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Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Monoton fallende Collatzfolgen  
Beitrag No.6 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-14 19:35
blindmessenger
 

2019-07-14 18:44 - xiao_shi_tou_ in Beitrag No. 5 schreibt:
Hi blindmessenger.
Was genau ist deine Frage?
Was genau ist unklar?

Versuche deine Frage deutlich zu formulieren.
Das wird es andern leichter machen auf deine Frage zu beantworten.
Viele Grüße


Hallo xiao shi tou,

es geht mir weniger um Fragen als um Denkanstöße... Ja, Du hattest mir schon mal geschrieben, dass es wenig Sinn macht sich als Amateur mit so einem Problem zu beschäftigen... Aber ist halt mein Hobby...;-)

Im letzten Post geht es darum die Collatzfolge von 27 mit Hilfe von Restklassen zu berechnen, also ohne die altbekannte Bildungsvorschrift zu benutzen... Und immerhin funktioniert das auch... Ob das schon bekannt war kann ich Dir nicht sagen... Aber vielleicht hat ja jemand eine Idee dazu...

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Monoton fallende Collatzfolgen  
Beitrag No.4 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-14 17:16
blindmessenger
 

Mit den 64er Restklassen kann man die 27 bis zur 1 runterrechnen:

Excel:

=WENNFEHLER(WENN(REST(B4-1;64)=0;WENN(REST(B4-1;64)=0;(B4-1)/64;"")*48+1;WENN(REST(B4-3;64)=0;WENN(REST(B4-3; 64)=0;(B4-3)/ 64;"")*96+5;WENN(REST(B4-5; 64)=0;WENN(REST(B4-5; 64)=0;(B4-5)/ 64;"")*12+1; WENN(REST(B4-7;64)=0;WENN(REST(B4-7;64)=0;(B4-7)/64;"")*96+11;WENN(REST(B4-9; 64)=0;WENN(REST(B4-9; 64)=0;(B4-9)/ 64;"")*48+7;WENN(REST(B4-11; 64)=0;WENN(REST(B4-11; 64)=0;(B4-11)/ 64;"")*96+17;WENN(REST(B4-13; 64)=0;WENN(REST(B4-13; 64)=0;(B4-13)/ 64;"")*24+5;WENN(REST(B4-15; 64)=0;WENN(REST(B4-15; 64)=0;(B4-15)/ 64;"")*96+23; WENN(REST(B4-17; 64)=0;WENN(REST(B4-17; 64)=0;(B4-17)/ 64;"")*48+13; WENN(REST(B4-19; 64)=0;WENN(REST(B4-19; 64)=0;(B4-19)/ 64;"")*96+29; WENN(REST(B4-23; 64)=0;WENN(REST(B4-23; 64)=0;(B4-23)/ 64;"")*96+35; WENN(REST(B4-25; 64)=0;WENN(REST(B4-25; 64)=0;(B4-25)/ 64;"")*48+19; WENN(REST(B4-27; 64)=0;WENN(REST(B4-27; 64)=0;(B4-27)/ 64;"")*96+41; WENN(REST(B4-29; 64)=0;WENN(REST(B4-29; 64)=0;(B4-29)/ 64;"")*24+11; WENN(REST(B4-31; 64)=0;WENN(REST(B4-31; 64)=0;(B4-31)/ 64;"")*96+47; WENN(REST(B4-33; 64)=0;WENN(REST(B4-33; 64)=0;(B4-33)/ 64;"")*48+25; WENN(REST(B4-35; 64)=0;WENN(REST(B4-35; 64)=0;(B4-35)/ 64;"")*96+53; WENN(REST(B4-37; 64)=0;WENN(REST(B4-37; 64)=0;(B4-37)/ 64;"")*12+7; WENN(REST(B4-39; 64)=0;WENN(REST(B4-39; 64)=0;(B4-39)/ 64;"")*96+59; WENN(REST(B4-41; 64)=0;WENN(REST(B4-41; 64)=0;(B4-41)/ 64;"")*48+31; WENN(REST(B4-43; 64)=0;WENN(REST(B4-43; 64)=0;(B4-43)/ 64;"")*96+65; WENN(REST(B4-45; 64)=0;WENN(REST(B4-45; 64)=0;(B4-45)/ 64;"")*24+17; WENN(REST(B4-47; 64)=0;WENN(REST(B4-47; 64)=0;(B4-47)/ 64;"")*96+71; WENN(REST(B4-49; 64)=0;WENN(REST(B4-49; 64)=0;(B4-49)/ 64;"")*48+37; WENN(REST(B4-51; 64)=0;WENN(REST(B4-51; 64)=0;(B4-51)/ 64;"")*96+77; WENN(REST(B4-53; 64)=0;WENN(REST(B4-53; 64)=0;(B4-53)/ 64;"")*6+5; WENN(REST(B4-55; 64)=0;WENN(REST(B4-55; 64)=0;(B4-55)/ 64;"")*96+83; WENN(REST(B4-57; 64)=0;WENN(REST(B4-57; 64)=0;(B4-57)/ 64;"")*48+43; WENN(REST(B4-59; 64)=0;WENN(REST(B4-59; 64)=0;(B4-59)/ 64;"")*96+89; WENN(REST(B4-61; 64)=0;WENN(REST(B4-61; 64)=0;(B4-61)/ 64;"")*24+23; WENN(REST(B4-63; 64)=0;WENN(REST(B4-63; 64)=0;(B4-63)/ 64;"")*96+95;““)))))))))))))))))))))))))))))));"")

