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Integration im IR^n
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: benjuy
Integration über die Oberfläche eines durch Kurven berandeten Gebietes  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-09-08
benjuy
 

Einen schönen guten Nachmittag allerseits.

Ich möchte die Gausskrümmung \(K\) über die Oberfläche eines Vierecks \(V\) bestimmen, welches durch 4 Kurven berandet ist beziehungsweise bilden die Bilder der 4 Kurven eine Fläche \(S\). Es will mir einfach nicht so recht einfallen, wie ich dies anstellen könnte.

Die 4 Kurven wären die folgenden:

$\left(2\cos(t),2\sin(t),0\right)~ : ~t\in \left[0,\pi\right]$
$\left(\cos(t),\sin(t),1\right)~ : ~t\in \left[0,\pi\right]$
$\left(t^4-2t^2+2,0,t\right)~ : ~t\in \left[0,1\right]$
$\left(-t^4+2t^2-2,0,t\right)~ : ~t\in \left[0,1\right]$

Die Fläche sieht wie folgt aus:



Geplottet mit Mathematica:
ParametricPlot3D[{{2 Cos[t], 2 Sin[t], 0}, {Cos[t], Sin[t],1}, {x^4 - 2 x^2 + 2, 0, x}, {-x^4 + 2 x^2 - 2, 0, x}}, {t,0, \[Pi]}, {x, 0, 1}]

Ich habe mir überlegt, dass der Auf- und Abgang (Funktionen 3 und 4) doch recht symmetrisch aussehen und die Fläche eigentlich eine Rotation dieser ist. Deshalb könnte ich allenfalls in Funktion 3 $t$ durch $v$ als Variable ersetzen und so eine Parametrisierung erhalten die einer Rotation eines Funktionengraphes um die z-Achse entspricht. Aber so schlüssig wurde ich mir nun doch noch nicht, wie ich denn nun ein Integral über diese Fläche aufstellen kann. :-?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: benjuy
Kleiner Satz von Picard - Bild von f  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-08-29
benjuy
 

Ich habe deinen Beitrag gelesen, verstehe aber nicht wie dies meine Frage beantwortet. In C\D fehlen eine ganze Menge Punkte. Aber findet der kleine Satz von Picard so Anwendung, wenn die Funktion f:C->C\D definiert ist, oder muss es f:C->C sein?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: benjuy
Kleiner Satz von Picard - Bild von f  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-08-29
benjuy
 

Wenn der Zielmenge natürlich nur D ist, kann man natürlich den Satz von Liouville verwenden.
Wie sieht es aber aus, wenn der Zielmenge C ohne D ist? Also quasi ein Loch um den Nullpunkt mit Radius 1 hat? Folgt dann gemässe dem kleinen Satz von Picard, dass diese Funktion konstant sein muss, wenn sie holomorph ist?

Funktionentheorie
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: benjuy
Kleiner Satz von Picard - Bild von f  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2017-08-28
benjuy
 

Werte Community
Oft schon habe ich gute Antworten hier im Forum gefunden - nun habe ich für Einmal eine Frage: Und zwar zum kleinen Satz von Picard, wonach holomorphe Funktionen <math>f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}</math> konstant sind, wenn sie mehr als einen Punkt nicht treffen.
Die Funktion muss ganz sein, also auf ganz C holomorph. Wäre nun eine holomorphe Funktion <math>f:\mathbb{C}\rightarrow \mathbb{C}</math>/<math>D</math> (D die Einheitsscheibe) konstant, da ja nicht nur mehr als ein Punkt nicht getroffen wird, sondern gleich ein ganzes Gebiet?
Meine Frage ist: Welche Anforderungen gibt es an die Zielmenge? Muss es ganz C sein, damit der Satz Anwendung findet?
Ich dannke und wünsche eine angenehme Nacht
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