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Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Differenzierbarkeit, Kurve  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-10
Wasmachichhiernur
 

und zur b)
$D(f \circ \alpha(0))= D(f(\alpha(0)) \cdot D\alpha(0) = Df(x_0) \cdot v$

Viele Grüße :)

Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Differenzierbarkeit, Kurve  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-10
Wasmachichhiernur
 

Hey  Kampfpudel,
da $G$ ein Gebiet ist, ist $G$ auch insbesondere offen. Für eine offene Menge gilt, dass es für jedes x, ein $\delta > 0$ gibt s.d. $B_{\delta} (x) \subseteq G$ ist. Wählt man $\epsilon < \delta$, dann ist $x_0+tv \in B_{\delta} (x)$ und somit auch in $G$.

Analysis
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Laplace Rechnung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-10
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
finde bei folgender Rechenaufgabe einfach den Fehler nicht.
Falls jemand drüberschauen könnte wäre es mir eine große Hilfe.
Vielen Dank im Vorraus :)

Viele Grüße




Die Aufgabe:



Meine Rechnung:



Mehrdim. Differentialrechnung
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Differenzierbarkeit, Kurve  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-07-10
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
bin bei der folgenden Aufgabe nicht weitergekommen. Wäre froh wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Viele Grüße






Also für die a) hab ich mir folgendes überlegt:
$\alpha:(-\epsilon,\epsilon) \rightarrow G$, $ \alpha(t)= x_0+tv$ würde die gewünschten Eigenschaften mit $\alpha(0)=x_0$ und $\dot{\alpha(0)} = v$ erfüllen. Allerdings müsste man wahrscheinlich noch zeigen dass $x_0 +tv \in G$ liegt $\forall t \in (-\epsilon,\epsilon)$.

Bei der b) hab ich leider keine richtige Idee wie man vorgehen sollte.

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Unendliche Differenzierbarkeit zeigen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-22
Wasmachichhiernur
 

Hallo traveller,
danke für den Tipp. Sorry das ich solange für diese Antwort gebraucht hab.
Köntest du mir vielleicht die Schreibweise $P_n(\frac{1}{x})$ genauer erklären.
Ich geh jetzt einfach mal von:
$f^{(n)}(x)=P_n\left(x\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\cos\left(\frac{1}{x}\right)+Q_n\left(x\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$
als Induktionsannahme aus.

Der Induktionsanfang mach ich bei $n=1$ ($n=0$ ist ja klar):
$f^{1}(x)=\frac{1}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}} cos(\frac{1}{x})+\frac{1}{x^2}e^{-\frac{1}{x^2}} sin(\frac{1}{x})$
Der I.A ist erfüllt da $P_n(x) = \frac{1}{x^2}$ und $Q_n(x) = \frac{1}{x^3}$ beides Polynome sind.

$n \rightarrow n+1$:
$f^{n+1}(x) = P_{n+1}\left(x\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\cos\left(\frac{1}{x}\right)+Q_{n+1}\left(x\right)e^{-\frac{1}{x^2}}\sin\left(\frac{1}{x}\right)$

Weiß an dieser Stelle nicht wie ich die I.A verwenden soll.
Viele Grüße

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Unendliche Differenzierbarkeit zeigen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-21
Wasmachichhiernur
 

Hallo ochen,
danke für die Antwort. Hab das mit den Betragstrichen verbessert.
Hab hier mal $g$ abgeleitet (hoffe hab nichts vergessen):
\[g(x)=\frac{2}{x^3}e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot\frac{p(x)\cos(\frac 1x) +q(x)\sin(\frac 1x)}{r(x)} +
e^{-\frac{1}{x^2}} \cdot (\frac{p'(x)cos(\frac{1}{x})+p(x) \frac{1}{x^2}sin(\frac{1}{x})+q'(x)sin(\frac{1}{x})-q(x)\frac{1}{x^2}cos(\frac{1}{x})}{r(x)}-\frac{p(x)cos(\frac{1}{x})+q(x)sin(\frac{1}{x})}{r'(x)^2})
\] Viele Grüße

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Unendliche Differenzierbarkeit zeigen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-21
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
hab hier eine Aufgabe bei der ich keine Idee hab wie ich sie angehen soll.
Falls jemand ein Tipp hat würde es mich freuen.