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Monoton fallende Collatzfolgen  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-14 15:47
blindmessenger
 

Je öfter man die Restklassen aufteilt desto mehr Folgeelemente kann man berechnen:



$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+3 \rightarrow 24n+5 \ $

$\color{red}{16n+5 \rightarrow \ \ ???} \ $

$16n+7 \rightarrow 24n+11 \ $

$16n+9\rightarrow 12n+7 \ $

$16n+11 \rightarrow 24n+17 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+15 \rightarrow 24n+23 \ $



$\ \ \ \ \downarrow $



$32n+1\rightarrow 24n+1 \ $

$32n+3 \rightarrow 48n+5 \ $

$32n+5 \rightarrow 6n+1 \ $

$32n+7 \rightarrow 48n+11 \ $

$32n+9\rightarrow 24n+7 \ $

$32n+11 \rightarrow 48n+17 \ $

$32n+13 \rightarrow 12n+5 \ $

$32n+15 \rightarrow 48n+23 \ $

$32n+17\rightarrow 24n+13 \ $

$32n+19\rightarrow 48n+29\ $

$\color{red}{32n+21\rightarrow \ \ ???} \ $

$32n+23 \rightarrow 48n+35 \ $

$32n+25\rightarrow 24n+19 \ $

$32n+27 \rightarrow 48n+41 \ $

$32n+29 \rightarrow 12n+11\ $

$32n+31 \rightarrow 48n+47 \ $


$\ \ \ \ \downarrow $



$64n+1\rightarrow 48n+1 \ $

$64n+3 \rightarrow 96n+5 \ $

$64n+5 \rightarrow 12n+1 \ $

$64n+7 \rightarrow 96n+11 \ $

$64n+9\rightarrow 48n+7 \ $

$64n+11 \rightarrow 96n+17 \ $

$64n+13 \rightarrow 24n+5 \ $

$64n+15 \rightarrow 96n+23 \ $

$64n+17\rightarrow 48n+13 \ $

$64n+19\rightarrow 96n+29\ $

$\color{red}{64n+21\rightarrow \ \ ???} \ $

$64n+23 \rightarrow 96n+35 \ $

$64n+25\rightarrow 48n+19 \ $

$64n+27 \rightarrow 96n+41 \ $

$64n+29 \rightarrow 24n+11\ $

$64n+31 \rightarrow 96n+47 \ $

$64n+33\rightarrow 48n+25 \ $

$64n+35 \rightarrow 96n+53 \ $

$64n+37 \rightarrow 12n+7 \ $

$64n+39 \rightarrow 96n+59 \ $

$64n+41\rightarrow 48n+31 \ $

$64n+43 \rightarrow 96n+65 \ $

$64n+45 \rightarrow 24n+17 \ $

$64n+47 \rightarrow 96n+71 \ $

$64n+49\rightarrow 48n+37 \ $

$64n+51\rightarrow 96n+77\ $

$64n+53\rightarrow 6n+5\ $

$64n+55 \rightarrow 96n+83 \ $

$64n+57\rightarrow 48n+43 \ $

$64n+59 \rightarrow 96n+89 \ $

$64n+61 \rightarrow 24n+23\ $

$64n+63 \rightarrow 96n+95 \ $



Kann man immer so weiter treiben. Das Muster der Restklassen die keine eindeutigen (Folge-)Restklassen bilden dabei:



