate[label=above:$P$] (P) at ($(B)!0.25!(F)$);
\draw[densely dashed] (M) -- (P);
\fi
%% Punkte
\foreach \P in {M, F, S1, S2, P}{
\ifcoorddefined{\P}{ \draw[fill=black!1] (\P) circle[radius=1.5pt]; }{}
}
}%%%%%%%%%
\kreisgerade{0.65}
\begin{scope}[xshift=\Xshift*\r cm]
\kreisgerade{-0.4}
\end{scope}
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\end{scope}
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/52e6f3f8486cb5c6fc7090797bd8ef03.png "\pgfmathsetmacro{\r}{2}
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\newcommand{\kreisgerade}[1]{%%%%%%%%%
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%% Punkte
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\end{tikzpicture}")
![<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{0}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}
\colorlet{unten}{orange!55}
\colorlet{oben}{yellow!55}
%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}
% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi
% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);
\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/6ae4734c2c879a887e3863e41a849fdf.png "\def\allgm{1}
\def\bew{0}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}
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%\ifnum\bew=1
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : 6}
%\fi
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
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% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
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% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
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% Gerade 1/2
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\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
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};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
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\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
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\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? \"\" : \"s\"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi
\end{tikzpicture}")
![<math>
\def\allgm{1}
\def\bew{1}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
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\colorlet{oben}{yellow!66}
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}
% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi
% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);
\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/916d2e44b3976307221250d805ab0805.png "\def\allgm{1}
\def\bew{1}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}
\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}
% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi
% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);
\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? \"\" : \"s\"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}")
![<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{0}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S)
--(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1)
coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node
[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/5a95c8812105d58983fd64d9f068f9ca.png "\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{0}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k\"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k\"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k\"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k\"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S)
--(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1)
coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node
[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}")
![<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/a8ca4dc54c03728eb0d0221ff68bc426.png "\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{1}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k\"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k\"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k\"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k\"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}")
![<math>
\def\allgm{0}
\def\bew{0}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}
\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}
% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi
% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);
\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? "" : "s"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/3bd639088f74cf835fcd64e5725fdbe9.png "\def\allgm{0}
\def\bew{0}
\pagecolor{black!1}
% Gegebene Größen
