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Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1765 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-16 21:21
cyrix
 

Als erstes fällt mir ein, dass man ja hier, auf der offiziellen MO-Vereins-Seite, einen entsprechenden Link setzen kann. M.W. wird die Seite auch von Manuela betreut, sodass sie hier die Ansprechpertnerin sein könnte.

Generell kann man aber auch mal den Vereinsvorsitzenden, Jürgen Prestin, anschreiben. Ggf. kann er ja auch Werbung -- via Mail an alle Vereinsmitglieder -- machen. Immerhin ist das ja auch ein guter Pool von Aufgaben und Lösungen, den man zum Training oder zur Förderung von Schülerinnen und Schülern heranziehen kann.

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.19 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-14 20:35
cyrix
 

Und jetzt noch so aufschreiben, dass auch ein Korrektor versteht, was du dir gedacht hast.  ;-)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.17 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-13 11:23
cyrix
 

Wen es interessiert:

Gebraucht werden für eine MO-Bundesrunde 100 Korrektorinnen und Korrektoren. Diese setzen sich wie folgt zusammen:
*) Je einer der Delegationsleiterinnen und -leiter der eingeladenen Bundesländer --> 15 Personen
*) Je eingeladenem Bundesland bis zu 2 von dessen Landesbeauftragten vorgeschlagene Personen --> bis zu 30 Personen
*) Bis zu 10 vom gastgebenden Bundesland (via dessen Landesbeauftragten) vorgeschlagene Personen
*) Bis zu 20 vom Aufgabenausschuss vorgeschlagene Personen
*) übrige Plätze (mindestens 25) via Selbstbewerbung unter MO-Vereinsmitgliedern, wobei der Vereinsvorsitzende auswählt, möglichst keine Person in mehreren Jahren ablehnen will und Korrektur-Erfahrung und Engagement berücksichtigt.

Die Mitglieder des Aufgabenausschusses sind üblicherweise als Koordinatorinnen und Koordinatoren tätig (knapp 30), oder aber im entsprechenden Kontingent der durch den Aufgabenausschuss Vorgeschlagenen enthalten.

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1732 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-13 11:11
cyrix
 

geschafft. :)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.15 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 20:59
cyrix
 

Zum BWM: Einfach an Patrick (der seit letztem Jahr den Spaß leitet) Bauermann eine eMail schreiben. :) (Oder PN an mich, dann schlage ich gern vor. ;) )

Für die MO-Bundesrunde: Kompliziert. ;-) Am einfachsten: MO-Vereinsmitglied werden und sich bewerben.

Für die MO-Landesrunden: Anfrage bei den jeweiligen Organisatoren stellen. Üblicherweise werden fähige Korrektorinnen und Korrektoren gern gesehen. :)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.12 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 20:31
cyrix
 

Bei Bundesrunden korrigiere ich traditionell in der 11. ;-) (Hat sich bei meiner ersten Teilnahme als Korrektor so ergeben und ist seitdem immer gleich geblieben.)

Tatsächlich waren die Aufgaben der Olympiadeklasse 8 dieses Jahr wohl etwas zu einfach, wie Ergebnisse von 3 mal 40 und 2 mal 39 Punkten bei 51 Teilnehmerinnen und Teilnehmern, sofern ich mich nicht verzählt habe, zeigen. Aber lieber eine zu einfache erste Aufgabe, als eine viel zu schwere. Immerhin will und soll man euch ja motivieren. :)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.10 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 20:14
cyrix
 

2019-08-12 19:14 - Kitaktus in Beitrag No. 8 schreibt:
Wieso "leider"?

Ich fand die Zeit als Teilnehmer spannender. ;-)

Aber du hast natürlich recht: In den Zirkeln finden sich viele nette Menschen (insbesondere auch viele ehemalige Teilnehmer, wie du und ich ;-) ) und so fahre ich auch weiterhin gern jedes Jahr zur MO-Bundesrunde. :) (Insbesondere habe ich ja auch darüber meinen derzeitigen Job erhalten. *g*)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.7 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 18:51
cyrix
 

Jep.

