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Thema Eingetragen
Autor

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 17:10
blindmessenger
 

O.k...

Also in Mengenklammern kommt nur die einzelne Menge, während man in runden Klammern Mengen zusammenfassen kann. Ein anderes Beispiel:


$ ( \{ n \in \mathbb{N};12n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N};12n+5 \} ) \subset ( \{ n \in \mathbb{N};6n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N};6n+5 \} )$

Sagt aus: Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$ sind eine echte Teilmenge von Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

Ist das so korrekt?

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 16:25
blindmessenger
 

O.k. An welcher Stelle müsste ich denn runde Klammern benutzen?

Kannst Du mir das einmal korrekt hinschreiben?

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 14:42
blindmessenger
 

Alles klar... Danke Dir...

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 14:34
blindmessenger
 

Oder so:

$ \{ \{ n \in \mathbb{N}; 6n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N}; 6n+5 \} \} \cap \{ n \in \mathbb{N}; 4n+1 \} = \{ n \in \mathbb{N}; 12n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N}; 12n+5 \} $

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 14:21
blindmessenger
 

Woher weiß ich bei Deiner Notation ob nicht 4n+1 mit 6n+5 eine Schnittmenge hat und diese Schnittmenge dann mit 6n+1 eine Menge bildet?

Oder ist das etwa das gleiche?

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19 13:59
blindmessenger
 

Hallo,

ich will folgendes ausdrücken:

Die Menge von zwei Restklassen

$6n+1$ und $6n+5$

bilden mit einer weiteren Restklasse

$4n+1$

eine Schnittmenge.

Daraus ergibt sich eine Menge von zwei Restklassen

$12n+1$ und $12n+5$.

Kann man das so notieren:

$((6n+1) \cup (6n+5)) \cap (4n+1)=(12n+1) \cup (12n+5)$

?

Oder wie drücke ich das am besten aus?

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-18 19:08
blindmessenger
 



Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)




Mit Hilfe eines speziellen Siebalgorithmus lassen sich nach jedem Durchgang Collatzfolgen in bestimmten Restklassen zusammenfassen. Mit diesem Beweis will ich zeigen, dass das mit diesem Algorithmus theoretisch nach beliebig vielen Durchgängen und somit in beliebig große Restklassen möglich ist.




Zur Begrifflichkeit:


$Reduzierte \ Collatzfolge$

Eine Collatzfolge bestehend nur aus ungeraden Elementen und bei der ersten Zahl endend die kleiner ist als ihre Vorgängerzahl.


$Lange \ Folge$

Eine reduzierte Collatzfolge die mehr als 2 Elemente beinhaltet.


$Kurze \ Folge$

Eine reduzierte Collatzfolge die genau 2 Elemente enthält.


Lemma 1:


Bezüglich der Collatzfolgen haben bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten bis sie bei einer ungeraden Zahl landen. Siehe Tabelle:


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1 \ Schritt&2 \ Schritte&3 \ Schritte&4 \ Schritte&5 \ Schritte&6 \ Schritte&7 \ Schritte&8 \ Schritte&...\\ \hline
2n+1&4n+2&8n+4&16n+8&32n+16&64n+32&128n+64&256n+128&512n+256&...\\ \hline
1&2&4&8&16&32&64&128&256&...\\\hline
3&6&12&24&48&96&192&384&768&...\\\hline
5&10&20&40&80&160&320&640&1280&...\\\hline
7&14&28&56&112&224&448&896&1792&...\\\hline
9&18&36&72&144&288&576&1152&2304&...\\\hline
11&22&44&88&176&352&704&1408&2816&...\\\hline
13&26&52&104&208&416&832&1664&3328&...\\\hline
15&30&60&120&240&480&960&1920&3840&...\\\hline
...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\hline
\end{array} \]

Lemma 2:


Aus Lemma 1 folgt, dass Zahlen der Form

$4n+3$

immer lange Folgen ergeben. Denn

$3 \cdot (4n+3)+1=12n+10$

Die Restklasse $12n+10$ ist echte Teilmenge der Restklasse $4n+2$ aus Lemma 1. Somit lassen sich diese Zahlen nur einmal durch 2 teilen. Daraus folgt, dass also Zahlen der Form $4n+3$ als nächstes ungerades Collatzelement immer eine größere Zahl haben, weil

$\frac{3n+1}{2} > n$.

Daher können Zahlen der Form $4n+3$ keine kurzen Folgen mehr bilden.  

Bei

$4n+1$

ist es genau andersherum. Als nächstes Collatzelement haben sie immer eine kleinere Zahl, weil

$3 \cdot (4n+1)+1=12n+4$

Und die Restklasse $12n+4$ ist keine Teilmenge von $4n+2$ aus Lemma 1. Daher lassen sich Zahlen dieser Form mindestens 2 mal halbieren. Somit hat die Restklasse $4n+1$ als nächstes Element immer ein kleineres Element, weil

$\frac{3n+1}{4} < n$.

Daher bilden Zahlen der Form $4n+1$ immer kurzen Folgen.  



Lemma 3:


Startzahlen (bzw. Zahlen aus der Spalte Element 1) der reduzierten Collatzfolgen bestehen aus Zahlen der Form

$6n+1$

$6n+3$

$6n+5$

Alle anderen Elemente bestehen aus Zahlen der Form

$6n+1$

$6n+5$

Laut Lemma 1 werden nur Zahlen der Form $6n$ nach Halbierungsschritten zu ungeraden Zahlen der Form $6n+3$. Für ungerade Zahlen gilt aber folgendes

$3 \cdot (2n+1)+1=6n+4$

Zahlen der Form $6n+4$ und Zahlen der Form $6n$ haben keine Schnittmenge. Daher können ungerade Zahlen nach dem $3n+1$ Schritt nie wieder zu ungeraden Zahlen der Form $6n+3$ werden. Das bedeutet nur Startzahlen (bzw. Element 1) kann Zahlen der Form $6n+3$ enthalten.


Lemma 4:


Um lange Folgen streichen zu können (und somit auch Collatzfolgen in Restklassen zusammenzufassen...) muss gezeigt werden, dass sie Elemente beinhalten, die auch in den kurzen Folgen vorkommen. Aus Lemma 2 und 3 folgt, dass das vorletzte Element der langen Folgen von der Form $12n+1$ oder $12n+5$ ist:

$ (\{ 6n+1 \mid  n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} ) \cap \{ 4n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} = \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} $

Wenn man zeigen kann, dass in jedem Schritt 4 "Dublikate streichen" in der Elementspalte die Elemente ausschließlich und genau von der Form $6n+1$ und $6n+5$ sind, dann lassen sich nach jedem Durchgang auch immer wieder alle langen Folgen streichen, weil

$ \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  \subset  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Grundvoraussetzung für die Funktion des Algorithmus ist also, dass sich nach jedem Mal "Dublikate streichen" diese Restklassen $6n+1$ und $6n+5$ ergeben. Es lässt sich zeigen, dass das immer wieder nach beliebig vielen Durchgängen auch passiert.