\pgfmathsetmacro{\N}{7}
\pgfmathsetmacro{\s}{2}
\colorlet{unten}{orange!66}
\colorlet{oben}{yellow!66}
\pgfmathsetmacro{\N}{\bew==1 ? 7 : \N}
\pgfmathsetmacro{\Ns}{int(\N+1)}
\pgfmathsetmacro{\Np}{int(\N-1)}
% Annotation - Kanten
\ifnum\bew=1
\tikzset{kante/.style={text=black} }
\else
\tikzset{kante/.style={text=black!1} }
\fi
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, %show background rectangle,
Dreieck/.style={},
every label/.style={text=black!1},
]
\foreach[count=\nI] \n in {1,...,\N}{
\begin{scope}[xshift=-\nI*\s cm]
\coordinate[label=below:$A\n$] (A\n) at (0,0);
\coordinate[label=below:$B\n$] (B\n) at (\s,0);
\coordinate[label=$C\n$] (C\n) at (60:\s);
% unten füllen
\draw[Dreieck, name path global=dreieck\n] (A\n) -- (B\n) -- (C\n) --cycle;
% Annotation unten
\ifnum\bew=1
\path[] (A\n) -- (B\n) node[midway, below]{$s$};
\fi
\end{scope}
}
% Annotation rechts
\ifnum\bew=1
\path[] (B1) -- (C1) node[midway, right]{$s$};
\fi
% Gerade 1/2
\path[name path global=gerade] (C1) -- (A\N);
\foreach[count=\kNo] \k in {2,...,\N}{
\pgfmathtruncatemacro\K{\k+1}
\path[name intersections={of={dreieck\k} and gerade, name=Point}];
\ifnum\k=\N
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-2);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-1);
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{n}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$s$ %$y_{\k}$
};
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=X\k] (X\k) at (Point-1);
\coordinate[label=Y\k] (Y\k) at (Point-2);
\ifnum\k=\Np
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, right]{$x_{n-1}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, pos=0.7, left]{$y_{n-1}$};
\else
\path[] (X\k) -- (C\k) node[kante, midway, right]{$x_{\k}$};
\path[] (Y\k) -- (C\k) node[kante, midway, left]{$y_{\k}$};
\fi
\end{pgfonlayer}
\fi
% oben füllen
\ifnum\bew=1
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[oben] (X\k) -- (Y\k) -- (C\k) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\else
\begin{pgfonlayer}{background}
\fill[unten] (X\k) -- (B\k) -- (A\k) -- (Y\k) --cycle;
\fill[unten] (A1) -- (B1) -- (C1) --cycle;
\end{pgfonlayer}
\fi
}
% Gerade 2/2
\draw[Dreieck] (C1) -- (A\N);
% Beweis ========================
% Annotation Strahlensatzfigur
\ifnum\bew=1%==========================
\draw[densely dashed] (C1) -- (C\N) -- +(-\s,0) coordinate[label=$C\Ns$] (C\Ns) node[midway, above]{$$} -- (A\N) node[midway, left]{$s$};
%
% Annotation oben
\foreach[evaluate={\K=int(\k+1)}] \k in {1,...,\N}{
\pgfmathsetmacro\text{\k==3 || \k==5 ? \"\" : \"s\"}
\path[] (C\k) -- (C\K) node[midway, above]{$\text$};
}
\foreach \k/\text in {\Ns/{n+1},\N/{n},\Np/{n-1}}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\text}$};
}
\foreach \k in {1,2,3}{
\node[above] at (C\k) {$P_{\k}$};
}
\fi%============================
% Allgemeine Zeichnung
\ifnum\allgm=1%=====================
\pgfmathtruncatemacro{\Na}{\N-2}
\pgfmathtruncatemacro{\Nb}{3}
\fill[black!1] ([shift={(0,-2em)}]A\Na) rectangle ([shift={(-0.5*\s cm,2em)}]C\Nb) node[midway, text=black, font=\Huge]{$\boldsymbol\dots$};
\fi%=====================
\end{tikzpicture}")
![<math>
\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{0}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}
</math>](/matheplanet/nuke/html/latexrender/pictures/c87f17ee080ac631856d61580db2515b.png "\pgfmathsetlengthmacro{\u}{0.567cm}
\begin{tikzpicture}[%scale=0.7,
font=\footnotesize,
background rectangle/.style={draw=none, fill=black!1, rounded corners}, show background rectangle,
y={(\u,0cm)},
x={({0.3*\u}, {-0.45*\u})},
z={(0cm,\u)},
every label/.style={text=black!1},
]
% Ansicht
\def\vgl{1}
% Anzahl Stufen
\pgfmathsetmacro{\N}{5}
% Einstellungen
\def\vglvol{0}
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{1}
\def\cosy{0}
\colorlet{wuerfel}{lightgray}
\colorlet{Prisma}{green!77!black}
\colorlet{prisma}{Prisma!44}
\colorlet{pyramide}{red!55}
\ifnum\vgl=0
\def\abschlusspyramide{0}
\def\vglvol{0}
\def\vglwuerfel{1}
\else
\def\abschlusspyramide{1}
\def\vglwuerfel{0}
\fi
%\pgfmathsetmacro\k{4}
% Layers
\pgfdeclarelayer{background}
\pgfdeclarelayer{foreground}
\pgfsetlayers{background,main,foreground}
% Blockpyramide
\foreach[count=\K from 0] \k in {\N,...,1}{%==========================
\pgfmathsetmacro{\kp}{\k-1}
\begin{scope}[shift={(0,0,\K)}, local bounding box=blockpyramide]
\begin{pgfonlayer}{background}
\coordinate[label=left:$A\k$] (A\k) at (0,0,0);
\coordinate[label=left:$B\k$] (B\k) at (\k,0,0);
\coordinate[label=right:$C\k$] (C\k) at (\k,\k,0);
\coordinate[label=right:$D\k$] (D\k) at (0,\k,0);
\coordinate[label=left:$A\k\"$] (A\k1) at (0,0,1);
\coordinate[label=left:$B\k\"$] (B\k1) at (\k,0,1);
\coordinate[label=right:$C\k\"$] (C\k1) at (\k,\k,1);
\coordinate[label=right:$D\k\"$] (D\k1) at (0,\k,1);