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1714 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 18:47
cyrix
 

Idee zur 301046:

Angenommen, die Geraden <math>AE</math> und <math>CG</math> schneiden sich in einem Punkt <math>S</math>. Dann ist <math>SD</math> die Schnittkante der beiden Ebenen <math>AED</math> und <math>CGD</math>, also insbesondere auch <math>H \in SD</math>. Analog: Angenommen, die beiden Geraden <math>AD</math> und <math>FG</math> schneiden sich in einem Punkt <math>T</math>. Dann ist die Gerade <math>TE</math> die Schnittgerade der beiden Ebenen <math>ADE</math> und <math>FGE</math>, mithin also wieder <math>H \in  TE</math>, sodass <math>H</math> der Schnittpunkt der beiden Geraden <math>SD</math> und <math>TE</math> wäre, deren Projektionen sich leicht konstruieren lassen.

Problem: Es gibt keinen Grund anzunehmen, dass die jeweiligen Geradenpaare nicht auch jeweils zueinander windschief sein können. (Parallelität wäre auch einfach zu handhaben, da dann die gesuchte Schnittgerade auch parallel zu den beiden betrachteten Geraden liegen würde.)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
Schule 
Thema eröffnet von: Math314
Bundeswettbewerb  
Beitrag No.5 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 18:15
cyrix
 

2019-08-12 18:09 - Math314 in Beitrag No. 4 schreibt:
Macht sonst noch jemand mit von euch?

Seit 15 Jahren leider nur noch "auf der dunklen Seite der Macht". ;)

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1700 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-12 09:32
cyrix
 

@Nuramon: Danke für das Finden und Ausbessern des Fehlers in meiner Lösung. :)

Zu den verbleibenden Aufgaben sehe ich für mich keinen sinnvollen Ansatz. Die beiden Raumgeometrie-Aufgaben laufen beide darauf hinaus, dass man das Bild des Schnitts zweier Ebenen in der Parallelprojektion konstruieren muss. Wenn man das hat, hat man beide Aufgaben gelöst. Mehr kann ich dazu aber nicht beitragen...

Cyrix

Bundeswettbewerb Mathematik
Schule 
Thema eröffnet von: enst
BWM 2019 1.Runde  
Beitrag No.39 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 21:38
cyrix
 

Nun, bei meiner zweiten Teilnahme in Runde 2 war man bei mir dann auch strenger. ;) (Drum hat es auch nur für zwei Sterne gereicht und nicht für drei, was aufgrund der Klassenstufe möglich gewesen wäre... *grumml* ;) )

Cyrix

Bundeswettbewerb Mathematik
Schule 
Thema eröffnet von: enst
BWM 2019 1.Runde  
Beitrag No.36 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 15:12
cyrix
 

Natürlich werden auch unvollständige Lösungsversuche, die zielführende Gedanken enthalten, entsprechend positiv bewertet.

Es lohnt sich sowieso immer mit mindestens drei gelösten Aufgaben seine Ausarbeitungen einzusenden, da ein Preis in der zweiten Runde des Bundeswettbewerbs für die Vorauswahl-Klausuren im Dezember für den Auswahlwettbewerb der deutschen IMO-Mannschaft qualifiziert.

Cyrix

Bundeswettbewerb Mathematik
Schule 
Thema eröffnet von: enst
BWM 2019 1.Runde  
Beitrag No.34 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 15:04
cyrix
 

Die Punktzahlen in der zweiten Runde werden ja nur intern vergeben, d.h., die sieht man als Teilnehmer gar nicht (und erhält auch nur eine Rückmeldung wie in der ersten Runde mit dem entsprechenden Fehlerzettel).

Üblicherweise sind die Preisgrenzen in der zweiten Runde wie folgt:

1. Preis: 40 Punkte (wobei man recht tolerant ist, bevor man den ersten Punkt abzieht)
2. Preis: 36 Punkte
3. Preis: 29-30 Punkte

So pauschal kann man die Frage, was das Ignorieren eines Spezialfalls angeht, nicht beantworten. Das dürfte auch immer individuell betrachtet werden. Als Teilnehmer bin ich jedenfalls mal noch durchgekommen, obwohl ich bei der analytischen Lösung einer Geometrie-Aufgabe nicht darauf geachtet hatte, dass eine Gerade auch parallel zur <math>y</math>-Achse verlaufen könnte (was aber auf einen trivialen Spezialfall geführt hätte, den ich damit nicht betrachtet hatte)...