Teil 1:


In der Spalte Element 1 von Schritt 1 kommen Zahlen der Form $2n+1$ vor. Für $6n+1$ und $6n+5$ gilt

$ \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  \subset  \{ 2n+1 \mid n \in \mathbb{N} \}$

Daher lassen sich laut Lemma 4 in Schritt 2 lange Folgen streichen.
 
Aus Lemma 2 folgt, dass nur Zahlen der Form $4n+1$ übrigbleiben. Diese Zahlen werden nun gestrichen (siehe Schritt 3/Durchlauf 1) und aus den übrigen Zahlen (Spalte Element 2) werden noch Dublikate gestrichen (Schritt 4/Durchlauf 1). Es werden neue reduzierte Folgen erstellt (Schritt 1/Durchlauf 2). In Schritt 2 werden wieder lange Folgen gestrichen.

Um zu zeigen, dass wir wieder lange Folgen streichen können (Lemma 4), müssen in Schritt 4 "Dublikate streichen" in der Spalte "Element 2" Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ über bleiben. Aber wie zeigen wir das? Genauer gesagt: Warum werden aus den Zahlen $4n+1$ in Spalte "Element 1" (Tabelle Schritt 2) die Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ in Spalte "Element 2" (Tabelle Schritt 4)?

Schauen wir uns dafür noch mal die Restklasse $4n+1$ in Schritt 2 in der Spalte "Element 1" genauer an. Wir teilen diese Zahlen in folgende 4 Restklassen ein (wie zu sehen in Schritt 4)

$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$


Aus Lemma 1 wissen wir, dass bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten haben. Wenn man bei 3 dieser $16n$ Restklassen den $3n+1$ Schritt durchführt liegen sie genau in den Restklassen von Lemma 1:

$3 \cdot (16n+1)+1=48n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (16n+9)+1=48n+28 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (16n+13)+1=48n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$


Das heißt die drei Restklassen $16n+1$, $16n+9$ und $16n+13$ haben jeweils eine genau definierte Anzahl an $n/2$ Schritten zur nächsten ungeraden Zahl während die Restklasse $16n+5$ das nicht hat. Wenn aber diese 3 Restklassen jeweils eine genau definierte Anzahl an "n/2" Schritten zur nächsten ungeraden Zahl haben, dann müssen die nächsten ungeraden Zahlen in der reduzierten Collatzfolge ja auch in Restklassen einteilbar sein (wie zu sehen in Schritt 4...). Und zwar wie folgt:

$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+9 \rightarrow 12n+7 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

Somit haben wir also in der nächsten Elementspalte die Restklassen $12n+1$, $12n+7$ und $6n+5$ vorliegen, für die gilt:

$ \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 12n+7 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \}  =  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Und genau das wollten wir ja auch zeigen, dass die Zahlen in der Spalte Element 2 in Schritt 4 genau Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ sind.

Nun ist auch klar, dass die Restklasse $16n+5$ nur Dublikate erzeugen kann: Lemma 3 besagt, dass als Collatzelemente nur Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ gebildet werden können. Die werden aber schon durch $16n+1$, $16n+9$ und $16n+13$ in der Elementspalte lückenlos gebildet...


Teil 2:


Nachdem wir also das zweite mal lange Folgen gestrichen haben (Schritt 2 Durchlauf 2) verbleiben in der Spalte "Element 2" in Schritt 2/Durchlauf 2 Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$. Das ergibt sich daraus, weil wir aus den Zahlen $6n+1$ und $6n+5$ lange Folgen gestrichen haben. Lange Folgen sind Zahlen der Form $4n+3$. Es verbleibt somit folgende Schnittmenge:

$ (\{ 6n+1 \mid  n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} ) \cap \{ 4n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} = \{ 12n+1 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 12n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} $

Um das dritte Mal lange Folgen streichen zu können müssen wir nun zeigen, dass in der Spalte "Element 3" in Schritt 4/Durchlauf 2 Elemente der Form $6n+1$ und $6n+5$ gebildet worden sind und zwar aus den Restklassen $12n+1$ und $12n+5$ die sich in der Spalte "Element 2" in Schritt 2/Durchlauf 2 befinden.

Hierzu machen wir folgende Restklassenaufteilung. Aus den Zahlen $12n+1$ und $12n+5$ lassen sich folgende 8 Restklassen bilden

$24n+1$

$24n+17$

$48n+5$

$48n+13$

$48n+29$

$96n+37$

$192n+85$

$192n+181$

Diese Restklassen sind wieder so gebildet, dass 6 davon (wenn man den 3n+1 Schritt durchführt...) in jeweils genau einer der Restklassen aus Lemma 1 liegen.

$3 \cdot (24n+1)+1=72n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (24n+17)+1=72n+52 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+13)+1=144n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+29)+1=144n+88 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (96n+37)+1=288n+112 \rightarrow \ Teil \ von \ 32n+16 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (192n+181)+1=576n+544 \rightarrow \ Teil \ von \ 64n+32 \ aus \ Lemma \ 1$

Es ergibt sich also wieder eine identische Anzahl an $n/2$ Schritten zur nächsten ungeraden Zahl. Und somit bilden sich als nächstes Element (Element 3) wieder genau festgelegte Restklassen wie folgt:

$24n+1 \rightarrow \ 18n+1$

$24n+17 \rightarrow \ 18n+13$

$48n+13 \rightarrow \ 18n+5$

$48n+29\rightarrow \ 18n+11$

$96n+37\rightarrow \ 18n+7$

$192n+181 \rightarrow \ 18n+17$


Für diese 6 Restklassen gilt wieder:

$ \{ 18n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 18n+5 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+7 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+11 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 18n+13 \mid n \in \mathbb{N} \} \cup \{ 18n+17 \mid n \in \mathbb{N} \}  =  \{ 6n+1 \mid n \in \mathbb{N}\} \cup \{ 6n+5 \mid n \in \mathbb{N}\} $

Die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ hingegen bilden wieder keine einheitliche Restklasse als nächstes ungerades Collatzelement und können daher wieder als Dublikate gestrichen werden.