$16n+5$

$32n+21$

$64n+21$

$128n+85$

$256n+85$

$512n+341$

$1024n+341$

$2048n+1365$

$4096n+1365$

...

Das Muster beruht auf der Folge:

oeis.org/A002450

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Monoton fallende Collatzfolgen  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-12 09:10
blindmessenger
 

So, man kann das ganze wohl auch noch etwas anders rechnen so dass auch nicht monoton fallende Folgen berücksichtigt werden:

Collatzfolgen lassen sich mit Hilfe von Restklassen berechnen wie folgt:



1. Schritt



Zahlen der Form 2n+1 werden in folgende 8 Restklassen eingeteilt:


$16n+1$

$16n+3$

$16n+5$

$16n+7$

$16n+9$

$16n+11$

$16n+13$

$16n+15$


Je nach Restklasse ergeben sich daraus die (Folge-) Restklassen:


$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+3 \rightarrow 24n+5 \ $

$16n+5 \rightarrow entfällt! \ $

$16n+7 \rightarrow 24n+11 \ $

$16n+9\rightarrow 12n+7 \ $

$16n+11 \rightarrow 24n+17 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+15 \rightarrow 24n+23 \ $




2. Schritt:

Wiederholung von Schritt 1




Beweis:


Warum werden bestimmte Restklassen zu anderen bestimmten Restklassen?


Lemma 1:


Bezüglich der Collatzfolgen haben bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten bis sie bei einer ungeraden Zahl landen. Siehe Tabelle:


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1 \ Schritt&2 \ Schritte&3 \ Schritte&4 \ Schritte&5 \ Schritte&6 \ Schritte&7 \ Schritte&8 \ Schritte&...\\ \hline
2n+1&4n+2&8n+4&16n+8&32n+16&64n+32&128n+64&256n+128&512n+256&...\\ \hline
1&2&4&8&16&32&64&128&256&...\\\hline
3&6&12&24&48&96&192&384&768&...\\\hline
5&10&20&40&80&160&320&640&1280&...\\\hline
7&14&28&56&112&224&448&896&1792&...\\\hline
9&18&36&72&144&288&576&1152&2304&...\\\hline
11&22&44&88&176&352&704&1408&2816&...\\\hline
13&26&52&104&208&416&832&1664&3328&...\\\hline
15&30&60&120&240&480&960&1920&3840&...\\\hline
...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\hline
\end{array} \]

Wir teilen die Zahlen 2n+1 in folgende 8 Restklassen ein:


$16n+1$

$16n+3$

$16n+5$

$16n+7$

$16n+9$

$16n+11$

$16n+13$

$16n+15$


und schauen was passiert wenn wir die Operation 3n+1 ausführen:


$3 \cdot (16n+1)+1=48n+4 $

$3 \cdot (16n+3)+1=48n+10 $

$3 \cdot (16n+5)+1=48n+16 $

$3 \cdot (16n+7)+1=48n+22 $

$3 \cdot (16n+9)+1=48n+28 $

$3 \cdot (16n+11)+1=48n+34 $

$3 \cdot (16n+13)+1=48n+40 $

$3 \cdot (16n+15)+1=48n+46 $




Es zeigt sich, dass die nach der 3n+1 Operation entstandenen Restklassen, eine echte Teilmenge der Restklassen aus Lemma 1 sind,


$48n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+10 \rightarrow \ Teil \ von \ 4n+2 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+22 \rightarrow \ Teil \ von \ 4n+2 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+28 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+34 \rightarrow \ Teil \ von \ 4n+2 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+46 \rightarrow \ Teil \ von \ 4n+2 \ aus \ Lemma \ 1$


während die Restklasse


$48n+16 \rightarrow \ nicht \ eindeutig \ zuordenbar! $


nach der 3n+1 Operation verschiedene Restklassen aus Lemma 1 bildet.