Cyrix

Bundeswettbewerb Mathematik
Schule 
Thema eröffnet von: enst
BWM 2019 1.Runde  
Beitrag No.32 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 14:53
cyrix
 

Die gab es m.E. mal (für mindestens 20 von 40 maximal möglichen Punkten), werden aber m.W. nicht mehr vergeben.

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1689 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 13:21
cyrix
 

2019-08-09 18:11 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1671 schreibt:
Hallo Steffen,
2019-08-09 17:55 - stpolster in Beitrag No. 1668 schreibt:
2019-08-09 17:05 - MontyPythagoras in Beitrag No. 1666 schreibt:
Das hier...:

... ist doch nichts weiter als die Dreiecksungleichung für sphärische Dreiecke. Das ist doch quasi trivial?!
Ich habe davon keine Ahnung, frage aber dennoch:
Hat jedes nicht unbedingt regelmäßige Tetraeder eine Umkugel?

LG Steffen

der Tetraeder ist nur zur Verwirrung, es geht nur um die Winkel. Man hätte auch formulieren können:
"Gegeben sind drei linear unabhängige Vektoren im <math>\mathbb R^3</math>, die untereinander die Winkel <math>\alpha</math>, <math>\beta</math> und <math>\gamma</math> einschließen. Zeigen Sie, dass gilt: <math>\alpha+\beta > \gamma</math>."
Aber das hätte nicht so cool geklungen. Du könntest den drei Vektoren auch noch die Länge 1 geben, das würde an den Winkeln ja nichts ändern, und dann bist Du bei der besagten Dreiecksungleichung.

Ciao,

Thomas

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1669 begonnen.]

Ich bringe mal Thomas' schon sehr weit ausgearbeitete Idee in Lösungsform:

Wir schneiden die von <math>Q</math> ausgehenden und durch die <math>P_i</math> verlaufenden Strahlen mit einer Kugeloberfläche mit Radius 1 um <math>Q</math>. Dann erhalten wir auf dieser Kugeloberfläche als Schnitt die Punkte <math>Q_i</math>, wobei <math>P_i</math> auf dem von <math>Q</math> ausgehenden Strahl durch <math>Q_i</math> liegt. Damit ist <math>\alpha_{ij}=\angle P_iQP_j=\angle Q_iQQ_j</math> und die Großkreis-Bögen zwischen je zwei dieser Punkte <math>P_i</math> und <math>P_j</math> besitzen genau die Länge <math>\alpha_{ij}</math>, wobei der Winkel im Bogenmaß angegeben sei.

Da die kürzeste Verbindung zweier Punkte auf einer Kugeloberfläche der (kürzere) Bogen des Großkreises ist, auf dem die beiden Punkte liegen, (welche eindeutig ist, sofern sich die beiden Punkte nicht diametral auf der Kugel gegenüberliegen), folgt, da alle Winkel <math>\alpha_{ij}</math> echt zwischen 0 und <math>\pi=180^{\circ}</math> liegen, dass der direkte Weg von <math>Q_1</math> nach <math>Q_2</math> entlang des kürzeren Großkreis-Bogens durch diese beide Punkte kürzer ist als der Weg von <math>Q_1</math> über <math>Q_3</math> nach <math>Q_2</math> entlang der entsprechenden Großkreis-Bögen, also <math>\alpha_{12}<\alpha_{31}+\alpha_{23}</math>, <math>\Box</math>.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1687 begonnen.]