Und nun haben wir eine Dauerschleife, weil ja aus

$6n+1  $

$6n+5  $

wird wieder $4n+3$ weggestrichen. $12n+1$ und $12n+5$ bleiben über. Und daraus wird wie gezeigt ja wieder $6n+1$ und $6n+5$.

Zusammengefasst:

$2n+1$

$\downarrow$

$4n+1$

$\downarrow$

$6n+1 \ und \ 6n+5$

$\downarrow$ $\uparrow$

$12n+1 \ und \ 12n+5$

Es wurde gezeigt, dass der Algorithmus beliebig oft anwendbar ist. Die direkte Konsequenz daraus ist, dass jede Folge in endlich vielen Schritten entweder bei der 1 endet oder aber auf eine andere Folge zurückgeführt wird aus folgendem Grund:

Eine endlich große Startzahl die nur kurze Folgen erzeugt wird in endlich vielen Schritten bei der 1 landen. Wenn sie aber im Laufe des Algorithmus eine lange Folge erzeugt, wird sie automatisch auf eine andere kurze Folge zurückgeführt. So oder so wird also jede Startzahl in endlich vielen Schritten bei der 1 landen oder auf eine andere Collatzfolge zurückgeführt.


Teil 3


In Teil 1 und Teil 2 wurde gezeigt wie und warum Collatzfolgen nach jedem Durchgang zusammengefasst werden können. In Teil 3 wird gezeigt welche Restklassen als Startzahlen übrig bleiben.
Zu Beginn in Schritt 1 liegen Startzahlen der Form $2n+1$ vor. In Schritt 2 werden lange Folgen gestrichen. Es verbleiben als Startzahlen Zahlen der Form $4n+1$. Nach dem zweiten Mal "Lange Folgen streichen" verbleiben als Startzahlen $32n+1$,$32n+13$ und $32n+17$. Nach dem dritten Mal "Lange Folgen" streichen entstehen die Restklassen $256n+13$, $256n+17$, $256n+45$, $256n+65$, $256n+129$, $256n+141$, $256n+145$, $256n+173$, $256n+177$, $256n+193$, $256n+205$, $256n+241$ und $256n+257$. Das führt sich immer weiter so fort. Nach jedem Schritt "Lange Folgen streichen" bleiben als Startzahlen immer größere Restklassen stehen.





Algorithmus




Zur Erklärung des Algorithmus:


$Erklärung \ der \ Tabelle:$

$Stz=Startzahl$

$El.=Element$

$Rkl.=Restklasse$

Die Spalte Startzahl und Element 1 sind identisch. Zu jeder Startzahl- und Elementspalte ist eine Restklassenspalte eingefügt, in der die jeweiligen Startzahlen und Elemente in Restklassen eingeteilt werden können.



Schritt 1 Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 1)


In Schritt 1 werden die reduzierten Collatzfolgen untereinander aufgelistet. Als Startzahlen bzw. Element 1 treten hier Zahlen der Form $2n+1$ auf.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 1&2n+1 & &1 & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 3&2n+1 & &3 & &  &5 & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 5&2n+1 & &5 & &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 7&2n+1 & &7 & &  & 11  & &  & 17 &&  &13 & &  & & &  &  &...\\\hline
 9&2n+1 & &9 & &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 11&2n+1 & &11 & &  & 17 & &  &13  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13&2n+1 & &13 & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 15&2n+1 & &15 & &  & 23 & &  &35  &&  &53 & &  &5 & &  &  &...\\\hline
 17&2n+1 & & 17& &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 19&2n+1 & &19 & &  & 29 & &  &11  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 21&2n+1 & &21 & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 23&2n+1 & &23 & &  & 35 & &  &53  &&  & 5& &  & & &  &  &...\\\hline
 25&2n+1 & &25 & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 27&2n+1 & &27 & &  & 41 & &  &31  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 29&2n+1 & & 29& &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 31&2n+1 & &31 & &  & 47 & &  &71  &&  &107 & &  &161 & &  & 121 &...\\\hline
 33&2n+1 & &33 & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 35&2n+1 & &35 & &  & 53 & &  &5  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 37&2n+1 & &37 & &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 39&2n+1 & &39 & &  &59  & &  &89  &&  & 67& &  & & &  &  &...\\\hline
 41&2n+1 & &41 & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 43&2n+1 & &43 & &  & 65 & &  & 49 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45&2n+1 & &45 & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 47&2n+1 & &47 & &  & 71& &  & 107 &&  &161 & &  &121 & &  &  &...\\\hline
 49&2n+1 & &49 & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 51&2n+1 & &51 & &  &77 & &  & 29 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 53&2n+1 & & 53& &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 55&2n+1 & &55 & &  & 83 & &  & 125 &&  &47 & &  & & &  &  &...\\\hline
 57& 2n+1& &57 & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 59&2n+1 & &59 & &  &  89 & &  & 67 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 61&2n+1 & &61 & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 63&2n+1 & &63 & &  & 95 & &  & 143 &&  &215 & &  &323 & &  & 485 &...\\\hline
 65&2n+1 & &65 & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 67&2n+1 & &67 & &  & 101 & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 2 Lange Folgen streichen (Durchlauf 1)


In Schritt 2 werden lange Folgen (Startzahlen der Form $4n+3$) gestrichen. Startzahlen der Form $4n+1$ bleiben über.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 \color{red}1&\color{red}{4n+1} & &1 & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}5&\color{red}{4n+1 }& &5 & &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} 9&\color{red}{4n+1} & &9 & &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{13}&\color{red}{4n+1} & &13 & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{17}&\color{red}{4n+1} & & 17& &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{21}&\color{red}{4n+1} & &21 & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {25}&\color{red}{4n+1} & &25 & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {29}&\color{red}{4n+1} & & 29& &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {33}&\color{red}{4n+1} & &33 & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {37}&\color{red}{4n+1} & &37 & &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 41}&\color{red}{4n+1} & &41 & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 45}&\color{red}{4n+1} & &45 & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{4n+1} & &49 & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 53}&\color{red}{4n+1} & & 53& &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{57}& \color{red}{4n+1}& &57 & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {61}&\color{red}{4n+1} & &61 & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{4n+1} & &65 & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 3 Spalte Element 1 streichen (Durchlauf 1)


Streichen der Spalte "Element 1". In der Spalte "Element 2" verbleiben Zahlen der Form $6n+1$, $6n+5$ und Dublikate.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
 1& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 5&& && &  & 1 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 9& & && &  &7  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13& & & & &  & 5 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 17&& & & &  & 13 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 21& & & & &  &1  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
25&& & & &  & 19 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
29& & & & &  &11  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& & & & &  & 25 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
37& & && &  & 7 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 41& & & & &  & 31 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45& & & & &  &17  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49& & & & &  &  37 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 53& & & & &  & 5  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
57& & & & &  & 43& &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
61& & & & &  & 23 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65& & & & &  & 49 & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 4 Dublikate streichen (Durchlauf 1)


