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Geht leider nicht, ich habe eine Klammer übersehen.
Schade
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.] |
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Terme und (Un-) Gleichungen | |
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Hallo,
und was willst Du uns damit sagen?
Gruß Wauzi |
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Ungleichungen | |
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Hallo,
kennst Du die Stirling-Formel?
Gruß Wauzi |
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Folgen und Reihen | |
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Hallo, wie wäre es mit nicht so viel Kompliziertheit. Setze z=4i => (4i/4)^3n=(i^3)^n=(-i)^n Setze nun für n>=2: n=4m+2+t mit t=0,...,3 und m>=0 Jetzt die Partialsumme: sum(1/sqrt(n)*(-i)^n,n=1,N)=-i+sum(sum(1/sqrt(4m+2+t)*(-i)^(2+t),t=0,3),m=0,M)= =-i+sum(sum(1/sqrt(4m+2+t)*(-i)^t,t=0,3),m=0,M)= =-i+sum(1/sqrt(4m+2),m=0,M)-i*sum(1/sqrt(4m+3),m=0,M)-sum(1/sqrt(4m+4),m=0,M)+i*sum(1/sqrt(4m+5),m=0,M) Die Obergrenze M ist hier nicht exakt, die korrekte Schreibweise sei Dir überlassen. Fasse getrennt Realteil und Imaginarteil zusammen (nicht Ausrechnen!) schreibe dann die beiden Teile jeweils(!) als eine(!) Summe und überlege, ob da ein Kriterium paßt. Gruß Wauzi
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.8 begonnen.] |
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Hallo,
betrachte Partialsummen, damit Umordnen geht. Nimm dann den imaginären Wert 4i und setze ein.
Dies ergibt dann (ohne die Wurzel) (-i)n. Zerlege vier aufeinanderfolgende Summanden in Real und Imaginärteil, sortiere und schau Dir dann an, was bei der Partialsumme rauskommt.
Gruß Wauzi |
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Sonstiges | |
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2020-12-22 11:19 - cramilu in Beitrag No. 13 schreibt:
Delastelle und Wauzi, könntet Ihr bitte
Euer "Hollywood-Bashing" auch konkret mit Filmen belegen?!
Dafür gibt es gar wunderbar viele Beispiele, aber leider reicht der Planetenrand nicht aus, sie aufzuzählen.
Anders ausgedrückt, ich weiß keinen, der gut wäre.
Nimm beispielsweise die Franzosen (okay, heute schauts da auch nicht mehr so gut aus) mit irgendeinem beliebigen Truffault-Film und Du siehst den riesigen Qualitätsunterschied. Allerdings explodieren hier auch nicht dauernd Autos, fliegen Menschen durch die Gegend, es gibt keine dümmlich unbeholfenen Frauen, halbkluge Kleinkinder oder Männer, die dauernd "Oh my God" rufen.
Früher habe ich geglaubt, Doris Day Filme wären das unterste der amerikanischen Film"kultur". Mittlerweile weiß ich, es geht noch schlimmer. Und das will was heißen
Gruß Wauzi |
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Sonstiges | |
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2020-12-12 02:45 - Delastelle in Beitrag No. 10 schreibt:
Dabei kommen doch 40-50 Prozent der guten Filme nicht aus den USA.
Sehr wohlwollend, sind es doch eher 90-95 Preozent.
Gruß Wauzi |
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Funktionen | |
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Hallo,
zu a) Du sollst keine Lösung finden, sondern zeigen, daß es eine gibt
zu b) betrachte "sehr negative" und "sehr positive" x
Gruß Wauzi |
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Folgen und Reihen | |
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Hallo,
zu a) innerhalb des Konvergenzkreises darf keine Nullstelle des Nenners liegen. (Warum?)
zu b) wo ist das Problem? Einsetzen!
zu c) forme die Gleichung durch einfaches Multiplizieren um in 1=....
zu d) Erweitere f mit (1-z)/(1-z) und überlege, wie Du das Ergebnis nutzen kannst.