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1686 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 12:55
cyrix
 


Aufgabe 301244: Eine streng monoton steigende Zahlenfolge <math>x_1</math>, <math>x_2</math>, <math>\dots</math>, <math>x_n</math> werde genau dann <math>m</math>-schmal genannt, wenn für alle <math>a= 2,\dots,n</math> die Ungleichungen <math>x_a-x_{a-1}\leq m</math> gelten.
Eine Menge <math>A</math> von Zahlen werde genau dann <math>m</math>-dicht genannt, wenn sie für jede natürliche Zahl <math>n\geq 2</math> eine <math>n</math>-gliedrige streng monoton steigende Zahlenfolge enthält, die <math>m</math>-schmal ist.
Man beweise die folgende (einen berühmten Satz des niederländischen Mathematikers B. L. van der Waerden abschwächende) Aussage:
Zu jeder Zerlegung der Menge <math>\mathbb{N}</math> aller natürlichen Zahlen in eine Anzahl <math>r\geq 2</math> paarweise disjunkter nicht leerer Teilmengen <math>T_1</math>, <math>\dots</math>, <math>T_r</math> gibt es eine positive Zahl <math>m</math>, so dass (mindestens) eine der Mengen <math>T_1</math>, <math>\dots</math>, <math>T_r</math> eine <math>m</math>-dichte Menge ist.

1)Diesen Satz (bei dem arithmetische statt <math>m</math>-schmaler Folgen auftreten) ohne Beweis nur als bekannten Sachverhalt zu zitieren, würde hier für eine Lösung der Aufgabe nicht ausreichen.

Lösung:

In der folgenden Lösung sei <math>\mathbb{N}:=\{1,2,3,\dots\}</math>. Die Aussage stimmt auch für die alternative Definition mit 0 als natürlicher Zahl und lässt sich vollkommen analog formulieren und beweisen.

Wir gehen induktiv vor und betrachten zunächst den Fall <math>r=2</math>. Sei also die Menge der natürlichen Zahlen in die zwei disjunkten Mengen <math>T_1</math> und <math>T_2</math> zerlegt. Enthält <math>T_1</math> für jedes <math>n\in\mathbb{N}</math> eine Teilmenge von <math>n</math> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen, so ist <math>T_1</math> 1-dicht und die Behauptung erfüllt. Andernfalls existiert eine natürliche Zahl <math>m</math>, sodass unter je <math>m</math> aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen immer mindestens eine nicht in <math>T_1</math>, also dann in <math>T_2</math>, enthalten ist. Zwei aufeinanderfolgende Elemente von <math>T_2</math> haben damit immer den Abstand von höchstens <math>2m</math>, sodass <math>T_2</math> nun <math>2m</math>-dicht ist, die Behauptung also für jede Zerlegung von <math>\mathbb{N}</math> in <math>r=2</math> Teilmengen erfüllt ist.

Sei nun <math>r>2</math> und die Aussage schon für <math>r-1</math> bewiesen. Sei weiterhin <math>T_1</math>, <math>\dots</math>, <math>T_{r-1}</math>, <math>T_r</math> eine Zerlegung der Menge der natürlichen Zahlen in paarweise disjunkte, nichtleere Teilmengen. Dann ist auch <math>T_1</math>, <math>\dots</math>, <math>T_{r-1} \cup T_r</math> eine solche Zerlegung in <math>r-1</math> Mengen. Also existiert ein <math>m</math>, sodass mindestens eine dieser Mengen <math>m</math>-dicht ist. Ist eine der Mengen <math>T_1</math> bis <math>T_{r-2}</math> <math>m</math>-dicht, so gilt die Aussage auch für die Zerlegung in die <math>r</math> Teilmengen.