Wenn aber die Zahlen einer bestimmten Restklasse immer die gleiche Anzahl an n/2 Schritten haben, dann müssen ihre Folgeelemente ja auch wieder in Restklassen
einteilbar sein und zwar wie folgt



$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+3 \rightarrow 24n+5 \ $

$16n+5 \rightarrow \ bildet \ keine \ eindeutige \ Restklasse! $

$16n+7 \rightarrow 24n+11 \ $

$16n+9\rightarrow 12n+7 \ $

$16n+11 \rightarrow 24n+17 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+15 \rightarrow 24n+23 \ $


drive.google.com/file/d/1Y5ta8U-oq9xzD2q6Acsx_tdsn5ORV2Gq/view?usp=sharing
 

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Monoton fallende Collatzfolgen  
Themenstart
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blindmessenger
 

Hallo,

monoton fallende Collatzfolgen lassen sich mit Hilfe von Restklassen berechnen wie folgt:


1. Schritt


Zahlen der Form 2n+1 werden in folgende 2 Restklassen eingeteilt


$4n+1$

$4n+3$


Zahlen der Form 4n+3 werden gestrichen, da sie als nächstes eine größere ungerade Zahl bilden...


2. Schritt


Zahlen der Form 4n+1 werden in folgende 4 Restklassen eingeteilt:


$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$


Je nach Restklasse ergeben sich daraus die (Folge-) Restklassen:


$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+9 \rightarrow 12n+7 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+5 \rightarrow entfällt \ $



3. Schritt


Es wird wieder überprüft ob die neu entstandende Zahl der Form $4n+1$ oder $4n+3$ entspricht. $4n+3$ wird gestrichen.


4. Schritt:


Zahlen der Form 4n+1 werden in folgende 8 Restklassen eingeteilt:



$24n+1$

$24n+17$

$48n+5$

$48n+13$

$48n+29$

$96n+37$

$192n+85$

$192n+181$



Je nach Restklasse ergeben sich daraus die (Folge-) Restklassen:



$24n+1 \rightarrow \ 18n+1$

$24n+17 \rightarrow \ 18n+13$

$48n+13 \rightarrow \ 18n+5$

$48n+29\rightarrow \ 18n+11$

$96n+37\rightarrow \ 18n+7$

$192n+181 \rightarrow \ 18n+17$

$48n+5\rightarrow \ entfällt!$

$192n+85 \rightarrow \ entfällt!$



Im Folgenden wiederholen sich Schritt 3 und 4...




Beweis von Schritt 1+3:


Warum haben Zahlen der Form 4n+1 als nächstes ungerades Element eine kleinere Zahl?


Lemma 1:


Bezüglich der Collatzfolgen haben bestimmte Restklassen die gleiche Anzahl an $n/2$ Schritten bis sie bei einer ungeraden Zahl landen. Siehe Tabelle:


\[ \begin{array}{r|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
&1 \ Schritt&2 \ Schritte&3 \ Schritte&4 \ Schritte&5 \ Schritte&6 \ Schritte&7 \ Schritte&8 \ Schritte&...\\ \hline
2n+1&4n+2&8n+4&16n+8&32n+16&64n+32&128n+64&256n+128&512n+256&...\\ \hline
1&2&4&8&16&32&64&128&256&...\\\hline
3&6&12&24&48&96&192&384&768&...\\\hline
5&10&20&40&80&160&320&640&1280&...\\\hline
7&14&28&56&112&224&448&896&1792&...\\\hline
9&18&36&72&144&288&576&1152&2304&...\\\hline
11&22&44&88&176&352&704&1408&2816&...\\\hline
13&26&52&104&208&416&832&1664&3328&...\\\hline
15&30&60&120&240&480&960&1920&3840&...\\\hline
...&...&...&...&...&...&...&...&...&...\\\hline
\end{array} \]
Aus Lemma 1 folgt, dass Zahlen der Form

$4n+3$

als nächstes ungerades Element immer eine größere Zahl haben und Zahlen der Form 4n+1 als nächstes Element immer eine kleinere Zahl haben aus folgendem Grund. Denn

$3 \cdot (4n+3)+1=12n+10$

Die Restklasse $12n+10$ ist echte Teilmenge der Restklasse $4n+2$ aus Lemma 1. Somit lassen sich diese Zahlen nur einmal durch 2 teilen. Daraus folgt, dass also Zahlen der Form $4n+3$ als nächstes ungerades Collatzelement immer eine größere Zahl haben, weil

$\frac{3n+1}{2} > n$.