Streichen von Dublikaten aus der Spalte "Element 2". Es verbleiben Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} 9&\color{red}{16n+9} & & & &  &\color{red}{7}  & \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{13}&\color{red}{16n+13} & & & &  & \color{red}{5} &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{17}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{13} &\color{red}{12n+1} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {25}&\color{red}{16n+9} & & & &  & \color{red}{19} &\color{red}{12n+7} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {29}&\color{red}{16n+13} & && &  &\color{red}{11}  &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {33}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{25 }& \color{red}{12n+1}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 41}&\color{red}{16n+9} & & & &  & \color{red}{31} & \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 45}&\color{red}{6n+13} & & & &  &\color{red}{17 } & \color{red}{6n+5}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{12n+1} & & & &  &  \color{red}{37 }&\color{red}{12n+1} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {59} & \color{red}{16n+9}& & & &  &\color{red}{ 43}& \color{red}{12n+7}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red} {61}&\color{red}{16n+13} & & & &  &\color{red}{ 23} &\color{red}{6n+5} &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{16n+1} & & & &  & \color{red}{49} & \color{red}{12n+1}&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 1 Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 2)


Aus den verbliebenen Zahlen ($6n+1$ und $6n+5$) in Spalte "Element 2" werden neue reduzierte Collatzfolgen erstellt.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 9& & & & &  &7  & &  & 11 &&  &17 & &  & 13& &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 13& & & & &  &5 & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& & & & &  & 13 & &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
25& & & & &  & 19 &&  & 29 &&  &11 & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
29& & && &  &11  & &  & 17 &&  & 13& &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& & & & &  &25 & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 41& & & & &  & 31 & &  & 47 &&  &71 & &  & 107& &  & 161 &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45& & & & &  &17  &&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49& & & & &  &  37 & &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
59 && & & &  & 43& &  & 65 &&  & 49& &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
61& & & & &  & 23 & &  &35  &&  &53 & &  &5 & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65& & & & &  &49 & &  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 2 Lange Folgen streichen (Durchlauf 2)


In Schritt 2 werden wieder lange Folgen gestrichen. Genauer gesagt werden in Spalte Element 2 von den Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$ aus Schritt 1 die Zahlen der Form $4n+3$ weggestrichen. Es verbleiben Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$.


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{ 13}&\color{red}{32n+13} & & & &  &\color{red}{5} & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{17}& \color{red}{32n+17}& & & &  &\color{red}{ 13} &\color{red}{48n+13} &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\color{red}{33}& \color{red}{32n+1}& & & &  &\color{red}{25} &\color{red}{24n+1} &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{45}&\color{red}{32n+13} & & & &  &\color{red}{17}  &\color{red}{24n+17}&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{49}&\color{red}{32n+17} & & & &  &  \color{red}{37} &\color{red}{96n+37} &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 \color{red}{65}&\color{red}{32n+1} & & & &  &\color{red}{49} & \color{red}{24n+1}&  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]


Schritt 3 Spalte Element 2 streichen (Durchlauf 2)


Streichen der Spalte "Element 2". In der Spalte "Element 3" verbleiben Zahlen der Form $6n+1$, $6n+5$ und Dublikate.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
13&32n+13 & & & &  & & &  & 1 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& 32n+17& & & &  &  & &  & 5 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& 32n+1& & & &  & & &  & 19 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45&32n+13 & & & &  &  &&  & 13 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49&32n+17 & & & &  &   & &  & 7 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65&32n+1 & & & &  & & &  & 37 &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]



Schritt 4 Dublikate streichen (Durchlauf 2)


Streichen von Dublikaten aus der Spalte "Element 3". Es verbleiben Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
Stz & Rkl& & El. 1 &Rkl &  & El. 2 &Rkl &  & El. 3 &Rkl &  & El. 4 &Rkl &  & El. 5 &Rkl &  & El. 6 &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
17& 32n+17& & & &  &  & &  &  \color{red}{5} &\color{red}{18n+5}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
33& 32n+1& & & &  & & &  &  \color{red}{19} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 45&32n+13 & & & &  &  &&  &  \color{red}{13} &\color{red}{18n+13}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 49&32n+17 & & & &  &   & &  &  \color{red}{7} &\color{red}{18n+7}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 65&32n+1 & & & &  & & &  &  \color{red}{37} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
&& & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
77&32n+13 & & & &  & & &  & \color{red}{11}  &\color{red}{18n+11}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
81& 32n+17& & & &  &  & &  & \color{red}{23} &\color{red}{18n+5}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  &&  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
97& 32n+1& & & &  & & &  &  \color{red}{55} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & && &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & && &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 109&32n+13 & & & &  &  &&  &  \color{red}{31} &\color{red}{18n+13}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 113&32n+17 & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 && & & &  & & &  & &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  &   & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
& & & & &  &  & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 129&32n+1 & & & &  & & &  &  \color{red}{73} &\color{red}{18n+1}&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
 & & & & &  & & &  &  &&  & & &  & & &  &  &...\\\hline
\end{array} \]

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Dunkle Materie 2.0  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-14 17:48
blindmessenger
 

www.spektrum.de/news/streit-um-galaxie-ohne-dunkle-materie/1642918

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-30 19:09
blindmessenger
 

Edit: Hat sich erledigt...

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.8 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-30 16:49
blindmessenger
 

Beweis, dass alle Zahlen k im Lauf der Collatzfolge entweder ein Element der Restklassen 32n+13, 32n+17 und 32n+33 haben oder bei der 1 landen.



Zur Begrifflichkeit:


Reduzierte Collatzfolge

Eine Collatzfolge bestehend nur aus ungeraden Elementen und bei der ersten Zahl endend die kleiner ist als ihre Vorgängerzahl.


Lange Folge

Eine reduzierte Collatzfolge die mehr als 2 Elemente beinhaltet.


Kurze Folge

Eine reduzierte Collatzfolge die genau 2 Elemente enthält.


Startzahlrestklassenzyklus

Ein Restklassenzyklus der immer wieder neu bei den Startzahlen in der ersten Spalte auftritt.


Elementrestklassenzyklus

Ein Restklassenzyklus der immer wieder neu in den Elementspalten auftritt.