Andernfalls ist <math>T_{r-1} \cup T_r</math> <math>m</math>-dicht. Die Elemente von <math>T_{r-1} \cup T_r</math> seien, der Größe nach geordnet, mit <math>a_1<a_2<\dots</math> bezeichnet. (Es müssen unendlich viele sein, da sonst die Menge nicht <math>m</math>-dicht wäre.) Dann gilt für jede natürliche Zahl <math>i>0</math> die Ungleichung <math>a_{i+1}-a_i\leq m</math>. Weiterhin sei <math>A_1</math> die Menge der natürlichen Zahlen <math>i</math>, für die <math>a_i\in T_{r-1}</math> gilt und analog <math>A_2</math> die Menge der natürlichen Zahlen <math>i</math>, für die <math>a_i\in T_r</math> gilt. Dann bilden (da <math>T_{r-1}</math> und <math>T_r</math> nichtleer und disjunkt sind) <math>A_1</math> und <math>A_2</math> eine Zerlegung der natürlichen Zahlen in zwei nichtleere und disjunkte Teilmengen. Also gibt es nach dem schon bewiesenen Fall für <math>r=2</math> eine natürliche Zahl <math>m^{\prime}</math>, sodass mindestens eine der beiden Mengen -- o.B.d.A. sei dies <math>A_2</math> -- <math>m^{\prime}</math>-dicht ist. Dann jedoch ist <math>T_r</math> <math>m\cdot m^{\prime}</math>-dicht, da eine <math>m^{\prime}</math>-schmale Folge von Zahlen in <math>A_2</math> sich in eine <math>m\cdotm^{\prime}</math>-schmale Teilfolge von Zahlen in <math>T_r</math> übersetzt, wenn man die entsprechenden Indizes aus der Folge in <math>A_2</math> wählt.

Also gibt es in jedem Fall für jede Zerlegung der natürlichen Zahlen in <math>r\geq 2</math> paarweise disjunkte Teilmengen eine natürliche Zahl <math>m</math>, sodass mindestens eine dieser Teilmengen <math>m</math>-dicht ist, <math>\Box</math>.

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1685 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-10 11:47
cyrix
 


Aufgabe 131233: Es sei <math>V=ABCD</math> ein beliebiges (konvexes oder nicht konvexes) nicht ̈uberschlagenes ebenes Viereck. Ferner seien <math>A^{\prime}</math>, <math>B^{\prime}</math>, <math>C^{\prime}</math>, <math>D^{\prime}</math> diejenigen Punkte, für die die Vierecke <math>ABA^{\prime}D</math>, <math>ABCB^{\prime}</math>, <math>C^{\prime}BCD</math>, <math>AD^{\prime}CD</math> Parallelogramme sind.
Man beweise, dass unter diesen Voraussetzungen folgende Aussage gilt:
Dann und nur dann, wenn <math>V</math> nicht konvex ist, liegen alle vier Punkte <math>A^{\prime}</math>, <math>B^{\prime}</math>, <math>C^{\prime}</math>, <math>D^{\prime}</math> außerhalb von <math>V</math>.

Lösung:
Die Innenwinkel in <math>V</math> bei <math>A</math>, <math>B</math>, <math>C</math> und <math>D</math> seien wie üblich mit <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>, <math>\gamma</math> und <math>\delta</math> bezeichnet.

Sei zuerst <math>V</math> ein konvexes Viereck und es sei o.B.d.A. <math>\alpha+\beta\geq 180^{\circ}</math>. (Da <math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}</math> gilt, beträgt mindestens eine der beiden Summen <math>\alpha+\beta</math> bzw. <math>\gamma+\delta</math> mindestens <math>180^{\circ}</math>.) Die Parallele zu <math>DA</math> durch <math>B</math> schneide die Gerade <math>CD</math> in <math>P</math>. Dann liegt <math>P</math> im Innern oder auf der Strecke <math>CD</math>, da <math>\angle ABP=180^{\circ}-\alpha\leq \beta</math> ist, da <math>\angle ABP</math> und <math>\alpha</math> Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind. Analog ist auch minstens eine der beiden Summen <math>\alpha+\delta</math> und <math>\beta+\gamma</math> mindestens <math>180^{\circ}</math>, sodass wir (unter gegebenenfalls erfolgender Variablenumbenennung) o.B.d.A. <math>\alpha+\delta\geq 180^{\circ}</math> annehmen können und nun analog oben der Schnittpunkt <math>Q</math> der Parallelen zu <math>AB</math> durch <math>D</math> mit <math>BC</math> im Innern oder auf dem Rand der Strecke <math>BC</math> liegt, da <math>\angle ADQ=180^{\circ}-\alpha\leq \delta</math> gilt. Da nun die Strecken <math>BP</math> und <math>DQ</math> gegenüberliegende Seiten des konvexen Vierecks <math>V</math> miteinander verbinden, besitzen sie einen Schnittpunkt <math>A^{\prime}</math> im Innern oder auf dem Rand von <math>V</math>. Nach Konstruktion ist das Viereck <math>ABA^{\prime}D</math> ein Parallelogramm und nicht alle der vier Punkte <math>A^{\prime}</math>, <math>B^{\prime}</math>, <math>C^{\prime}</math> und <math>D^{\prime}</math> liegen außerhalb von <math>V</math>.