Gruß Wauzi |
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Grenzwerte | |
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Du hast mit Deinen Argumenten recht, aber n mit 1 abzuschätzen führt dazu, sich nicht mit eventuellen Problemen von n rumärgern zu müssen.
Die Abschätzung mit der e-Funktion ist einfach bequem und für das O-Symbol ist die Größe der Konstante belanglos.
Gruß Wauzi |
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Grenzwerte | |
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Hallo,
auf den 1. Blick stimmt Deine Lösung.
Der übliche Weg ist folgender:
Schätze die Restreihe (also ab k=2) mit der über ihre Absolutbeträge ab.
zu dieser:
1/n5 ausklammern
dann in der Reihe die n im Nenner mit 1 abschätzen
dann die Reihe vergrößern, bis sie zur Exponentialreihe wird
fertig |
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2020-11-19 13:51 - WagW in Beitrag No. 2 schreibt:
Mein Verständnisproblem ist, dass man einerseits sagt, dass eine Gleichung im Kontext von Big-O-Notation eigentlich nicht als Gleichung zu betrachten ist, aber andererseits behandelt man das Gleichheitszeichen genauso wie ein "normales Gleichheitszeichen, wenn man dann Grenzwerte untersucht.
Die Schreibweise mit dem Gleichheitszeichen ist eine bequeme Kurzfassung. Sie sagt aber mehr aus, als es der Grenzwert alleine tut, sie sagt etwas aus über die Geschwindigkeit der Konvergenz. Außerdem ist die O-Notation auch verwendbar, wenn gar kein Grenzwertz vorliegt.
 
So ist zB für die Primzahlfunktion \pi(n): \pi(n)=n/log(n)+O(n/log^2(n)) obwohl die rechte Seite nicht konvergiert. Als Gleichung geschrieben ist das O-Glied so zu verstehen: f(n)=O(g(n)) ist dasselbe wie f(n)=r(g(n)) wobei r(n) zwar eine eindeutig bestimmte Funktion ist, für die gilt: Es gibt ein K>0 mit abs(r(n))<=K*abs(g(n)) die man aber in der Regel nicht näher kennt. Aber: Mit diesem r(n) läßt sich ganz normal rechnen. Und die O-Schreibweise ermöglicht jetzt zweierlei: - Das normale Rechnen ohne r(n) zu kennen - Verkürzte Schreibweisen unter Beibehaltung von bestimmten Größenordnungen Nachteil: - Man darf das O-Glied weder abziehen noch durch es teilen - Im Exponenten muß man einige Verrenkungen machen, wie ich es im letzten Teil des posts gezeigt habe. Dein Beispiel findest Du etwas allgemeiner in dem Artikel ''Ein schöner Grenzwert'' (ich habe den link auf die Schnelle nicht parat)
Gruß Wauzi
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Hallo,
 
So ganz ist mir Deine Rechnung nicht klar. Vorschlag: n^2*log(1+1/n)-n=sum((-1)^(k+1)/(k*n^(k-2)),k=2,\inf )=-1/2+O(sum(1/(k*n^(k-2)),k=3,\inf ))= =-1/2+O(sum(1/(n^k),k=1,\inf ))=-1/2+O(1/n*sum(1/(n^k),k=0,\inf ))=-1/2+O(1/n*sum(1/(2^k),k=0,\inf ))=-1/2+O(1/n) =>n^2*log(1+1/n)-n=-1/2+r(n) mit r(n)=O(1/n) =>(1+1/n)^n^2*1/e^n=e^((-1/2)+r(n))=e^(-1/2)*exp(r(n)) exp(r(n))=1+r(n)*sum(r(n)^(k-1)/k!,k=1,\inf )=1+r(n)*O(sum(1/k!,k=0,\inf ))= =1+r(n)*O(1)=1+O(1/n) =>(1+1/n)^n^2*1/e^n=exp(-1/2)+O(1/n*exp(-1/2))=exp(-1/2)+O(1/n) bzw lim(n->\inf,(1+1/n)^n^2*1/e^n)=exp(-1/2)
Ich habe einige Schritte viel ausführlicher, als eigentlich nötig, gemacht
Gruß Wauzi |
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Hallo Phoensie,
die Aufgabe läßt sich exakt mit dem Trick lösen, den ich Dir schon bei dem anderen post gezeigt habe. Setze r=3j-k, summiere über alle r mit dieser Nebenbedingung, vertausche die Summationsreihenfolge, summiere über r,k und j mit der Bedingung j=(r+k)/3 und überlege Dir, welche Grenzen für k gelten müssen, damit es solch ein j gibt.