Daher haben Zahlen der Form $4n+3$ als nächstes Element immer eine größere Zahl.  

Bei

$4n+1$

ist es genau andersherum. Als nächstes Collatzelement haben sie immer eine kleinere Zahl, weil

$3 \cdot (4n+1)+1=12n+4$

Und die Restklasse $12n+4$ ist keine Teilmenge von $4n+2$ aus Lemma 1. Daher lassen sich Zahlen dieser Form mindestens 2 mal halbieren. Somit hat die Restklasse $4n+1$ als nächstes Element immer ein kleineres Element, weil

$\frac{3n+1}{4} < n$.




Beweis von Schritt 2:


Warum werden bestimmte Restklassen zu anderen bestimmten Restklassen?


Wir teilen die Zahlen 4n+1 in folgende Restklassen ein:


$16n+1$

$16n+5$

$16n+9$

$16n+13$


und schauen was passiert wenn wir die Operation 3n+1 ausführen:


$3 \cdot (16n+1)+1=48n+4 $

$3 \cdot (16n+9)+1=48n+28 $

$3 \cdot (16n+13)+1=48n+40 $

$3 \cdot (16n+5)+1=48n+16 $


Es zeigt sich, dass die nach der 3n+1 Operation entstandenen Restklassen, eine echte Teilmenge der Restklassen aus Lemma 1 sind,


$48n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+28 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$48n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$


während die Restklasse


$48n+16 \rightarrow \ nicht \ eindeutig \ zuordenbar! $


nach der 3n+1 Operation verschiedene Restklassen aus Lemma 1 bildet.


Wenn aber die Zahlen einer bestimmten Restklasse (16n+1, 16n+9 und 16n+13) immer die gleiche Anzahl an n/2 Schritten haben, dann müssen ihre Folgeelemente ja auch wieder in Restklassen
einteilbar sein und zwar wie folgt


$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+9 \rightarrow 12n+7 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+5 \rightarrow \ bildet \ keine \ eindeutige \ Restklasse! $



Beweis von Schritt 4:


Im Prinzip läuft der Beweis für Schritt 4 wie der Beweis für Schritt 2 nur das hier eine andere Restklassenaufteilung stattfindet wie folgt:


$3 \cdot (24n+1)+1=72n+4 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (24n+17)+1=72n+52 \rightarrow \ Teil \ von \ 8n+4 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+13)+1=144n+40 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+29)+1=144n+88 \rightarrow \ Teil \ von \ 16n+8 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (96n+37)+1=288n+112 \rightarrow \ Teil \ von \ 32n+16 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (192n+181)+1=576n+544 \rightarrow \ Teil \ von \ 64n+32 \ aus \ Lemma \ 1$

$3 \cdot (48n+5)+1=144n+16 \rightarrow \ nicht \ eindeutig \ zuordenbar! $

$3 \cdot (192n+85)+1=576n+256 \rightarrow \ nicht \ eindeutig \ zuordenbar! $


Daraus entstehen die Restklassen


$24n+1 \rightarrow \ 18n+1$

$24n+17 \rightarrow \ 18n+13$

$48n+13 \rightarrow \ 18n+5$

$48n+29\rightarrow \ 18n+11$

$96n+37\rightarrow \ 18n+7$

$192n+181 \rightarrow \ 18n+17$

$48n+5\rightarrow \ bildet \ keine \ eindeutige \ Restklasse!$

$192n+85 \rightarrow \ bildet \ keine \ eindeutige \ Restklasse!$
 

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Collatzfolgen nur mit Restklassen berechnen  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-10 12:06
blindmessenger
 

Erklärung der Berechnung von Collatzfolgen mit Hilfe von Restklassen in Excel:

Im Grunde nur zwei Vorgänge die abwechselnd ausgeführt werden.