Lemma 1:

Zahlen der Form

$4n+3$

haben als nächstes Collatzelement immer eine größere Zahl, während Zahlen der Form

$4n+1$

als nächstes Collatzelement immer eine kleinere Zahl haben.



Lemma 2:

Wenn man die Restklasse 4n+1 in folgende Restklassen

$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$

unterteilt besitzen 3 davon eine ganz bestimmte Entwicklung bis zur nächsten ungeraden Zahl die da lautet


$16n+1 \rightarrow 1 \ mal \ (3n+1) \ Operation \ und \ 2 \ mal \ (n/2) \ Operation $

$16n+9 \rightarrow 1 \ mal \ (3n+1) \ Operation \ und \ 2 \ mal \ (n/2) \ Operation $

$16n+13 \rightarrow 1 \ mal \ (3n+1) \ Operation \ und \ 3 \ mal \ (n/2) \ Operation $


während die Restklassse


$16n+5$


in ihrer Entwicklung zur nächsten ungeraden Zahl variiert


$16n+5 \ mit \ n=1 \ also \ 21 \rightarrow 1 \ mal \ (3n+1) \ Operation \ und \ 6 \ mal \ (n/2) \ Operation $

$16n+5 \ mit \ n=2 \ also \ 37 \rightarrow 1 \ mal \ (3n+1) \ Operation \ und \ 4 \ mal \ (n/2) \ Operation $



Lemma 3:

Alle Elemente der reduzierten Collatzfolge bestehen aus Zahlen der Form

$6n+1$

und

$6n+5$

mit Ausnahme der Startelemente. Als Startelemente (1. Element) kommen auch Zahlen der Form

$6n+3$

vor.



Beweis

Schritt 1 Durchlauf 1:

Hier ist zu sehen, dass lange Folgen ein vorletztes Element besitzen. Dieses Element ist von der Form 6n+1 oder 6n+5. Als Startzahl (Element 1) haben wir Zahlen der Form 2n+1. Da Zahlen der Form 6n+1 und 6n+5 eine Teilmenge von Zahlen der Form 2n+1 sind ist klar, das alle langen Folgen ein Element besitzen welches auch in den der kurzen Folgen vorkommt. Somit Streichen wir die langen Folgen.

Schritt 2 Durchlauf 1:

Hier ist zu sehen, dass nach dem Streichen der langen Folgen nur Zahlen der Form $4n+1$ überbleiben was aus Lemma 1 folgt. Die Zahlen $4n+3$ wurden ja gestrichen...

Schritt 3 Durchlauf 1:

Um neue reduzierte Collatzfolgen zu bekommen wird nun in Schritt 3 die Spalte "Element 1" gestrichen.

Schritt 4 Durchlauf 1:

Nachdem wir in Schritt 4 Dublikate aus Spalte "Element 2" entfernt haben zeigt sich folgendes. In Spalte Element 2 ergibt sich der erste Elementrestklassenzyklus bestehend aus den Restklassen

$12n+7$

$6n+5 $

$12n+1$

Warum entsteht dieser Restklassenzyklus?

Dafür schauen wir uns die übrig gebliebenen Startzahlen in Schritt 4 genauer an. Teilen wir diese in folgende Restklassen ein

$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$

Aus Lemma 2 folgt, dass drei von diesen Restklassen eine genaue Abfolge zur nächsten ungeraden Zahl haben und da diese Startzahlen zyklisch sind, ist damit auch die Elementspalte zyklisch aufgebaut.
Die Spalte "Element 2" wird also so in Restklassen aufgeteilt, dass sich ein Zyklus ergibt. Hierzu gebrauchen wir eben diese Restklassen

$12n+7$

$6n+5 $

$12n+1$

Schritt 1 Durchlauf 2:

Der Algorithmus geht in seine 2. Runde. Es werden neue reduzierte Folgen aufgebaut.

Schritt 2 Durchlauf 2:

Es werden wieder lange Folgen gestrichen weil wieder Elemente aller langen Folgen in den kurzen Folgen vorkommen

Aber warum:

Weil wieder (diesmal) in der Spalte "Element 2" die Zahlen 6n+1 und 6n+5 vorkommen.

Und warum kommen diese Zahlen dort vor?

Dazu sehen wir uns nochmal den letzten Elementrestklassenzyklus aus Schritt 4 Durchlauf 1 an. Dieser besteht aus den Restklassen

$12n+7$

$6n+5 $

$12n+1$

Und diese Restklassen sind wieder genau die Zahlen $6n+1$ und $6n+5$.


Schritt 2 Durchlauf 2:

Nachdem wir also im vorherigen Schritt die langen Folgen gestrichen haben, ergibt sich ein neuer Startzahlrestklassenzyklus wie folgt

$32n+13$

$32n+17$

$32n+33$

Warum ergibt sich dieser Restklassenzyklus?

Dafür schauen wir uns nochmal den letzten Elementrestklassenzyklus aus Schritt 4 Durchlauf 1 an. Wir haben dort aus den Restklassen

$12n+7$

$6n+5 $

$12n+1$

die langen Folgen gestrichen. Aber wie haben wir dort gestrichen?

Wir wissen dass 4n+1 kurzen Folgen ergeben und 4n+3 lange Folgen ergeben. 12n+1 ist eine Teilmenge von 4n+1, dass heißt diese Restklasse wird sich kurz entwickeln, während 12n+7 keine Teilmenge von 4n+1 ist also lang wird. 6n+5 ist für jedes 2. n ein Teil von 4n+1. Das bedeutet hier wird sich für jedes 2. n eine kurze Folge entwickeln. Aufgrund der Restklassen kann man also zeigen welche sich kurz oder lang entwickeln. Da diese zyklisch auftreten wird auch zyklisch gestrichen und wir kommen genau auf den Startzahlrestklassenzyklus von

$32n+13$

$32n+17$

$32n+33$

Und somit haben wir gezeigt, dass alle natürlichen Zahlen k entweder bei der 1 landen oder aber ein Element der Restklassen

$32n+13$

$32n+17$

$32n+33$

haben.


Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-25 23:15
blindmessenger
 

Hallo Primentus,

die Elementrestklassenzyklen brauchen wir "nur" um zu zeigen, dass wir auch lange Folgen streichen können. Wenn wir irgendwie zeigen könnten, dass nach jedem Algorithmusdurchgang bis unendlich diese Zyklen automatisch  entstehen müssen, dann bräuchten wir die nicht alle extra berechnen...