Hier ist die Funktion nochmal aufgeschrieben:
$f(x)=$ $ \begin{cases}
e^{-\frac{1}{x^2}}\cdot cos(\frac{1}{x})& \text{für} \hspace{0,3cm} x \neq 0 \\
0 & \text{für}\hspace{0,3cm} x=0\\
\end{cases} $

Zu zeigen ist die unendliche differenzierbarkeit in $x \neq 0$ und $x=0$, dass $f'(0)=0$ und dass $f$ weder Extremum noch einen Sattelpunkt in $x_0=0$ hat.


Z.z.: $f'(0)=0$
Betrachte den Differenzenqoutient
$\frac{f(h)-f(x_0)}{h}=\frac{f(h)}{h}=\frac{e^{-\frac{1}{h^2}}\cdot cos(\frac{1}{h})}{h}$
Für den Differentialquotienten gilt dann folgendes:
$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{h^2}}\cdot cos(\frac{1}{h})}{h} \leq \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{h^2}}}{h} \stackrel{*}{=} 0$
*Wende hier L'Hopital an (werd ich noch machen)


Z.z.: $f$ ist $\infty$ oft differenzierbar.
Für $x \neq 0$ gilt:
$f$ ist als Verknüpfung zweier $C^{\infty}$-Funktionen auch eine $C^{\infty}$-Funktion. Es gilt also $f \in C^{\infty}$ damit ist $f$ unendlich oft differenzierbar.
Für $x = 0$ gilt:



Am meisten Probleme hab ich mit dem Zeigen der undendlichen Differenzierbarkeit in $x \neq 0$.
Falls mir hier jemand einen Hinweis geben könnte wäre ich dankbar :)


Viele Grüße







Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polstelle einseitiger Limes  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-21
Wasmachichhiernur
 

Die Definition von $I$ hatte ich gestern wohl übersehen. Danke für die Erklärung.
Ich würde sagen, falls $p(a)=0$, wäre $f_r=0$.

Um zu zeigen das es gegen $+\infty$ geht hab ich die Argumentation von dem Beispiel kopiert:
$p(a)\cdot\frac{1}{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}q(x)}$
Es gilt $x>a$ $\forall x \in I$ und $q(x)$ konvergiert monoton fallend gegen $q(a)$. Damit  gilt: $\frac{1}{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}q(x)} = \frac{1}{q(a)}$ und aus der Definition von $I$ und $a$ folgt dann das $q(a) = 0$. $\Rightarrow$ $\frac{1}{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}q(x)}=+\infty$.

Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polstelle einseitiger Limes  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-20
Wasmachichhiernur
 

Ok, danke schonmal, könnte man nicht einfach wie folgt argumentieren:
Der Limes nähert sich von Rechts an die Polstelle $x = 1$ an $\Rightarrow x>1$ $\Rightarrow x^2-1>0$ und damit geht der gesamte Grenzwert gegen $+\infty$
Meintest du nicht $\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^2-1}$ und nicht $\lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^2+1}$

Hab das es hier mal für eine allgemeine rationale Funktion versucht:
Betrachte:
$\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f_r =\lim\limits_{x \rightarrow a^+}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim\limits_{x \rightarrow a^+}p(x)\cdot\frac{1}{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}q(x)}=p(a)\cdot\frac{1}{\lim\limits_{x \rightarrow a^+}q(x)}=+\infty$ (mit der selben Argumentation wie oben)



