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Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cauchy31415
Fixpunktansatz, um Gleichung zu zeigen  
Beitrag No.2 im Thread
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cauchy31415
J

Hallo sonnenschein96,

vielen Dank für die schnelle Antwort.
Meine angegebene Funktion \(h\) hatte einen Denkfehler. Danke für den Hinweis.
Dein Ansatz mit der Funktion \(g\) klingt gut.
Ich verstehe auch, dass diese beiden Möglichkeiten gleichermaßen funktionieren.
Ich vermute, dass wenn ich von \(g\) auf einen Fixpunkt schließe, ich vorher noch zeigen muss, dass \(g\) auch wirklich von/auf diese Intervalle abbildet.

Nochmals vielen Dank und eine schöne Woche,
Cauchy31415

Funktionen
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cauchy31415
Fixpunktansatz, um Gleichung zu zeigen  
Themenstart
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-06-02
cauchy31415
J

Gegeben ist eine stetige Funktion \(f : [a,b] \rightarrow [a,b]\).
Man zeige, dass es ein \(x_0 \in [a,b]\) gibt, sodass die Gleichung \(f(x_0) = a + b - x_0\) erfüllt ist.

Mein Versuch war, die Existenz des Fixpunktes \(f(x_0) = x_0\) zu nutzen, um mit dem Zwischenwertsatz die Gleichung zu beweisen.
Als Hilfsfunktion habe ich \(h(x) = a + b - x_0 - f(x_0)\) gewählt und dann gezeigt, dass ein \(\xi\) mit \(h(\xi) = 0\) existiert.
Daraus würde dann die gesuchte Gleichung folgen.
Damit war ich mir aber unsicher, da es mir so scheint, dass der Definitonsbereich der Funktion \(h\) ja gar nicht in [a,b] liegt (oder etwa doch?) und weil explizit erwähnt wurde das die Existenz des Fixpunkes hier genutzt werden soll.
Ist die Anwendung des Zwischenwertsatzes in diesem Fall denn überhaupt notwendig?

Ich bitte um einen kleinen Tipp der mich in die richtige Richtung bringt. Dafür währe ich sehr dankbar. 🙂

Viele Grüße,
Cauchy\(\pi\)

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cauchy31415
Rechtsseitiger Grenzwert beschränkter Funktion  
Beitrag No.2 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2020-05-26
cauchy31415
 

Hallo  Vercassivelaunos.

Vielen Dank für ihre schnelle Antwort.
Danke für die Erklärung. Das Problem ist mir jetzt um Einiges klarer.
Ich habe das \( \varepsilon-\delta-\)Kriterium für rechtsseitige Stetigkeit in \( x_0 \) verwendet mit der Wahl von \( \varepsilon \) beliebig und \( \delta := \frac{\varepsilon}{C} \). Das hat (hoffe ich) funktioniert. 🙂  

Viele Grüße,
cauchy31415

Grenzwerte
Universität/Hochschule 
Thema eröffnet von: cauchy31415
Rechtsseitiger Grenzwert beschränkter Funktion  
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cauchy31415
 

Ich habe folgenden Beweis zu tätigen, jedoch ist es mir bisher nicht gelungen auch nur einen Ansatz zu finden.

Voraussetzung: Sei \( g : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) beschränkt. D.h. \( \exists C > 0\) mit \( |g(x)| < C, \forall x \in [0,1].\)
Behauptung: Für die Funktion \( f(x) = x \cdot g(x) \) gilt \( \lim_{x \searrow 0} f(x) = 0 = f(0) \).

Ich habe überlegt, dass \(\varepsilon-\delta\)-Kriterium zu verwenden, jedoch weiß ich nicht wie man das in diesem Fall machen könnte.
Folgt der Beweis wohlmöglich aus der Addition/Multiplikation oder Hintereinanderausführung von Funktion bzw. Grenzwerten?
Außerdem Frage ich mich, was der Sinn hinter der zu beweisenden Aussage ist.
Da wir ja nur den rechtsseitigen Grenzwert betrachten können wir ja nicht darauf schließen, dass \(f\) im Punkt \(x_0 = 0\) stetig ist (oder doch?).

Ich danke ihnen im Voraus für die Hilfe.
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