Als Startzahlen dienen die ungeraden Zahlen. Von denen werden die Zahlen 4n+3 aussortiert so dass Zahlen der Form 4n+1 überbleiben mit folgender Funktion:

=WENN(REST(A1-1;4)=0;A1;"")

Dann wird die erste Collatziteration berechnet und zwar so dass aus bestimmten Restklassen andere Restklassen werden wie folgt:



$16n+1\rightarrow 12n+1 \ $

$16n+9 \rightarrow 12n+7 \ $

$16n+13 \rightarrow 6n+5 \ $

$16n+5 \rightarrow entfällt! \ $



Dazu folgende Funktion

=WENN(REST(BG4-1;16)=0;BE4*12+1;WENN(REST(BG4-9;16)=0;BD4*12+7;WENN(REST(BG4-13;16)=0;BC4*6+5;"")))

Es werden wieder Zahlen der Form 4n+3 aussortiert...

Die erste Iteration ist ein Sonderfall und tritt nur beim ersten mal auf... Die zweite Iteration und alle weiteren Iterationen lauten wie folgt:



$24n+1 \rightarrow \ 18n+1$

$24n+17 \rightarrow \ 18n+13$

$48n+13 \rightarrow \ 18n+5$

$48n+29\rightarrow \ 18n+11$

$96n+37\rightarrow \ 18n+7$

$192n+181 \rightarrow \ 18n+17$

$48n+5 \rightarrow \ entfällt!$

$192n+85 \rightarrow \ entfällt!$



Dazu folgende Funktion:

=WENN(REST(BI4-1;24)=0;BB4*18+1;WENN(REST(BI4-17;24)=0;AZ4*18+13;WENN(REST(BI4-13;48)=0;BA4*18+5;WENN(REST(BI4-29;48)=0;AY4*18+11;WENN(REST(BI4-37;96)=0;AX4*18+7;WENN(REST(BI4-181;192)=0;AW4*18+17;""))))))

Jetzt könnte man einwenden, dass sich so nur bestimmte Collatzfolgen berechnen lassen... Das stimmt auch, aber wenn man sich den weiteren Verlauf der Werte innerhalb einer Spalte nach jeder Iteration genauer ansieht dann stellt man fest, dass nach jeder Iteration wieder alle Zahlen ungeordnet aber lückenlos und ohne Dublikate auftreten und somit die weggefallenen Folgen gar nicht mehr betrachtet werden brauchen.

Den Beweis dafür habe ich in dem Thread:

LinkAlgorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)



Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Collatzfolgen nur mit Restklassen berechnen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-09 12:06
blindmessenger
 

Hallo,

hier nochmal die Idee dahinter Collatzfolgen nur mit Restklassen zu berechnen in Excel:

drive.google.com/file/d/1Y5ta8U-oq9xzD2q6Acsx_tdsn5ORV2Gq/view?usp=sharing

Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Iter  
Beitrag No.46 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-07-03 20:50
blindmessenger
 

www.kit.edu/kit/pi_2019_039_energieeffizientes-supraleiterkabel-fuer-zukunftstechnologien.php

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-23 11:04
blindmessenger
 

Wenn man zeigen könnte, dass in dem Zyklus aus dem vorherigen Post die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ nach endlich vielen Schritten immer wieder auftauchen müssen, zusätzlich mit kleiner werdenden n, und das etappenweise dann wäre Collatz gelöst... wink
$48n+5$ und $192n+85$ sind die Restklassen die Dublikate erzeugen aber unter ihnen sind auch die Zahlen die im nächsten Schritt die 1 erzeugen.

FOlgende Beobachtung:

Collatzfolgen durchlaufen immer wieder die Restklassen $48n+5$ und $192n+85$ und zwar mit kleiner werdenden n aber etappenweise. Betrachten wir dazu Collatzfolgen bestehend nur aus den Restklassen $48n+5$ und $192n+85$:

Beispiele:

$27$ $(Startzahl)$
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$

$52357$ $(Startzahl)$
$11045$ ($48n+5$ / $n=230$)
$4661$ ($48n+5$ / $n=97$)
$437$ ($48n+5$ / $n=9$)
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$

$56894103$ $(Startzahl)$
$128011733$ ($48n+5$ / $n=2666911$)
$4054949$ ($48n+5$ / $n=84478$)
$650261$ ($48n+5$ / $n=13547$)
$10853$ ($48n+5$ / $n=226$)
$2069$ ($48n+5$ / $n=43$)
$3077$ ($48n+5$ / $n=64$)
$53$ ($48n+5$ / $n=1$)
$5$ ($48n+5$ / $n=0$)
$1$






Kongruenzen
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Restklassenberechnung  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-22 16:36
blindmessenger
 

Ja, das habe ich gemeint...