Betrachtet man z.B. die rationale Funktion
Sei $I=(0,1]$ und sei $a = 0$
Damit wird die Bedingung erfüllt das $a \in \mathbb{R}\backslash I$ also das $a$ nicht im Intervall liegt. Außerdem sind $p(x)=x$ und $q(x)=x^2+1$ beides Polynome.
$f_r: I \rightarrow \mathbb{R}$, $f_r = \frac{x}{x^2+1}$ und bildet den rechtseitigen Limes:
$f_r = \lim\limits_{x \rightarrow 0^+} \frac{x}{x^2+1} = 0 \neq \infty$
$f_r$ hat keine Polstelle, deswegen geh ich einfach mal davon aus ich irgendwas übersehen hab, aber ich hab doch alle Bedingungen erfüllt um den Satz anzuwenden. $a$ ist nicht im Intervall und $f_r$ ist eine gebrochen rationale Funktion. Falls ich hier nur Käse schreib würd ich es darauf schieben das es schon relativ spät ist :)
Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polstelle einseitiger Limes  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-20
Wasmachichhiernur
 

Hallo Vercassivelaunos,
danke für die Antwort.
Angenommen wäre $f_r(x)=\frac{x}{x^2-1}$, dann würd ich denn Limes folgendermaßen bestimmen:
$\lim_{x\to1^+}f_r(x)=\lim_{x\to1^+}x \cdot \lim_{x\to1^+} \frac{1}{x^2-1}=\lim_{x\to1^+} \frac{1}{x^2-1} = \frac{1}{\lim_{x\to1^+} x^2-1}=\infty$
Viele Grüße

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polstelle einseitiger Limes  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-20
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
hab bei folgender Aufgabe (22) kein Ansatz. Würde mich freuen wenn jemand von euch mir einen Tipp geben könnte.
Viele Grüße


Und hier noch Aufgabe 20, die in der Aufgabe nochmal erwähnt wurde:



Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Wendepunkt Beweis  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
Wasmachichhiernur
 

Hallo Diophant,
danke für die Antwort. Ich werd die Aufgabe nochmal probieren :)
Viele Grüße

Differentialrechnung in IR
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Wendepunkt Beweis  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-15
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
hab hier eine Aufgabe bei der mir der Ansatz fehlt. Hoffe mir kann jemand einen Tipp für den Beweis geben.
Viele Grüße


Definition Vorzeichenwechsel:
Sei $I \subset \mathbb{R}$ ein offenes Intervall und $a \in I$. Wir sagen, dass eine stetige Funktion $f:I \rightarrow \mathbb{R}$ in $a$ einen Vorzeichenwechsel hat, wenn gilt: Es existiert ein $\delta >0$, so dass für $f$ einer der beiden folgenden Fälle eintritt:
(i) Für $x \in I$ mit $a-\delta<x<a$ ist $f(x) < 0$ und für $x \in I$ mit $a<x<a+\delta$ ist $f(x)>0$, oder
(ii) für $x \in I$ mit $a-\delta<x<a$ ist $f(x)>0$ und für $x \in I$ mit $a<x<a+\delta$ ist $f(x)<0$.

Nach der Aufgabe gilt:
Wendestelle in $a$ $\Rightarrow$ $f''$ in $a$ einen VZW.

z.Z.:
$f \in C^3(I)$ mit $f''(a)=0$ und $f'''(a) \neq 0$ $\Rightarrow$ a ist ein Wendepunkt von f.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polynom Grenzwert  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-13
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
also jetzt nochmal richtig aufgeschrieben:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n} =\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)}{x^n} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} (\frac{a_0}{x^n}+\frac{a_1}{x^{n-1}}+\frac{a_2}{x^{n-2}}+...+a_n)=0$
Folgt daraus nicht schon direkt das die Koeffizienten alle 0 sein müssen?

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polynom Grenzwert  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-13
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
ich hab das ganze mal ausgeklammert wie du gesagt hast.
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{x^k \cdot (a_k+...+a_n x^{n-k})}{x^n} $
Komm aber trotzdem nicht weiter. Ich muss ja im Grunde zeigen das der Zähler (also das Polynom) null sein muss damit der Grenzwert des ganzen Bruches 0 ergibt. Also nehm ich an dass alle Koeffizienten bis zum $k$ null ergeben und eben $a_k \neq 0$ ist.