Die Startzahlrestklassenzyklen sind im Gegensatz zu den Elementrestklassenzyklen viel einfacher aufgebaut und solten sich auch um einiges leichter berechnen lassen. Nach jedem Durchgang springt der Faktor von 4,32,256,2048,...:

Hier die Werte die ich herausbekommen habe:

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{|c|}{Startzahlrestklassenzyklus nach}\\ \hline
1. Durchgang& 2. Durchgang& 3. Durchgang& 4. Durchgang\\ \hline
4n+1&32n+13&256n+13&2048n+45 \\\hline
&32n+17&256n+17&2048n+173 \\\hline
&32n+33&256n+45& 2048n+193\\\hline
&&256n+65& 2048n+241\\\hline
&&256n+129& 2048n+257\\\hline
&&256n+141& 2048n+273\\\hline
&&256n+145& 2048n+321\\\hline
&&256n+173& 2048n+401\\\hline
&&256n+177& 2048n+513\\\hline
&&256n+193& 2048n+577\\\hline
&&256n+205&2048n+689 \\\hline
&&256n+241&2048n+... \\\hline
&&256n+257&2048n+... \\\hline
&&&... \\\hline
\end{tabular}
</math>


Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-25 18:43
blindmessenger
 

@ Primentus

Ja, die Zahlen passen mit meinen überein...

Danke für die Mühe...



Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24 17:07
blindmessenger
 

Edit: Gelöscht... O.K... Das mit dem Offset und der Berechnung muss ich mir erst nochmal überlegen...


Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24 15:42
blindmessenger
 

In Schritt 2 (Durchgang 1) haben wir gesehen, dass wir lange Folgen streichen können, weil in Ihnen Elemente vorkommen, welche auch in den kurzen Folgen vorkommen.

Das bedeutet doch aber auch, dass ich diese lange Folgen für einen Collatztest nicht mehr zu testen brauche.

Das bedeutet anstatt, dass man Zahlen der Form 2n+1 testet reicht es auch aus Zahlen der Form 4n+1 (rote Zahlen in Schritt 2 (Durchlauf 1)) zu testen.

Wenn man den Algorithmus weiter durchführt sehen wir, dass wir wieder lange Folgen streichen können, was wiederum bedeutet, dass es noch günstiger ist, anstatt Zahlen der Form 4n+1 die Zahlen der Form 32n+13, 32n+17 und 32n+33 zu testen.


Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen  
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Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-04-24 13:28
blindmessenger
 

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Algorithmus reduzierter Collatzfolgen}\\ \hline
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 1: Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 1)}\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
1&2n+1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
3&2n+1&&3&&&5&&&1&&&&&&&&&&\\\hline
5&2n+1&&5&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
7&2n+1&&7&&&11&&&17&&&13&&&&&&&\\\hline
9&2n+1&&9&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
11&2n+1&&11&&&17&&&13&&&&&&&&&&\\\hline
13&2n+1&&13&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
15&2n+1&&15&&&23&&&35&&&53&&&5&&&&\\\hline
17&2n+1&&17&&&13&&&&&&&&&&&&&\\\hline
19&2n+1&&19&&&29&&&11&&&&&&&&&&\\\hline
21&2n+1&&21&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
23&2n+1&&23&&&35&&&53&&&5&&&&&&&\\\hline
25&2n+1&&25&&&19&&&&&&&&&&&&&\\\hline
27&2n+1&&27&&&41&&&31&&&&&&&&&&\\\hline
29&2n+1&&29&&&11&&&&&&&&&&&&&\\\hline
31&2n+1&&31&&&47&&&71&&&107&&&161&&&121\\\hline
33&2n+1&&33&&&25&&&&&&&&&&&&&\\\hline
35&2n+1&&35&&&53&&&5&&&&&&&&&&\\\hline
37&2n+1&&37&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
39&2n+1&&39&&&59&&&89&&&67&&&&&&&\\\hline
41&2n+1&&41&&&31&&&&&&&&&&&&&\\\hline
43&2n+1&&43&&&65&&&49&&&&&&&&&&\\\hline
45&2n+1&&45&&&17&&&&&&&&&&&&&\\\hline
47&2n+1&&47&&&71&&&107&&&161&&&121&&&&\\\hline
49&2n+1&&49&&&37&&&&&&&&&&&&&\\\hline
51&2n+1&&51&&&77&&&29&&&&&&&&&&\\\hline
53&2n+1&&53&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
55&2n+1&&55&&&83&&&125&&&47&&&&&&&\\\hline
57&2n+1&&57&&&43&&&&&&&&&&&&&\\\hline
59&2n+1&&59&&&89&&&67&&&&&&&&&&\\\hline
61&2n+1&&61&&&23&&&&&&&&&&&&&\\\hline
63&2n+1&&63&&&95&&&143&&&215&&&323&&&485&\\\hline
65&2n+1&&65&&&49&&&&&&&&&&&&&\\\hline
67&2n+1&&67&&&101&&&19&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 2: Lange Folgen streichen (Durchlauf 1)}\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
\color{red}1&\color{red}4n+1&&1&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}5&\color{red}4n+1&&5&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}9&\color{red}4n+1&&9&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}13&\color{red}4n+1&&13&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}17&\color{red}4n+1&&17&&&13&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}21&\color{red}4n+1&&21&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}25&\color{red}4n+1&&25&&&19&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}29&\color{red}4n+1&&29&&&11&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}33&\color{red}4n+1&&33&&&25&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}37&\color{red}4n+1&&37&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}41&\color{red}4n+1&&41&&&31&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}45&\color{red}4n+1&&45&&&17&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}49&\color{red}4n+1&&49&&&37&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}53&\color{red}4n+1&&53&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}57&\color{red}4n+1&&57&&&43&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}61&\color{red}4n+1&&61&&&23&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}65&\color{red}4n+1&&65&&&49&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 3: Spalte (Element 1) streichen (Durchlauf 1)}\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
5&4n+1&&&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
9&4n+1&&&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
13&4n+1&&&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
17&4n+1&&&&&13&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
21&4n+1&&&&&1&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
25&4n+1&&&&&19&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
29&4n+1&&&&&11&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
33&4n+1&&&&&25&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
37&4n+1&&&&&7&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
41&4n+1&&&&&31&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
45&4n+1&&&&&17&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
49&4n+1&&&&&37&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
53&4n+1&&&&&5&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
57&4n+1&&&&&43&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
61&4n+1&&&&&23&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
65&4n+1&&&&&49&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 4: Dublikate streichen (Durchlauf 1) }\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
9&&&&&&\color{red}7&\color{red}12n+7&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
13&&&&&&\color{red}5&\color{red}6n+5&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
17&&&&&&\color{red}13&\color{red}12n+1&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
25&&&&&&\color{red}19&\color{red}12n+7&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
29&&&&&&\color{red}11&\color{red}6n+5&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
33&&&&&&\color{red}25&\color{red}12n+1&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
41&&&&&&\color{red}31&\color{red}12n+7&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
45&&&&&&\color{red}17&\color{red}6n+5&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
49&&&&&&\color{red}37&\color{red}12n+1&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
57&&&&&&\color{red}43&\color{red}12n+7&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
61&&&&&&\color{red}23&\color{red}6n+5&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
65&&&&&&\color{red}49&\color{red}12n+1&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 1: Reduzierte Folgen erstellen (Durchlauf 2)  }\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
9&&&&&&7&12n+7&&11&&&17&&&13&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
13&&&&&&5&6n+5&&1&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
17&&&&&&13&12n+1&&5&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
25&&&&&&19&12n+7&&29&&&11&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
29&&&&&&11&6n+5&&17&&&13&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
33&&&&&&25&12n+1&&19&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
41&&&&&&31&12n+7&&47&&&71&&&107&&&161&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
45&&&&&&17&6n+5&&13&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
49&&&&&&37&12n+1&&7&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
57&&&&&&43&12n+7&&65&&&49&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
61&&&&&&23&6n+5&&35&&&53&&&5&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
65&&&&&&49&12n+1&&37&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 2: Lange Folgen streichen (Durchlauf 2)}\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}13&\color{red}32n+13&&&&&5&&&1&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}17&\color{red}32n+17&&&&&13&&&5&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}33&\color{red}32n+33&&&&&25&&&19&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}45&\color{red}32n+13&&&&&17&&&13&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}49&\color{red}32n+17&&&&&37&&&7&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\color{red}65&\color{red}32n+33&&&&&49&&&37&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 3: Spalte (Element 2) streichen (Durchlauf 2)}\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
13&32n+13&&&&&&&&1&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
17&32n+17&&&&&&&&5&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
33&32n+33&&&&&&&&19&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
45&32n+13&&&&&&&&13&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
49&32n+17&&&&&&&&7&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
65&32n+33&&&&&&&&37&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\multicolumn{20}{|c|}{Schritt 4: Dublikate streichen (Durchlauf 2) }\\ \hline
Stz.&Rkl.&&El. 1&Rkl.&&El. 2&Rkl.&&El. 3&Rkl.&&El. 4&Rkl.&&El. 5&Rkl.&& El. 6&Rkl.\\ \hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
17&32n+17&&&&&&&&\color{red}5&\color{red}36n+5&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
33&32n+33&&&&&&&&\color{red}19&\color{red}72n+19&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
45&32n+13&&&&&&&&\color{red}13&\color{red}36n+13&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
49&32n+17&&&&&&&&\color{red}7&\color{red}18n+7&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
65&32n+33&&&&&&&&\color{red}37&\color{red}72n+37&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
77&32n+13&&&&&&&&\color{red}11&\color{red}18n+11&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
81&32n+17&&&&&&&&\color{red}23&\color{red}36n+23&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
97&32n+33&&&&&&&&\color{red}55&\color{red}72n+55&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
109&32n+13&&&&&&&&\color{red}31&\color{red}36n+31&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
113&32n+17&&&&&&&&$\color{red}leer$&\color{red}$leer$&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
129&32n+33&&&&&&&&\color{red}73&\color{red}72n+73&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&\\\hline
\end{tabular}
</math>