\end{pgfonlayer}
% Grund- und Deckfläche
\draw[] (A\k1) -- (B\k1) -- (C\k1) -- (D\k1) --cycle;
\draw[] (A\k) -- (B\k) -- (C\k) ;
\foreach \P in {A\k,B\k,C\k} \draw[] (\P) -- (\P1);
% Füllung der Würfelflächen 1/3
\foreach \x in {0,...,\kp}{
\foreach \y in {0,...,\kp}{
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,\y,0)}]A\k1) -- ++(1,0,0) -- ++(0,1,0) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}}
\foreach \x in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 2/3
\fill[wuerfel] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(1,0,0) -- ++(0,0,1) -- ++(-1,0,0) --cycle;
}
\foreach \y in {0,...,\kp}{
% Füllung der Würfelflächen 3/3
\fill[wuerfel] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,1,0) -- ++(0,0,1) -- ++(0,-1,0) --cycle;
% Hilfslinien 2/2
\draw[] ([shift={(0,\y,0)}]B\k) -- ++(0,0,1) -- ++(-\k,0,0);
}
% Hilfslinien 2/2
\foreach \x in {0,...,\k}{
\draw[] ([shift={(\x,0,0)}]A\k) -- ++(0,0,1) -- ++(0,\k,0);
}
\ifnum\vgl=1%==============================
% Kantenpyramiden rechts
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(-\k,0,0) coordinate(Q) -- (D\k1) coordinate(R) -- (C\k1) coordinate(S) --(P);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (R) -- (S) --cycle;
% Eckpyramiden
\draw[red] (C\k) -- ++(0,1,0) coordinate(P) -- ++(1,0,0) coordinate(Q) -- ++(0,-1,0) coordinate(R) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (P) -- (Q) -- (C\k1) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (Q) -- (R) -- (C\k1) --cycle;
% Kantensäulen vorne
\draw[Prisma] (C\k) -- ++(1,0,0) coordinate(P) -- ++(0,-\k,0) coordinate(Q) -- ++(-1,0,0) coordinate(R) -- ++(0,0,1) coordinate(S) -- (C\k1) coordinate(T);
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (S) -- (T) --cycle;
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (B\k1) --cycle;
\draw[Prisma] (P) -- (Q);
\draw[Prisma] (Q) -- (S);
\draw[Prisma] (P) -- (T);
\fi%==============================
\end{scope}
}%==========================
% Abschlußpyramide oben
\ifnum\abschlusspyramide=1
\path[] (A11) -- +(0,0,1) coordinate(S);
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B11) -- (C11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A11) -- (B11) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C11) -- (D11) --cycle;
\fi
\ifnum\cosy=1
\begin{scope}[-latex, shift={(0,3,4)}]
\foreach \P/\s/\Pos in {(1,0,0)/x/below, (0,1,0)/y/above, (0,0,1)/z/right}
\draw[] (0,0,0) -- \P node[\Pos, pos=0.9,inner sep=2pt]{$\s$};
\end{scope}
\fi
% Vergleichskörper
\ifnum\vglvol=1%===========================
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\draw[Prisma] (0,0,0) coordinate(P) -- (2,0,0) coordinate(Q) node[near start, below]{1} -- ++(0,3,0) coordinate(R) node[midway, below]{$k$} -- ++(-2,0,0) coordinate(S) -- cycle;
\draw[Prisma] (0,0,2) coordinate(Ps) -- (0,3,2) coordinate(Ss);
\fill[prisma] (Q) -- (R) -- (Ss) -- (Ps) --cycle;
\fill[prisma] (P) -- (Q) -- (Ps) --cycle;
\draw[Prisma] (Ps) -- (P) node[midway, left]{1} (Ps) -- (Q);
\draw[Prisma] (Ss) -- (R);
\node[anchor=west] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{KS}(k) =G h = \frac12 \cdot 1 \cdot 1 \cdot k
= \underline{ \frac12 k =V_\text{KS}(k) }$};
\end{scope}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-0,-5.75)$)}]
\coordinate(S) at (0,0,2);
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (2,0,0);
\coordinate(C) at (2,2,0);
\coordinate(D) at (0,2,0);
\draw[red] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (B) -- (C) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (A) node[red, midway, left]{1} -- (B) --cycle;
\path[draw=red, fill=pyramide] (S) -- (C) -- (D) --cycle;
\node[anchor=west, yshift=-2cm] at ($(R)!0.5!(Ss)$) {$
V_\text{EPy0}=\frac13 G h = \frac13 \cdot 1 \cdot 1
= \underline{ \frac13 =V_\text{EPy0} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\ifnum\vglwuerfel=1%===========================
\pgfmathsetmacro\e{1.3}
\begin{scope}[shift={($(blockpyramide.north east)+(0,\N-1,-2)$)}]
\coordinate(A) at (0,0,0);
\coordinate(B) at (\e,0,0);
\coordinate(C) at (\e,\e,0);
\coordinate(D) at (0,\e,0);
\coordinate(A1) at (0,0,\e);
\coordinate(B1) at (\e,0,\e);
\coordinate(C1) at (\e,\e,\e);
\coordinate(D1) at (0,\e,\e);
\draw[] (A) -- (B) node[near start, below]{1} -- (C) node[midway, below]{1} -- (D) --cycle;
\fill[wuerfel] (A) -- (B) -- (B1) -- (A1) --cycle;
\fill[wuerfel] (B) -- (C) -- (C1) -- (B1) --cycle;
\fill[wuerfel] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\draw[] (A1) -- (B1) -- (C1) -- (D1) --cycle;
\path[] (A1) -- (A) node[midway, left]{1};
\foreach \P in {A,B,C} \draw[] (\P) -- (\P1);
\node[anchor=west] at ($(C)!0.5!(C1)$) {$
V_\text{W} =a^3 = 1^3
= \underline{ 1 =V_\text{W} }$};
\end{scope}
\fi%===========================
\end{tikzpicture}")