Steh bei der Aufgabe echt auf dem Schlauch...

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polynom Grenzwert  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-13
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
danke für die Antwort.
hoffe ich hab es jetzt sauberer aufgeschrieben:
Es gilt $p(x)= \sum_{k=0}^{n} a_k x^k$.
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n} =\lim\limits_{x \rightarrow 0}\frac{(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)}{x^n} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} (a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+...+\frac{a_0}{x^n})$
Betrachte den kleinsten Index $k \in \mathbb{N}$, so dass $a_k \neq 0$ ist.
Der Grenzwert lautet an der Stelle $k$ dann wie folgt:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{a_k}{x^k} \neq 0$ $\forall a_k \neq 0$
$\Rightarrow$ Damit $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n}=0$ muss für jedes $k \in \mathbb{N}$ gelten $a_k = 0$. Es muss also gelten $p(x)=0$ $\forall x \in \mathbb{R}$.

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polynom Grenzwert  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-12
Wasmachichhiernur
 

Hallo,
danke für die Antwort.
Der kleinste Index $k$ ist die 0. Also:
Es wird angenommen $a_0 \neq 0$.
Dann gilt folgendes:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n}= \lim\limits_{x \rightarrow 0}(a_n+\frac{a_{n-1}}{x}+\frac{a_{n-2}}{x^2}+...+\frac{a_0}{x^n})$
Es gilt $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{a_0}{x^n} = \infty$ für $a_0 \neq 0$

Der Ausdruck $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{a_0}{x^n} = \infty$ geht für alle $n \in \mathbb{N}$ nach $\infty$ (außer für $a_n$). Es muss also $a_n = 0$ $\forall n \in \mathbb{N}$

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Polynom Grenzwert  
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Wasmachichhiernur
 

Hallo,
hab hier folgende Aufgabe bei der ich nicht weitekomm. Falls jemand mir einen Tipp geben könnte wäre ich dankbar.
Viele Grüße :)


Ich hab bisher folgendes:
Betrachte ein Polynom p mit Grad n. Dann gilt für alle $x \in \mathbb{R}$:
$p(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k$
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{p(x)}{x^n} = \frac{\lim\limits_{x \rightarrow 0} (a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)}{\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^n}=\lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^{n} a_k x^k}{x^n} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \frac{\sum_{k=0}^{n-1} a_k x^k+a_n x^n}{x^n} = \frac{\sum_{k=0}^{n-1}\lim\limits_{x \rightarrow 0} a_k x^k +a_n\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^n}{\lim\limits_{x \rightarrow 0} x^n}$
Anschaulich ist es mir klar das es sich um ein Nullpolynom handeln muss, also alle Koeffizienten $(a_0,...,a_n)=0$ sein müssen.  

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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Schwingungsgleichung auflösen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-06
Wasmachichhiernur
 

Hallo Diophant,
damit ist dann für $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ die Gleichung $f(x+T)=f(x)$ erfüllt.
Danke:)
Viele Grüße

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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Wasmachichhiernur
Schwingungsgleichung auflösen  
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Wasmachichhiernur
 

Hallo,
hab hier eine Aufgabe wo ich einfach nicht weiterkomm. Wäre dankbar wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Viele Grüße



$f(x)=acos(\omega x) +bsin(\omega x)$
Sei $f \neq 0$, dann gibt es ein minimales $T>0$, so dass für alle $x \in \mathbb{R}$ gilt:

$f(x+T)=f(x)$

$=>acos(\omega (x+T)) +bsin(\omega (x+T))=acos(\omega x) +bsin(\omega x)$
nach $T$ auflösen.

Wollte es schon mit Hilfe der Additionstheoreme lösen, aber da kam ich auch nicht weiter.
 

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