Sei nun umgekehrt <math>V</math> ein nichtkonvexes, nicht überschlagenes Viereck mit überstumpfen Innenwinkel <math>\alpha</math>. Aufgrund der Innenwinkelsumme von <math>V</math> kann es nur einen überstumpfen Innenwinkel geben. Dann liegt die Diagonale <math>BD</math> (bis auf die Endpunkte) außerhalb von <math>V</math>. Damit liegen alle Punkte von <math>V</math> in nur einer der beiden von der Geraden <math>BD</math> erzeugten Halbebenen. Im Parallelogramm <math>ABA^{\prime}D</math> liegen aber <math>A</math> und <math>A^{\prime}</math> in verschiedenen von der Diagonalen <math>BD</math> erzeugten Halbebenen, also <math>A^{\prime}</math> außerhalb von <math>V</math>. Analog liegt auch im Parallelogramm <math>C^{\prime}BCD</math> der Punkt <math>C^{\prime}</math> in der von <math>BD</math> erzeugten Halbebene, in der <math>C</math>, und damit <math>V</math>, nicht liegt. Also ist auch <math>C^{\prime}</math> ein Punkt, der außerhalb von <math>V</math> liegt. Weiterhin ist <math>\gamma=360^{\circ}-\alpha-\beta-\delta<180^{\circ}-\beta</math> und damit <math>\angle B^{\prime}CB=180^{\circ}-\beta>\gamma=\angle DCB</math>, sodass <math>B^{\prime}</math> außerhalb von <math>V</math> liegt. Analog (durch Vertauschen der Rollen von <math>B</math> und <math>D</math>) folgt schließlich auch <math>\angle DCD^{\prime}=180^{\circ}-\delta>\gamma=\angle DCB</math>, sodass auch <math>D^{\prime}</math> außerhalb von <math>V</math> liegt.

Damit befinden sich für ein nicht überschlagenes Viereck <math>V=ABCD</math> genau dann die vier Punkte <math>A^{\prime}</math>, <math>B^{\prime}</math>, <math>C^{\prime}</math> und <math>D^{\prime}</math> außerhalb von <math>V</math>, wenn <math>V</math> nichtkonvex ist, <math>\Box</math>.

Cyrix

[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1680 begonnen.]

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1663 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-09 15:01
cyrix
 

btw: Die 131233 habe ich, muss ich aber noch aufschreiben...

Cyrix

Olympiade-Aufgaben
  
Thema eröffnet von: stpolster
Alte Olympiadeaufgaben  
Beitrag No.1661 im Thread
Zum letzten BeitragZum nächsten BeitragZum vorigen BeitragZum erstem Beitrag2019-08-09 14:51
cyrix
 

Da fehlt noch die Konstruktion der Geraden <math>g</math>:

Man trage auf dem Strahl <math>SP</math> von <math>S</math> die Streckenlänge <math>2|SP|</math> ab und erhalte den Verdopplungspunkt <math>V</math> von <math>SP</math>. Nun zeichne man die Parallelen zu <math>s</math> bzw. <math>t</math> durch <math>V</math> und erhalte die Schnittpunkte <math>B</math> bzw. <math>A</math> mit <math>t</math> bzw. <math>s</math>. Nach Konstruktion ist nun das Viereck <math>SAVB</math> ein Parallelogramm, dessen Diagonalen <math>SV</math> und <math>AB</math> sich gegenseitig halbieren. Da der Mittelpunkt von <math>SV</math> nach Konstruktion <math>P</math> ist, ist <math>P</math> auch Mittelpunkt der so erhaltenen Strecke <math>AB</math>.

Cyrix
 

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