Hallo,

mit diesem Algorithmus möchte ich zeigen, dass es möglich ist, mit Hilfe von bestimmten Restklassen, Collatzfolgen zu testen.




Zur Begrifflichkeit:


Reduzierte Collatzfolge

Eine Collatzfolge bestehend nur aus ungeraden Elementen und bei der ersten Zahl endend die kleiner ist als ihre Vorgängerzahl.


Lange Folge

Eine reduzierte Collatzfolge die mehr als 2 Elemente beinhaltet.


Kurze Folge

Eine reduzierte Collatzfolge die genau 2 Elemente enthält.


Startzahlrestklassenzyklus

Ein Restklassenzyklus der immer wieder neu bei den Startzahlen in der ersten Spalte auftritt.


Elementrestklassenzyklus

Ein Restklassenzyklus der immer wieder neu in den Elementspalten auftritt.




Zur Erklärung des Algorithmus:


Schritt 1: Reduzierte Folgen erstellen

In Schritt 1 werden die reduzierten Collatzfolgen untereinander aufgelistet.


Schritt 2: Lange Folgen streichen

In Schritt 2 werden lange Folgen gestrichen.


Schritt 3: Spalte streichen

Streichen der Spalte "Element 1".


Schritt 4: Dublikate streichen

Streichen von Dublikaten aus der Spalte "Element 2".




Warum lassen sich lange Folgen in Durchgang 1 und Durchgang 2 streichen?

Zu "Lange Folgen streichen" in Durchgang 1:

Schauen wir uns das vorletzte Element der langen Folgen aus Schritt 1 (Durchgang 1) an. Diese Zahlen sind immer von der Form 6n+1 oder 6n+5. Die Spalte Element 1 besteht aber aus den Zahlen 2n+1. Da die Zahlen 6n+1 und 6n+5 eine Teilmenge von 2n+1 sind findet sich also mindestens ein Element der langen Folgen immer auch in den kurzen wieder.

Zu "Lange Folgen streichen" in Durchgang 2:

Schauen wir uns das vorletzte Element der langen Folgen aus Schritt 1 (Durchgang 2) an. Diese Zahlen sind immer von der Form 6n+1 oder 6n+5. Die Spalte Element 2 besteht aber genau aus diesen Zahlen 6n+1 oder 6n+5 nur in verschlüsselter Reihenfolge gegeben durch die Restklassen 12n+7, 12n+5 und 12n+1. Das bedeutet auch hier findet sich also mindestens ein Element der langen Folgen immer auch in den kurzen wieder.

Ich vermute, dass man bei weiteren Algorithmusdurchgängen immer wieder lange Folgen streichen kann.

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edit: Siehe Thread "Algorithmus reduzierter Collatzfolgen"

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2019-04-23 21:59 - Primentus in Beitrag No. 71 schreibt:
@blindmessenger:

Du schreibst in Deiner Erklärung zum Offset unter anderem:

2019-04-23 12:27 - blindmessenger in Beitrag No. 59 schreibt:
In diesem Fall sind das die Restklassen

$6n+5$

$12n+1$

$12n+7$

Aus diesen Restklassen muss ich also die größte Zahl der Form

$2^n-1$

herausbekommen. Die reduzierte Folge dieser Zahl betrachten. Die größte Zahl dieser Folge ist dann das Offset...

