Hallo,
wie wäre es mit nicht so viel Kompliziertheit.
Setze z=4i
=> (4i/4)^3n=(i^3)^n=(-i)^n
Setze nun für n>=2: n=4m+2+t mit t=0,...,3 und m>=0
Jetzt die Partialsumme:
sum(1/sqrt(n)*(-i)^n,n=1,N)=-i+sum(sum(1/sqrt(4m+2+t)*(-i)^(2+t),t=0,3),m=0,M)=
=-i+sum(sum(1/sqrt(4m+2+t)*(-i)^t,t=0,3),m=0,M)=
=-i+sum(1/sqrt(4m+2),m=0,M)-i*sum(1/sqrt(4m+3),m=0,M)-sum(1/sqrt(4m+4),m=0,M)+i*sum(1/sqrt(4m+5),m=0,M)

Die Obergrenze M ist hier nicht exakt, die korrekte Schreibweise sei Dir überlassen.
Fasse getrennt Realteil und Imaginarteil zusammen (nicht Ausrechnen!)
schreibe dann die beiden Teile jeweils(!) als eine(!) Summe und überlege, ob da ein Kriterium paßt.
Gruß Wauzi
 

So ist zB für die Primzahlfunktion \pi(n):
\pi(n)=n/log(n)+O(n/log^2(n))
obwohl die rechte Seite nicht konvergiert.

Als Gleichung geschrieben ist das O-Glied so zu verstehen:
f(n)=O(g(n)) ist dasselbe wie f(n)=r(g(n)) wobei r(n) zwar eine  eindeutig bestimmte Funktion ist, für die gilt:

Es gibt ein K>0 mit abs(r(n))<=K*abs(g(n))

die man aber in der Regel nicht näher kennt. 
Aber: Mit diesem r(n) läßt sich ganz normal rechnen.
Und die O-Schreibweise ermöglicht jetzt zweierlei:
- Das normale Rechnen ohne r(n) zu kennen
- Verkürzte Schreibweisen unter Beibehaltung von bestimmten Größenordnungen

Nachteil: 
- Man darf das O-Glied weder abziehen noch durch es teilen
- Im Exponenten muß man einige Verrenkungen machen, wie ich es im letzten Teil des posts gezeigt habe.

Dein Beispiel findest Du etwas allgemeiner in dem Artikel ''Ein schöner Grenzwert'' (ich habe den link auf die Schnelle nicht parat)

So ganz ist mir Deine Rechnung nicht klar.
Vorschlag:
n^2*log(1+1/n)-n=sum((-1)^(k+1)/(k*n^(k-2)),k=2,\inf )=-1/2+O(sum(1/(k*n^(k-2)),k=3,\inf ))=
=-1/2+O(sum(1/(n^k),k=1,\inf ))=-1/2+O(1/n*sum(1/(n^k),k=0,\inf ))=-1/2+O(1/n*sum(1/(2^k),k=0,\inf ))=-1/2+O(1/n)
=>n^2*log(1+1/n)-n=-1/2+r(n) mit r(n)=O(1/n)
=>(1+1/n)^n^2*1/e^n=e^((-1/2)+r(n))=e^(-1/2)*exp(r(n))
exp(r(n))=1+r(n)*sum(r(n)^(k-1)/k!,k=1,\inf )=1+r(n)*O(sum(1/k!,k=0,\inf ))=
=1+r(n)*O(1)=1+O(1/n)
=>(1+1/n)^n^2*1/e^n=exp(-1/2)+O(1/n*exp(-1/2))=exp(-1/2)+O(1/n)
bzw
lim(n->\inf,(1+1/n)^n^2*1/e^n)=exp(-1/2)

Es ist f(z)=sum(a(k)*z^k/(z-1)^k,k=0,\inf )=sum(a(k)*(z-1+1)^k/(z-1)^k,k=0,\inf=
=sum(a(k)*(y+1)^k*y^(-k),k=0,\inf  ) mit y:=(x-1)=
=sum(a(k)*y^(-k)*sum((k;t)*y^t,t=0,k),k=0,\inf  ) =
=sum(sum(a(k)*(k;t)*y^(t-k),t=0,k),k=0,\inf  ) =
=sum(sum(a(k)*(k;t)*sum(y^r,array(r=- \inf; r=t-k) ,\inf ),t=0,k),k=0,\inf  ) =
=sum(y^r*sum(sum(a(k)*(k;t),t=r+k,),k=0,\inf  ),r=-\inf,\inf)
r+k=t=>0<=r+k<=k=>-k<=r<=0=>k>=-r>=0=>k=-r...0=>r<=0
=>=sum(y^r*sum(a(k)*(k;r+k),k>=-r,  ),r=-\inf,0)

Ich habe nicht mehr nachgerechnet, keine Zeit, hoffe es sind nicht zuviele Fehler drin Aber prinzipiell geht es so

Hallo,
bei solchen Aufgaben ist es manchmal hilfreich, die Folgen zu verändern:
a_(n+1) = 1 + \sqrt(a_n^2-2*a_n+3)
<=> a_(n+1)-1=sqrt((a_n-1)^2+2)
mit b_n:=a_n-1
b_(n+1)=sqrt(b_n^2+2)
Dies führt zu
b_(n+1)^2=b_n^2+2
Setzt man jetzt noch c_n:=b_n^2 ergibt sich der simple Zusammenhang
c_(n+1)=c_n+2

Gruß Wauzi