Danke für die Antwort...

Kongruenzen
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Restklassenberechnung  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-22 16:01
blindmessenger
 

Hallo,

wie kann man zeigen, dass die Zahlenfolge

$\frac{4^n-1}{3}$ for n > 1, not multiple of 3.

eine echte Teilmenge der Restklassen

$48n+5$

und

$192n+85$

ist?


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Thema eröffnet von: blindmessenger
Iter  
Beitrag No.45 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-15
blindmessenger
 

www.scinexx.de/news/technik/supraleiter-magnet-bricht-rekord/

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Thema eröffnet von: Dixon
„18-Jährige mit dem sozialen Reifegrad eines Kleinkindes“  
Beitrag No.22 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-07
blindmessenger
 

2019-06-07 20:08 - hgseib in Beitrag No. 21 schreibt:
2019-06-07 19:44 - blindmessenger in Beitrag No. 18 schreibt:
Ich kann mich hgseib nicht anschliessen...
Darum geht es in einer Diskussion.
Schreibtst du bitte auch noch konkret, in welchen Punkten du anderer Meinung bist?

Danke.

Ich meinte nur, dass man ja keine Menschen benotet sondern deren Leistung...

Und ich bin immer dafür Leistungen zu benoten... Und zwar streng...

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Thema eröffnet von: Dixon
„18-Jährige mit dem sozialen Reifegrad eines Kleinkindes“  
Beitrag No.18 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-06-07
blindmessenger
 

Ich kann mich hgseib nicht anschliessen...

Ich würde Handys und Tablets in Schulen erstmal komplett verbieten!

Dann sollte es Steinzeitunterricht nur so hageln!

Benotung so streng wie möglich...

20% machen nur noch Abitur... Der Rest macht eine Lehre, verdient Geld und wird seines Lebens froh!

Es gibt keine "Fachkräftekrise" mehr und alle sind glücklich!

Zahlentheorie
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Algorithmus reduzierter Collatzfolgen (Verallgemeinerung)  
Beitrag No.1 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-26
blindmessenger
 


Aktuelles und Interessantes
  
Thema eröffnet von: Slash
Reformation des Einheitensystems  
Beitrag No.3 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-24
blindmessenger
 

2019-05-24 12:09 - gonz in Beitrag No. 2 schreibt:
Genau. Als die Welt noch in Ordnung war und 1 Kubik-Lachter genau ein Malter (stimmt das überhaupt? egal).


Da Lachter!  wink

Aktuelles und Interessantes
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: Slash
Wow! Supraleitung bei -23 C°  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-23
blindmessenger
 

Dann ist ein Kernfusionskraftwerk auch kein Problem mehr...  wink

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.9 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19
blindmessenger
 

O.k...

Also in Mengenklammern kommt nur die einzelne Menge, während man in runden Klammern Mengen zusammenfassen kann. Ein anderes Beispiel:


$ ( \{ n \in \mathbb{N};12n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N};12n+5 \} ) \subset ( \{ n \in \mathbb{N};6n+1 \} \cup \{ n \in \mathbb{N};6n+5 \} )$

Sagt aus: Zahlen der Form $12n+1$ und $12n+5$ sind eine echte Teilmenge von Zahlen der Form $6n+1$ und $6n+5$.

Ist das so korrekt?

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19
blindmessenger
 

O.k. An welcher Stelle müsste ich denn runde Klammern benutzen?

Kannst Du mir das einmal korrekt hinschreiben?

Notationen, Zeichen, Begriffe
  
Thema eröffnet von: blindmessenger
Notation von Mengen  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-05-19
blindmessenger
 

Alles klar... Danke Dir...
 

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