Die ersten beiden Restklassen sind überhaupt nie von der Form $2^{k}-1$, und bei der dritten Klasse gibt es keine größte Zahl dieser Form, weil diese im Unendlichen liegt. Demzufolge wäre der Offset unendlich groß, was aber doch sicherlich nicht sein kann.

Ich meine die größte Zahl der Form 2^n-1 die unterhalb der Zahl liegt bis zu der ich testen möchte...

Mit dem Stückwerk hast DU recht... Ich versuche das nochmal ein bisschen besser zusammenzufassen...


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blindmessenger
 

2019-04-23 20:08 - Primentus in Beitrag No. 69 schreibt:
@blindmessenger

Ok, also wenn sich die Startzahl-Restklassen ebenfalls mit jedem Algorithmus-Durchgang ändern, dann ist dieser Teil ja ähnlich kompliziert bzw. aufwendig wie bei den anderen Restklassenzyklen.

2019-04-23 12:04 - blindmessenger in Beitrag No. 58 schreibt:
Wenn jemand eine Idee hat wie man das Offset berechnen kann, dann können wir auch die beiden Algorithmen zur Berechnung der Collatzfolgen vergleichen und eine Aussage darüber treffen welche effektiver ist...

Ich sage ja nicht, dass meine Art unbedingt schneller ist die Folgen zu testen...

Aber mit jedem Algorithmusdurchgang sollte es günstiger werden... Vermute ich...

Das mit dem Offset hab ich ehrlich gesagt überhaupt nicht verstanden.

Und was willst Du denn letztendlich testen?


LG Primentus

Ich will Collatzfolgen testen. Aber dafür nur bestimmte Restklassen benutzen, um mehr Zahlen zu testen als bisher geschehen...
Vielleicht kann man das dann verallgemeinern und Schlüsse ziehen...



Das mit dem Offset hab ich ehrlich gesagt überhaupt nicht verstanden.


LG Primentus

Das Offset ist der Haken an der ganzen Sache... Aber ich weiß jetzt wie man ihn berechnen könnte...

Den Offset habe ich in Beitrag 59 erklärt... Ich weiß nicht wie ich es anders ausdrücken soll... Ist aber auch erstmal nicht so wichtig... WIchtiger ist sich klar zu machen warum man diese langen Folgen streichen kann und wie diese Startzahlrestklassenzyklen entstehen und was man damit dann machen kann...

Zahlentheorie
  
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Beitrag No.67 im Thread
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blindmessenger
 

(2019-04-23 19:23 - Primentus in <a href=viewtopic.php?

Ich muss dazu sagen, dass bei Deinem ursprünglichen Algorithmus, den ich ja nachprogrammiert habe, die Startzahlen gar keine Relevanz bei mir haben, weil ich sie "unterwegs wegwerfe". Du hattest ursprünglich gar nicht erwähnt (denke ich jedenfalls), dass Du diese ebenfalls weiter betrachtest.

LG Primentus

Für die reine Berechnung des Element-Restklassenzyklus was Du ja getan hast spielt es keine Rolle... Aber für den Gesamtzusammenhang ist es wichtig... Die Startzahlen müssen wir auf jeden Fall im Auge behalten...

(2019-04-23 19:23 - Primentus in <a href=viewtopic.php?

Willst Du damit sagen, dass alle Restklassenzyklen beliebig vieler Algorithmus-Durchgänge auf Startzahlen zurückzuführen sind, die sich in einer der drei Restklassen $32n+13$, $32n+17$ oder $32n+33$ befinden?
Das wäre dann aber zumindest auch erstmal wieder eine unbewiesene Behauptung.

LG Primentus

Nach jedem Algorithmusdurchgang ergeben sich neue Startzahlrestklassenzyklen. Ich bin bisher soweit gekommen:

<math>
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\multicolumn{4}{|c|}{Startzahlrestklassenzyklus nach}\\ \hline
1. Durchgang& 2. Durchgang& 3. Durchgang& 4. Durchgang\\ \hline
4n+1&32n+13&256n+13&2048n+45 \\\hline
&32n+17&256n+17&2048n+45 \\\hline
&32n+33&256n+45& 2048n+173\\\hline
&&256n+65& 2048n+173\\\hline
&&256n+129& 2048n+193\\\hline
&&256n+141& 2048n+241\\\hline
&&256n+145& 2048n+257\\\hline
&&256n+173& 2048n+273\\\hline
&&256n+177& 2048n+321\\\hline
&&256n+193& 2048n+401\\\hline
&&256n+205&2048n+513 \\\hline
&&256n+241&2048n+577 \\\hline
&&256n+257&2048n+689 \\\hline
&&&2048n+769 \\\hline
&&&2048n+ 913\\\hline
&&&2048n+945 \\\hline
&&&2048n+ 1025\\\hline
&&&2048n+1069 \\\hline
&&&2048n+1197 \\\hline
&&&2048n+ 1217\\\hline
&&&2048n+ 1229\\\hline
&&&2048n+1281 \\\hline
&&&2048n+1297 \\\hline
&&&2048n+ 1425\\\hline
&&&2048n+1457 \\\hline
&&&2048n+1485 \\\hline
&&&2048n+ 1537\\\hline
&&&2048n+1601 \\\hline
&&&2048n+ 1709\\\hline
&&&2048n+1729 \\\hline
&&&2048n+1793 \\\hline
&&&2048n+ 1937\\\hline
&&&2048n+ 1985\\\hline
&&&2048n+ 2049\\\hline
\end{tabular}
</math>

Zahlentheorie
  
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Beitrag No.65 im Thread
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blindmessenger
 

2019-04-23 18:33 - Primentus in Beitrag No. 64 schreibt:


Ich finde nur, dass das den Sachverhalt nur noch mehr verkompliziert bzw. ich frage mich, ob diese beiden Restklassenzyklen denn in irgendeinem Zusammenhang stehen.


LG Primentus

Das sieht jetzt wahrscheinlich so aus, als ob ich mir hier irgendetwas zusammenhanglos ausdenke... Dem ist nicht so...

Die beiden Restklassenzyklen haben ganz viel miteinander zu tun. Ohne diesen Zusammenhang wäre es nicht interessant...

Oh je, ich weiß nicht wie ich das erklären soll...

Cyrix hat die richtige Frage gestellt... Wie kommst Du darauf, dass man nur Zahlen der Form 32n+13, 32n+17 und 32n+33 (mit einem geeigneten Offset...) bei einer quantitativen Abschätzung betrachten braucht?

Vielleicht hilft da Beitrag 63 weiter...

 

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