Zu den weiteren Ausführungen kann ich nichts sagen, da Dein Beitrag #2 bei mir teilweise nicht lesbar ist. Seltsam, da beim Startbeitrag alles klar ist
Gruß Wauzi |
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Hallo,
leider ist Dein letzter post bei mir nicht lesbar, aber ich zeige Dir mal prinzipiell, wie es geht:
 
Es ist f(z)=sum(a(k)*z^k/(z-1)^k,k=0,\inf )=sum(a(k)*(z-1+1)^k/(z-1)^k,k=0,\inf= =sum(a(k)*(y+1)^k*y^(-k),k=0,\inf ) mit y:=(x-1)= =sum(a(k)*y^(-k)*sum((k;t)*y^t,t=0,k),k=0,\inf ) = =sum(sum(a(k)*(k;t)*y^(t-k),t=0,k),k=0,\inf ) = =sum(sum(a(k)*(k;t)*sum(y^r,array(r=- \inf; r=t-k) ,\inf ),t=0,k),k=0,\inf ) = =sum(y^r*sum(sum(a(k)*(k;t),t=r+k,),k=0,\inf ),r=-\inf,\inf) r+k=t=>0<=r+k<=k=>-k<=r<=0=>k>=-r>=0=>k=-r...0=>r<=0 =>=sum(y^r*sum(a(k)*(k;r+k),k>=-r, ),r=-\inf,0) Ich habe nicht mehr nachgerechnet, keine Zeit, hoffe es sind nicht zuviele Fehler drin Aber prinzipiell geht es so
Gruß Wauzi |
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Wenn Du über negative k summierst, mußt Du in der Reihe k durch -k ersetzen.
Damit bleibt die Fakultät weiter positiv, aber der Bruch dreht sich um. Der läßt sich dann leicht bearbeiten.
Alternativ schreibe den Nenner in den Zähler mit entsprechend -k statt k und wende dann den binomischen Satz an. (geht auch für negative Exponenten!)
Jetzt Ordnung in die Doppelreihe, die entstanden ist, bringen |
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Hallo,
2020-11-12 13:47 - Phoensie in Beitrag No. 2 schreibt:
Den Bruch kann man doch nicht mehr weiter umstellen...?
doch, prinzipiell zB so
Summiere doch mal über negative k
Gruß Wauzi |
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Folgen und Reihen | |
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Hallo,
wende die dritte binomische Formel so oft es geht auf den Nenner an. damit läßt dieser sich als Produkt schreiben. Wendet man jetzt eine geeignete Indexverschiebung auf die Reihe an, sollte man eine Gleichung erhalten, mit der sich die Reihe berechnen läßt.
Gruß Wauzi |
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Induktion | |
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Hallo, bei solchen Aufgaben ist es manchmal hilfreich, die Folgen zu verändern: a_(n+1) = 1 + \sqrt(a_n^2-2*a_n+3) <=> a_(n+1)-1=sqrt((a_n-1)^2+2) mit b_n:=a_n-1 b_(n+1)=sqrt(b_n^2+2) Dies führt zu b_(n+1)^2=b_n^2+2 Setzt man jetzt noch c_n:=b_n^2 ergibt sich der simple Zusammenhang c_(n+1)=c_n+2 Gruß Wauzi
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Hallo,
einen Beweis, daß die Folge gegen die Reihe konvergiert, findest Du hier
in den Kapiteln 1.3 bis 1.7
Setze dabei Q=q=n und m=1
Falls Dir das O-Symbol nicht vertraut ist:
f(n)=O(g(n) heißt:
Es gibt eine Konstante K>0, so daß |f(n)|<=K*|g(n)| für genügend großes n ist
Gruß Wauzi
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